IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november
Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin 4.9. 3 5
3 4.. 7 + 8 Integrálás helyettesítéssel. 4.. e 4.. cos(4 5) 4.3. 8 4.4. ( π ) sin 3 3 4.5. 4.7. e 4.6. 4.3. 3 3 5 + 4.3. 4.33. + cos sin 4.34. sin( + ) 4.36. 4.38. 4.37. 4 + ln 4.39. ln + 4.4. 4 4.4. 4 + 4.4. cos + sin 4.44. 3 + 9
4 4.45. sin 8 4.46. 3 5 4.47. e 5+7 4.48. sin 3 cos 4.49. 4.5. 3 3 tg 4.5. ( + ) Parciális integrálás. 4.53. ( ) + e 4.55. 3 e 4.57. sin cos 4.59. arc tg 4.6. arc tg 4.6. ln 3 4.6. (arc sin ) 4.63. e 3 cos 4.64. e arc sin Racionális törtfüggvények integrálása. 4.65. 4.66. 7 + 3 + 4 + 8
5 4.67. 5 + 4 8 3 4 4.68. 4 3 + 4.7. 4 + 3 ( ) 3 4.7. 3 6 + 5 ( ) 4 4.73. 4.75. 4.74. 4 4.76. 3 4.7. 3 + 4 3 ( ) 6 + 4 4 4.77. ( + ) ( + ) 4.78. + 4 4.79. ( ) + 4 4.8. 4.8. ( 3) 4 4.8. ( + 9) 3 5 4.83. 4.84. 3 6 + 7 6 + 7 4.85. 4 + 3 9 3 + 3 Trigonometrikus függvények integrálása. 4.86. cos 5 4.87. sin 6
4.. + sin 6 4.88. 4.9. sin 6 cos 3 4.9. 4.94. sin 3 cos 4 cos tg 5 4.89. 4.9. 4.93. 4.95. 4.96. + tg sin 4.97. 4.98. cos 4 + sin 4 cos sin 4.99. sin 4 cos sin + cos 5 3 cos sin 4 cos 4 + sin ( sin 3 cos 5 π ) Hiperbolikus és R(e ) függvények integrálása. 4.. sh ch 3 4.. sh 3 ch 4.3. sh ch 4.4. sh 4.5. ch ch ch 3 4.6. e e +
7 4.7. 4.8. 6 e 3 e sh 3 4.9. e sh Irracionális függvények integrálása. 4.. 3 + 5 4.. ( 3 + ) 4.. e + 4.3. 3 + 4.4. + 4 4.5. + 4.6. 4.7. 3 + 9 6 + 4.8. 9 4.9. 9 4 4.. + 4.. 3 3 + 4.. + 6 + 4.3. 3 4.4. 4 + 4 4.5. 3 + + 3 4.6. + 8 + 5 4.7. + + 4 +
8 Határozott integrálás 4.8. 4.3. 3 e ( + ) 4.9. 4.3. 3 4 arctan 5 4 Trigonometrikus integrálok. 4.3. π 4.34. 4.36. π π π π sin cos sin 3 cos(n) sin(m) 4.33. π 4.35. π 4 4.37. π π π 6 sin 3 sin cos 4 sin 4.38. π sin 4 cos 5 Improprius integrálok 4.39. / 4.4. + ( )
9 4.4. + 4.4. + + 4.43. 3 3 4.44. e a, a > 4.45. e a 4.46. cos e 4.47. 3 4.48. /π sin 4.49. sin(a)e b 4.5. e 4.5. n e a Helyettesítéses integrálok 4.5. 4.54. e 4.53. e π 4.55. 3/ / cos ln Parciális integrálás
4.56. ( ) sin 3 4.57. ( + e ) 4.58. a
Improprius integrálok 4.-4..: Számolja ki az alábbi improprius integrálok értékét! 4.. 4.. 4.3. 4.4. + 4.5. 3 + 5 + 4.6. 4.7. 4.8. 4.. 4.. 3 4 e e ln ( + ) 3 e + ( ) 3 4.. 4.3. 4.4. 4.5. ( + ) 3 4.6. 4.7. 4.8. 5 4.9. 5 4.. 4 3 5 3 4 4
Területszámítás 4.-4.4. Határozza meg a következ függvények görbéi alatti területet az adott intervallumban, és ábrázolja a függvényeket! 4.. y = 3 ; 4.. y = 5 3 + ; 3 4.3. y = ; 4.4. y = ( ) 3 ; 4.5. y = 3 3; 3 4 4.6. y = 4 3 ; 4.7. y = e ;.5 4.8. y = sin(3);..3 4.9. y = cos(3);.5.5 4.3. y = cos( ); π 4.3. y = cosh(); 3 4.3. y = sinh(); 4.33. y = ; 4.34. y = ; 3 4.35. y = 5 ; 3 4 4.36. y = 5 ; 4.37. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = alatti terület [a, b] és [c, ] szakaszhoz 4 tartozó része egyenl legyen! Mennyi az, ha c = a, c = 3a? 4.38. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = terjed szakasza -del legyen egyenl! 5 görbe alatti terület -tól -ig + 4.39. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = e görbe alatti terület -t l -ig terjed szakasza 3-mal legyen egyenl! 4.3. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az y = sin() alatti terület -tól -ig terjed szakasza -del legyen egyenl! 4 4.4-4.5. Határozza meg a következ görbék közötti területet és ábrázolja is a görbéket! 4.4. y = és y = 4.43. y = és y = 4.4. y = és y = 4.44. y = és y = 3
3 4.45. y = és y = 4.46. y = és y = 3 4.47. y = 3 és y = + 3 4.48. y = 4 és y = 3 4.49. y = és y =.5 4.5. 3 + y 3 = és y = 4.5. + y = és + y = 4.5. y = sin() és y = 4.53-4.58. Végezze el az alábbi területszámításokat! 4.53. Határozzuk meg az y = ( ) parabola és ennek az =, = abszcisszájú pontjaihoz húzott érint i közötti területet! 4.54. Határozzuk meg az y = 4.5 ( 4) parabola, és ennek az = 3 és = 6 pontjában húzott érint i közötti területet! 4.55. Határozzuk meg az y = hiperbola, és a P (, ) pontra illeszked, y = egyenesre mer leges egyenes által határolt síkidom területét. 4.56. Határozzuk meg az y = hiperbola, az y = és az y = a egyenes által határolt síkidom területét! Ábrázoljuk is a szektort! 4.57. Igazoljuk általánosan, hogy a parabolaszelet területe egyenl a körülvev paralelogramma területének 3 részével! 4.58. igazoljuk, hogy a bevonalkázott parabolaszelet-terület a húr, az tengely és az érint htárolta OAB háromszög területének 3 -a! Görbe ívhossza Határozza meg az adott függvények görbéjének ívhosszát a megadott határok között! 4.59. y = ; 4 4.6. y = cosh(); 3 4.6. y = ln(); 6 4.6. y = ln(sin ); π 6 π 4.63. + y = 5; 5 4.64. = 5 cos(t); y = 5 sin(t); t π
4 4.65. = a(t sin t); y = a( cos t); t 4.66. = 5 cos 3 t; y = 5 sin 3 t; t π 3 4.67. = t; y = 3t ; t 5 Forgástestek térfogata Számitsa ki a következ paraméteresen megadott függvények forgástesteinek térfogatát! 4.68. = a cos(t), y = a sin(t); t π 4.69. = a(t sin t), y = a(t cos t); t π 4.7. = e t, y = t; t 4.7. = a cos 3 t, y = a sin 3 t; t π Forgassa meg a következö görbéket az tengely körül, és határozza meg a keletkezö forgásfelületek és a megadott intervallumok végpontjaiban az tengelyre állított mer leges síkok határolta térrész térfogatát! 4.7. y = e ; 4.73. y = ; 4 4.74. y = 3 3 ; 4.75. y = ; 3 4.76. y = ; 4.77. y = ; 3 4.78. + y = ; 4 4.79. y = cos ; π 4.8. y = 4.8. a + y b = ; + ; 3 a a