Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c, ha n ; n + mert n + + c = n = ln + c; mert (ln + c) = sin = cos + c; mert ( cos + c) = sin cos = sin + c; mert (sin + c) = cos cos = tan + c; mert (tan + c) = cos sin = cot + c; mert ( cot + c) = sin = arcsin + c; mert (arcsin + c) = = arccos + c; mert ( arccos + c) = + = arctan + c; mert (arctan + c) = + + = arccot + c; mert ( arccot + c) = + cosh = sinh + c; mert (sinh + c) = cosh sinh = cosh + c; mert (cosh + c) = sinh cosh = tanh + c; mert (tanh + c) = cosh sinh = coth + c; mert ( coth + c) = sinh e = e + c; mert (e + c) = e
a = a lna + c; ( ) a mert lna + c = a + = ar sinh + c; mert (ar sinh + c) = = ar cosh + c; mert (ar cosh + c) = + = ar tanh + c, ha < ; mert (ar tanh + c) = = ar coth + c, ha > ; mert (ar coth + c) = Az integrálás alapképleteinek és -szabályainak alkalmazása Példák: (A/) = = = + c (A/) = = = + c (A/) ( ) = ( 4 ) = 4 = 5 5 + c (A/4) ( ) = ( 4 + ) = 4 + = (A/5) (A/6) (A/7) (A/8) = 5 5 + + c + 4 = ( + ) = 4 + 7 = ( + ) = ln + + c ( + + ) = ( ) + = 5 + 5 4 + + c = ( ) + + ln + c + ( + ( + ) = ( + ) + ) ( + = ) ( + ) + = + arctan + c =
6 (A/9) 5 + 5 = 6 5 ln ln (A/0) = + + = 6 5 arctan + c ln = ar sinh + c + sin (A/) tan cos = cos = cos = ( ) cos = tan + c cos cos (A/) cos sin = sin cos sin = (cos + sin ) = sin cos + c 4 ( 4 (A/) = + ) ( + + + + ) = ( ) 4 4 + + + + ln + c Feladatok: (a/) ( + )( + ) = (a/) 4 Integrálás helyettesítéssel f() = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt; helyettesítés: = ϕ(t) Példák: (B/) cos (4 5) = 4 cos t dt = 4 sin t + c = sin (4 5) + c 4 helyettesítés: t = 4 5 = dt = 4 = = 4 dt
(B/) 8 t = dt = t + c = (8 ) + c helyettesítés: t = 8 = dt = = = dt (B/) e = e t dt = e u + c = e + c (B/4) (B/5) (B/6) (B/7) (B/8) helyettesítés: t = = dt = = = dt 0 e = e ln 0 e = e (ln 0+) = ln 0 + et +c = e(ln 0+) ln 0 + +c helyettesítés: t = (ln 0 + ) = dt = ln 0 + = = ln 0 + dt 5 + = ( ) 5 = 5 arctan 5 + c 5 + 5 helyettesítés: t = = dt 5 = = = 5 dt 5 ( ) 5 = ( ) 5 = t 5 dt = t 4 4 + c = 8 ( ) 4 + c helyettesítés: t = = dt = = = dt + 8 = + 8 = t dt = 4 t 4 + c = ( + 8) 4 4 + c helyettesítés: t = + 8 = dt = = dt = sin ( + ) = sin ( + ) = sint dt = cos t + c = cos ( + ) + c (B/9) helyettesítés: t = + = dt = = dt = tan cos = t dt = 4 t 4 + c = tan 4 + c 4 4
helyettesítés: t = tan = dt = cos (B/0) 4 + = = dt = cos t + dt = arctan t + c = arctan + c helyettesítés: t = = dt = = dt = (B/) 8 = 4 t dt = 4 ar cosht + c = 4 ar cosh4 + c helyettesítés: t = 4 = dt = 4 = dt = 4 Feladatok: (b/) sin( π ) (b/) (b/) (b/4) (b/5) 5 (8 )6 + (b/6) (b/7) (b/8) cos sin ln cos + sin Integrálás az f () f() = ln f() + c szabállyal Példák: (C/) 4 + = 4 + = ln (4 + ) + c (lehet t = 4 + 4 helyettesítéssel is) 5
(C/) ln = = ln ln + c ln (C/) (C/4) (lehet t = ln helyettesítéssel is) ( + 5 ) = + = ( + 5 ) = 4 + 5 ln + c 4 (lehet t = helyettesítéssel is) + 9 = + 9 + 9 = + 9 ( 9 ) = ln ( + 9) + + t = = ln ( + 9) arctan t + c = ln ( + 9) arctan + c helyettesítés a második integrálban: t = = dt = = dt = Parciális integrálás u()v () = u()v() u ()v() Példák: (D/) cos = sin sin = sin + cos + c (D/) u = u = v = cos v = sin ( )sin () = ( )cos + cos () = () u = u = () u = u = v = sin v = cos v = cos v = sin 6
( )cos + ( sin ) sin = ( )cos + 9 sin + cos + c 7 (D/) sin () = t sin t dt () = () helyettesítés: = t = = t dt () u = t u = v = sin t v = cos t (D/4) t cos t + cos t dt = t cos t + sin t = cos + sin + c sin cos = sin = u = u = v = sin v = cos (D/5) 4 cos + 4 cos = 4 cos + 8 sin + c arctan = (D/6) u = arctan u = + v = v = arctan = arctan e cos () = e sin + = arctan + + = + = + arctan + arctan +c e sin ( ) 7
() u = e u = e v = cos v = sin Másrészt: e cos () = e cos + e sin ( ) () u = cos u = sin v = e v = e A (*) egyenletet 4-gyel, a (**) egyenletet 9-cel szorozva és összeadva a e sin tag kiesik, így kapjuk: e cos = e sin + e cos (D/7) Tehát: e cos = e sin + e cos + c e arcsin = e t cos t dt =? helyettesítés: t = arcsin = = sin t = = cos tdt e t cos t dt () = e t sint e t sin t dt () u = e t u = e t Másrészt: v = cos t v = sint e t cos t dt () = e t cos t + e t sin t dt () u = cos t u = sin t v = e t v = e t A két egyenletetet összadva az e t sint dt tag kiesik, így: e t cos t dt = e t sin t + e t cos t = e t (sin t + cos t) 8
Tehát: e arcsin = earcsin {}}{{}}{ ( sin arcsin + cos arcsin ) = e arcsin Feladatok: ( ) + (d/) e (d/) a ( + ) + c (d/) e (d/4) arctan (d/5) ln (segítség: u = ln, v = ; majd további két ehhez hasonló parc. int.) (d/6) e (d/7) (8 + 5)e (d/8) arcsin (d/9) (d/0) sin (d/) arctg (d/) cos (d/) sincos 9
(d/4) (d/5) (d/6) (d/7) (d/8) (d/9) (d/0) (d/) ln ln ln (arcsin ) e cos sin e arcsin e cos (d/) (d/) + e ln Racionális törtfüggvények integrálása Példák: (E/) =? 7 + Az integrandust parciális törtekre bontjuk: 7 + = ( )( 4) = A + B 4 = = A( 4) + B( ) ( )( 4) = (A + B) 4A B ( )( 4) 0
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat a jobb és bal oldalon, a következő egyenletrendszert kapjuk: A + B = 4A B = melynek megoldása: A =, B =. Tehát: ( 7 + = + ) 4 = + 4 = (E/) 4 + = ( 4) = ln + ln 4 + c = lnc t dt =? t + helyettesítés: t = = dt = Az integrandust parciális törtekre bontjuk: t t + = (t )(t ) = A t + B t = = A(t ) + B(t ) (t )(t ) = t(a + B) A B (t )(t ) Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk: A + B = 0 A B = melynek megoldása: A =, B =. Tehát: t t + = ( t + ) = t = t + t = = ln t + ln t + lnc = = lnc t t = lnc
(E/) =? + 4 + 8 Itt a nevező nem bontható fel lineáris tényezők szorzatára, ezért az integrandust két olyan tört összegére bontjuk, amelyek egyikében a a számláló a nevező deriváltjának konstansszorosa, a másik számlálója pedig konstans: α( + 4) = + 4 + 8 + 4 + 8 + β α + 4α + β = + 4 + 8 + 4 + 8 Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk: α = 4α + β = melynek megoldása: α =, β = 8. Tehát: + 4 + 8 = + 4 + 4 + 8 8 = ln( + 4 + 8) 8 4 = ln( + 4 + 8) 4arctan + + 4 + 8 = ( + ) + = + c (E/4) + 4 ( ) =? Az integrandust parciális törtekre bontjuk: + 4 ( ) = A + B + C + D ( ) + E ( ) = = A[ ( ) ] + B[( ) ] + C[( ) ] + D[ ( )] + E[ ] ( ) Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet-
rendszert kapjuk: A + D = 0 4A + B D + E = 4A 4B + C = 4B 4C = 0 4C = 4 melynek megoldása: A = 4, B =, C =, D = 4, E =. Tehát: ( + 4 ( ) = 4 + + ) 4( ) + ( ) == (E/5) 6 + 4 = = 4 ln ( ) + c 4 ( =? + ) Az integrandust parciális törtekre bontjuk: 4 ( + ) = A + B + C + D 4 + E + F + = = A(5 + ) + B( 4 + ) + C( + ) + D( + ) + E 5 + F 4 4 ( + ) Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk: A + E = 0 B + F = 0 A + C = 0 B + D = 0 C = 0 D = melynek megoldása: A = 0, B =, C = 0, D =, E = 0, F =. Tehát: ( 6 + 4 = + 4 + ) = + + arctan + c
Feladatok: 5 (e/) 4 5 + 6 (e/) 4 (e/) (e/4) 4 (e/5) ( + ) ( + ) (e/6) 5 π (e/7) + + (e/8) 4 7 (e/9) 4 + + (e/0) + + (e/) 5 + 7 (e/) + + 0 7 (e/) ( + 4) (e/4) (e/5) ( + 9) + 7 ( + ) (e/6) (e/7) + 8 ( ) + + ( ) 4 4
(e/8) 4 + ( ) 7 (e/9) ( + ) 6 (e/0) + 4 + 5 (e/) 5 4 + (e/) 6 0 4 (e/) + 4 7 6 (e/4) 8 4 + 4 + (e/5) + 4 6 5 (e/6) 5 6 4 + + (e/7) + + + + (e/8) + 4 + 4 ( + ) (e/9) ( 0 + )( + + ) 4 + + (e/0) ( + ) ( ) (e/) ( + ) (e/) ( + ) 4 (e/) ( + 4) + (e/4) 4 + 4 + 5
(e/5) (e/6) (e/7) (e/8) + + ( + + )( ) + 4 4 + 4 4 + Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása Páratlan kitevő esetén: leválasztás + helyettesítés. Páros kitevő esetén: linearizálás. Linearizálási formulák: cos + sin = ; cos = cos sin ; sin = sin cos ; cos = sin ; sin = cos ; cos = + cos ; sin = cos ; cosh sinh = ; cosh = cosh + sinh ; sinh = sinh cosh ; cosh = + sinh ; sinh = cosh ; cosh = cosh + ; sinh cosh = Példák: (F/) cos 5 = cos 4 cos = (cos ) cos = ( sin ) cos = ( t ) dt = ( t + t 4 ) dt = t t + t5 5 + c = sin sin + 5 sin5 + c ( helyettesítés: t = sin = dt = cos ) 6
(F/) ( ) cos sin 6 = (sin ) = = = 8 = 8 ( cos + cos cos ) = ( ) + cos 4 cos + cos = = (az utolsó tagra a páratlan kitevő módszerét alkalmazva) = = 8 ( 5 sin + 8 sin 4 sin + ) 6 sin + c (F/) (F/4) dt {}}{ sinh cosh = sinh (+sinh ) cosh = t (+t ) dt = = t + t5 5 = sinh + sinh5 + c 5 sinh = cosh = cosh 5 cosh + c 5 (cosh )sinh cosh = t t dt = 5 t 5 t = Feladatok: sin 4 (f/) cos (f/) sin 6 cos (f/) (f/4) (f/5) (f/6) (f/7) (f/8) sin cos 4 sinhcosh cos sin (sin cos ) sincos 7
(f/9) sin cos (f/0) (f/) (f/) (f/) (f/4) (f/5) (f/6) (f/7) (f/8) sin cos sin cos sin 5 cos 5 cos sin 5 cos sin + cos cos + cos sin + sin (f/9) + cos (f/0) (f/) (f/) (f/) (f/4) (f/5) (f/6) cos sin + cos cos 5 cos sin cos sin + cos tg 5 sin 4 cos 4 8
Az R(e ) alakú függvények integrálása Számítsuk ki a következő integrálokat: (g/) sinh (g/) cosh (g/) (g/4) (g/5) (g/6) (g/7) (g/8) sh sinh ch sinh cosh e e + 6 e e sinh Irracionális függvények integrálása Számítsuk ki a következő integrálokat: (h/) + 5 (h/) ( + ) (h/) e + (h/4) 9 6 + 5 (h/5) (h/6) (h/7) sinh cosh + 8 9
További feladatok Számítsuk ki a következő integrálokat: cos a) cos sin b) e c) cos(4 5) d) e) f) g) 8 0 e 5 + 5 h) i) j) ( 4) 5 5 (8 )6 k) l) m) cos sin sin( + ) ln n) o) ln cos + sin 0