Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó atasztófasoozatól mesélü, vag az Euópa Kiadó soozatába megjelet legújabb övet dicséjü. Mi több, ha tault má a π számól, ao is fog étei beüet, ha a π számjegeie soozatáól beszélü. So itelligeciateszt ee az ituitív soozatfogaloma épít. Gaoia a Foltasd a övetező soozatot! típusú felszólításo. Vegü a övetező soozatoat:. jauá, febuá, mácius, ápilis,. Pete Roma, Teodo Stoloja, Nicolae Văcăoiu,.,,,, 5, 6, 7, 8,.,, 9, 6, 5, 6, 9, 5.,, 5, 7, 9,, 6.,,, 5, 0,,,, 6, 7.,, 5, 6, 677, A legtöbbe azoal látjá, hog a övetező elem az. soozatba a május (az év hóapjait soolju fel); a. soozatba Victo Ciobea (a 90 utái omá miiszteelöö eveit soolju fel); a. soozatba a 9 (a temészetes számoat soolju övevő soedbe); a. soozatba a 6 (a temészetes számo égzeteit soolju övevő soedbe); az 5. soozatba a (a páatla temészetes számoat soolju fel); a 6. soozatba a 7 (ha az első taghoz eget hozzáadu, megapju a másodi tagot, ha ezt ettővel szoozzu, megapju a hamadi tagot, majd felváltva ismételjü ezt a ét műveletet); a 7. soozatba a 677 58 0 (a másodi tagtól ezdődőe midegi potosa eggel agobb, mit az előtte álló égzete). Temészetese a felszólításba ejtőzi az az előfeltételezés, hog a soozat tagjait valamile jól meghatáozott szabál szeit ítu fel, és ee a szabála á is lehet jöi. So esetbe ez a szabál em egételmű. Vizsgálju meg a övetező példát: 8. 0,,, 7, 5, A számo özti ülöbség ede,, és 8, íg ésszeű azt állítai, hog a övetező tag 56. Másészt a számo számjegösszege szité,, és 8 (az utolsóa 7). Íg az is lehetséges, hog az egmás utái tago ülöbsége a isebb tag számjegeie összegével egelő. Ee alapjá a övetező elem 57. Ahhoz, hog a soozatoat matematiai vizsgálódása vethessü alá, mideeelőtt a soozat fogalmáa potos matematiai ételmezésée va szüségü. Észe ell veü, hog a felsoolt példába étféle soozattal találoztu. Az egi típus véges számú tagot tatalmaz (pl. az év hóapjaia
6 Soozato soozata) a mási végtele soat (pl. a temészetes számo soozata). Eszeit véges és végtele soozatoól fogu beszéli. I... Véges soozato... Ételmezés. Ha N * eg szám és E eg halmaz, ao az f :{,,,, } E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) véges soozata evezzü.... Példá. Az f:{,,,, 5, 6, 7} {a, o,, s, t, z} függvét a övetező táblázattal ételmezzü: 5 6 7 f() s o o z a t Máséppe: f(i) a soozat szó i-edi betűje.. Az f : {,,,..., 90} N, f ( ) 9 függvé a étjegű temészetes számo soozatát adja.... Megjegzése. Ha az... ételmezésbe szeeplő E számhalmaz, ao számsoozatól beszélü: ER eseté valós számsoozatól, EQ eseté acioális számsoozatól, EZ eseté egész számsoozatól és EN eseté temészetes számsoozatól.. A soozat tagjai: f(), f(), f(),, f(), egszeűbbe jelölve:,,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), {,,,, }. Az... paagafus. példájába a soozat tagjai: s, o,, o, 5 z, 6 a és 7 t.. Mivel véges halmazo ételmezett függvét megszeeszthetü az eges eleme épeie egeéti megadásával is (lásd../-es példát) a soozat elemei lehete egmástól függetlee is. Ebből is látszi, hog a bevezetőbe említett Foltasd a soozatot! felszólítás meie potatla. Tulajdoéppe azt a épzési szabált ell megtalálu, amele segítségével a soozat má meglevő elemeit geeáltu, majd e szabál segítségével megszeeszthetjü a övetező elemet. Köe épezhetü ola soozatot, amele elemei özött ics ile összefüggés. Godolju csa a lottóhúzás eedméeie, vag eg Las Vegas-i aszió etes ulett-számaia. I... Végtele soozato... Ételmezés. Ha E eg halmaz, ao az f:n E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) soozata evezzü.... Megjegzése. A végtele soozato tagjait is általába íg jelöljü:,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), N *. A soozatoat övide íg jelöljü: ( ) vag, és íg olvassu: az általáos tagú soozat. N ( )
Soozato 7. Az f függvé tulajdoságai szeit beszélhetü övevő soozatól (ha f övevő, vagis ha, eseté), csöeő soozatól (ha f csöeő, vagis ha, eseté) vag peiodius soozatól (ha f peiodius, azaz ha létezi ola m temészetes szám, amele m, eseté).. Hasolóa a véges soozatohoz a végtele soozato eseté is beszélhetü temészetes, valós, egész, acioális stb. soozatól, az E halmaz elemeie temészete szeit.... Példá. Az f : N N, f( ) függvé az I.. paagafus hamadi soozatát számaztatja (szimbólumoal). A soozat általáos tagját a továbbiaba íg jelöljü:, N. ). Az f : N N, f ( függvé az I.. paagafus egedi soozatát ételmezi, tehát, N. :. Az f N N, f ( ) függvé az I.. paagafus ötödi soozatát íja le, tehát, N.. Az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat épzési szabála szeit:,,,, általába, illetve 5, N 00. Az előbbi összefüggése alapjá a soozat bámel tagja iszámolható, de az iszámításához i ellee számolu a soozat első 000 elemét. Ezt eleülhetjü, ha előbb megtalálju azt az f függvét, amel a soozat elemeit számaztatja (az ételmezés szeit). 5. Az I.. paagafus hetedi példájába a soozat eges tagjait (a másoditól ezdődőe) úg aptu, hog az előtte álló tag égzetéhez hozzáadtu -et. Ezt matematiailag az, egelőség fejezi i. Ez az egelőség ömagába még em hatáozza meg a soozat mide tagját. Ha viszot ismejü az első tagot is (az -et), ao a soozat mide tagja iszámítható.... Megjegzés. Ha az ( ) N soozat tagjait függvéébe adju meg, ao azt modju, hog ismejü a soozat általáos tagjáa épletét (vag egszeűe az általáos tagot). Ha a soozat tagjait az őet megelőző eg vag több tag függvéébe adju meg, ao a soozatot euzíva evezzü, és a tagoat geeáló összefüggést euzióa (vag euecia-elációa) evezzü. Valamel, euzióval adott soozat tagjait csa a euzió alapjá általába em tudju meghatáozi, szüségü va a tago további tulajdoságaia, vag (esetleg) a soozat éhá tagjáa potos ismeetée. Az előbbi öt példába az első háom soozat esetébe ismejü az általáos tagot, míg az utolsó ettő eseté eg-eg euziót ismeü. A függvé megadása em jelet föltétleül épletet. A pímszámo soozata is eg helese ételmezett soozat aa elleée, hog sem az -edi pímet megadó általáos épletet, sem pedig a píme özötti euecia-elációt em ismeü.
8 Soozato..5. Példá. Az, általáos tagú soozat első hat eleme, 0, 5 7, 6 8., 0,. Jelöljü -el az szám másodi tizedes jegét. Ha az első tizeét tagot iszámítju a övetező étée adóda: 0, 0,, 5, 5 0, 6 6, 7, 8, 9, 0 0, 9, 8. A soozat általáos tagja a övetező éplettel adható meg: 0 00 N 0, (az összefüggés em szüséges a soozat ételmezéséhez, de megöítheti a dolguat, ha az -edi tagot eg számítógépes pogam segítségével szeeté iszámítai, vag ha további számításoat ell végezü vele).. Az, N, összefüggéseel ételmezett euzív soozat első öt elemét iszámíthatju, ha a euzióba behelettesítjü ede az,, és számoat. Íg a övetező étéehez jutu:, 7, 0, 5. Észevehetjü, hog eze éppe a alaú számo. A soozat tagjait a övetező alaba íhatju: 0,,, és. Az általáos taga voatozóa ialaulhat a övetező sejtés: Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. 5 ( ), N. {,,,, 5 } eseté az összefüggés igaz. Feltételezzü, hog sejtésü igaz -a, és iszámítju az -et. ( ) (( ) ), tehát sejtésü igaz ()-e is. Íg a matematiai idució elve alapjá, sejtésü bámel temészetes szám eseté igaz, tehát a soozat általáos tagja: ( ), N...6. Megoldott feladato ( ). Az N soozatot az,, 8 euziós elációval ételmeztü. Hatáozzu meg a soozat általáos tagjáa épletét! Megoldás. Kiszámítju a soozat első éhá tagját:, 8, (8 ), ( 8) 6, 5 (6 ) 60, 6 (60 6) 8, 7 (8 60) 896. Téezőe botju, és táblázatba foglalju a apott étéeet: 5 6 7 6 5 5 7 7 7
Soozato 9 A, 5 és 7 eseté a apott étée bizoos szabálszeűséget sugalla. Az alaa gaaszu. Megpóbálju,, és 6 eseté is hasoló fomába felíi a soozat tagjait., 8, 6 6 6, tehát megfogalmazhatju a sejtésüet, amel szeit,. Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. Mivel emcsa -től függ, iduciós állításu a övetező: P( ) :,. Ez az állítás {,,,, 5, 6, 7} és 6 8 eseté igaz. Ha feltételezzü, hog sejtésü -e igaz, ao bizoítau ell, hog ( ( ) ( ). Másészt ( ) ) ( ) ( ), tehát a matematiai idució elve alapjá,.. Adott az, általáos tagú soozat. Hatáozzu meg eg euziót a soozat tagjaia! Megoldás. Felíju az adott összefüggést -e és ( )-e, majd iüszöböljü a hatváait: ( ), () Az íg apott összefüggésből iüszöbölhetjü az ( )-et is : 5 ( ) ( ) A () összefüggésből iüszöböljü a -et: 5 5 ( ) 5 A () összefüggés alapjá évées a övetező euzió: 5 N ( ),.. Az N soozatot az 5, N,, 0 és összefüggéseel ételmezzü. Bizoítsd be, hog, N, ahol, a. feladatba szeeplő soozat. Megoldás. Kiszámítju az, és étéeit:, 0 és. Tehát a ét soozata özös az első háom tagja, és a tago ugaazt a euziót teljesíti (lásd a () összefüggést). Mivel ez a () () A apott összefüggés is eg euzió. A további számolásoat azét végezzü el, hog bemutassu, hoga lehet iüszöböli eg -be poliomiális tagot a euzióból.
0 Soozato ég összefüggés egételműe meghatáozza a soozatot, felíhatju, hog,.. Eg üdülőtáboba tíz háziót építette. A házióat ée vag zölde festi, de ét egmás utái számmal edelező ház em lehet é. Háféleéppe lehet lefestei a házaat? 5 Megoldás. Póbálju egszeűbb eseteet megvizsgáli. Ha csa eg ház lee a táboba, ao étféleéppe lehete lefestei (ée vag zölde). Ha ét ház vola a táboba, azt háomféleéppe lehete lefestei (a ég lehetséges szíezés özül em felel meg az, amio midét ház ée va festve). A továbbiaba házió eseté jelöljü a -el a megegedett festése a 6 festhetjü le. Tehát a a a,. Ha ezt az összefüggést haszálju ede a övetező étéeet apju: a a a 5, a a a 5 8, a a a, 6 a5 a a9 a8 7 8 9 0 számát. Láttu, hog a és a. Póbálju meg ifejezi a -et az őt megelőző tago függvéébe. Ha az első háziót zölde festjü, ao a maadé háziót ülöböző módo festhetjü le. Ha az első háziót ée festjü, ao a másodiat ötelező módo zölde ell festei, a többi háziót módo festhetjü le. Íg az háziót összese a 8, a7 a6 a5, a8 a7 a6 55, a7 55 89 és a 0 a9 a8 89 55. Tehát a tíz házat a feladat feltételeie megfelelőe ülöböző módo lehet lefestei. 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosság alapjá, ha az (a, b) számpá megoldása az egelete, ao az (55a8b, 6a55b) számpá is megoldása. Szeesszü meg a övetező, euzióval ételmezett soozatoat:, 55 8 és 6 55. () a ülöböző a a ülöböző módo 5 5. a) Bizoítsu be a ( ) ( ) 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosságot! b) Bizoítsu be, hog a 7 0 egelete végtele so megoldása va a temészetes számo halmazába! Megoldás. A ( ) ( )
Soozato Az előbbi észevételü alapjá az (, ) számpá megoldása az egelete bámel eseté. A () összefüggés biztosítja, hog > 0 és tehát az ( ) és ( ) soozato pozitív tagú és szigoúa övevő soozato. Sieült tehát megszeeszteü a vizsgált egelet végtele so, ülöböző megoldását...7. Gaolato és feladato > 0, N,. Vajo mile tövészeűség alapjá épeztü az alábbi soozatoat? Az általad talált szabálszeűség alapjá íd fel a övetező ét elemet! a) szé, szilícium, gemáium, ó, b),, 6, 56, c),,,, 5, 8, d),, 6, 8,,, 6, e) 9, 7, 5, 90, 5, 89, f),, 6, 5, 5,,, g) 90, 9, 6, 66,,, 8, 0, h),, 6, 0, 5,, 8, i) 6, 80,, 6, 8, j),, 7, 50, 5, 9, ),,, 7, 8,,,, 6, 9,. Számítsd i a övetező soozato első hat elemét, ha az általáos tag éplete: a), ; b), ; c) ma{ 6, 5 }, ; cos( π ) d), ; e),.. Keesd meg a páját! Az első oszlopbeli épleteel ételmezett soozato midegiée va eg pája a másodi oszlopba (a ét soozat megfelelő tagjai egelő). Bizoítsd is be, hog a megfelelő soozato tagjai egelő! si π a), ; ) a,, a a ; 5b b, b) z, ; ) b, b és b 5 ; u c), ; ) c, ahol v u u u, u, u, v v v v és v.,
Soozato. Számítsd i a övetező euzióal adott soozato első hat tagját: a),, ; b),,, ; c),, ; d),,, ; 0,,,, e) 5. 5. Az előbbi soozato eseté, a iszámított tago alapjá, póbáld meghatáozi az általáos tagot! Sejtésedet bizoítsd is! Vizsgáld meg a soozato mootoitását! Va-e özöttü peiodius soozat? 6. Bizoítsd be, hog az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat általáos tagját a övetező egelősége számaztatjá:, ha., ha 7. Az A N halmazól tudju, hog a) A ; b) A A ; c) A A. Igaz-e, hog 8 A? 8. Hatáozd meg azoat az ( ) számsoozatoat, amele teljesíti az N (... ) 9. Bizoítsd be, hog ha az ( a ) N a a a... egelőséget N eseté! pozitív tagú számsoozat teljesíti az egelőtleséget N eseté, ao, N! a 0. Bizoítsd be, hog ha az euziót teljesítő soozat első tagja és özött va, ao <, N,!. Bizoítsd be, hog létezi ola ( ) számsoozat, amele {, }, és az.... Bizoítsd be, hog egetle ola ( ) teljesíti a övetező feltételeet: a) 5 ; N ( ) N szám osztható -el, N! számsoozat létezi, amel b) bámel... -be végződő szám égzete is... -be végződi, N.. Bizoítsd be, hog az soozato peiodiusa! N, euziót teljesítő ( )
Számtai haladváo I.. Számtai haladváo I... A számtai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!. 5, 8,,, 7,. 5,,,,,. 6 0,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íjál te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! a... a a... a... a... a... b... b b... b... b... b... ( ) a... Ételmezés. Az számsoozatot számtai haladváa (vag N számtai soozata) evezzü, ha létezi ola R szám, amele a a,.... Jelölés. Azt, hog az ( a ) N övetezőéppe jelöljü: a, a,..., a,.... soozat számtai haladvá, a... Megjegzése. A euzióba szeeplő számot a soozat álladó ülöbségée evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó ülöbség étée:. a 5 és ;. a és ;. a és.. Az ( a ), véges soozatot ao evezzü számtai haladváa (vag számtai soozata), ha létezi ola R szám, amele a a,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modhatju, hog számtai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit.. Az a a, euzió em hatáozza meg egételműe az ( a ) számtai soozatot, csa azt biztosítja, hog a soozat számtai haladvá lege. Ahhoz, hog a soozat tagjait meghatáozhassu, további ifomáció szüségese (például eg meghatáozott soszámú tag és az álladó ülöbség elégséges). A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.
Számtai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést eg számtai haladvá háom egmás utái tagja özt! Megoldás. Ha az ( ) soozat számtai haladvá, ao létezi ola valós szám, amele a a N a és a a. Midét összefüggésből ifejezzü a soozat álladó ülöbségét, és íhatju, hog: a a a a. Tehát a a a,. A apott összefüggés azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. Ezt a tulajdoságot gaa haszálju, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság. Az ( ) a számtai haladvá mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. N..6. Megjegzése. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodítottja is eg igaz ijeletés. Azo a soozato, a amele teljesíti az a a euziót mide ettőél em isebb temészetes étée, számtai haladváo. a a Valóba, ha a,, ao a a a,, és íg a a a a,. Jelöljü -el az a a ülöbséget. Az előbbie alapjá a a a a a a... a a, tehát az ( a ) soozat számtai haladvá. N. Igazolju a övetező általáosabb tulajdoságot is: a a a,. I... A számtai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi számtai haladváo általáos tagjáa épletét!. a a, és a ;. a a a,, a 5 és a 0. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! a a, a a, 5 a 5 a a a, és a, tehát,, a a és a 5. Ee alapjá sejthető, hog a ( ),. A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható.
Számtai haladváo 5 {,,,, 5 } eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog a ( ) valamile étée, ao a euzió alapjá a ( ). Tehát a matematiai idució elve a a ( ), alapjá. II. póbálozás Íju fel az a a egelőséget, ha ede felveszi az,,,, - étéeet, majd adju össze a apott egelősége megfelelő oldalait. A bal oldalo az a és a ivételével mide tag étsze jelei meg. Egsze egatív előjellel és egsze pozitív előjellel, tehát a bal oldalo az összegzés eedmée a a. A jobb oldalo összese (-) daab -es va, tehát az összeg ( ). Midezt a övetező séma szemlélteti: a a a a a a a a 5 a a... a a a a a a ( ) Az utolsó egelőség alapjá ( ), a. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! a... a... a 5... a 6... és a... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel :... Tétel. Az a a, euzióval ételmezett számtai haladvá általáos tagjáa éplete: a a,. ( ) Bizoítás. Jelöljü P()-el az a a ( ) ijeletést. A P() igaz állítás met a a. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog a a ( ) a, amel éppe azt fejezi i, hog P() a is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát a a, ( ). A teljesség edvéét bizoítju is a tételt.
6 Számtai haladváo... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi 000 000 lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota 5 000 lejjel, vag félhavota 5000 lejjel emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Két pálázó az első lehetőséget választotta, míg a hamadi is godolodás utá a másodi mellett dötött. A cégvezető őt vette fel. Miét? Megoldás. Vizsgálju meg, hog meoa fizetést apáa a ét ülöböző módo dötő embee! A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség 500 000 500 000 05000 05000 00000 00000 II. lehetőség 500 000 505 000 50 000 55 000 50 000 55 000 Jelöljü a -val az első, illetve b -val a másodi lehetőség szeit a -adi hóapba apott fizetést. A övetező étéeet apju: a 000000, a 05000, a 00000, a 05000, a 5 060000 ; b 005000, b 05000, b 05000, b 065000, b 5 085000. Látható, hog a másodi lehetőség má az első hóapba edvezőbb, mit az első, és a ét fizetés özítti ülöbség mide hóapba 5000 lejjel öveszi. Világos, hog ai az első ajálatot választottá, em godoltá végig a lehetőségeet, ezét alalmazta a cégvezető a hamadi pálázót. A továbbiaba azt fogju vizsgáli, hog tulajdoéppe mitől (és hoga) függ az, hog meli lehetőség a edvezőbb. Jelöljü -gel és -vel a havi, illetve a félhavi fizetésemelés agságát valamit a-val a ezdő fizetés agságát. A feladat jelöléseit megőizve a övetező táblázathoz jutu: I. hóap II. hóap III. hóap IV. hóap V. hóap I. lehetőség a a a a a II. lehetőség a a 5 a 9 a a 7 A táblázat alapjá látható, hog a havi fizetése midét esetbe számtai haladvát alota. Az első lehetőség eseté az álladó ülöbség, míg a másodi lehetőség eseté. Az általáos taga voatozó tétel ételmébe a a ( ) és b a ( ). Tehát, ha, ao a másodi lehetőség, ha <, ao az első lehetőség a edvezőbb.... Feladat. Ha a, a,..., a,..., a a a) bizoítsd be, hog a, ; b) számítsd i az a alaú összegeet, ha észlelsz? a {,,..., }! Mit
Számtai haladváo 7 Megoldás a) Az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a (. Tehát a a a ( ) a. ) b) Szité az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a ( ), tehát a a a ( ). Mivel az összege voatozó ifejezés em tatalmazza a változót, függetle -tól és mide eseté a a -el egelő. I... A számtai haladvá első tagjáa összege A övetezőbe iszámítju az első temészetes szám összegét.. módsze. Az S... ( ) ( ) ( ) összeg tagjait íju fodított soedbe, majd adju hozzá az eedeti összeghez. Az ( ) egelőség alapjá az összegbe megjeleő tagot daab csopotba lehet osztai úg, hog az eges csopotoo belül a számo összege lege. Íg íhatju, hog S ( ) ( ), tehát S. Jobba átteithetjü az előbbi számolásoat, ha a ét összeget egmás alá íju és oszlopoét adju össze. S (-) S N (-) (-) () () () () () S Mivel a jobb oldalo -sze szeepel az, íhatju, hog ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede helettesítsü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait adju össze. ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( )... ( ) S
8 Számtai haladváo Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et: ( ) ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg a melléelt ábáat! Az első soba eg oog, a másodiba ettő, a hamadiba pedig háom helezedi el. Íg a voal fölött látható oogo száma éppe. Ha ezt iegészítjü az összeggel, amele megfelelő oogo a voal alatt helezede el, 9 oogot apu. A oogo eg csúcsáa állított égzetet hatáoza meg. A apott összefüggés alapjá S S vag S. A másodi ába alapjá vag S. S S ( ) Ha oogot teitü, ao a ( ) összefüggéshez jutu. Ebből ifejezzü az S -et: S ( ) ( ) S. ( )... Megjegzés. Az alaú számoat háomszögszámoa evezzü. A megevezést az előbbi ábá idooljá.... Feladat. Számítsu i az első páatla temészetes szám összegét legalább háom ülöböző módo! Az előbb haszált háom módszet póbálju most is alalmazi.. módsze. Jelöljü S -el az első páatla temészetes szám összegét. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju. S 5 - - S - - -5 S Tehát ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede behelettesítjü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait összeadju.
Számtai haladváo 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5)... 5 ( ) Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et, és apju, hog S ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg az alábbi ábát! Mide voala azoa a oogoa a számát ítu, amele a voal fölött vag tőle bala vaa, de az az előtti voal alatt vag tőle jobba helezede el. Például az 5-ös a fehé oogoa voatozi. Látható, hog (a oogo eg -es égzetbe edezhető); 5 (a oogo eg -as égzetbe edezhető); 5 7 (a oogo eg -es égzetbe edezhető); 5 7 9 5 ( 5 5-ös égzetbe edezhető); 5 7 9 6 ( 6 6-os égzetbe edezhető). Ha figelembe vesszü, hog az ( ) ( ) -es égzetet az -es égzetből potosa oog hozzáadásával szeesztjü, állíthatju, hog.. módsze. S iszámítását vezessü vissza az első temészetes szám összegée voatozó összefüggése: ( ) ( ) S. S
0 Számtai haladváo A... feladat b) potjáa eedméei biztosítjá, hog az. módsze alalmazható bámel számtai haladvá első tagjáa az összege eseté. Az ( ) azoosság alapjá a. módsze segítségével is i tudju számítai eg tetszőleges számtai haladvá első tagjáa összegét. Sajos a. módsze em alalmas az általáos eset tágalásáa (hisz mide haladváa valami más epezetációt ellee italáli, és ee szemléltetését Z eseté más alapoa ell helezi). A. módszet ago so összeg iszámításáa lehet alalmazi, hisz alapgodolata az, hog a iszámítadó összeget egszeűbb összeg(e)e botju. Vizsgálju meg az általáos esetet! Számítsu i az számtai haladvá első tagjáa összegét! Jelöljü a a... S a összege voatozó tételt: ( a ) N -el ezt az összeget: a a. A potosság edvéét előbb ijeletjü az... Tétel. Az ( a ) N számtai haladvá első tagjáa az összege ( a a ). bizoítás S S,. a ( a ) ) a ) S ( ( ) a ( Másészt a ( a a ( ) ) állítása igaz. ( ). ( a ) a, tehát a tétel. bizoítás. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju, és haszálju a... feladat b) potjáa eedméét: Tehát S a a a a S a a a a S ( a a ) ( a a ) ( a a ) a a S ( a a ). ( )
Métai haladváo I.. Métai haladváo I... A métai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!., 6, 8, 5, 6, 86,., 6,,, 8, 96,. 7, 9,,,, 9,.,,,,, 5.,,,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íj te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! b... b b... b... b... b... b... b b... b... b... b... ( ) b... Ételmezés. A számsoozatot métai haladváa (vag N métai soozata) evezzü, ha létezi ola q R szám, amele b b q,.... Jelölés. Azt, hog a ( b ) N soozat métai haladvá az b, b,..., b,... szimbólummal jelöljü.... Megjegzése. A euzióba szeeplő q számot a soozat álladó háadosáa (vag vóciesée) evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó háados étée:. b és q ;. b és q ;. b 7 és q ;. b és q ; b,. A ( ) 5. b és q. véges soozatot ao evezzü métai haladváa (vag métai soozata), ha létezi ola q R szám, amele b b q,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modju, hog métai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit. A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.
Métai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést valamel métai haladvá háom egmás utái tagja özt! b Ha a ( ) soozat métai haladvá, ao létezi ola q valós szám, amele: b N b q és b b q. Szoozzu meg -gel az első összefüggést: b b b q b b q b. Tehát b b, b. Ha a soozat pozitív tagú, az előbbi összefüggés midét oldalából égzetgööt vohatu, íg a b b b, összefüggéshez jutu. Ez azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa. Az előbbi ét tulajdosággal gaa találozhatu, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság a) A ( b ) N métai haladvá tagjai teljesíti a b b b egelőséget, temészetes száma. b) Pozitív tagú métai haladvá mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa...6. Megjegzése b. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodított állításai is igaz állításo (lásd a... megoldott feladatot).. Aácsa a számtai haladváo eseté, itt is évées eg általáosabb összefüggés: b b b,, ahol ögzített temészetes szám. I... A métai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi métai haladváo általáos tagjáa épletét!. b, és b ; b b,. b és b 5. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! b b, b b b b, és b 5 b. Ésszeűe tűi azt állítai, hog a soozat tagjai a hatváaia háomszoosai, vagis b,. ( b ) N A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható:,,,, 5 eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog b valamile étée, ao a euzió alapjá. Tehát a matematiai idució elve alapjá,. b { } b b,
Métai haladváo II. póbálozás Íju fel a b b egelőséget, ha ede felveszi az,,,, étéeet, majd szoozzu össze a apott egelősége megfelelő oldalait. Mivel a soozata sem a vóciese, sem az első tagja em ulla, a soozat egetle tagja sem ulla. A b és b ivételével mide tag étsze jelei meg, egsze a bal oldalo és egsze a jobb oldalo, ezét ezeel egszeűsíthetü. Íg a összefüggéshez jutu. Midezt az alábbi séma szemlélteti: b b b b b b b5 b... b b b b b b b b b b Az utolsó egelőség alapjá b,. III. póbálozás Íju az előbbi egelőségeet fodított soedbe, majd szoozzu a másodiat -vel, a hamadiat -el és általába a -adiat -el, majd adju össze az íg apott egelőségeet. b b b b b b... b b b b b b b b Tehát b, eseté. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! b... b... b... b 5... és b... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel:
Métai haladváo... Tétel. A b b q, euzióval ételmezett métai haladvá általáos tagjáa éplete: b b q,. Bizoítás. Jelöljü P()-el a b b q ijeletést. P() igaz állítás, met b b q q. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog, ami éppe azt fejezi i, hog P() is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát b b q a q,. b b q b... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi 000 000 lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota %-al, vag félhavota 0%-al emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Meli lehetőséget választaá ao, ha havota 5%-al vag félhavota 0%-al emelé a fizetésüet? Megoldás. Póbálju általáosa vizsgáli a édést, úg hog e végezzü el étsze ugaazoat a műveleteet a ét eset tágalásao. Jelöljü a-val és b-vel a havoéti, illetve félhavoéti emelése százaléaáát az emeledő fizetésehez épest és -szel a ezdeti fizetést. Vizsgálju meg, hog meoa fizetéseet apáa a ét ülöböző módo dötő embee. A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség ( a) ( a) II. b ( b) ( b b lehetőség ) ( ) ( b Látható, hog az első esetbe a havi fizetése összegei ( a) haladvát alota, míg a másodi esetbe a félhavi fizetése ( b) ) vóciesű métai vóciesű métai haladvát alota. Íg az -edi hóapba az első lehetőség szeit a ( a) lee a fizetés, míg a másodi lehetőség szeit b ( b) ( b) ( b) ( b). Most átéhetü a oét esete vizsgálatáa. a) a 0, és b 0, eseté a,, és b,,, met,,. Összehasolítju a ét lehetőséget, és láthatju, hog a másodi lehetőség az előösebb.
Métai haladváo 5 b) a 0,5 és b 0, eseté a,5, és b,,, met, a a 0,0,. Számítsu i az aát! b b,, 0,0( ) (az ( ) Beoulli-egelőtleséget haszáltu,, 0,0 és eseté). Az előbbi becslés alapjá látható, hog ha elég ag, ( 60 ), ao az első lehetőség szeit számolt fizetés agobb lesz, mit a másodi lehetőség szeit számolt összeg.... Megjegzés. Itt a havi fizetéseet vizsgáltu. Az I... paagafus utá ajálju az -edi hóapig számolt összjövedelme összehasolítását. Potosabb becslése alalmazásával biztatóbb eedméehez juthatu. Az összjövedelem ugais má másfél év utá agobb lesz az első lehetőség eseté. I... A métai haladvá első tagjáa összege... Feladat. Vizsgáld meg, hoga változa a övetező felbotásoba a másodi záójelbeli ifejezése itevői! Az észlelt szabálszeűsége alapjá póbáld iegészítei a hiáos felbotásoat! 7 6 7 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 5 ( )( ) 6............... ( )(...) 6..................... ( )(... ) Az előbbi felbotásoat bizoítsd is!... Tétel. Ha temészetes szám, ao bámel és valós száma.. bizoítás ( ) 0 ( ) 0 0 0 (... ) (... ). bizoítás A matematiai idució módszeét haszálju. Ha tehát feltételezhetjü, hog,, ao az egelőség igaz,. {,,,, 5 } eseté diet számolással
6 Métai haladváo elleőiztü (lásd a... feladatot). Ha a tétel állítása igaz eg tetszőlegese választott temészetes száma, ao íhatju, hog.... Az egelőség midét oldalátmegszoozzu -al és hozzáadu -t, íg apju, hog ( )..., vagis.... Ha az utolsó egelőséget ( -al beszoozzu, ao ) ( ) 0 adódi, tehát az állításu ()-e is igaz. A matematiai idució elve szeit a tétel állítása mide temészetes száma igaz.... Feladat. Az előbbi tétel segítségével számítsu i a övetező összegeet: a) S ;... ) ( b)... ) ( S ; c) ( ) ( ) ( )... ) ( S. Megoldás a) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü.. ) ( S b) Az azoosságba ( ) 0 -et és -et helettesítü. ) ( S. c) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü. ( ) ) ( S. Az előbbi összegeet más módszeel is iszámíthatju. Az helett iszámítju az ) ( S ) ( ) ( S S ülöbséget. Az összeg tagjai özül a legtöbb étsze jelei meg: egsze pozitív előjellel és egsze egatív előjellel. Ezt a övetező ábá szemléltetjü:
Métai haladváo 7 S ( ) ( ) S ( ) - - ( ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) S ( ) 0 0 0 - ( ) ( ) Tehát S ( ).... Tétel. A b b q általáos tagú métai haladvá első tagjáa összege a övetezőéppe fejezhető i: q b,, ha q ; S q b, ha q. Bizoítás. Ha q, ao -e és q -a a... tétel alapjá q q Ha.... q q, tehát q ( q q... q ) q b b b... b b b. q q, ao a soozat ostas és mide eleme b -gel egelő, tehát az összeg b I.. Megoldott feladato. Bizoítsd be, hog ha a ( ) N b számsoozat tagjai teljesíti a b b b egelőséget mide eseté, ao a soozat métai haladvá. b Bizoítás. Ha a soozat egetle tagja sem ulla, ao a q jelölést b b b b b5 b b haszálva íhatju, hog q... (itt a -adi b b b b b b egelőséget eseté az adott összefüggés biztosítja -a). Az előbbi aáso első és utolsó tagjáa egelőségéből övetezi, hog b b,. Az ételmezés alapjá a b soozat métai haladvá. ( ) q N