LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás, egy dott eleméhez trtozó elıjeles ldetermiásk? Azt determiást, melyet úgy kpuk, hogy elhgyjuk z elem sorát és oszlopát, s figyeleme i+ j vesszük skktál szályt, zz megszorozzuk ( ) -vel, hol i sor- és j z oszlopide Pl hrmdredő determiásál: + + + Hogy értelmezzük z -ed redő determiást? Kiválsztjuk vlmely sorát (oszlopát), s eek mide elemét megszorozzuk megfelelı elıjeles ldetermiássl, mjd kpott értékeket összedjuk Ezt z eljárást ddig folyttjuk, míg másodredő determiásokt em kpuk, és másodredő determiás értéke: = d c c d Melyik sor vgy oszlop szerit lehet kifejtei egy determiást? A determiás ármely sor vgy oszlop szerit kifejtve ugyzt z értéket kpjuk Mik determiások legfotos tuljdosági? Nem változik determiás értéke, h vlmely sorák(oszlopák) mide elemét egy számml megszorozzuk és ezeket egy másik sor(oszlop) megfelelı elemeihez hozzádjuk H egy determiás vlmely sorák(oszlopák) mide elemét egy c számml megszorozzuk, kkor determiás értéke c- szeresére változik H egy determiás fıátlój ltt vgy fölött mide elem, kkor determiás értéke fıátló levı értékek szorzt Mit evezük lieáris egyeletredszerek? Az lái egyeletredszert, hol ij és i dott értékek és j -k ismeretleek: + + + = k + k + + + k + = k Mit evezük homogé lieáris egyletredszerek? Az lái egyeletredszert, hol ij -k dott értékek és j -k ismeretleek: k + + k + + + + k = =
Mit evezük ihomogé lieáris egyletredszerek? Az lái egyeletredszert, hol ij és i dott értékek és j -k ismeretleek, úgy, hogy i -k között v -tól külöözı: + + + = k + k + + k = k Háy megoldás lehet egy lieáris egyeletredszerek? Egy, egy sem, végtele sok Mire lklmztuk Crmer szályt? Lieáris egyeletredszerek megoldásár, h ugyyi egyelet v, háy ismeretle, és fıdetermiás em Mit mod ki Crmer szály? H ugyyi egyelet v egy lieáris egyeletredszere, háy ismeretle, és fıdetermiás em, kkor egy ismeretle értékét megkpjuk úgy, hogy hozzá trtozó determiást elosztjuk fıdetermiássl( redszer determiásávl) A fıdetermiás z egyelet l oldlá levı együtthtókól álló determiás Eıl egy ismeretlehez trtozó determiást úgy kpuk meg, hogy z ismeretleek megfelelı oszlopot z egyeletredszer jo oldlá álló oszloppl helyettesítjük Mit evezük mátrik? Elemek sor és m oszlop törtéı táláztos elhelyezését Mi mátri típus? ( m)-es mátri, h sor és m oszlop v Mikor modjuk, hogy két mátri egyelı? H zoos típusúk és megfelelı helyeke álló elemeik megegyezek Mit evezük ullmátrik(zérusmátrik)? Oly mátriot, melyek mide eleme Mit evezük égyzetes mátrik? Oly mátriot, melyek ugyyi sor és oszlop v Mit evezük sormátrik? Az egy soról álló mátriot sormátrik vgy sorvektork evezzük Mit evezük oszlopmátrik? Az egy oszlopól álló mátriot oszlopmátrik vgy oszlopvektork evezzük Mit evezük egységmátrik? Oly égyzetes mátriot, melyek fıátlójá mide elem -es, és töi eleme (Oly digoális mátriot, melyek fıátlójá mide elem -es) Mit evezük digoális mátrik? Oly égyzetes mátriot, melyek fıátlójá kívüli elemei ullák Hogy értelmezzük egy mátri trszpoáltját? A mátri megfelelı sorik és oszlopik felcserélésével keletkezett mátriot evezzük egy mátri trszpoáltják
Hogy értelmezzük egy mátri számszorosát (sklár szorosát)? A mátri mide elemét megszorozzuk számml(sklárrl) Hogy értelmezzük két mátri összegét(külöségét)? Csk zoos típusú mátriok összegét(külöségét) értelmezzük úgy, hogy megfelelı elemeket összedjuk(kivojuk egymásól) Hogy értelmezzük két mátri szorztát? Csk kkor értelmezzük, h z elsı téyezıek yi oszlop v háy sor másodikk Ekkor szorzt mátri i-edik sorák j-edik elemét úgy kpjuk meg, hogy z elsı téyezı i-edik sorák és második téyezı j-edik oszlopák megfelelı elemeit összeszorozzuk, és ezeket összedjuk Igz -e, hogy mátri szorzás kommuttív? Nem Mit tud mátri szorzás sszocitívitásáról? H BC mátriok szorzt és z A és BC mátriok szorzt is értelmezve v, kkor A(BC) = (AB)C Mit tud mátri szorzás disztriutívitásáról? H B és C zoos típusú mátriok és z A(B+C) szorzt értelmezve v, kkor A(B+C) =AB+AC Milye A és B mátriok eseté igz, hogy AB és BA is értelmezve v? Amikor z elsıek yi oszlop v, mit háy sor másodikk és másodikk yi oszlop v, mit háy sor z elsıek Mikor evezzük z A és B mátriokt felcserélhetıek? H AB = BA KOMPLEX SZÁMOK Mit evezük komple szám lgeri lkják? z = + j, R és j = Mit evezük egy komple szám vlós és képzetes részéek? A z = + j lk z vlós rész és képzetes rész Mit evezük egy komple szám kojugáltják? A z = + j komple szám kojugáltj z = j Mit evezük egy komple szám szolút értékéek? A z = + j komple szám szolút értéke z + = Milye értékei lehetek j em egtív egész kitevıs htváyik? ; j; ; j Mit evezük egy komple szám trigoometrikus lkják? z = r(cosφ + jsiφ), hol r komple szám szolút értéke és φ z rgumetum 3
Mit evezük egy komple szám epoeciális lkják? z = re jφ, hol r komple szám szolút értéke és φ z rgumetum (Eze lk mtemtiká φ csk ívmértéke dhtó meg!) Hogy kell két lgeri lkú komple számot összedi? A vlós részeket és képzetes részeket is összedjuk ( + z = ( + j) + ( + j) = + ) + ( )j Hogy kell két lgeri lkú komple számot kivoi egymásól? A vlós részeket és képzetes részeket is kivojuk egymásól ( z z = ( + j) ( + j) = ( ) + ( )j ) Hogy kell két lgeri lkú komple számot összeszorozi? z = ( + j)( + j) = ( ) + ( )j z + Hogy kell két lgeri lkú komple számot eloszti egymássl? A számlálót és evezıt is megszorozzuk evezı kojugáltjávl z = + j + j j + = = + + + + + j z j j j Hogy kell két trigoometrikus lkú komple számot összeszorozi? Az szolút értékeket összeszorozzuk, és z rgumetumokt összedjuk, z = r (cos ϕ + jsi ϕ ) r (cos ϕ + jsi ϕ ) = r r cos( ϕ + ϕ ) + jsi( ϕ z ( + ) ( ( )( ) ( + ))) z ϕ Hogy kell két trigoometrikus lkú komple számot eloszti egymássl? Az osztdó szolút értékét elosztjuk z osztó szolút értékével és z osztdó rgumetumáól kivojuk z osztó rgumetumát z r (cosϕ + jsi ϕ) r = = ( cos( ϕ ϕ ) + jsi( ϕ ϕ )) z r (cosϕ + jsi ϕ ) r Hogy kell egy trigoometrikus lkú komple számot pozitív egész kitevıs htváyr emeli? Az szolút értéket htváyozzuk, és z rgumetumot szorozzuk htváykitevıvel z = r(cosϕ + jsi ϕ), z = r cos(ϕ) + jsi(ϕ) ( ( )) Hogy kell egy trigoometrikus lkú komple számól (pozitív egész kitevıs) gyököt voi? o o ϕ + k 36 ϕ + k 36 H z = r(cos ϕ + jsi ϕ), z = r cos + jsi k =,,, Hogy kell két epoeciális lkú komple számot összeszorozi? Az szolút értékeket összeszorozzuk, és z rgumetumokt összedjuk jϕ jϕ e j( +ϕ ) z z = (r e )(r e ) = r r ϕ ( ) Hogy kell két epoeciális lkú komple számot eloszti egymássl? Az osztdó szolút értékét elosztjuk z osztó szolút értékével, és z osztdó rgumetumáól kivojuk z osztó rgumetumát jϕ z re r j( ϕ ϕ ) = = e jϕ z re r Hogy kell egy epoeciális lkú komple számot pozitív egész kitevıs htváyr emeli? Az szolút értéket htváyozzuk, és z rgumetumot szorozzuk htváykitevıvel jϕ ϕ z = re, z = r e j ( ) 4
VEKTORGEOMETRIA Mit evezük vektork? Oly meyiséget, melyek iráy és gyság v Mit evezük egységvektork? Oly vektort, melyek gyság Mit evezük ull vektork? Oly vektort, melyek gyság és z iráy tetszıleges Mit evezük egy vektor elletettjéek? Oly vektort, melyek gyság ugyz, mit vektor gyság és z iráy vele elletétes Milye tuljdoságokkl redelkezek z i, j, k ázisvektorok? Párokét egymásr merıleges, z dott sorrede josodrású redszert lkotó egységvektorok Hogy értelmezzük egy vektor számszorosát (sklárszorosát)? H λ >, kkor λ = λ és λ egyiráyú -vl = H λ <, kkor λ = (-λ) (-), hol - z elletettje Hogy értelmezzük két vektor összegét? Hogy értelmezzük két vektor külöségét? = + ( ) Hogy értelmezzük két vektor skláris szorztát? = cosϕ, hol ϕ z és vektor hjlásszögét jelöli Milye kpcsolt v két vektor hjlásszöge és skláris szorztuk elıjele között? Két vektor skláris szorzt kkor és csk kkor pozitív, h két vektor hegyesszöget zár e egymássl Két vektor skláris szorzt kkor és csk kkor, h két vektor derékszöget zár e egymássl Két vektor skláris szorzt kkor és csk kkor egtív, h két vektor tompszöget zár e egymássl Hogy értelmezzük két vektor vektoriális szorztát? Oly vektor, melyek ) Ngyság: = siϕ, hol ϕ két vektor hjlásszöge ) Iráy: z -r és -re is merıleges c) Az, és vektorok (ee sorrede) josodrású redszert lkotk Mi egy geometrii jeletése -ek (hol z és vektorok vektoriális szorzták szolútértéke)? Megdj z és vektorok áltl kifeszített prlelogrmm terültét Igz-e, hogy skláris szorzás kommuttív? Igz 5
Igz-e, hogy skláris szorzás sszocitív? Nem Igz-e, hogy skláris szorzás disztriutív? Igz Igz-e, hogy vektoriális szorzás kommuttív? Nem Igz-e, hogy vektoriális szorzás sszocitív? Nem Igz-e, hogy vektoriális szorzás disztriutív? Igz Milye kpcsolt v és között? Elletetteik egymásk! Írj fel egy vektor ázisvektoros lkját! = i + j+ 3 k Mit evezük egy vektor koordiátáik? Az = i + j+ 3 k felotás z,, 3, számokt Hogy kpjuk meg egy vektor koordiátáiól egy sklárszorosák koordiátáit? Midegyik koordiátát megszorozzuk sklárrl Hogy kpjuk meg két vektor összegéek(külöségéek) koordiátáit két vektor koordiátáiól? A megfelelı koordiátákt összedjuk(kivojuk) Hogy kpjuk meg két vektor skláris szorztát két vektor koordiátáiól? A megfelelı koordiátákt összeszorozzuk, és ezeket összedjuk Hogy kpjuk meg két vektor vektoriáris szorztát két vektor koordiátáiól? i j k = 3 3 Mit evezük egy egyees egy iráyvektorák? Oly vektortól külöözı vektort, mi párhuzmos z egyeessel Mit evezük sík egy ormálvektorák? Oly vektortól külöözı vektor, mely merıleges síkr Hogy kpjuk meg egy vektor szolút értékét vektor koordiátáiól? A koordiáták égyzetösszegéıl égyzetgyököt vouk Írj fel sík egyeletét? A( ) + B( y y ) + C( z z ) = hol (A; B; C) sík egy ormálvektor és P o ( o ; y o ; z o ) sík egy potj 6
Írj fel z egyees egyeletét(prméteres egyeletredszerét)? = + v t y = y + v t z = z + v3t hol v (; ; c) z egyees egy iráyvektor és P o ( o ; y o ; z o ) z egyees egy potj SZÁMSOROZATOK Mit értük számsorozt ltt? Mide pozitív egész számhoz hozzáredelük egy egy vlós számot Mikor modjuk, hogy egy számsorozt felülrıl korlátos? H v oly vlós szám, melyél számsorozt mide tgj kise Mikor modjuk, hogy egy számsorozt lulról korlátos? H v oly vlós szám, melyél számsorozt mide tgj gyo Mikor modjuk, hogy egy számsorozt korlátos? H felülrıl és lulról is korlátos Mikor modjuk, hogy egy számsorozt övekvı? Az ( ) számsorozt övekvı, h ármely eseté + Mikor modjuk, hogy egy számsorozt csökkeı? Az ( ) számsorozt csökkeı, h ármely eseté + Mikor modjuk, hogy egy számsorozt szigorú övekvı? Az ( ) számsorozt övekvı, h ármely eseté < + Mikor modjuk, hogy egy számsorozt szigorú csökkeı? Az ( ) számsorozt csökkeı, h ármely eseté > + Mikor modjuk, hogy egy számsorozt htárértéke z szám? Egy számsorozt htárértéke, h ármely köryezeté kívül soroztk csk véges sok tgj v Mikor modjuk, hogy egy számsorozt htárértéke +? Egy számsorozt htárértéke +, h + ármely köryezeté kívül soroztk csk véges sok tgj v Mikor modjuk, hogy egy számsorozt htárértéke -? Egy számsorozt htárértéke -, h - ármely köryezeté kívül soroztk csk véges sok tgj v Mikor modjuk, hogy egy számsorozt koverges? H v véges htárértéke Mikor modjuk, hogy egy számsorozt diverges? H ics véges htárértéke Igz-e, hogy egy koverges számsorozt korlátos? Igz 7
Igz-e, hogy egy korlátos számsorozt koverges? Nem Adjo meg oly korlátos számsoroztot, mely em koverges! Pl = ( ) Lehet-e egyél tö htárértéke egy számsoroztk? Nem A q milye értékeire koverges (q ) számsorozt, és ekkor meyi htárértéke? H < q Ekkor: lim q =, h < q <, és lim = FÜGGVÉNYEK Mit értük függvéy ltt? Legye A és B két em üres hlmz, ekkor z A- értelmezett és B -eli értékeket felvevı függvéy z A hlmz egyértelmő leképzése B hlmz (Az A hlmzt függvéy értelmezési trtomáyák, B hlmzt függvéy képhlmzák evezzük) Mit evezük egy függvéy értékkészletéek? Az f: A B függvéy értékkészlete z f() A értékek hlmz Mit evezük egy függvéy iverzéek? Az f: A B függvéyek csk kkor v iverze, h f kölcsööse egyértelmő leképezés z f értelmezési trtomáy és értékkészlete között Ekkor függvéy iverze z függvéy, melyek értelmezési trtomáy z f értékkészlete, értékkészlete z f értelmezési trtomáy és z f -gyel jelölt hozzáredelési szályár z f értelmezési trtomáyák ármely eleme eseté teljesül, hogy f (f ( )) = Mit értük két függvéyıl összetett függvéy ltt? Az f g összetett függvéye zt függvéyt értjük, melyek értelmezési trtomáy g értelmezési trtomáyák zo része, hol g oly értékeket vesz fel, melyeke z f függvéy értelmezve v és hozzáredelési szály következı: helye z összetett függvéy értéke z f függvéyek g( ) helye felvett értéke (Az f függvéyt külsı, g függvéyt elsı függvéyek evezzük) Mit értük egyváltozós vlós függvéy ltt? H vlós számok egy részhlmzák mide eleméhez hozzáredelük egy-egy vlós számot Mi kpcsolt z egyváltozós vlós függvéy és iverzéek grfikoj között? A függvéy iverz függvéyéek grfikoj z eredeti függvéy grfikoják z y = egyeesre votkozó tükörképe Defiiálj és árázolj sh függvéyt! (sziusz hiperolikusz ) e e sh = 8
(Értelmezési trtomáy és értékkészlete is vlós számok hlmz Pártl, szigorú övekedı, folytoos függvéy) Defiiálj és árázolj ch függvéyt! (kosziusz hiperolikusz ) e + e ch = (Értelmezési trtomáy vlós számok hlmz, értékkészlete z[ ; [ itervllum Páros és folytoos) Defiiálj és árázolj th függgvéyt! (tges hiperolikusz ) sh th = ch (Értelmezési trtomáy vlós számok hlmz, értékkészlete ] ; [ szigorú övekedı és folytoos) - itervllum Pártl, Defiiálj és árázolj z rcsi függvéyt! π π Az si ; függvéy iverze (árkusz sziusz ) π - (Értelmezési trtomáy: [-, ] itervllum A függvéy értékkészlete [-π/;π/] itervllum Mivel z si függvéy [-π/;π/] itervllumo pártl, folytoos és szigorú övekedı, ezért z rcsi függvéy [-, ] itervllumo szité folytoos és szigorú övekedı Hozzáredelési törvéy: rcsi zt -π/ és π/ közötti szöget jeleti (ívmértéke), melyre si(rc si ) = ) π Defiiálj és árázolj z rccos függvéyt! Az cos ; π függvéy iverze [ ] π (árkusz kosziusz ) π (Értelmezési trtomáy: [-, ] itervllum A függvéy értékkészlete [; π] itervllum Mivel z cos függvéy [; π] itervllumo folytoos és szigorú csökkeı, ezért z rccos függvéy [-, ] itervllumo szité folytoos és szigorú csökkeı Hozzáredelési törvéy: rccos zt és π közötti szöget jeleti (ívmértéke), melyre cos(rccos ) = ) - 9
Defiiálj és árázolj z rctg függvéyt! π π Az tg ; függvéy iverze π (árkusz tges ) π (Értelmezési trtomáy vlós számok hlmz A függvéy értékkészlete ]-π/;π/[ itervllum Mivel z tg függvéy ]-π/;π/[ itervllumo pártl, folytoos és szigorú mooto övekedı, ezért z rctg függvéy ] ; [ itervllumo szité pártl, folytoos és szigorú mooto övekedı függvéy Hozzáredelési törvéye: rctg zt -π/ és π/ közötti szöget jeleti (ívmértéke), melyre tg(rctg ) = ) Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy korlátos egy itervllumo? H megdhtók oly k és K vlós számok, hogy z itervllum lévı ármely -re: k < f () < K Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy lulról korlátos egy itervllumo? H megdhtó oly k vlós szám, hogy z itervllum lévı ármely -re: k < f () Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy felülrıl korlátos egy itervllumo? H megdhtó oly K szám vlós szám, hogy z itervllum lévı ármely -re: f () < K Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy páros? H értelmezési trtomáy szimmetrikus -r és D f eseté f ( ) = f () Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy pártl? H értelmezési trtomáy szimmetrikus -r és D f eseté f ( ) = f () Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy periodikus? H tlálhtó oly p > vlós szám, hogy h D f, kkor ±p D f és f () = f (+p) Mit evezük egy egyváltozós periodikus vlós függvéy periódusák? H v periodicitás defiíciójá szereplı p > vlós számok között legkise, kkor ez periódus Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy egy itervllumo kove? H z itervllum grfikoják ármely két potját összekötı húr ltt vgy mgá húro vk grfiko megfelelı potji Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy egy itervllumo kokáv? H z itervllum grfikoják ármely két potját összekötı húr felett vgy mgá húro vk grfiko megfelelı potji Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéyek z - ifleiós potj v? H v z -k oly köryezete, melye f értelmezve v és ee köryezete z elıtt kove és utá kokáv vgy z elıtt kokáv és utá kove
Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy mooto csökke egy itervllumo? H z itervllum ármely két oly potjár, melyre <, z f() f( ) reláció teljesül Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy mooto ı egy itervllumo? H z itervllum ármely két oly potjár, melyre <, z f() f( ) reláció teljesül Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy szigorú mooto csökke egy itervllumo? H z itervllum ármely két oly potjár, melyre <, z f( ) > f( ) reláció teljesül Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy szigorú mooto ı egy dott itervllumo? H z itervllum ármely két oly potjár, melyre <, z f( ) < f( ) reláció teljesül Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéyek z - helyi(lokális) miimum v? H v z -k oly köryezete, melye f értelmezve v és ee köryezete z f( ) legkise függvéyérték Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéyek z - helyi(lokális) mimum v? H v z -k oly köryezete, melye f értelmezve v és ee köryezete z f( ) leggyo függvéyérték Jellemezze z f() = ( R, >, ) függvéyt mootoitás szempotjáól! H >, szigorú mooto övekvı függvéy H < <, szigorú csökkeı függvéy Jellemezze z f() = log ( R, >, ) függvéyt mootoitás szempotjáól! A függvéy > esetée szigorú övekedı, míg < < eseté szigorú mooto csökkeı Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke z = helye A? H f értelmezve v z = pot vlmely köryezetée esetleg z -t kivéve és ármely soroztr megfelelı függvéyértékek {f( )} sorozt A-hoz kovergál Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke = helye +? H f értelmezve v z = pot vlmely köryezetée esetleg z -t kivéve és mide oly { } soroztr, mely z -hoz trt, z f( ) függvéyértékek sorozt + -hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke = helye -? H f értelmezve v z = pot vlmely köryezetée esetleg z -t kivéve és mide oly { } soroztr, mely z -hoz trt, z f( ) függvéyértékek sorozt - -hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke (+ )-e A? H f értelmezve v + vlmely köryezetée és mide oly { } soroztr, mely (+ )-hez trt, z f( ) függvéyértékek sorozt A-hoz trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke (+ )-e +? H f értelmezve v + vlmely köryezetée és mide oly { } soroztr, mely (+ )-hez trt, z f( ) függvéyértékek sorozt (+ )-hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke (+ )-e -? H f értelmezve v + vlmely köryezetée és mide oly { } soroztr, mely (+ )-hez trt, z f( ) függvéyértékek sorozt (- )-hez trt
Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke (- )-e A? H f értelmezve v - vlmely köryezetée és mide oly { } soroztr, mely (- )-hez trt, z f( ) függvéyértékek sorozt A-hoz trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke (- )-e +? H f értelmezve v - vlmely köryezetée és mide oly { } soroztr, mely (- )-hez trt, z f( ) függvéyértékek sorozt (+ )-hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy htárértéke (- )-e -? H f értelmezve v - vlmely köryezetée és mide oly { } soroztr, mely (- )-hez trt, z f( ) függvéyértékek sorozt (- )-hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy jooldli htárértéke z = helye A? H f értelmezve v z = vlmely jo félköryezetée és ármely és > soroztr z {f( )} függvéyértékek sorozt A-hoz kovergál Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy jooldli htárértéke z = helye +? H f értelmezve v z = vlmely jo félköryezetée és ármely és > soroztr z {f( )} függvéyértékek sorozt (+ )-hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy jooldli htárértéke z = helye -? H f értelmezve v z = vlmely jo félköryezetée és ármely és > soroztr z {f( )} függvéyértékek sorozt (- )-hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy loldli htárértéke z = helye A? H f értelmezve v z = vlmely l félköryezetée és ármely és < soroztr z {f( )} függvéyértékek sorozt A-hoz kovergál Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy loldli htárértéke z = helye +? H f értelmezve v z = vlmely l félköryezetée és ármely és < soroztr z {f( )} függvéyértékek sorozt (+ )-hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy loldli htárértéke z = helye -? H f értelmezve v z = vlmely l félköryezetée és ármely és < soroztr z {f( )} függvéyértékek sorozt (- )-hez trt Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy folytoos z = helye? H f értelmezve v - és limf () = f () Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy lról folytoos z = helye? H f értelmezve v - és lim f () = f () Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy joról folytoos z = helye? H f értelmezve v - és lim f () = f () + Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy folytoos z ];[ itervllum? H z ];[ mide potjá folytoos Mikor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéy folytoos z [;] itervllum? H z ];[ mide potjá folytoos és - joról, -e lról folytoos
Mit evezük kétváltozós vlós függvéyek? Oly függvéyt, melyek z értelmezési trtomáy sík potjik egy részhlmz és képhlmz vlós számok hlmz Mikor modjuk, hogy egy kétváltozós vlós függvéy z értelmezési trtomáyák egy A részhlmzá felülról korlátos? H v oly K vlós szám, hogy z A hlmz mide potjá függvéy értéke K-ál kise Mikor modjuk, hogy egy kétváltozós vlós függvéy z értelmezési trtomáyák egy A részhlmzá lulrólról korlátos? H v oly k vlós szám, hogy z A hlmz mide potjá függvéy értéke k-ál gyo Mikor modjuk, hogy egy kétváltozós vlós függvéy z értelmezési trtomáyák egy A részhlmzá korlátos? H z A hlmzo felülrıl és lulról is korlátos Mikor modjuk, hogy egy kétváltozós vlós függvéy z értelmezési trtomáyák egy ( ;y ) potjá folytoos? H ármely ε > eseté megdhtó oly δ >, hogy f (;y) f ( ;y ) < ε, h < ( ) + (y y < δ ) DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Defiiálj differeci- és differeciálháydos foglmát! Legye z f függvéy z pot vlmely köryezetée értelmezve, és legye oly eleme eek köryezetek, melyre f () f ( ) Ekkor z függvéyt z pothoz trtozó differeciháydos-függvéyéek evezzük A differeciálháydos differeciháydos-függvéy htárértéke z helye Mikor differeciálhtó egy egyváltozós vlós függvéy z helye? H függvéy poteli differeciháydos-függvéyéek htárértéke z helye véges Írj le z egyváltozós vlós függvéy deriváltfüggvéyéek defiícióját! Azt függvéyt, melyek értelmezési trtomáy zo potok hlmz, hol f differeciálhtó, és melyek értéke egy ilye pot f (), z f függvéy differeciálháydos-függvéyéek vgy derivált-függvéyéek (rövide deriváltják) evezzük Milye kpcsolt v egy függvéy dott helye vló folytoosság és differeciálhtóság között? Az helye folytoos függvéy em feltétleül differeciálhtó szó forgó helye Az helye differeciálhtó függvéy z dott helye folytoos Írj le szorzt függvéy deriválási szályát! ( f g) = f g + f g Írj le háydosfüggvéy deriválási szályát! f f g f g = g g 3
Írj le z összetett-függvéy deriválási szályát! f (g()) = f (g()) g ( [ ] ) Értelmezze egy egyváltozós vlós függvéy második differeciálháydosát! H z f és z f függvéyek differeciálhtók z pot, kkor z f helye vett differeciálháydosát z f függvéyek z helye vett második differeciálháydosák (deriváltják) evezzük Értelmezze egy egyváltozós vlós függvéy -ik ( N) deriváltfüggvéyét! f ( ) () () () ( ) = f, f = f, f = (f ),, f = (f ) Mit evezük egy egyváltozós vlós függvéy egy stcioárius potják? Az f stcioárius potj, h f differeciálhtó z vlmely köryezetée és f ( ) = Differeciálháydosok segítségével djo egy szükséges feltételt egy egyváltozós vlós függvéy helyi(lokális) szélsıértékéek létezésére! Legye z f függvéy differeciálhtó z vlmely köryezetée és f ( ) = Differeciálháydosok segítségével djo egy elégséges feltételt egy egyváltozós vlós függvéy helyi(lokális) miimumák létezésére! H z f függvéy differeciálhtó z vlmely köryezetée és f ( ) =, kkor hhoz, hogy függvéyek z helye lokális miimum legye elegedı, hogy z f függvéy z helye ( )-ól (+)- elıjelet váltso (H z helye -szer differeciálhtó f függvéy deriváltjir igz z, hogy: ( ) () f ( ) = f ( ) = f ( ) = = f ( ) =, és f ( ) > és > páros szám, kkor z f függvéyek z helye helyi miimum v) Differeciálháydosok segítségével djo egy elégséges feltételt egy egyváltozós vlós függvéy helyi(lokális) mimumák létezésére! H z f függvéy differeciálhtó z vlmely köryezetée és f ( ) =, kkor hhoz, hogy függvéyek z helye lokális mimum legye elegedı, hogy z f függvéy z helye (+)-ól ( )- elıjelet váltso (H z helye -szer differeciálhtó f függvéy deriváltjir igz z, hogy: ( ) () ( ) = f ( ) = f ( ) = = f ( ) =, és f ( ) < és páros szám, kkor z f f > függvéyek z helye helyi mimum v) Differeciálháydosok segítségével djo egy szükséges feltételt egy egyváltozós vlós függvéy ifleiós potják létezésére! Legye f z hely vlmely köryezetée kétszer differeciálhtó, és f ( ) = Differeciálháydosok segítségével djo egy elégséges feltételt egy egyváltozós vlós függvéy ifleiós potják létezésére! H f z hely vlmely köryezetée kétszer differeciálhtó, és f ( ) =, vlmit z f függvéy z helye elıjelet vált, kkor f-ek z helye ifleiós potj v (H z helye -szer differeciálhtó f függvéy deriváltjir igz z, hogy: ( ) () ( ) = f ( ) = f ( ) = = f ( ) =, és f ( ) és pártl szám, kkor z f f > függvéyek z helye ifleiós potj v) 4
Ismertesse z L'Hospitl szályt! Legye véges érték vgy + és - szimólumok vlmelyike Tegyük fel, hogy z f és g függvéyek z hely vlmely köryezetée (esetleg csk féloldli) deriválhtók, melyekre f() = g() = vgy lim f () és lim g() htárértékek midegyike + és - vlmelyike Tegyük fel továá, hogy lim (f '() / g'()) htárérték létezik és g'() z = egy köryezetée (esetleg csk féloldli) Ekkor lim (f ()/g()) is létezik és lim (f ()/g()) = lim (f '() / g'()) Ismertesse teljes függvéyvizsgált legfotos lépéseit! Értelmezési trtomáy (Képlettel megdott függvéyek eseté képlet értelmezési trtomáyák meghtározás) Htárértékek (H z értelmezési trtomáy véges sok diszjukt itervllum egyesítése, kkor ezek végpotji kell htárértékeket számoli) 3 Tegelymetszetek 4 Pritás 5 Periodicitás 6 Folytoosság 7 Mootoitás, helyi szélsıértékek (A függvéy elsı deriváltják felírás, eıl stcioárius potok meghtározás, mjd derivált elıjeléek vizsgált) 8 Koveitás, kokávitás, ifleiós potok (A függvéy második deriváltják felírás, eıl z ifleiós potok meghtározás, mjd második derivált elıjeléek vizsgált) 9 A függvéy gráfják vázltos árázolás Értékkészlet Mi z = helye differeciálhtó egyváltozós vlós függvéy differeciálj? df = f ()( ) = Tegyük fel, hogy z f(;y) kétváltozós függvéy értelmezve v z ( ;y ) egy köryzetée Mikor modjuk, hogy z f(;y) -szeriti prciális differeciálhtó z ( ;y ) pot? H () = f (; y ) egyváltozós függvéy differeciálhtó z - g Tegyük fel, hogy z f(;y) kétváltozós függvéy értelmezve v z ( ;y ) egy köryzetée Mikor modjuk, hogy z f(;y) y-szeriti prciális differeciálhtó z ( ;y ) pot? A (y) = f ( ; y) egyváltozós függvéy differeciálhtó z y - h Tegyük fel, hogy z f(;y) kétváltozós függvéy értelmezve v z ( ;y ) egy köryzetée Mit evezük z f(;y) -szeriti prciális differeciálháydosák z ( ;y ) pot? A () = f (; y ) egyváltozós függvéy differeciálháydosát z - g Tegyük fel, hogy z f(;y) kétváltozós függvéy értelmezve v z ( ;y ) egy köryzetée Mit evezük z f(;y) y-szeriti prciális differeciálháydosák z ( ;y ) pot? A (y) = f ( ; y) egyváltozós függvéy differeciálháydosát z y - h Hogy írhtó fel egy f(; y) kétváltozós függvéy α szögő iráymeti deriváltj z ( o ; y o ) pot? df f = A cos α + Bsi α, hol A =, f B = dα = y y = y Hogy értelmezzük egy f(; y) kétváltozós függvéy teljes differeciálját? f f df = d + dy y 5
Mit mod ki egy f(; y) kétváltozós függvéyrıl véges övekméyek tétele? f f f d + dy y Hogy írhtó fel egy f(; y) kétváltozós függvéyel dott felületek z ( o ; y o ) pothoz trtozó éritısíkják z egyelete? A ( ) + B(y y ) (z z ) =, hol A f = =, f B = y és z f ( ; y ) y = y = Mit evezük z f(;y) kétváltozós függéy tiszt másodredú prciális deriváltjik? Az f (;y) -szeriti és z f y (; y) y-szeriti prciális deriváltját, zz z f (; y) és f yy (; y) másodredő prciális deriváltkt Mit evezük z f(;y) kétváltozós függéy vegyes másodredú prciális deriváltjik? Az f (; y) y-szeriti és z f y (; y) -szeriti prciális deriváltját, zz z f y (; y) és f y (; y) másodredő prciális deriváltkt Mit modhtuk egy kétváltozós vlós függvéy vegyes másodredő prciális deriváltjiról? Áltlá egyelık (H másodredő prciális deriváltk folytoosk, kkor vegyes másodredő prciális deriváltk egyelıek) INTEGRÁLSZÁMÍTÁS (htároztl itegrálok) Mit evezük egy itervllumo értelmezett f () függvéy egy primitív függvéyéek? H létezik oly F függvéy, mely z I itervllumo differeciálhtó és mide I-re F () = f (), kkor z F függvéyt z f függvéy I itervllumhoz trtozó primitív függvéyéek evezzük Milye kpcsolt v egy itervllumo értelmezett f () függvéy primitív függvéyei között? Egy itervllumo értelmezett függvéy primitív függvéyei csk egy dditív kosts külöözek (Bármely kettı külösége álldó) Értelmezze z f() függvéy htároztl itegrálját! Az f függvéy primitív függvéyeiek hlmzát z f függvéy htároztl itegrálják evezzük, ( f ()d = F() + C, hol F () = f () és C kosts) Mivel egyelı: * kérdés félkövér ető válsz z egyelıség utá ormál etővel! ( ) d = c f ( ) c f d hol c álldó ( f ( ) g( ) ) d = f ( ) d + g( ) + d Mivel egyelı ƒ(+) d, hol? F( + ) f ( + )d = + C, hol F () = f () 6
Mivel egyelı (f() α ƒ'() d (α -)? α+ α [ ] [ f ()] f () f () d = + C α + Mivel egyelı ƒ'()/f() d? f () d = l f () + C f () Mivel egyelı f(g()) g'() d? f (g()) g'() d = F(g())+C, hol F () = f () Írj fel prciális itegrálás képletét htároztl itegrálr! f'( ) g() d = f() g() - f( ) g' () d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS (htározott itegrálok) Mit evezük z [;] itervllum egy dott felosztásához trtozó itegrál közelítı összegéek? H < < < < = és c i,,,, kkor z itegrálközelítı összeg: = i i i = f ( ci ) ( i i ) i= Mikor modjuk, hogy egy itervllum egy F felosztássorozt mide htáro túl fiomodó? H eseté z F ármely részitervllumák hossz -hoz trt Mikor modjuk, hogy [;] itervllumo korlátos f() függvéy, z [;]- (Riem) itegrálhtó? H itegrál közelítı összegeiek ármely mide htáro túl fiomodó felosztás sorozt eseté ugyz véges htárértéke v Mit evezük egy függvéy htározott itegrálják? Az itegrál közelítı összegeiek közös htárértékét Modjo elégséges feltételt rr, hogy egy z [;]-e korlátos függvéy itt itegrálhtó legye? Legye itt folytoos, vgy Legye itt véges sok pottól eltekitve folytoos, vgy Legye itt mooto függvéy Mivel egyelı: * kérdés félkövér ető válsz pedig mellette ormál etővel! ( ) d = c f ( ) c f d hol c álldó ( f ( ) + g( ) ) d = f ( ) d + g( ) c f f d ( ) d + f ( ) d = ( ) d hol < c < c 7
Modjo egy geometrii jeletését z [;]-e itegrálhtó és itt em egtív f függvéy htározott itegrálják! Megdj z itervllum függvéy grfikoj és z tegely közti területet Mit mod ki Newto-Leiiz tétel? H f itegrálhtó [;]-e, s itt v primitív függvéye, mi F, kkor: f ( ) d = F( ) F( ) 8