ANALÍZIS III. ÉELEK ÉS EFINÍCIÓK KIMONÁSA (LEHESÉGES BEUGRÓ KÉRÉSEK) KÉSZÍEE: Pty Adrá Lázló
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) trlomjegyzé ARALOMJEGYZÉK HAÁROZALAN INEGRÁL... F z egy prmtív v-e... htároztl tegrálj... Lertá... Prcál tegrálá... Helyetteítéel vló tegrálá... HAÁROZO INEGRÁL... m I é M I... Feloztá ([,] tervllum egy eloztá τ), oztópot... eloztá omág... ozcllácój (gdozá) I-... Aló/elő özelítő özeg... Ozcllácó özeg... Feloztá omítá... Aló/elő özelítő özege özött özeüggé... Aló é elő özelítő özege özött özeüggé... K Ozcllácó özege özött özeüggé... roux-éle ló/elő tegrál... roux-éle ló é elő tegrál özött özeüggé... v. Rem-tegrálhtó... v. Rem (/Htározott) tegrálj... Evvle állítá Rem-tegrálhtóágr... Függvéy é Rem-tegrálhtóág özött pcolt... Itegrál moototá, v. zolútértéée tegrálhtóág... Newto-Letz ormul... Itegrálhtó v.- özege... Homogetá tétel... Itegrálhtó v.- zorzt... Itegrálhtó v.- háydo... Mjdem zoo v.- tegrálhtóág... 3 A Rem tegrál tervllum zert ddtív... 3 Közelítő özeg... 3 Itegrál özelítő özege áltláoított htárértée z tegrál... 3 - eltűő tergálv... 3 Itegrálv. olytooág... 3 Helyetteítéel vló tegrálá tétele... 3 Prcál tegrálá tétele... 3 Gro írt töröttvol hoz... 4 gr ívhoz... 4 Ívhoz éplet... 4 erület... 4 Forgátet térogt... 4 Forgátet elzíe... 4 ylor-ormul tegrál mrdél... 4 Impropu tegrál... 4 MERIKUS EREK... 5 Euldez távolág... 5 Euldez orm... 5
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) trlomjegyzé Norm tuljdoág... 5 Euldez lár zorzt... 5 Slár zorzt tuljdoág... 5 p-metr... 5 p-orm... 6 Metr, távolág... 6 Metru tér... 6 zrét metru tér... 6 Norm... 6 Normált tér... 6 Slár zorzá... 6 Euldez tér... 6 Evvle metrá... 6 Köryezet... 6 Pot típuo... 6. Belő pot... 6. orlódá pot... 6 3. Izolált pot... 6 Nyílt hlmz... 6 Metru tér topológáj... 6 Nyílt hlmzo metzete é uój... 7 opologu tér... 7 Zárt hlmz... 7 Zárt hlmzo metzete é uój... 7 A hlmz eleje... 7 A hlmz lezárá... 7 Özeüggő hlmz... 7 Özeüggő hlmz olytoo épe özeüggő... 7 Bolzo-tétel áltláoítá... 7 KONVERGENCIA, HAÁRÉRÉK, FOLYONOSSÁG... 7 Kovergec... 7 Evvle átoglmzáo overgecár... 7 Az x -ed oordátorozt... 7 Vetororozt overgecáj... 8 Egyeletee overge, htárv.... 8 Folymtoág é egyelete overgec pcolt... 8 Zárt hlmz é overgec pcolt... 8 A ompt hlmz... 8 Cuchy-orozt... 8 Kovergec é Cuchy-orozt pcolt... 8 elje metru tér... 8 Bch-tér... 8 Hlert-tér... 8 Fxpot-tétel... 8 Fv.- htárértée... 8 Fv.- olytooág... 9 Weertr-tétel... 9 Hee-tétel... 9 Ivertálhtó olytoo v. verze olytoo...9 Átvtel elv... 9
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) trlomjegyzé ERIVÁLHAÓSÁG... 9 erválhtóág... 9 A dervált egyértelmű... 9 Jco mátrx... 9 ervált, értővetor, grde... 9 Jco mátrx zámítá... 9 Iráy met dervált... 9 erválhtóág é ráy met dervált pcolt... 0 Prcál dervált... 0 Grde zámolá... 0 K Jco mátrx prcál derváltl... 0 Kétzer derecálhtó v.... 0 Máodredű prcál dervált... 0 Youg-tétel... 0 -zer derecálhtó v.... 0 Youg-tétel terjeztée... 0 Multdex, multdex hoz, torál... 0 -hoz trtozó -ed redű ylor-polom... 0 Prcál derecál é derecál pcolt... Az egyváltozó Lgrge-tétel terjeztée... L Özetett v. derválá zály... ylor-ormul Lgrge-mrdél... ylor-ormul Peo-mrdél... Iverz v. derecálhtóág... KVARAIKUS ALAKOK, LOKÁLIS MINIMUM ÉS MAXIMUM... Kvdrtu lo... A vdrtu l olytoo... poztív/egtív (zem)det... Sylveter rtérum... Loál mmum/mxmum... Elő redű züége eltétel... Máod redű elégége eltétel... Máod redű züége eltétel... LINEÁRIS LEKÉPZÉSEK, FRECHE ERIVÁL... Leár leépzé... Korláto leár operátor... elje metru tér é orláto leár operátoro hlmz özött özeüggé... 3 Folytooág é orláto leár operátor pcolt... 3 Frechet-dervált... 3 Mátrx orm... 3 EGYÉB... 4 A π evezetée... 4 Perodu v... 4 A prmétere tegrál... 4 A prmétere tegrál olytooág é derecálhtóág... 4 3
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) HAÁROZALAN INEGRÁL I R F z egy prmtív v-e h: : I R F: I R F F' = htároztl tegrálj : = { F: I R : F prmtív v.-e -e} F : = F + C : C R { } Lertá, g: I R, g λ R : + λg = + λ g Prcál tegrálá, g: I R, g ' g g' = g ' g Helyetteítéel vló tegrálá J R tervllum g: J I, : I R,, g gg' = g M előző tétel é g jecó : é = ( ') g I J gg g HAÁROZO INEGRÁL < < < + :, R orláto v. mi é MI I, m : = x : x I { } { } I M : = up x : x I I Feloztá ([,] tervllum egy eloztá τ), oztópot τ, vége,, τ, τ = x,..., x x = < x <... < x = { } x - oztópoto eloztá omág δ τ = 0 { x x } : = mx + ozcllácój (gdozá) I- ( { }) ο : = M m = up x t : x, t I I I I Aló/elő özelítő özeg (, τ ): = ( ) m x x = 0 x, x+ (, τ ): = ( ) = 0 x, x+ + S M x x + 0 0 Ozcllácó özeg ω(, τ) : = S(, τ) (, τ) = o[ x, ]( x ) x x + + = 0 Feloztá omítá µ, τ eloztáo é µ τ Aló/elő özelítő özege özött özeüggé H τ µ eloztá omítá, µ, τ é S, τ S, µ
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) K Aló é elő özelítő özege özött özeüggé τ, µ eloztár:, µ S, τ Ozcllácó özege özött özeüggé µ τ eloztáo ω, τ ω, µ roux-éle ló/elő tegrál I : = up, τ : τ eloztá R * ( τ) * I S { } { τ } : =, : eloztá R roux-éle ló é elő tegrál özött özeüggé * I I * v. Rem-tegrálhtó * I* = I jel.: R, v. Rem (/Htározott) tegrálj * H R, = I = I Evvle állítá Rem-tegrálhtóágr R, ε > 0 : τ eloztá: ω, τ < ε * Függvéy é Rem-tegrálhtóág özött pcolt. C, R, R R[ ]. :, : mooto, Itegrál moototá, v. zolútértéée tegrálhtóág., g R,, g g. R, R, é = Newto-Letz ormul [, ], : R F = F F Itegrálhtó v.- özege, g R, + g R, é + g = + g Homogetá tétel R R,, λ λ R, é λ = λ Itegrálhtó v.- zorzt, g R, g R, Itegrálhtó v.- háydo, g R,, R > 0 /zz: m> 0 : x, : g x m / R, g g
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Mjdem zoo v.- tegrálhtóág, g:, R A: = x, : x g x { } H A vége. R, g R,. R, = g A Rem tegrál tervllum zert ddtív :, R, < c< g x : = x x c, h x : = x c x. R, g R, c é h R c, c. R, = g + h c Közelítő özeg (özülő tégllpo területée özege) :[, ] R, orláto, τ : = { x0,..., x} [, ] eloztá ˆ τ:= x, x... x, x, ζ:= ζ,..., ζ ˆ τ 0 0 ( ) = ( x x ) σ, τ, ζ : ζ özelítő özeg = 0 + Itegrál özelítő özege áltláoított htárértée z tegrál ( özelítő özege trt z tegrálhoz, h eloztá omág trt 0-hoz) :, R orláto, I R [, ] é 0: 0: : ˆ : (,, ) R = I ε > δ > τ δ < δ ζ τ σ τ ζ I < ε - eltűő tergálv. I R tervllum, : I R é αβ, I, R[ αβ, ], ll. x I F x : = x I F = 0 Itegrálv. olytooág. F C. x I C x F x F' x = x {} {} Helyetteítéel vló tegrálá tétele : I R, C, αβ, R α< β, g: αβ, I g C β ( β ) gg' = α g g ( α) Prcál tegrálá tétele, g,, ', g' R, ' g = g g g' τ 3
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Gro írt töröttvol hoz ( τ ) R ( ) { R } :, C gr = x, x : x { x0 x} [ ] l ( x+ x) ( ( x+ ) ( x) ) ( ζ) ( x+ x) τ : =,...,, = + = + ' l : = l = 0 gr ívhoz l: = upl τ R τ Ívhoz éplet ( ) l = + ' erület { } R 0 C, : = x, y : x,, y 0, x területe : = Forgátet térogt { } 3 R 0 C, V : = x, y, z : x,, y + z x V térogt : = π Forgátet elzíe { } 3 R 0 C, A: = x, y, z : x,, y + z = x A elzíe : = π + ' ylor-ormul tegrál mrdél I R yílt tervllum, : I R : C = 0 + ( ) x ( ) ( + ) () x, I : ( x) x = t x t dt!! Impropu tegrál [ ) R ( R) :, +, : R,, F : = + H lm F R : = lm F mpropru tegrál + + 4
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) MERIKUS EREK Euldez távolág, x: = x,..., x, y: = y,..., y K = : X j= ρ xy, : = y x ( xy) ( xy X) ( xy) = x= y ( xy X) ( xy) = ρ( yx) ( xy X) ( xy) ( xz) + ( zy) ( xyz X). ρ, 0,. ρ, 0, 3. ρ,,, j 4. ρ, ρ, ρ,,, Euldez orm = j ρ x : = x x X / x, y = x y x, y X / Norm tuljdoág xy, X, λ K. x 0. x = 0 x= 0 3. 4. λx = λ x x + y x + y Euldez lár zorzt = x, y X x, y : = x y / x = x, x x X / Slár zorzt tuljdoág x, yz, X, λ K. xy, K. xx, 0 3. xx, = 0 x= 0 4. x + yz, = xz, + yz, 5. λxy, = λ xy, 6. xy, = yx, p-metr ( ρ = ρ ) = p + x y X ρ p ( x y) = mx{ x y }, h p=+ =,,,, : / p p x y, h p<+ 5
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) p-orm ( = ) / p p x, h p< + = p +, x X, x : p = mx { x }, h p=+ = Metr, távolág X, ρ: X R-r gz z Euldez távolág tuljdoág ρ metr ρ ( xy, ) z xé z ytávolág ( xy, X) Metru tér ( X, ρ ) metru tér zrét metru tér 0, h x= y ( X, ρ), h ρ =, ülöe xy, X Norm X leár tér K elett, X x x R é teljeüle orm tuljdoág orm Normált tér X, ormált tér Slár zorzá Xleár tér K elett, X xy, xy, K é teljeüle lár zorzá tuljdoág, lár zorzá Euldez tér X,, Euldez tér Evvle metrá X, ρ, X, ρ metru tere ρ ρ h α, β > 0 : x, y X: αρ xy, ρ xy, βρ xy, Köryezet X, ρ metru tér, X, r > 0 : = x X : ρ x, < r r { } Pot típuo A X, α X. Belő pot: α elő potj - ( α t ), h α é ( α) : ( α). orlódá pot: α torlódá potj - ( α '), h ( α) : ( α) 3. Izolált pot: α zolált potj A-, h α A é ( α) : ( α) A= { α} Nyílt hlmz A X : z A yílt h A= vgy A: t A Metru tér topológáj Τ= : A X : A yílt z X, ρ mt. topológáj { } A A A A A A A = 6
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Nyílt hlmzo metzete é uój, X Τ, Γ : A Τ γ Γ A Τll. Γ < eeté A Τ γ γ γ γ Γ γ Γ opologu tér X hlmz, Τ X é z előző tétel teljeül X, Τ topologu tér Zárt hlmz X, ρ mt., A X zárt h X \ A Τ Zárt hlmzo metzete é uój, X zárt é h Γ : A zárt γ Γ A zárt ll. h Γ < A zárt γ γ γ γ Γ γ Γ A hlmz eleje A X,t A: = A hol A : γ Γ = B Τ: B A γ Γ γ { γ } { } A hlmz lezárá A: = B hol B : γ Γ = B X : B zárt é A B γ Γ γ { γ } { } Özeüggő hlmz X, ρ metrutér, A X em özeüggő, h: A, A X yílt : A A ( =,) é ( A A) ( A A) = A= ( A A) ( A A) özeüggő, h eltétele em teljeüle Özeüggő hlmz olytoo épe özeüggő m A K özeüggő, : A K, C R özeüggő Bolzo-tétel áltláoítá A K özeüggő, : A R, C:, A: < c, : x A: c= x KONVERGENCIA, HAÁRÉRÉK, FOLYONOSSÁG Kovergec x= x : X overge h: α X : ε > 0: N : > N : ρ x, α < ε (! α é lm x : = α) Evvle átoglmzáo overgecár. lm x= α lm ρ x, α = 0 ( ( )). lm x = α α : x α mjdem -re Az x -ed oordátorozt, X : = K, p + : ρ : = ρ K x: x :,,, () () ( ) x : K x = x,..., x p 7
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Vetororozt overgecáj x= x : K α = α,..., α K ( ) () () overge é lm α [, ]: overge é lm x x= x x = α Egyeletee overge, htárv. Z,, : Z R é ε > 0: N : > N : t Z : t t < ε z () ( ()) () () orozt egyeletee overgál -hez t Z : t = lm t htárv. Folymtoág é egyelete overgec pcolt < < < + X : = C, ρ: = ρ = : C,, C,, lm egyeletee overgál -hez Zárt hlmz é overgec pcolt X, ρ mt., A X zárt x A, x overge lm x A A ompt hlmz X, ρ mt., A X A= vgy x A : υ dexorozt, hogy xυ overge é lm xυ A A zárt é orláto ( zz α : A α ) Cuchy-orozt X, ρ mt., x X x Cuchy-orozt h: ε > 0: N :, m :, m> N : ρ x, x < ε Kovergec é Cuchy-orozt pcolt H overge x Cuchy-orozt x elje metru tér X, ρ mt. telje, h: x: X : x overge x Cuchy-orozt Bch-tér X, t. é ρ x, y : = x y x, y X é X, ρ telje Hlert-tér ( X ) x = x x ( x X) ( X ),, Euldez tér é :, é, Bch-tér Fxpot-tétel X, ρ telje mt., : X X é otrcó ( otrcó: 0 q< : x, y X : ρ( ( x), ( y) ) qρ( x, y) ).! α X : α = ( α). x X : x = ( x ) ( ) :lmx = α 0 + q. : ρ x, α ρ x, x q Fv.- htárértée ' X, ρ, Y, σ mt., X Y,, A Y m 0 ( ) lm = A ε > 0 : δ > 0 : x : 0 < ρ x, < δ : σ x, A < ε 8
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Fv.- olytooág X, ρ, Y, σ mt., X Y, C{} 0: 0: x : ( x, ) : ( x), ( ) ε > δ > ρ < δ σ < ε Weertr-tétel ( X, ρ),( Y, σ) mt., X Y, C, ompt R ompt Hee-tétel X, ρ, Y, σ mt., X Y, C, ompt egyeletee olytoo ( zz: ε > 0 : δ > 0 : xy, : ρ( xy, ) < δ : σ ( ( x), ( y) ) < ε) Ivertálhtó olytoo v. verze olytoo X, ρ, Y, σ mt., X Y, C, jetív, ompt C Átvtel elv m K K, : {} : : lm : overge é lm C x x= x x= ERIVÁLHAÓSÁG erválhtóág m 0 < m,, R R, t, h: { } ( ) m m A R : ε R R : x = A x + ε x x x é lmε = 0 A dervált egyértelmű m! A R, hogy előző tétel... Jco mátrx ' : = A, dervált mátrx z - ervált, értővetor, grde m m R R A R; R R A R ; R R A R grd Jco mátrx zámítá =,..., : R R, m ( ) ( ) {} {} grd ( ) {} = grd ( )., m :. ' m m Iráy met dervált g R R, g,, e R : e = { } ( + ) g g te g lm = : eg ( ) eg ( ) = grdg ( ), e t 0 t ( ) 9
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) K erválhtóág é ráy met dervált pcolt m h( + te) h( ) h R R, t h, e R : e = é lm = : eh t 0 t h e R : e = h é h = h', e {} e Prcál dervált g, t,, : e R : e = é () () { } g () j [, ] : j : ej = 0 é eg( ) = : g( ) ( gel -ed változó zert prcál derváltj) Grde zámolá g, t, grdg = d,..., d, : e R : e = é { } () () g () grdg ( ) = ( g ( ) g ( ) ) j, : j : e = 0 : g é g = grdg, e = d Azz:,..., j Jco mátrx prcál derváltl (,..., ) { } ' ( ) = = m = = Kétzer derecálhtó v., h : x : x é, : { } { } { } e m Máodredű prcál dervált g R R,, j, : g: = g /h / j j Youg-tétel { }, j [, ] : j ( ) = j ( ) -zer derecálhtó v.,, h : x : x é { } { } ( -) -ed redű prcál dervált v. { } Youg-tétel terjeztée,...,,..., : é = { } { }......... hol,..., z,..., tetzőlege permutácój Multdex, multdex hoz, torál =,..., : =!: =! = = ( )...... h= h,..., h : h : = h = -ed redű prcál dervált = -hoz trtozó -ed redű ylor-polom ( ) 0 <, {}, ( h) : = ( ) + h! = = () 0
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) L Prcál derecál é derecál pcolt 0 <, R R, t é : j, : x : [, ]: : { } é { } j x x C j Az egyváltozó Lgrge-tétel terjeztée 0 <, R R,, h R, h 0, [, + h] : = + th R : t [ 0,] ( ζ ) ζ 0, : + h = grd + h, h { } Özetett v. derválá zály r r v 0 < rv,,, h R R, H R R, h α, H h { } { ( α )} { α},( )'( α) '( ( α) ) '( α) H h H h = H h h ylor-ormul Lgrge-mrdél + 0 <, R R,,,, h R : h 0,, + h ζ ( 0, ): ( + ) = + = + ( ζ h) + h h h! ylor-ormul Peo-mrdél 0 <, R R,,, h R, + h h 0 η R R: + h = h + η h h η h 0 Iverz v. derecálhtóág R R vertálhtó v.,, R A= ' em zgulár (vertálhtó) { } ' { } é ( ) t, R C = A { } Kvdrtu lo ( ) KVARAIKUS ALAKOK, LOKÁLIS MINIMUM ÉS MAXIMUM A= R zmmetru mátrx, = Q x : = Ax, x x R A vdrtu l olytoo (Q C) x x λ R: x R : Q( λx) = λ Q( x) 0 x R : Q( x) = Q x = x Q x x x hol: { z R : z = } = : E omptt x ( R ) m: = m Q z M : = mx Q z : m x Q x M x x z E z E
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) poztív/egtív (zem)det Q poztív det, h Q x > 0 0 x R m> 0 ( R ) ( R ) ( R ) Q egtív det, h Q x < 0 0 x M < 0 Q poztív zemdet, h Q x 0 x Q egtív zemdet, h Q x 0 x R < < Q det ülöe x, y : Q x 0 Q y Sylveter rtérum ( j) : = det, ro ldetermáo, j= Q poztív det, : > 0 Q egtív det, : : > 0 é, : : < 0 Loál mmum/mxmum R R, -e z - loál m. mx. v h: : : x x x Elő redű züége eltétel é -e - loál zé.-e v grd = 0 { } Máod redű elégége eltétel, grd = 0 é R h " h, h poz.de. eg.de. { } -e - lo.mmum mxmum v. Máod redű züége eltétel é -e - lo. mmum mxmum v { } 0 é R ", poz.zemde. [ eg.zemde. ] grd = h h h LINEÁRIS LEKÉPZÉSEK, FRECHE ERIVÁL Leár leépzé X, X leár tere K elett, A: X X leár, h: x, y X : λ K : A( x + λy) = Ax + λay J L ( X, X ): = { A: X X leár leépzé} Korláto leár operátor X, =, ormált tere, A L X, X ( ) A orl.l.operátor h: M 0 : x X : Ax M x J L( X, X) : = { A L ( X, X) orl.l.operátor} A L( X, X ), A : = { M 0: x X : Ax M x } Ax A x ( x X ) (orm) L X, X l.tér, L X, X ltér (ormált tér) ( ) ( ) (, ) orm L X X A A
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) elje metru tér é orláto leár operátoro hlmz özött özeüggé X, telje L X, X, telje ( ) ( ( ) ) Folytooág é orláto leár operátor pcolt? (, ) (, ) { 0} A L X X A L X X A C A C Frechet-dervált X, =,: X X, t,, A L X, X ( ) { } ε : : ε 0( 0 ) é ( + ) = + ε ( h X, + h ) (! A: '( ) = A Frechet-dervált ) X X h h h Ah h h Mátrx orm 0 < m,, X = R, X m = R, tetzőlege, ( X, X ) L( X, X ) vetor orm áltl duált mátrx orm m L = R 3
Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) EGYÉB A π evezetée! ξ 0, :coξ = 0 π : = ξ Perodu v. R R perodu, h p> 0 : x± p é x = x± p x ( ) + p z egy peródu, H p peródu -e p peródu -r A prmétere tegrál U R yílt, I : =, R zárt tervllum é : U I R, C x U : I t x, t R egyváltozó üggvéy olytoo tegrálhtó ϕ z prmétere tegrálj: : (, ) U x ϕ x = x t dt R A prmétere tegrál olytooág é derecálhtóág : U I R, x U. C ϕ C ϕ ϕ., : é C C U é, : x = x, t dt 4