Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003
Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok....................................... 5.. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok...................... 5.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke.............. 8.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata..............4. Rekurzív sorozatok határértéke..............................5. Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja..................... 3 II. Megoldások 7. Valós sorozatok....................................... 9.. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok...................... 9.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke.............. 30.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata............. 35.4. Rekurzív sorozatok határértéke............................. 47.5. Sorozat alsó és fels határértéke............................. 50
I. rész Feladatok 3
. Valós sorozatok 5. Valós sorozatok.. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok Deíciók, tételek és megjegyzések D. A természetes számok halmazá értelmezett függvéyeket sorozatokak hívjuk. Ha X egy tetsz leges emüres halmaz, akkor x : N X egy X-beli sorozat. Eek a függvéyek az N helye felvett x() helyettesítési értékét az x sorozat -edik tagjáak evezzük és az x szimbólummal jelöljük, az számot pedig az x tag idexéek modjuk. Ezt felhaszálva magát a sorozatot gyakra úgy jelöljük, hogy (x, N) vagy (x ). D. Egy a : N R függvéyt valós sorozatak evezük. Mj. Mj. Mj3. Mide rögzített r egész szám eseté az { Z r} R függvéyeket is sorozatokak tekitjük. A további deíciók, tételek ezekre is érvéyesek leszek, de ezt külö em fogjuk modai. Sorozatok megadása. Egy a = (a ) : N R sorozat megadása tehát azt jeleti, hogy mide N eseté megadjuk a -et. Ez törtéhet explicit módo. Például: (a) a := 3 + ( N), (b) a := 00 ( = 0,,,...), { (c), ha =, 3, 5,... a :=, ha =, 4, 6,.... Sorozatot megadhatuk azoba úgy is, hogy megadjuk a sorozat els (éháy) tagját, a további tagokat pedig az el ttük lev (k) felhaszálásával deiáljuk. Az ilye esetekbe azt modjuk, hogy a sorozatot rekurzív módo adtuk meg. Például: (a) a := α, a + := a + d ( N), ahol α és d rögzített valós számok; (b) a := α, a + := α + a ( N), ahol α rögzített valós szám. Sorozatok ilyeté formá való megadását egylépéses rekurzióak evezzük. k-lépéses rekurzióról beszélük akkor, ha a sorozat egy tagját az el tte lev k-tag függvéyébe adjuk meg. Kétlépéses rekurzióra egy példa: a :=, a := és a + := a + + a ( N). (Ezt a sorozatot Fiboacci-sorozatak evezzük.) A rekurzív sorozatokról. o A rekurzív összefüggésb l kiidulva éháy esetbe viszoylag egyszer e meg lehet adi a sorozat -edik tagját az idex függvéyébe (l. a feladatokat). o Vessük fel azt a kérdést, hogy (például egylépéses) rekurzióval vajo jól deiáltuk-e egy sorozatot, azaz ha megadjuk a sorozat kezd tagját és azt, hogy az (+)-edik tag hogya függ az -edik tagtól, akkor ezek egyértelm e meghatározzák-e már mide természetes szám eseté a sorozat -edik tagját. Az ituíciók szerit erre a kérdésre ayira yilvávalóa igaz a válaszuk, hogy az els pillaatba a kérdés felvetése sem t ik idokoltak. A megérzésük természetese helyes, és ezt be is lehet bizoyítai. Az egylépéses rekurziókra voatkozóa érvéyes a
6. Valós sorozatok rekurziótétel: Ha f : R R egy tetsz leges függvéy és α R egy adott valós szám, akkor! a = (a ) : N R sorozat, amelyre a = α és a + = f(a ) ( N) teljesül. Megjegyezzük még azt is, hogy többlépéses rekurziókra is hasoló állítás érvéyes. T. Az (a ) : N R és a (b ) : N R sorozat akkor és csak akkor egyel, ha bármely idex eseté az azoos idex tagok egyel ek, azaz a = b ( N). D3. Az a : N R sorozat mooto öveked [szigorúa mooto öveked ], ha mide N eseté a a + [a < a + ]; mooto csökke [szigorúa mooto csökke ], ha mide N idexre a a + [a > a + ]. Eze sorozatok közös eve a mooto sorozat. Mj4. Sorozat mootoitását sokszor a teljes idukció elvével igazolhatjuk. Gyakra haszos lehet, ha a mootoitás deíciójába szerepl egyel tleség helyett egy vele ekvivales egyel tleséget próbáluk igazoli. Például: a + a ( N) a + a 0 ( N); ha a > 0 ide -re, akkor a + a ( N) a + a ( N). D4. Az (a ) : N R sorozat alulról korlátos, ha létezik olya k R szám, hogy mide N idexre a k; felülr l korlátos, ha létezik olya K R szám, hogy mide N eseté a K; korlátos, ha alulról is és felülr l is korlátos. T. Egy számsorozat potosa akkor korlátos, ha az értékkészlete korlátos, azaz ha létezik olya K R + szám, hogy a K mide N eseté. Mj5. Sorozat korlátosságát, például egy megsejtett fels korlátot sok esetbe a teljes idukció módszerével igazolhatjuk. D5. Az a = (a ) : N R sorozat értékkészletéek szuprémumát [imumát] a sorozat szuprémumáak [imumáak] evezzük: Feladatok sup a := sup R a = sup{a N} [if a := if R a = if{a N}]. F. Mutassa meg, hogy a tetsz leges α, d és q valós számmal képzett (a) a := α, a + := a + d ( N) számtai sorozat -edik tagja a = α + ( )d ( N); (b) a := α, a + := qa ( N) mértai sorozat -edik tagja a = αq ( N). F. Tetsz leges α, A és B valós számokból kiidulva képezzük az a := α, a + := Aa + B ( N) rekurzív módo megadott sorozatot. Az α, A, B és az számok függvéyekét adja meg a sorozat -edik tagját. (Ha A =, akkor (a ) egy számtai-, ha B = 0 akkor pedig egy mértai sorozat.)
.. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok 7 F3. (Fiboacci, 0.) Háy yúlpár származik az év végéig egyetle yúlpártól, ha mide pár mide hóap végé egy újabb párt hoz létre, és ezek az utódpárok életük második hóapjától kezdve szaporodak? F4. Mutassa meg, hogy az a :=, a :=, a + := a + a + ( N) Fiboacci-sorozat -edik tagja ( a = ( + 5 ) ( ) 5 ) ( N). 5 F5. Hogya lehet az a :=, a :=, a + := a +a + ( N) Fiboacci-sorozat -edik tagjára az el z feladatba mutatott összefüggést megkapi? F6. Határozza meg az alábbi sorozatok -edik tagját az idex függvéyekét: (a) a := és a + := a ( N), (b) a := 0 és a + := a ( N), (c) a :=, a := és a + := a + + a ( N). F7. Mutassa meg, hogy az a := ( N) sorozatra a következ teljesül: a második tagtól kezdve a sorozat midegyik tagja a szomszédos tagok harmoikus közepe, azaz a = + ( =, 3,...). a a Ezért szokás az a := ( N) sorozatot harmoikus sorozatak evezi. F8. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy az (a ) : N R sorozat (a) felülr l em korlátos, (c) em mooto öveked, (e) em korlátos, (b) alulról em korlátos, (d) em mooto csökke, (f) em mooto. F9. Korlátosság és mootoitás szempotjából vizsgálja meg az alábbi sorozatokat: (a) számtai sorozatok, (b) mértai sorozatok, (c) a := + ( =,,...), (d) a := ( ) (e) ( ), (f) ( ( ) 3), (g) a := 8 + 3 5 + 4 ( N), (h) a := 7 ( =,,...), ( N). F0. Igazolja, hogy ha az (a, N) valós sorozat mooto, akkor a számtai közepekkel képzett σ := a + a + + a ( N) sorozat is mooto. Mit lehet modai a (σ ) sorozat korlátosságáról?
8. Valós sorozatok F. Mutassa meg, hogy az (a) a := + + 3 + + ( N) sorozat mooto öveked és felülr l korlátos, (b) a := + + 3 + + ( N) sorozat mooto öveked és felülr l em korlátos. Mj6. Itt hívjuk fel a gyelmet a következ kre. A mootoitás midkét esetbe yilvávaló. Jóval ehezebb a korlátosság kérdése. A problémát az okozza, hogy ehéz el re láti azt, hogy a sorozatok tagjai agy idexek eseté hogya viselkedek. Midkét sorozat -edik tagját úgy képezzük, hogy az el tte lev taghoz agy -ekre egy kicsi számot aduk. A feladat állítása szerit tehát az ilye esetekbe el fordulhat az is, hogy korlátos sorozatot kapuk, de az is el fordulhat, hogy az így képzett sorozat em lesz korlátos. (Megjegyezzük még azt is, hogy a korlátosságra voatkozó sejtést pl. számítógépes kísérletezéssel lehete kialakítai.) F. Mutassa meg, hogy az (a) a := ( + ) ( N) sorozat mooto öveked és korlátos, (b) a := ( + ) + ( N) sorozat mooto csökke és korlátos. F3. Mooto-e az a := ( ) ( N) sorozat? F4. Határozza meg az alábbi sorozatok szuprémumát és imumát, legkisebb és legagyobb tagját, ha azok létezek: (a) ( ( ), N), (b) ( ( ), N ), (c) (, N), (d) ( 6 + 7 3, N )... Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke Deíciók, tételek és megjegyzések D6. Az (a ) : N R valós sorozatot kovergesek evezzük akkor, ha létezik olya A valós szám, hogy eek mide köryezeté kívül a sorozatak csak véges sok tagja va, azaz ( ) A R, hogy ε > 0 eseté az { N a k ε (A)} halmaz véges. Mj7. Mivel k ε (A) = (A ε, A + ε), ezért a k ε (A) a A < ε és a k ε (A) a A ε. T3. Az (a ) : N R valós sorozat akkor és csak akkor koverges, ha ( ) A R, hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε. Mj8. Szavakkal: Az (a ) : N R valós sorozat akkor és csak akkor koverges, ha létezik olya A R valós szám, hogy eek mide ε > 0 sugarú köryezetéhez létezik olya 0 N küszöbidex, hogy a sorozat mide 0 -ál agyobb (vagy egyel ) idex a tagja bee va az A szám ε-sugarú köryezetébe.
.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke 9 T4. Ha az (a ) : N R sorozat koverges, akkor egyetle olya A R szám létezik, amelyre ( ) (illetve a vele ekvivales ( )) teljesül. Ezt az A számot az (a ) sorozat határértékéek evezzük, és az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: Mj9. a := A, (a ) := A, + és úgy olvassuk, hogy esz a, ha tart + -hez egyel A-val, esz a egyel A-val. Azt a téyt, hogy (a ) = A így is jelöli fogjuk: a A ( + ) vagy a + A, és ezt úgy olvassuk, hogy a tart vagy kovergál A-hoz, ha tart + -hez. T5. Legye (a ) : N R egy valós sorozat. Ekkor Mj0. Mj. Mj. (a ) = A R ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε. Szavakkal: Az (a ) sorozatak a A R valós szám akkor és csak akkor határértéke, ha az A szám mide köryezetéhez létezik olya küszöbidex, hogy a sorozat mide eél agyobb (vagy egyel ) idex tagja bee va a szóba forgó köryezetbe. Pogyolá fogalmazva: Az a téy, hogy az (a ) sorozatak az A R valós szám a határértéke azt jeleti, hogy a sorozat agy idex tagjai közel vaak az A számhoz. (Felhívjuk a gyelmüket arra, hogy ez a kissé potatla megfogalmazás em helyettesítheti a potos deíciót!) Az ε > 0 számot hibakorlátak is evezik. Világos, hogy az 0 küszöbidex függ az ε számtól, ezért 0 -at az ε-hoz tartozó küszöbidexek is szokás hívi. Az is yilvávaló, hogy egy adott ε számhoz tartozó 0 küszöbidex em egyértelm ; ui. bármely 0 -ál agyobb természetes szám is egy jó küszöbidex. D7. Az (a ) : N R valós sorozat diverges, ha em koverges, azaz (l. (*)) A R számhoz ε > 0, illetve egy másik változatba (l. (**)) hogy az { N a k ε (A)} halmaz végtele, A R számhoz ε > 0, hogy 0 N idexhez 0 idex, amelyre a A ε. D8. Az (a ) valós sorozatak plusz végtele a határértéke (vagy az (a ) sorozat plusz végtelehez tart), ha mide P valós számhoz létezik olya 0 idex, hogy mide 0 idexre a > P teljesül, azaz P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre a > P. Jelölés: (a ) = + vagy a + ( + ). D9. Az (a ) valós sorozatak míusz végtele a határértéke (vagy az (a ) sorozat míusz végtelehez tart), ha mide P valós számhoz létezik olya 0 idex, hogy mide 0 idexre a < P teljesül, azaz P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre a < P. Jelölés: (a ) = vagy a ( + ).
0. Valós sorozatok D0. A plusz, illetve a míusz végtele ε > 0 sugarú köryezetét így értelmezzük: T6. Legye (a ) egy valós sorozat. Ekkor k ε (+ ) := ( ε, + ), illetve k ε ( ) := (, ). ε (a ) = + ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a k ε (+ ), (a ) = ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a k ε ( ). D. Azt modjuk, hogy az (a ) : N R valós sorozatak va határértéke, ha a sorozat koverges vagy plusz végtele vagy míusz végtele a határértéke. Ez azzal egyeérték, hogy ( ) A R, hogy ε > 0 valós szám eseté az { N a k ε (A)} halmaz véges, Mj3. Mj4. illetve egy másik változatba A R, hogy ε > 0 számhoz 0 N idex, hogy 0 idexre a k ε (A). A feti tulajdosággal redelkez A R elem egyértelm e meghatározott. Ezt az (a ) sorozat határértékéek evezzük. Jelölés: (a ) = A R. ( ) tehát azt jeleti, hogy va olya A R elem, amelyikek mide köryezeté kívül a sorozatak csak véges sok tagja va. Jegyezze meg jól, hogy a továbbiakba a (a ) R jelölés azt jeleti, hogy az (a ) sorozat koverges (azaz véges a határértéke), a (a ) R jelölés pedig azt fejezi ki, hogy az (a ) sorozatak va határértéke (azaz a sorozat koverges vagy + vagy pedig a határértéke). Feladatok F5. Bizoyítsa be a T3. tételt. F6. Fogalmazza meg többféleképpe azt a téyt, hogy az (a ) valós sorozat határértéke. F7. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozatak koverges? em határértéke? Lehet-e egy ilye sorozat F8. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy (a ) : N R sorozat em koverges! Igazolja, hogy a ( ( ), N ) sorozat em koverges, azaz diverges. F9. Tegyük fel, hogy az A R szám mide köryezete az (a ) : N R sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebb l az, hogy az (a ) sorozat koverges? F0. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz-e az, hogy 0 N, hogy ε > 0 számra és 0 idexre a A < ε?
.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke F. Koverges-e az (a ) valós sorozat, ha (a) A R és ε > 0, hogy a A < ε N eseté; (b) A R hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy a 0 A < ε; (c) A R és 0 N hogy > 0 idexre és ε > 0 számra a A < ε? F. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy az (a ) valós sorozatak ics határértéke. F3. A határérték deíciója alapjá mutassa meg, hogy (a) (c) (e) + 3 + 3 + 7 + = ; (b) + + + 5 7 + = 5 ; + 3 + = + ; (d) 3 3 + + + 3 + 7 = + ; 3 + + = ; (f) 3 + + + + 3 + =. F4. A deíció alapjá dötse el, hogy va-e határértéke az alábbi sorozatokak. Melyik sorozat koverges? + (a) a := + + ( N); (b) a := + ( N); + (c) a := + ( N); (d) ( 3 3 ) ; 7 + + 3 (e) a := + ( N); (f) a := + ( N); (g) + + a := ( N); (h) a := + + 3 ( N); + (i) ( + ( ) ) ; (j) ( ( ) ) ; (k) ( + ( ) ) ; (l) ( ( ) ). F5. Kovergecia szempotjából vizsgálja meg a számtai sorozatokat. F6. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozat koverges és (a ) =: A R. Bizoyítsa be, hogy (a) A 0, (b) a ( a ) sorozat is koverges és a = A. + Mit lehet modai az ( a ) sorozat határértékér l akkor, ha (a ) = +? F7. Legye m > természetes szám, és tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozat koverges és (a ) =: A R. Mutassa meg, hogy ekkor A 0, továbbá az ( m a, N ) sorozat is koverges és m a = m A. + Mit lehet modai az ( m a, N ) sorozat határértékér l akkor, ha (a ) = +? F8. Igazolja, hogy ha (a ) = + és létezik olya N N, hogy a b mide N természetes számra, akkor (b ) = +.
. Valós sorozatok.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata Deíciók, tételek és megjegyzések Mj5. Sorozatok kovergeciájáak a vizsgálata és határértékéek a meghatározása a deíció alapjá ige sok esetbe em egyszer feladat. A továbbiakba olya alapvet eredméyeket ismertetük, amelyek megköyítik az ilye feladatok megoldását. A deíció egyszer következméyei T7. Tegyük fel, hogy az (a ) és a (b ) olya valós sorozatok, amelyekhez N N idex úgy, hogy a = b N idexre. Ekkor az (a ) sorozatak akkor és csak akkor va határértéke, ha a (b ) sorozatak va határértéke, és ekkor (a ) = (b ). Mj6. Ez az egyszer állítás azt fejezi ki, hogy a határérték szempotjából közömbös, hogy mi va a sorozat elejé, csupá az számít, hogy a sorozat elég agy idex tagjaira mi igaz. A sorozat határértékéek a létezése és agysága em változik, ha a sorozat véges sok tagját megváltoztatjuk, véges sok tagot beiktatuk vagy akár elhagyuk. T8. (A kovergecia egy szükséges feltétele.) Ha az (a ) : N R sorozat koverges, akkor (a ) korlátos. Mj7. A korlátosság tehát a kovergeciáak egy szükséges feltétele. A korlátosság a kovergeciáak azoba em elégséges feltétele, azaz a korlátosságból em következik a kovergecia. Például: a ( ( ) ) sorozat korlátos, de em koverges. K. Ha egy (a ) valós sorozat em korlátos, akkor (a ) diverges (azaz em koverges). D. (Részsorozat.) Legye a = (a ) : N R egy sorozat és ν = (ν ) : N N egy szigorúa mooto öveked sorozat (az ilye ν-t idexsorozatak fogjuk evezi). Ekkor az a ν = (a ν, N) sorozatot az (a ) sorozat (ν ) idexsorozat által meghatározott részsorozatáak evezzük. Mj8. Mj9. Szemléletese szólva: az a = (a ) sorozatból az a ν = (a ν ) részsorozatot úgy kapjuk, hogy az a = (a, a, a 3,...) sorozatból kiválasztjuk a ν < ν < ν 3 <... idex tagokat. Az a ν sorozat -edik tagja tehát a ν, azaz az a = (a ) sorozat ν -edik tagja. Mivel a is és ν is az N halmazo értelmezett függvéyek, ezért az a ν kompozíció is az N halmazo értelmezett függvéy (ui. D a ν = { N ν D a = N} = N), azaz a ν valóba egy sorozat. T9. (Részsorozatok határértéke.) Ha az a = (a ) sorozatak va határértéke, akkor tetsz leges ν = (ν ) idexsorozattal képzett a ν részsorozatáak is va határértéke, és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével: a ν = a.
.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 3 K. Ha az (a ) valós sorozatak va két olya részsorozata, amelyek határértéke külöböz, akkor az (a ) sorozatak ics határértéke. Mooto sorozatok kovergeciája és határértéke T0. o Ha az (a ) : N R sorozat mooto öveked és felülr l korlátos [mooto csökke és alulról korlátos], akkor az (a ) sorozat koverges, és (a ) = sup{a N} R [(a ) = if{a N} R]. o Ha az (a ) : N R sorozat mooto öveked [mooto csökke ], akkor az (a ) sorozatak va határértéke, és (a ) = sup{a N} R [(a ) = if{a N} R]. Mj0. Az o alatti állítás szerit a mootoitás és a korlátosság együtt a kovergeciáak egy elégséges feltételele. Jegyezze meg jól, hogy ezek együttese a kovergeciáak em szükséges feltétele, azaz ha egy sorozat koverges, akkor ebb l általába em következik, hogy a sorozat mooto. A ( ( ) / ) sorozat például koverges (0 a határértéke), de em mooto. T. (A BolzaoWeierstrass-féle kiválasztási tétel.) Mide korlátos valós sorozatak va koverges részsorozata. T. Ha egy sorozat felülr l em korlátos, akkor va + -hez tartó mooto részsorozata, ha alulról em korlátos, akkor va -hez tartó mooto részsorozata. A redezés és a kapcsolata T3. (A közrefogási elv.) Tegyük fel, hogy az (a ), (b ) és (c ) valós sorozatokra teljesülek a következ k: (i) létezik olya N N idex, hogy a b c mide N idexre, (ii) az (a ) és a (c ) sorozatak va határértéke és (a ) = (c ) =: A R. Ekkor a (b ) sorozatak is va határértéke és (b ) = A. T4. Tegyük fel, hogy (a ) és (b ) valós sorozatokak va határértéke. Mj. o Ha (a ) > (b ), akkor létezik olya N N idex, hogy a > b teljesül mide N idexre. o Ha va olya N N idex, hogy a b teljesül mide N eseté, akkor (a ) (b ). Felhívjuk az Olvasó gyelmét arra, hogy az el z tétel o része em potos megfordítása a o részek. Az o -be ui. a határértékre a (a ) > (b ) szigorú egyel tleséget tettük fel, a o részbe viszot csak a (a ) (b ) relációra tudtuk következteti. Eél többet még akkor sem állíthatuk, ha az (a ) és (b ) sorozat tagjaira a szigorúbb a > b ( N) feltételt tesszük. Például: az a := +, b := ( N) sorozatokra yilvá a > b ( N) teljesül, de (a ) = (b ) =.
4. Valós sorozatok A m veletek és a kapcsolata D3. Az (a ) : N R ullasorozat, ha (a ) = 0, azaz Mj. ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a < ε. Pogyolá fogalmazva: a tetsz legese kicsi, ha elég agy. T5. o Az (a ) sorozat akkor és csak akkor ullasorozat, ha ( a ) ullasorozat. o Az (a ) : N R sorozatak az A R valós szám akkor és csak akkor határértéke, ha (a A) ullasorozat, azaz (a ) = A R (a A) = 0. 3 o Tegyük fel, hogy az (a ) és (α ) valós sorozatokra teljesülek a következ k: (i) az (α ) : N R + 0 ullasorozat, (ii) létezik olya N N, hogy a α mide N eseté. Ekkor (a ) is ullasorozat. T6. o Ha (a ) és (b ) ullasorozatok, akkor (a + b ) is ullasorozat. o Ha (a ) ullasorozat és (c ) tetsz leges korlátos sorozat, akkor (a c ) ullasorozat. Mj3. o -b l persze következik az is, hogy ullasorozatok szorzata is ullasorozat. Kihagsúlyozzuk azt, hogy az el z tételbe ullasorozatok háyadosáról em modtuk semmit. Eek oka az, hogy két ullasorozat háyadosáál mide lehetséges eset el fordulhat (l. a feladatokat). T7. (M veletek koverges sorozatokkal.) Tegyük fel, hogy az (a ) és a (b ) valós sorozat koverges és (a ) =: A R, (b ) =: B R. Ekkor o az (a + b ) sorozat is koverges, és (a + b ) = A + B; o az (a b ) sorozat is koverges, és (a b ) = AB; 3 o mide λ valós számra a (λa ) sorozat is koverges, és (λa ) = λa; 4 o ha 0 R (b) és B = (b ) 0, akkor az ( a b ) sorozat is koverges, és ( a b ) = A B. T8. (A m veletek és a határérték kapcsolata.) Tegyük fel, hogy az (a ) és a (b ) valós sorozatokak va határértéke és (a ) =: A R, (b ) =: B R. Ekkor o az (a + b ) sorozatak is va határértéke, és (a + b ) = A + B, feltéve, hogy A + B értelmezve va; o az (a b ) sorozatak is va határértéke, és (a b ) = AB, feltéve, hogy AB értelmezve va; 3 o ha b 0 ( N), akkor az ( a ) (a sorozatak is va határértéke, és ) A = b b B, feltéve, hogy A értelmezve va. B
Mj4..3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 5 Ha az el z tételbe szerepl m veletek valamelyikéek ics értelme, akkor az egyel ségek bal oldalá álló sorozatok határértékéek a létezésér l általába semmit sem tuduk modai. Ezeket a kritikus határértékeket rövide a (+ ) + ( ) (vagy + ), 0 (± ), ± ± szimbólumokkal szoktuk jelöli. Ezekbe az esetekbe ics általáos szabály. Pl. az A = +, B = esetbe az (a ) és a (b ) sorozat megválasztásától függ e mide el fordulhat. Lehet az, hogy az (a +b ) sorozatak va véges határértéke, vagy va végtele határértéke, de az is el fordulhat, hogy ics határértéke. Hasoló a helyzet a többi kritikus esetbe is (l. a feladatokat). Vaak azoba olya eljárások, amelyekkel az említett kritikus esetek egy jelet s része is kezelhet. Ilye a diereciálhatóság fogalmára épül ú. L'Hospital-szabály, amelyet kés bb foguk ismerteti. A Cauchy-féle kovergeciakritérium D4. Az (a ) valós sorozatot Cauchy-sorozatak evezzük, ha ε > 0 számhoz 0 N, hogy m, 0 idexre a a m < ε. Mj5. Pogyolá fogalmazva: (a ) akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elég agy idex tagjai tetsz legese közel vaak egymáshoz. T9. (A Cauchy-féle kovergeciakritérium.) Az (a ) valós sorozat akkor és csak akkor koverges, ha (a ) Cauchy-sorozat. Feladatok F9. Bizoyítsa be a m veletek és a határérték kapcsolatára voatkozó T8. tételt. Nevezetes sorozatok F30. Mértai sorozat: Legye q R. A (q ) mértai sorozat határértékére a következ k teljesülek: + q = 0, ha q < =, ha q = = +, ha q > em létezik, ha q. A (q ) mértai sorozat tehát akkor és csak akkor koverges, ha q < vagy q =. F3. (a) Mide a > 0 valós szám eseté az ( a ) sorozat koverges és ( a) =. + (b) Az ( ) sorozat koverges és =. + (c) Az (!) sorozat diverges, de +! = +. F3. Az e szám értelmezése: Az ( + ) ( N) sorozat mooto öveked és felülr l korlátos, tehát koverges. Legye e := ( +. + )
6. Valós sorozatok Mj6. Az ( ( + /) ) sorozat határértékére külö szimbólum bevezetéséek idoka a következ. Igazolható, hogy ez a határérték irracioális, s t traszcedes szám. Ez utóbbi azt jeleti, hogy ics olya egész együtthatós poliom, amiek ez a szám gyöke lee. (A szám például irracioális, de em traszcedes szám, mert gyöke az x = 0 egyeletek.) Egy valós számot algebrai számak evezük akkor, ha va olya egész együtthatós poliom, amelyek ez a szám gyöke. ( tehát algebrai szám.) Az e számot Euler vezette be 748-ba. F33. Az e számhoz kovergáló sorozatok: (a) Az ( + ) + ( N) sorozat mooto csökke és alulról korlátos, ezért koverges. A határértéke az e szám: ( + + = e. + ) (b) Az (! ) sorozat koverges, és eek is e a határértéke: +! = e. F34. (a) A ( k= (b) A ( k= k, N ) sorozat mooto öveked és felülr l korlátos, tehát koverges. ) k, N sorozat mooto öveked és felülr l em korlátos, ezért + k = +. (Ez a sorozat tehát diverges.) k= F35. (a) Ha k rögzített természetes szám és a > rögzített valós szám, akkor k + a = 0. (b) Tetsz legese rögzített k N természetes és q < valós szám eseté k q = 0. (c) Mide a R eseté! (d) + = 0. a +! = 0. Mj7. Tekitse például az ( 3 ) sorozatot. Mivel ( 3 ) = ( ) = + ( 3 is és is akármilye agy lehet, ha elég agy), ezért a háyados határértékére voatkozó tétel erre a sorozatra em alkalmazható ( kritikus határérték). A feladat (a) részéb l azoba az következik, hogy 3 0 ( + ), ami azt jeleti, hogy a 3 tört akármilye kicsi lehet, ha elég agy, azaz sokkal agyobb, mit 3, ha elég agy. Rövide azt modjuk, hogy a ( ) sorozat er sebbe tart + -hez, mit az ( 3 ) sorozat. Általába: ha az (a ) és a (b ) sorozatak is + a határértéke (azaz (a ) = (b ) = + ), akkor azt modjuk, hogy (b ) er sebbe (vagy sokkal gyorsabba) tart + -hez, mit (a ), ha a = 0. + b
.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 7 Ebbe az esetbe azt is modjuk, hogy b sokkal agyobb, mit a, ha elég agy; és ezt így jelöljük: a b, ha agy. A most bevezetett jelöléssel a feladat állításait így fejezhetjük ki: ha a > rögzített valós és k rögzített természetes szám, akkor k a! ha agy. További feladatok F36. Az alábbi sorozatok közül melyek az (, N) sorozat részsorozatai: (a) (,, 3,...), (b) (, 4, 6, 8,...), (c) (,, 4, 3, 6, 5,...), (d) (,,,, 3, 3,...). F37. Határozza meg az (/, N) sorozatak az alábbi ν = (ν, N) idexsorozatokhoz tartozó részsorozatait: (a) ν := (,, 3,...), (b) ν := (, 4, 7, 0, 3,...). F38. Tetsz leges ν idexsorozatra igazolja, hogy ν ( N). F39. Bizoyítsa be, hogy hogy ha ν, µ idexsorozatok, akkor ν µ is az. F40. Egy a sorozatról azt tudjuk, hogy az értékkészlete véges halmaz. Mutassa meg, hogy va olya ν idexsorozat, amellyel az a ν részsorozat egy kostas sorozat. F4. Mutassa meg, hogy egy a valós sorozat akkor és csak akkor em korlátos felülr l, ha va olya ν idexsorozat, hogy a ν = +. F4. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét. Dötse el azt is, hogy a sorozat koverges vagy diverges. ( 3 ) 7 (a) a := ( N), (b) a := 3 + 3 4 + 3 ( N), + 6 + (c) a := + 3 7 + 7 + 5 ( N), (d) a := 3 + ) ( 7 + 4 3, (f) (e) ( ( + ) 3 + ( ) 3 3 + (g) ( + + + + ( N), ), + 3 + ) ( + 3 + + + ), (h). 3 + F43. Legye P (x) := α k x k + α k x k + + α x + α 0 (x R, α i R, i = 0,,,..., k) egy potosa k-adfokú poliom (azaz α k 0). Mutassa meg, hogy { P () = +, ha α k > 0 +, ha α k < 0. Mj8. A feti állítás azt fejezi ki, hogy egy poliom agy N helyeke való viselkedése csak a f együtthatójáak (azaz α k -ak) az el jelét l függ.
8. Valós sorozatok F44. Legye P : R R egy tetsz leges potosa r-edfokú (r N) poliomfüggvéy. Mutassa meg, hogy P ( + ) =. + P () F45. Legye P, Q poliom, és tegyük fel, hogy Q() 0 mide N eseté. Határérték szempotjából vizsgálja meg a ( P ()/Q() ) sorozatot. F46. Kovergesek-e a következ sorozatok? Ha ige, akkor mi a határértékük? (a) ( ) +, ( ) (b) + + 3, (c) ( ) + 3, ( (d) ( + )), (e) a := 3/( ( + ) ( ) ) ( =, 3, 4,...), (f) ( 3 + 3 ) ( ), (g) 3 3 +. F47. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozat koverges és (a ) > 0. Mutassa meg, hogy ekkor ( a ) =. F48. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozatra (a ) = + teljesül. Vizsgálja meg határérték szempotjából az ( a ) sorozatot. F49. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R + 0 sorozatra (a ) = 0 teljesül. Vizsgálja meg határérték szempotjából az ( a ) sorozatot. F50. Koverges-e az a := ( + ) ( N) sorozat? F5. Tegyük fel, hogy az (α ) : N R + olya sorozat, amelyre α = + teljesül. Igazolja, + hogy ( + ) α = e. + α F5. Bizoyítsa be, hogy mide x R számra + ( x ) + = e x. F53. Határozza meg a következ sorozatok határértékét: (a) a := ( ) ( =,,...); (b) a := ( + ) + ( =,,...); (c) a := ( + ) ( ( 6 7) ) 3+ ( =, 3,...); (d) ; 6 + 4 (e) a := ( 3 3) 3 ( =, 3,...); (f) a := ( + 5) /6 ( = 8, 9,...); 3 + 7 (g) a := ( 4 + 3) ( N); (h) a := ( 4 + 3) 5 ( N); 5 5 (i) a := ( 3 + ) + ( N); (j) a := ( ( + 3)! ) ( N). +! 3
.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 9 F54. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét. Dötse el azt is, hogy a sorozat koverges vagy diverges. (a) (, N ), (b) ( + 00, N ), (c) a := 3 ( =,,...); (d) a := + ( N); + 3 (e) a := 3 + ( =,,...); (f) a := 3 ( =,,...); (g) a := 3 + + 3 ( N); (h) a := + 4 + 3 + 5 (i) ( ) ( + + ) ; (j) ; 4 + 3 (k) a := + ( + ) + + () ( =,,...); (l) a := + + + ( =,,...); + (m) a := 4 8 ( =,,...). ( N); F55. Legye a 0 és b 0 valós szám. Koverges-e az a + b ( N) sorozat? Ha ige, akkor mi a határértéke? F56. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat koverges, A := a. Mutassa meg, hogy (a) A + < eseté az ( ( + a ) ) sorozat koverges, (b) A + > eseté az ( ( + a ) ) sorozat diverges. Mit lehet modai kovergecia szempotjából az ( ( + a ) ) sorozatról, ha A + =? F57. Határozza meg az a, b, c R paramétereket úgy, hogy legye. ( a + b + c ) = + F58. Mutassa meg, hogy ha az (a ) sorozat koverges és (a ) = A R, akkor az ( a ) sorozat is koverges és ( a ) = A. Igaz-e az állítás megfordítása? F59. Legye (b ) olya ullasorozat, amelyre 0 R (b ) teljesül. Mit lehet modai az (/b ) sorozat határértékér l? F60. Adjo meg olya (a ) és (b ) ullasorozatokat, amelyekre b 0 mide N eseté és = +, vagy ( a ) =, vagy b = c, (c egy adott valós szám) vagy em létezik.
0. Valós sorozatok F6. Igaz-e, hogy ha (a) (a ) koverges és (b ) diverges (a + b ), illetve (a b ) diverges, (b) (a ) diverges és (b ) diverges (a + b ), illetve (a b ) diverges, (c) (a ) koverges és (a + b ) koverges (b ) koverges, (d) (a ) koverges és (a b ) koverges (b ) koverges? F6. Keresse olya (a ), (b ) sorozatokat, amelyekre (a ) = + és (b ) = teljesül, és = +, vagy =, vagy (a + b ) = c, (c egy adott valós szám) vagy em létezik. F63. Keresse olya (a ) és (b ) sorozatokat, amelyekre (a ) = 0 és (b ) = + teljesül, és = +, vagy =, vagy (a b ) = c, (c egy adott valós szám) vagy em létezik. F64. Adjo meg olya (a ) és (b ) sorozatokat, amelyekre (a ) = + és (b ) = + (0 R (b)) teljesül, és ( a ) = +, vagy = c, (c 0 egy adott valós szám) vagy b em létezik. F65. Bizoyítsa be, hogy ha (a ) koverges és (a ) = α, akkor Mit lehet modai az α = esetbe? ( a ) {+, ha α > = 0, ha α <. F66. Legye (a ) emegatív, -hez kovergáló sorozat, (b ) pedig egy tetsz leges korlátos sorozat. Mutassa meg, hogy ekkor (a b ) =. F67. Legye (a ) egy olya koverges sorozat, amelyek egyik tagja sem 0. Kovergecia szempotjából mit tud modai az ( a + ) sorozatról? a F68. Tegyük fel, hogy az (a ) valós sorozat koverges. Bizoyítsa be, hogy a σ := a + a + + a ( N) sorozat is koverges és (a ) = (σ ). Adjo példát olya (a ) sorozatra, amely diverges, de a feti (σ ) koverges. Mutassa meg azt is, hogy ha (a ) = +, akkor (σ ) = +.
.4. Rekurzív sorozatok határértéke F69. Legye (a ) olya valós sorozat, amelyre a > 0 mide N eseté és Bizoyítsa be, hogy h := a + a + + a ( N). (a) ha (a ) koverges, akkor (h ) is koverges, továbbá (h ) = (a ); (b) ha (a ) = +, akkor (h ) = +. F70. Legye (a ) olya valós sorozat, amelyre a > 0 mide N eseté és g := a a a ( N). Mutassa meg, hogy (a) ha (a ) koverges, akkor (g ) is koverges, továbbá (g ) = (a ); (b) ha (a ) = +, akkor (g ) = +. F7. Legye (a ) : N R + egy tetsz leges sorozat és Igazolja, hogy b := a, b + := a + a ( N), továbbá c := a ( N). (a) ha (b ) koverges, akkor (c ) is koverges, továbbá (c ) = (b ); (b) ha (b ) = +, akkor (c ) = +. Adjo meg olya (a ) sorozatot, amelyre (c ) koverges, de (b ) diverges. F7. Az el z feladat eredméyét felhaszálva adjo újabb bizoyítást arra, hogy + F73. Tegyük fel, hogy (a ) olya sorozat, amelyre a! = e. Mj9. ( a k+ a k, N ) k= sorozat korlátos. (Az ilye (a ) sorozatot korlátos változású sorozatak evezzük.) Mutassa meg, hogy ekkor (a ) koverges. Igaz-e ez fordítva is?.4. Rekurzív sorozatok határértéke Rekurzív módo megadott sorozatok kovergeciájáak vizsgálatáál sokszor (de em midig!) haszálható a következ módszer. Ha sikerül bebizoyítai azt, hogy a sorozat mooto (öveked vagy csökke ) és korlátos (alulról vagy felülr l), akkor ebb l már következik, hogy a sorozat koverges. A sorozat határértékét pedig a rekurzív összefüggésb l yerhet egyelet gyökeib l próbáljuk kiválasztai. F74. Koverges-e az a :=, a + := a ( N) sorozat? Ha ige, akkor mi a határértéke?
. Valós sorozatok F75. Mutassa meg, hogy az a := 0, a + := a3 + ( N) sorozat koverges, és számítsa ki a határértékét. F76. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét: (a) a := 6, a + := 5 6 a ( N); (b) a :=, a + := a + a 3 + ( N); (c) a := 0, a + := a3 + 30 ( N); 9 (d) a := 5, a + := a3 + 30 ( N); 9 (e) a := /, a + := 3 4a ( N). F77. Bizoyítsa be, hogy ha α [0, ], akkor az a := α, a + := a + α sorozat koverges, és számítsa ki a határértékét. ( N) F78. Legye α R +, a R + és a + := αa a + α ( =,,...). Mikor koverges az (a ) sorozat, és mi ekkor a határértéke? F79. Az α > 0 valós paraméter mely értékeire koverges az sorozat, és ekkor mi a határértéke? a := α, a + := α + a ( N) F80. Legye (a) a := α, a + := a + a ( N, α 0); (b) a := 0, a + := α + a ( N, α 0); (c) a := 0, a + := α ( N, α 0); + a (d) a := α, a + := a ( N, 0 α ); (e) a := α, a + := 3 a ( N, α R); a 3 (f) a := α, a + := + 3 ( N, α 0); (g) a := α, a + := 3 3a + ( N, α R). Kovergesek-e a feti sorozatok? Ha ige, akkor mi a határértékük? F8. A emegatív α < β valós számokból kiidulva a következ képpe képezzük az (a ) és a (b ) sorozatot: a := α, b := β és a + := a b, b + := a + b ( N). Igazolja, hogy a sorozatok kovergesek és a határértékük egyel. Léyeges-e az α < β feltétel? (C.F. Gauss yomá ezt a közös értéket az α és a β számok számtai-mértai közepéek evezzük.)
.5. Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja 3.5. Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja Deíciók, tételek és megjegyzések D5. Az A R elemet az (a ) valós sorozat egy s r södési helyéek (vagy torlódási helyéek) evezzük, ha A mide köryezete a sorozatak végtele sok tagját tartalmazza, azaz ε > 0 valós szám eseté az { N a k ε (A)} végtele halmaz. Az a = (a ) sorozat s r södési helyeiek a halmazát H a -val fogjuk jelöli: H a := {A R A s r södési helye az a sorozatak} R. Mj30. Az A R elem az (a ) sorozatak em s r södési helye akkor és csak akkor, ha ε > 0 valós szám, amelyre az { N a k ε (A)} halmaz véges. Mj3. Egy sorozatak több s r södési helye is lehet. A s r södési hely lehet véges, de lehet + és is. Érdemes meggodoli például a következ ket: Ha a := ( ), akkor H a = {0}; ha a := ( ( ) ), akkor H a = {, }; ha a := (), akkor H a = {+ }; ha a := ( ( ) ), akkor H a = {+, }. T0. Az (a ) valós sorozatak A R akkor és csak akkor s r södési helye, ha az (a ) sorozatak va A-hoz tartó részsorozata, azaz A H a ν = (ν ) : N N idexsorozat, amelyre a ν = (a ν ) = A. T. Mide (a ) valós sorozatak va s r södési helye, azaz a : N N sorozat eseté H a. D6. Legye a = (a ) egy tetsz leges valós sorozat és H a a s r södési helyeiek a halmaza. A H a halmaz szuprémumát, illetve imumát az (a ) sorozat esz szuperiorjáak, illetve esz iferiorjáak evezzük, és a a, illetve a a szimbólumokkal jelöljük. Azaz: a := sup H a R, illetve a := if H a R. Mj3. Mivel mide a : N R sorozatra H a, ezért a H a halmazak va szuprémuma is és imuma is; tehát mide valós sorozatak va esz szuperiorja is és esz iferiorja is. A deíció yilvávaló következméyei: (a) mide a : N R sorozatra a a; (b) az a : N R sorozat tetsz leges olya a ν részsorozatára, amelyek va határértéke feáll a a a ν a egyel tleség.
4. Valós sorozatok Mj33. Mj34. Az a = (a ) sorozat esz szuperiorját, illetve esz iferiorját az (a ) sorozat fels határértékéek, illetve alsó határértékéek is evezzük, és jelölésükre a sup a, sup(a ) illetve if a, if(a ) + + szimbólumokat is haszáli fogjuk. A következ tétel azt modja meg, hogy egy sorozat esz szuperiorját és esz iferiorját hogya lehet a sorozat tagjaiak segítségével jellemezi. T. Legye a = (a ) : N R egy tetsz leges sorozat. Ekkor { (i) L > A számál a sorozatak csak véges sok tagja agyobb, és (a ) = A R (ii) K < A számál a sorozatak végtele sok tagja agyobb; (a ) = A R { (i) l < A számál a sorozatak csak véges sok tagja kisebb, és (ii) k > A számál a sorozatak végtele sok tagja kisebb. T3. Egy a = (a ) : N R sorozatra Mj35. a = a R ha az (a ) sorozatak egyetle s r södési helye va, { ha az (a ) sorozatak va határértéke, és ekkor (a ) = (a ) = (a ). Jegyezze meg jól tehát azt, hogy mide valós sorozatak va esz szuperiorja és esz iferiorja; határértéke azoba csak bizoyos sorozatokak létezik. A esz szuperior és esz iferior több voatkozásba pótolja a határértéket azokba az esetekbe, amikor az em létezik. Feladatok F8. Adjo meg olya valós sorozatot, amelyek potosa 3 s r södési helye va. F83. Adjo meg olya valós sorozatot, amelyik s r södési helyeiek a halmaza az egész számok halmaza. F84. Keresse meg az alábbi sorozatok összes s r södési helyét, és határozza meg a sorozatok esz szuperiorját és esz iferiorját: (a) a := ( ) ( + ) ( N); (b) a := + ( ) + + ( N); + (c) a := 3 + ( 4) ( N); (d) a := + + ( ) ( N). F85. Va-e olya valós sorozat, amelyek mide valós szám s r södési helye? F86. Legye (a ) egy valós soroazat, és képezzük az sorozatokat. Mutassa meg, hogy A : = sup{a k k =, +, +,...} ( N), B : = if {a k k =, +, +,...} ( N) (A ) = (a ) és (B ) = (a ).
.5. Sorozat esz szuperiorja és esz iferiorja 5 F87. Igazolja, hogy ha az alábbi m veletek elvégezhet k, akkor (a) (a ) + (b ) (a + b ) (a ) + (b ), (b) (a ) + (b ) (a + b ) (a ) + (b ). F88. Legye a 0, b 0 ( N). Igazolja, hogy ekkor (a) (a ) (b ) (a b ) (a ) (b ), (b) (a ) (b ) (a b ) (a ) (b ). F89. Tegyük fel, hogy a 0 ( N). Igazolja, hogy (a) ha (a ) 0, akkor (a ) =, a (b) ha (a ) 0, akkor (a ) = a.
6. Valós sorozatok
II. rész Megoldások 7
. Valós sorozatok 9. Valós sorozatok.. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok M. Az állítás teljes idukcióval igazolható. M. A sorozat els éháy tagjáak felírása utá köye megsejthet, hogy a = A α + B A k ( =, 3,...). Ezutá ezt az összefüggést teljes idukcióval lehet bebizoyítai. M4. Az állítás teljes idukcióval igazolható. k=0 M5. A (q ) alakú geometriai sorozatok között keresse olyaokat, amelyek kielégítik az a + = a + + a ( N) rekurzív összefüggést. Két ilye em azoosa ulla sorozat lesz. Ezek segítségével adja meg az összes ilye tulajdoságú valós sorozatot. Végül válassza ki közülük azt, amelyikre a = a = teljesül. M0. Vegye gyelembe, hogy σ + σ = a + a + + a + a + + = a a a + a + = ( + ) = (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) ( + ) a + a + + a = ( N). M. (a) A sorozat yilvá mooto öveked. A korlátosságot pedig így igazoljuk: k = + + 3 3 + + + + 3 + + ( ) = k= ( = + ( + ) 3) ( + 3 ( + + 4) ) = ( N). (Érdemes megjegyezi a bizoyítás sorá alkalmazott ötletet: Az k(k+) alakú törtet két egyszer bb szerkezet tört külöbségekét lehet felíri ( ) k(k + ) = k k +.) (b) A sorozat yilvá mooto öveked. Az, hogy felülr l em korlátos azt jeleti, hogy P R számhoz 0 N, hogy 0 k= k > P. Adott P számhoz 0 = m0+ alakú idex létezését látjuk be. Az alapötlet a következ : a összeget így csoportosítjuk: 0 k= k + + ( 3 + 4 ) ( + 5 8) + + ( + k + ) ( + + k + k + + m0 + + + ) m0 + m0.
30. Valós sorozatok Mivel k + + k + + + k + k k k + k =, ezért midegyik zárójelpár közötti összeg. Így mide 0 = m0+ eseté 0 k= k + m 0 +, és ez > P, ha m 0 > P. (Ilye m 0 N szám létezése az archimédeszi-tulajdoságból következik.) A ( ) állítást tehát bebizoyítottuk. M. (a) A mooto övekedés bizoyításához a számtai- és a mértai közép közötti egyel tleséget alkalmazzuk az ( + ) darab, ( + ), ( + ),..., ( + ) számra: ( + ) = ( + )( + ) ( + ) ( + ( + + ) ) + ( ) +. = + + Ez az egyel tleség mide N eseté feáll, ezért az ( ( + ), N ) sorozat valóba mooto öveked. A korlátosság bizoyításához is a számtai- és a mértai közép közötti egyel tleséget alkalmazzuk, de most az ( + ) darab,, ( + ), ( + ),..., ( + ) számra: ( + ) = ( + )( + ) ( + ( ) + ( + ) ) + =, + azaz ( + ) 4 mide N eseté. (b) Alkalmazzuk az ( + ) darab közötti egyel tleséget: + számra és -re a számtai- és a mértai közép ( ) + = + + + ( ( + ) + + + ) + ( + ) +, = + + azaz ( + ) + ( + ) + ( + + + ( + + ) + ( + ) + ) + ( + ) +. Ez mide N számra teljesül, ezért az ( + ) + ( N) sorozat valóba mooto csökke. Mivel a > 0 ( N), ezért a mooto csökkeésb l már a korlátosság is következik... Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke M5. : Tegyük fel, hogy az (a ) sorozat koverges, azaz A R, hogy ε > 0 eseté a k ε (A) köryezete kívül a sorozatak véges sok tagja va. Ha egy köryezete kívül a sorozatak ics tagja, akkor midegyik tag a köryezete belül va, azaz ekkor 0 = jó küszöbidex. Ha a k ε(a) köryezete kívül va tagja a sorozatak, akkor va egy ilye
.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke 3 tulajdoságú, maximális idex tag is. Legye eek idexe 0. Ekkor mide 0 idexre a k ε (A), azaz a A < ε. : Tegyük fel, hogy az (a ) sorozathoz A R, hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε. Ekkor mide ε > 0 szám eseté az A szám ε-sugarú köryezeté kívül csak az a, a,..., a 0 tagok közül bizoyosak lehetek. A számuk tehát véges. M6.. ε > 0 eseté az { N a k ε ( )} = { N a ( ) ε} halmaz véges.. ε > 0 számhoz olya 0 N idex, hogy > 0, N eseté a + < ε. M7. ε > 0, hogy 0 N idexhez > 0, N, amelyre a + ε. A (0, N) sorozat koverges, és a határértéke em / (haem 0). M8. Az (a ) valós sorozat em koverges A R számhoz ε > 0, hogy a k ε (A) = (A ε, A + ε) köryezete kívül a sorozatak végtele sok tagja va. A ( ( ) ) sorozat em koverges, ui. vegyük egy tetsz leges A R számot, és eek tekitsük (például) az -sugarú köryezetét. Három eset lehetséges: ez a köyezet em tartalmazza az potot, em tartalmazza a potot, sem -et sem ( )-et em tartalmazza. Midhárom esetbe a sorozatak végtele sok tagja va a szóba forgó köryezete kívül. M9. Nem. A ( ( ), N ) sorozat diverges, de az A = szám mide köryezete tartalmazza eek a sorozatak végtele sok (mide páros idex ) tagját. M0. Az (a ) sorozatra felírt tulajdoság potosa azt jeleti, hogy a sorozat 0 -ál agyobb idex tagjai mid A-val egyel ek. Bár eek a sorozatak is A a határértéke, azoba más, például az (A + ) sorozatak is A a határértéke. Az állítás tehát em igaz. M. (a) Nem. (b) Nem. M. A R elemhez ε > 0 valós szám, hogy az { N a k ε (A)} végtele halmaz (azaz mide A R elemek va olya köryezete, amelyik a sorozatak végtele sok tagját em tartalmazza). Ez azzal egyeérték, hogy A R elemhez ε > 0, hogy 0 N számhoz 0 idex, amelyre a k ε (A). M3. (a) Azt kell igazoli, hogy mide ε > 0 valós számhoz létezik olya 0 természetes szám, hogy mide 0 idexre 3 + 3 + 7 + < ε. Azt kell tehát megvizsgáli, hogy adott ε > 0 eseté milye N számokra teljesül ez az egyel tleség. Eek megoldása em egyszer feladat, ezért a következ ötletet alkalmazzuk: a bal oldalál egy agyobb kifejezésr l fogjuk megmutati, hogy még az is kisebb ε-ál bizoyos idext l kezdve. Legye tehát ε > 0 egy tetsz leges valós szám. Ekkor a bal oldalt például így övelhetjük: 3 + 3 + 7 + 7 4 7 + 4 = ( 3 + 7 = + ) ( 3 + 7 + ) 7 + 4 3 = 3.
3. Valós sorozatok Mivel 3 < ε, ha 0 := [3/ε] +, ezért tetsz leges ε > 0 eseté az 3 + 3 + 7 + < ε egyel tleség is feáll mide 0 természetes számra. (c) Azt kell bebizoyítai, hogy mide P R számhoz létezik olya 0 N, hogy mide 0 idexre + 3 + > P. + 3 Legye P egy rögzített valós szám. Feltehet, hogy P > 0. Most a bal oldalál kisebb kifejezésr l fogjuk megmutati, hogy még az is agyobb P-él bizoyos idext l kezdve. A bal oldal például így csökkethet : + 3 + + 3 > + 3 = 4 (ez mide N eseté igaz). Mivel 4 > P, ha 0 = [4P ] +, ezért tetsz leges P > 0 eseté az + 3 + + 3 egyel tleség is feáll mide 0 természetes számra. (e) Azt kell igazoli, hogy mide P R számhoz létezik olya 0 N, hogy mide 0 idexre 3 + < P. + Legye P egy rögzített valós szám. Feltehet, hogy P < 0. Most a bal oldalál agyobb kifejezésr l fogjuk megmutati azt, hogy még az is kisebb P -él bizoyos idext l kezdve. A bal oldal például így övelhet : 3 + + < 3 + + > P = + < + = ( N). (Godoljo arra, hogy egatív törteket hogya lehet öveli!) Mivel 0 = [ P ] +, ezért tetsz leges P < 0 eseté a 3 + + < P egyel tleség is feáll mide 0 természetes számra. < P (< 0), ha M4. Az a kérdés, hogy a sorozat agy idex tagjai közel vaak-e valamilye R-beli A elemhez. A megadott alakokból ezt ehéz láti. Érdemes olya átalakításokat keresi, amelyek elvégzése utá már világosabb képet kaphatuk a sorozat viselkedésér l. Ebb l egy sejtést alakíthatuk ki magukak, amit persze utáa be is kell bizoyítauk. (a) Most osszuk el a számlálót is és a evez t is -tel (a tört értéke ekkor em változik): a = + + + ( N).
.. Koverges és diverges sorozatok. Sorozatok határértéke 33 Nagy -ekre a számláló -hez, a evez -höz, a háyados tehát /-hez va közel. Ez alapjá a sejtésük az, hogy + + + + =. Bizoyítás: Legye ε > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor mide N eseté + + + = ( + + ) < = és ez < ε, ha 0 := [/ε] +, ami a deíció szerit valóba azt jeleti, hogy + A sorozat tehát koverges. (e) Most meg gyökteleítsük, azaz: + + + =. a := + = ( + ) + + = + + + + ( N). Ez alapjá a sejtésük: ( + ) = 0, Bizoyítás: Legye ε > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor mide N eseté + = < és ez < ε, + + ha 0 := [/ε ] +, ami a deíció szerit valóba azt jeleti, hogy ( ) + = 0. + A sorozat tehát koverges. (g) Mivel mide természetes számra + + = + ezért a sejtés: a sorozat koverges és + + + +, + + =. + Bizoyítás: Legye ε > 0 tetsz leges valós szám. Ekkor mide N eseté = + + = + + ( + + + + ) + + + + = = ha 0 := [/ε] +, ami a deíció szerit valóba azt jeleti, hogy + + + =. + és ez < ε,
34. Valós sorozatok (h) Mivel mide természetes számra + + 3 = + + + 3 = + + ezért a sejtés: a sorozat diverges, de ( ) + + 3 = +. + Bizoyítás: Legye P > 0 egy tetsz leges valós szám. Ekkor + + 3 = + + + 3 ha > > > = + + + 3 4 =, ha > 5, 8, + 3 + + + 3 > és 8 > P, ha > (8P ). Azt kaptuk tehát, hogy mide P > 0 valós szám eseté + + 3 > P, ha 0 = max{5, [64P ] + }, és azt jeleti, hogy ( + + 3 ) = +. (k) Az ( + ( ) ) sorozatak ics határértéke (a sorozat tehát diverges), mert R mide eleméek va olya köryezete, amelyik a sorozatak végtele sok tagját em tartalmazza. M5. Az a := α+( )d ( N) számtai sorozatra (itt α és d adott valós számok) a következ k teljesülek: (a) a sorozat akkor és csak akkor koverges, ha d = 0, és ekkor (a ) = α; (b) ha d > 0, akkor (a ) = + ; (c) ha d < 0, akkor (a ) =. M6. (a) Idirekt: Tegyük fel, hogy (a ) = A < 0. Ekkor az ε = A > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a k A (A). Azoba a k A / (A) a ( A A, A + A ) (3A =, A ), és ez azt jeleti, hogy a < 0 mide 0 eseté, ami elletmod az a 0 ( N) kezdetbe tett feltételükek. (b) Felhaszáljuk a következ egyel ségeket: a A = ( a A ) a + A a + A = a + A (a A ) ( N). Tegyük fel el ször azt, hogy (a ) = A > 0. Ekkor az el z k alapjá azt kapjuk, hogy a A A a A ( N).
.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 35 Mivel (a ) = A, ezért Következésképpe ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a A < ε A. ε > 0 számhoz 0 N, hogy az a A < A ε A = ε egyel tleség mide 0 idex eseté feáll, ami éppe azt jeleti, hogy ( a ) = A. Tegyük fel most azt, hogy (a ) = A = 0. Ekkor ε > 0 számhoz 0 N, hogy 0 idexre a = a < ε. Ezért a < ε mide 0 eseté, ami azt jeleti, hogy ( a ) = 0 teljesül ebbe az esetbe is. (c) Ha (a ) = +, akkor ( a ) = +. Ui. (a ) = + P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre a > P, ezért P R + számhoz 0 N, hogy 0 eseté a > P, ami azt jeleti, hogy a = +. M7. Haszálja fel az a m b m = (a b)(a m + + b m ) azoosságot..3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata M9. o Az összegre voatkozó állítás igazolása. Emlékeztetük arra, hogy ha A, B R, akkor az A + B összeg akkor va értelmezve, ha (i) A, B R; { R (ii) A = + és B = +, { R (iii) A = és B =, és ekkor A + B = és ekkor A + B = { + + ; { ; (Tehát csak (+ ) és ( ), valamit ( ) és (+ ) összegét em értelmeztük.) Az (i) esetbe az állítás a koverges sorozatok összegére voatkozó korábbi tételükb l következik. Az (ii) eset igazolása. (a) Tegyük fel el ször azt, hogy (a ) = A = + és (b ) = B R. Megmutatjuk, hogy ekkor (a + b ) = +. Mivel (b ) koverges, ezért korlátos (alulról is!), azaz M R, hogy b M N eseté. A (a ) = + feltételb l pedig az következik, hogy P R számhoz 0 N, hogy a > P M 0 idexre.
36. Valós sorozatok Ezért P R számhoz 0 N, hogy a + b > P M + M = P 0 idexre, és ez valóba azt jeleti, hogy (a + b ) = +. (b) Tegyük fel, hogy (a ) = (b ) = +. Ekkor P R számhoz N, hogy a > P idexre, és tehát P R számhoz N, hogy b > P P R számhoz 0 N, idexre, hogy a + b > P + P = P teljesül mide 0 := max{, } idex eseté, ami azt jeleti, hogy (a +b ) = +. Az (iii) eset hasolóa igazolható. o A szorzatra voatkozó állítás igazolása. Emlékeztetük arra, hogy ha A, B R, akkor az A B szorzatot akkor értelmeztük, ha (i) A, B R; > 0 valós + < 0 valós (ii) A = + és B és ekkor A B = = + + =, ; > 0 valós < 0 valós + (iii) A = és B és ekkor A B = = + =, +. (Tehát csak 0-ak (+ )-el és ( )-el való szorzatát és fordítva em értelmeztük.) A szorzatra voatkozó tétel tehát 9 állítást tartalmaz. Az A, B R eset a koverges sorozatok szorzatára voatkozó korábbi tételb l következik. A femaradó 8 állítás közül csak kett t igazoluk, a többit hasolóa lehet beláti. (a) Tegyük fel, hogy (a ) = + és (b ) = B > 0 valós szám. Megmutatjuk, hogy ekkor (a b ) = +. Mivel (b ) = B > 0, ezért a B >0 számhoz N, hogy b > B (> 0) idexre. A (a ) = + feltételb l pedig az következik, hogy P R + számhoz N, hogy a > P B/ (> 0) idexre. Így P R + számhoz 0 N, hogy a b > P (B/) = P (> 0) B/
.3. Sorozatok kovergeciájáak és határértékéek a vizsgálata 37 teljesül mide 0 := max{, } idexre, ami valóba azt jeleti, hogy (a b ) = +. (b) Tegyük fel, hogy (a ) = (b ) = +. Ekkor és Ezért P R + számhoz N, hogy a > P (> 0) idexre az számhoz N, hogy b > (> 0) idexre. P R + számhoz 0 N, hogy a b > P teljesül mide 0 := max{, } idex eseté, és ez azt jeleti, hogy (a b ) = +. 3 o A háyadosra voatkozó állítás igazolása. Most is emlékeztetük arra, hogy A, B R eseté az A/B háyadost akkor értelmeztük, ha (i) A R, B R \ {0}; { = + (ii) A R és B =, (iii) B R \ {0} és A = és ekkor A B = 0; { = + =, +, ha B > 0 és A = + és ekkor A B =, ha B < 0 és A = +, ha B > 0 és A = +, ha B < 0 és A = Vegyük észre azt hogy (a ) ( ) ( ) = a b b (azaz az (a /b ) sorozat az (a ) sorozat és az (/b ) reciprok sorozat szorzata). Ezért a szorzatra voatkozó állítás miatt elég igazoli a következ t: ha (b ) {+, }, akkor ( b ) = 0. Tegyük fel pl. azt, hogy (b ) = +. Ekkor Ebb l az következik, hogy ε > 0 számhoz 0 N, hogy b > ε 0 idexre. ε > 0 számhoz 0 N, hogy (0 <) b < ε idexre. Ezzel a (b ) = + esetbe megmutattuk, hogy ( b ) = 0. A (b ) = esetbe az állítás hasolóa igazolható. M30. Mértai sorozat. (a) Legye q <. Ha q = 0, akkor az állítás yilvávaló. Ha 0 < q <, akkor az q > számot írjuk fel az q = +h (h > 0) alakba. A Beroulli-egyel tleséget alkalmazva azt kapjuk, hogy q = ) = ( q ( + h) + h h Ebb l az következik, hogy tetsz leges ε > 0 számra a q h < ε ( N).
38. Valós sorozatok egyel tleség mide 0 := [ hε] + idexre teljesül, ami azt jeleti, hogy (q ) = 0. (b) Ha q =, akkor az (, N) kostas sorozatot kapjuk, ami koverges, és a határértéke. (c) Legye q > egy rögzített valós szám. Írjuk fel a q számot q = + h (h > 0) alakba. A Beroulli-egyel tleség alapjá q = ( + h) + h > h amib l következik, hogy (q ) = +, ui. ( N), P R számhoz 0 N, hogy 0 idexre feáll a q > h > P egyel tleség; legye ui. 0 := [P/h] +. (d) Ha q, akkor a ( q ) sorozat páros, illetve páratla idex részsorozataiak külöböz a határértéke (a páros idex részsorozat határértéke +, a páratla idex részsorozaté pedig ), ezért a (q ) sorozatak ics határértéke. (e) A kovergeciára voatkozó állítás a deíció közvetle következméye. M3. (a) (i) Tegyük fel el ször azt, hogy a > rögzített valós szám, és írjuk fel az a ( N) számokat az a = + h (h > 0, N) alakba. Elég azt igazoli, hogy (h ) ullasorozat. A Beroulli-egyel tleség alapjá a = ( + h ) + h ( N), ezért 0 < h a ( N). Ebb l következik, hogy tetsz leges ε > 0 valós szám eseté a 0 < h < a < ε egyel tleség mide 0 := [ ] a ε + idexre teljesül, ami azt jeleti, hogy (h ) = 0, tehát a =. + (ii) Ha a =, akkor az (, N) kostas sorozatot kapjuk, amiek valóba a határértéke. (iii) Ha 0 < a <, akkor a >, ezért (i) és a koverges sorozatokra voatkozó m veleti tétel alapjá a = ( ( + ). a) (b) Írjuk fel az számokat az = + h (h 0, N) alakba. Mivel h 0, ezért a biomiális tétel alapjá ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (+h ) = + h + h + + h h ( ) = h ( N), 0 amib l azt kapjuk, hogy 0 h ( =, 3,...).