Gyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz

Gyakorlatok Tartalomjegyzék. tavasz. Közönséges dierenciálegyenletek.. Bevezet......................................... Szétválasztható változójú differenciálegyenletek................. 3.3. Lineáris els rend dierenciálegyenlet....................... 8.4. Új változó bevezetése.................................5. Iránymez, izoklinák................................ 6.5.. További gyakorló feladatok a témához:.................. 8.6. Magasabbrend, homogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek. 8.7. Magasabbrend, inhomogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek.8. Lineáris rekurzió.................................. 3.9. Alkalmazások.................................... 4. Függvénysorok 8.. Hányados- és gyökkritérium (numerikus sorok).................. 8.. Weierstrass-kritérium függvénysorok egyenletes konvergenciájára........ 3.3. Hatványsorok konvergencia sugara, konvergenciatartománya.......... 33.4. Hatványsorok összegfüggvénye........................... 36.5. Taylor-polinom................................... 38.6. Taylor-sor...................................... 4.7. Binomiális sorfejtés................................. 48.8. Fourier-sor...................................... 5 3. Többváltozós függvények 54 3.. Határérték, folytonosság.............................. 54 3.. Parciális deriváltak, totális derivált........................ 57 3.3. Érint sík, dierenciál, iránymenti derivált..................... 6 3.4. Összetett függvény deriválása........................... 67 3.5. Széls értékszámítás................................. 69 3.6. Kétszeres integrál téglalap- és normál tartományokon.............. 7 3.7. Kett s integrálok transzformációja........................ 76 3.8. Hármas integrál................................... 79 4. Komplex függvénytan 84 4.. CauchyRiemann egyenletek, dierenciálhatóság, regularitás, harmonikus társ 84 4.. Elemi függvények, egyenletek megoldása..................... 86 4.3. Komplex vonalintegrál............................... 88 4.4. Cauchy-féle integrálformulák............................ 9

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. Közönséges dierenciálegyenletek.. Bevezet Néhány egyszer példa az alapfogalmak megértéséhez:. Feladat: Mutassuk meg, hogy y = e x x e t dt + 3 e x megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek! y y = e x+x (Ez egy els rend differenciálegyenlet. Azt, hogy a függvény megoldása a dierenciálegyenletnek, mondjuk úgy is, hogy kielégíti a dierenciálegyenletet.) A megadott függvény deriválható, mert deriválható függvények összetétele. (Felhívjuk a gyelmet az integrálfüggvényre, emlékezzünk az integrálszámítás II. alaptételére is, az integrandusz folytonos!) y = (e x ) x e t dt + e x x e t dt + (3 e x ) = e x Behelyettesítve a dierenciálegyenlet bal oldalába y -t és y -öt: y y = e x e x = e x+x Tehát valóban a jobb oldalt kaptuk. x e t dt + e x e x + 3 e x. Feladat: y = e 3x + x a) Adjuk meg a differenciálegyenlet általános megoldását! b) Adjuk meg azt a partikuláris megoldást, mely eleget tesz az y() =, y () = kezdeti feltételeknek! a) A differenciálegyenletb l: y = 3 e 3x + x + C Ebb l az általános megoldás: y = 9 e 3x + x3 3 + C x + C, C, C R b) y() = : a megoldásban x helyére -át, y helyére -et helyettesítve: = 9 + C = C = 8 9 y () = : az y -re kapott egyenletben elvégezve a helyettesítést (x =, y = ) = 3 + C = C = 7 3 Így a keresett partikuláris megoldás: y = 9 e 3x + x3 3 + 7 3 x + 8 9

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3.. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Foglaljuk össze a lényeget a példamegoldás el tt! 3. Feladat: Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y = x y ex 3y, y Így a megoldás: = 6 dy dx = e 3y y y dy = e } 3y {{} 6y e 3y dy x e x x e x dx }{{} parciális integrálás... 6 e3y = x ex 4 ex + C, C R Nem kell er ltetni az y -ra való kifejezést. De, ha kifejezzük, akkor ne felejtsük el a ± -t! Adott y(x ) = y kezdeti érték probléma megoldásánál természetesen csak az egyik el jel szerepel majd, hiszen a megoldás egyértelm, mert y >, vagy y <. 4. Feladat: y = y x y, x, y a) Oldja meg a differenciálegyenletet! b) Oldja meg az y() =, y() = 3, illetve az y( ) = 3 kezdeti érték problémákat! a) y megoldás. (Persze az x >, vagy x < része!) (Jó lenne felrajzolni azokat a síkrészeket, ahova es kezdeti érték probléma egyértelm en megoldható) Ha y : Innen a megoldás: y y }{{} + y dy = x dx y + ln y = ln x + C

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4 b) y() = : y y() = 3 : y + ln (y ) = ln x + 3 y( ) = 3 : y + ln ( y) = ln ( x) 3 + ln 5 Hívjuk fel a gyelmet az abszolút érték jelek elhagyására! 5. Feladat: Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y = y + 4y + 9 (x ) (x + 5), x, x 5 (y + ) + 5 dy =. (x ) (x + 5) dx 5 5 arctg y + 5 = 6 (ln x ln x + 5 ) + C 6. Feladat: A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. Tudjuk, hogy a rádium felezési ideje 6 év. A kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik fel év alatt? Jelöljük R(t) -vel a rádium mennyiségét a t id pontban, k -val az arányossági tényez t (pozitívnak választjuk). A kapott dierenciálegyenlet: dr dt = k R (A negatív el jel mutatja, hogy a bomlás következtében a rádium mennyisége csökken.) A szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldása: R = C e k t Ha a t = id pontban a kiindulási anyag mennyisége R, tehát az R() = R kezdeti érték problémánk van: R = C e k = C = R Tehát a keresett partikuláris megoldás: R = R e k t. Mivel ismerjük a felezési id t, meghatározható a k arányossági tényez : R = R e k 6 = k = ln 6 Tehát a rádium mennyisége az id függvényében: R(t) = R e ln 6 t

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 Így a év múlva megmaradt mennyiség: R() = R e ln 6 = R e,433 = R() R = e,433 =, 958 Vagyis 95, 8 %, tehát az eredeti mennyiség 4, % - a bomlott el. További feladatok: Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket! 7. Feladat: y = (3x ) 5 (y 4y) y és y 4 megoldás. Egyébként: y (y 4) dy = (3x ) 5 dx. 4 ( ln y + ln y 4 ) = (3x ) 6 + C 3 6 Keresse meg az y() =, illetve az y() = 4 kezdeti feltételeket kielégít megoldásokat!... 8. Feladat: y = sh y ch y x (x + ) 6 y megoldás. Ha y : ch y sh y dy = ln sh y = 4 x (x + ) 6 dx (x + ) 7 7 + C 9. Feladat: y = (ctg y) ln(x ), y(3) = π/3, illetve y(3) = π/

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 6 x >, y π + k π y k π megoldás. Egyébként: sin y cos y dy = f f ln (x ) dx alakú parciális integrálás... ln cos y = x ln (x ) x ln (x ) + C y(3) = π/3 :... C = 3 + ln, így ln (cos y) = x ln (x ) x ln (x ) + 3 + ln, y (, π ) és x > y(3) = π/ : y π x > része. Feladat: y = y + 3 y x e 4x, y Vagyis 4 y y + 3 dy = x e 4x dx f /f f e f 4y y + 3 dy = 4 x e 4x dx 4 4 ln (y + 3) = 4 e 4x ln (y + 3) = e 4x + C + C. Feladat: y = (y + 3) arcsin x, x < y 3, x < része megoldás. Ha y 3 : (y + 3) dy = arcsin x dx

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 7... parc. int. (y + 3) = x arcsin x + x + C. Feladat: y = y + 3 y + x arctg x áltört y + y + 3 dy = x arctg x dx parc. int. y 3 arctg y 3 3 = x arctg x ( x ) arctg x + C 3. Feladat: y = (y 8) arctg x, y y ( + x ) a) Határozza meg az x =, y = ponton áthaladó megoldást! b) Határozza meg az x =, y = ponton áthaladó megoldást! y ± megoldás. Ha y : 4y 4 y 8 dy = = 4 ln y 8 = arctg x a) y() = :... C = 4 ln 6 b) y() = : y 4 ln y 8 = arctg x arctg x dx + x + C, C R + 4 ln 6, y <

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 8 4. Feladat: y = y 9 x + 5... 5. Feladat: y = y ln y ln x, x >, y >... 6. Feladat: Írjuk fel azoknak az els negyedbe es síkgörbéknek az egyenletét, melyekre teljesül,hogy bármely pontjában húzott érint jének a koordinátatengelyek közötti szakaszát az érintési pont felezi.....3. Lineáris els rend dierenciálegyenlet Beszéljük meg el ször a megoldás menetét! (y iá = y H + y ip, y H : szétválasztható változójú, y ip : állandó variálásával) A homogén egyenlet megoldásánál nem alkalmazható a képlet, minden esetben végig kell csinálni az alábbi két példában mutatott módszerek valamelyikével. 7. Feladat: Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y x x + 4 y = 6x, y() = 4 y iá = y H + y ip

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9 (H): y x x + 4 Ha y : y = = dy dx = dy y = x x + 4 y, x x + 4 dx y megoldás = ln y = ln (x + 4) + C = y = e C e ln x +4 = y = ±e C x + 4, illetve y Tehát a homogén egyenlet általános megoldása: y Hált = C x + 4, C R Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának keresése: y p = c(x) x + 4, y p = c (x) x + 4 + c(x) x + 4 x Behelyettesítve (I)-be: c 6x (x) = x + 4 = c(x) = 3 x (x + 4) / dx = 6 x + 4 + K Mivel egyetlen y p megoldást keresünk, K = választható, így y p = 6 (x + 4). Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y Iált = C x + 4 + 6 (x + 4) (C R) Az y()=4 kezdetiérték probléma megoldása: 4 = C + 4 = C = = y = x + 4 + 6 (x + 4) 8. Feladat: y x y = x, x a) Általános megoldás? b) y() = 3 kezdeti feltételt kielégít megoldás? c) y( e) = 3 e kezdeti feltételt kielégít megoldás? a) Minden olyan tartományban, melyben x a differenciálegyenlet egyértelm en megoldható. (H): y dy y = = x dx = x y Az el adásból tudjuk, hogy y Hált = C Y (x) alakú, ahol Y a homogén egyenlet

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK egy megoldása, mely seholse nulla. Ezt kihasználva a megoldás kevesebb munkával is megkapható. dy y = x dx = ln y = ln x, így y = x (Y = x ) Tehát a homogén egyenlet általános megoldása: y Hált = C x, C R Kérdés: Y (x) = x vesz fel értéket, márpedig a bizonyításban e alakúra jött ki (a jegyzetben Y (x) helyett ϕ(x) jelölés van), tehát nem lehetne. Hol az ellentmondás? Válasz: Az elején beszéltünk róla, hogy az x >, vagy az x < félsíkon dolgozunk és ekkor már valóban teljesül, hogy Y (x) a vizsgált tartományban. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának keresése: y p = c(x) x, y p = c (x) x + c(x) x Behelyettesítve (I)-be: c (x) = x = c(x) = ln x y p = x ln x = y Iált = C x + x ln x b) y() = 3 kezdeti érték probléma megoldása: 3 = C + ln, tehát C = 3. Így a keresett megoldás: y = 3 x + x ln x c) y( e) = 3 e kezdeti érték probléma megoldása: 3 e = C e + e, tehát C =. Így a keresett megoldás: y = x + x ln ( x) (Itt már ne szerepeljen abszolút érték a megoldásban!) 9. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y 3x y = 6x A differenciálegyenlet lineáris els rend, de ugyanakkor szeparábilis is. Így rövidebb a megoldás, ezért most így oldjuk meg: y = 3x y + 6x = dy dx = 3x (y + ) y megoldás. Ha y : dy y + = 3x dx = ln y + = x 3 + C

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK... y + = ±e C e x3, illetve y = y = + C e x3, C R M Oldja meg a differenciálegyenletet lineáris els rend ként is és hasonlítsa össze az eredményeket!. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y + e x ex y = 3 e (H) y + e x y =... y H = C e ex, C R (I) y p = c(x) e ex... c(x) = 3x = y Iált = y H + y p = C e ex ex + 3x e. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y = x y + + x, x (H) y + x y =... y H = C x, C R (I) y p = c(x) x... c (x) = x + x = c(x) = x arctg x = y Iált = y H + y p = C x + x arctg x x. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y + 5 x y = ex x 4, x (H) y + 5 x y =... y H = C x 5, C R

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK (I) y p = c(x) x 5... c (x) = x e x = c(x) = (x ) e x (parc. integrálással) = y Iált = y H + y p = C (x ) ex + x5 x 5.4. Új változó bevezetése Mi mindig megadjuk, hogy milyen helyettesítést alkalmazzunk. 3. Feladat: u = y x helyettesítéssel oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! x y = y ( + ln y ln x), x >, y > y(x) = u(x) x = y = u x + u Behelyettesítve a y = y ( + ln y ) differenciálegyenletbe: x x u x + u = u( + ln u) = u x = u ln u (szeparábilis) x >, y > miatt u >. u egyensúlyi helyzet, tehát y = x megoldás. Ha u : du = } u {{ ln u} x dx f /f alakú Innen a megoldás: ln ln u = ln x + C (C R) = ln u = e C x = K x (K > ) = ln u = ±K x = u = e ±K x, illetve u Így írhatjuk a következ alakban is: u = e C x, C R A visszahelyettesítést elvégezve kapjuk a végeredményt: y = x e Cx, C R 4. Feladat: Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket! Szükség esetén alkalmazza az u = x + y helyettesítést! a) y = x + y b) y = x + y

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3 a) Ez lineáris els rend differenciálegyenlet. (Hf.) b) Ez csak helyettesítéssel oldható meg: (x + y ) u(x) := x + y(x) = y = u x = y = u Behelyettesítve: u = = u = + = du u u dx = u + u Ez szeparálható differenciálegyenlet. u megoldás, tehát y = x megoldja a differenciálegyenletet. Ha u : u u + }{{} u+ u+ = u+ du = dx = u ln u + = x + C A visszahelyettesítést elvégezve kapjuk a végeredményt: x + y ln x + y + = x + C, azaz y ln x + y + = C, illetve y = x 5. Feladat: u = y 4 helyettesítéssel oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! x y + y = ln x y 3, y, x > Adja meg az y() = kezdeti feltételnek eleget tev megoldást! u = 4 y 3 y Ezért átrendezzük a differenciálegyenletet: x y 3 y + y 4 = ln x Behelyettesítünk: 4 x u + u = ln x = u + 4 x u = 4 x ln x Lineáris els rend differenciálegyenletet kaptunk. (H): u + 4 x u = u H = C x 4 ; C R (I): u ip = c(x) c = 4x 3 ln x x 4 Innen parciális integrálással kapjuk: c(x) = x 4 ln x x4 = u ip = ln x = u iá = u H + u ip = C 4 4 x + ln x 4 4 Visszahelyettesítéssel az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása: y 4 = C x 4 + ln x 4, C R y() = : = C + 4 = C = 5 4

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4 Így a keresett partikuláris megoldás: y = 4 5 4 x 4 + ln x 4 6. Feladat: u(x) = y 3 (x) + x helyettesítéssel oldja meg az alábbi kezdeti érték problémát! 3 y y = x + cos x π sin (y 3 + x ), y() = 3 4 u = 3 y y + x = 3 y y = u x Elvégezve a behelyettesítést: u x = x + cos x = sin u du = cos x dx sin u A megoldás: cos u = sin x + C = cos (y 3 + x ) = sin x + C y() = 3 π 4 : cos (y 3 + x ) = sin x, vagyis ( y = arccos 3 sin x + ) x 7. Feladat: Az u = x + y új változó bevezetésével oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = u x = y = u Behelyettesítve: y = x + y, x >, y > u = = u = u + u u : szeparábilis differenciálegyenlet. Ezt megoldja: u ( egyensúlyi helyzet) = x + y = : ez nem felel meg a kikötéseknek. u : u u + du = dx... u ln (u + ) = x + C Így a megoldás: x + y ln (x + y + ) = x + C, C R

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 8. Feladat: Vezesse be az u = y 3 új változót az alábbi dierenciálegyenletbe, majd határozza meg az y() = u = 3 y y kezdeti értékhez tartozó megoldását: 3y y y 3 = e x + x Behelyettesítve: u u = e x + x : lineáris els rend differenciálegyenlet.... u Iált = C e x + x e x x 4 Így az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása: y 3 = C e x + x e x x 4 y() = : 8 = C = C = 3 4 8 Tehát a keresett partikuláris megoldás: y 3 = 3 8 ex + x e x x 4 ( ) y = 3 3 8 ex + x e x x 4 9. Feladat: Hajtsa végre az u = y 3 + x helyettesítést az alábbi kezdetiérték problémánál! 3y y = (y 3 + x + ) 3 cos (πx), y() = Milyen dierenciálegyenlethez jutott? Ne oldja meg a kapott dierenciálegyenletet! u = 3y y + = 3y y = u Elvégezve a behelyettesítést: u = (u + ) 3 cos (π x) = u = (u + ) 3 cos (π x) Szétválasztható változójú differenciálegyenletet kaptunk. y() = : u() = y 3 + x x=, y= = + =

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 6.5. Iránymez, izoklinák 3. Feladat: a) Írja fel az y = e y+ x differenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét! Rajzoljon fel kett t! b) Van-e lokális széls értéke a P (e, ) ponton áthaladó megoldásnak P -ban? a) y = e y+ x = K = y = ln (x + K) az izoklínák egyenlete Pl. K := : y = ln x K := : y = ln (x ) (Vonalelemek vízszintesek) ( Vonalelemek hajlásszöge: π 4 ). ábra. ábra b) y (e) = e y+ x x=e, y= = e e = : lehet lokális széls érték y = e y+ y ; y (e) = e = < = lok. max. 3. Feladat: y = (y 4) x + x a) A sík mely pontjaiban párhuzamos az iránymez az y = x egyenessel? Vázoljuk ezeket a pontokat és jelöljünk be néhány vonalelemet! b) Van-e lokális széls értéke vagy inexiós pontja az x =, y = ponton átmen megoldásnak a szóbanforgó pontban? (Feltéve, hogy van ilyen megoldás.) a) y = x meredeksége: Az izoklínák egyenlete: (y 4) x + x = K Most K = érdekel bennünket: (y 4) x + x = = (y 4 + ) x = Ennek megoldása: y = 3, tehát y = ± 3, illetve x =.

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 7 b) y() = 3. ábra y () = (y 4) x + x x=, y= =, tehát lokális széls érték lehet itt. y = y y x + (y 4) + y () = y() y () + (y() 4) + = Tehát az adott pontban lokális minimuma van a megoldásfüggvénynek. (Inexiós pont nem lehet, mert y ().) 3. Feladat: Az akárhányszor deriválható y = y(x), x R megoldása az y = y 3 x differenciálegyenletnek és átmegy az (, ) ponton. a) Van-e ennek a megoldásnak lokális széls értéke az x = helyen? b) Írja fel ennek a megoldásnak az x = pont körüli harmadfokú T 3 (x) Taylor polinomját! a) y() = y () = =, tehát lokális széls érték lehet itt. y = 3 y y x = y () = = < Tehát az adott pontban lokális maximuma van a megoldásfüggvénynek. ( y() = értékkel.) b) Az x = bázispontú harmadrend Taylor polinom: T 3 (x) = y() + y () (x ) + y () (x ) + y () (x ) 3!! 3! (Még nem tanultuk, majd hamarosan tanuljuk. Az évközi zárthelyikben nem lesz ilyen példa, de vizsgán lehet.) Még y () hiányzik a behelyettesítéshez. y = 3 ( y y ) y + 3 y y = y () = 8 Elvégezve a behelyettesítést, kapjuk a keresett Taylor polinomot: T 3 (x) = (x ) 8 (x )3 6

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 8.5.. További gyakorló feladatok a témához: 33. Feladat: A Feladatgy jteményb l:.4.3. b), c) (Feltéve, hogy minden kezdeti érték problémának van megoldása.).4.4. 34. Feladat: y = 3x + 6y 8 a) Írja fel az x = 3, y = ponton áthaladó megoldás adott pontbeli érint egyenesének egyenletét! b) Írja fel a differenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét! c) Hol lehet lokális széls értéke a megoldásfüggvényeknek? Rajzolja fel ezeket a pontokat! 35. Feladat: y = x y, y(x ) = y a) Jelölje ki azokat a pontokat, melyeken a megoldásgörbe - lokálisan növeked en, - lokálisan csökken en halad át. b) ++ Mely pontokban van lokális széls értéke a megoldásgörbéknek? Milyen jelleg? 36. Feladat: Tudjuk, hogy az y = y y + x dierenciálegyenletnek minden y(x ) = y kezdeti értékhez létezik pontosan egy megoldása, amely akárhányszor dierenciálható. a) Milyen lokális tulajdonsága van a P (, ) ponton átmen megoldásgörbének ebben a pontban? b) Írja fel az izoklinák egyenletét! Rajzoljon fel néhányat! Hol lehet lokális széls értéke a megoldásfüggvényeknek? c) Vannak-e olyan megoldások, amelyeknek az x = helyen inexiós pontjuk van?.6. Magasabbrend, homogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek Oldja meg az alábbi homogén dierenciálegyenleteket! 37. Feladat: y + y + y =

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9 λ 3 + λ + λ = λ (λ + ) = = λ =, λ,3 = (bels rezonancia) 38. Feladat: y H = C + C e x + C 3 x e x, y + 4 y + 3 y = C, C, C 3 R λ 3 + 4 λ + 3 λ = λ (λ + 4 λ + 3) = = λ =, λ,3 = ± j 3 39. Feladat: y H = C + C e x cos 3x + C 3 e x sin 3x, C, C, C 3 R Írjon fel egy olyan legalacsonyabbrend valós konstans együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények! Írja fel az adott dierenciálegyenlet általános megoldását is! a) e 5x e 3x b) 6x + 5 e x c) 7x, sin 5x d) 3 x e x, e 3x e) 6 + e 3x sin x a) e 5x miatt λ = 5, e 3x miatt λ = 3 Így a karakterisztikus egyenlet: (λ 5) (λ + 3) = = λ λ 5 = A dierenciálegyenlet: y y 5 = A dierenciálegyenlet általános megoldása: y H = C e 5x + C e 3x, C, C R b) x miatt λ = λ = λ 3 =, e x miatt λ 4 = Így a karakterisztikus egyenlet: (λ ) 3 (λ ) = = λ 4 λ 3 = A dierenciálegyenlet: y IV y = A dierenciálegyenlet általános megoldása: c) a karakterisztikus egyenlet: y H = C + C x + C 3 x + C 4 e x, C, C, C 3, C 4 R (λ ) (λ j 5) (λ + j 5) = λ (λ + 5) = λ 4 + 5 λ = A dierenciálegyenlet: y IV + 5 y = A dierenciálegyenlet általános megoldása: y H = C + C x + C 3 sin 5x + C 4 cos 5x, C, C, C 3, C 4 R

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK d) (λ ) 3 (λ 3) = e) (λ ) (λ (3 + j)) (λ (3 j)) = λ ((λ 3) j) ((λ 3) + j) = λ ((λ 3) + ) = = λ 3 6λ + λ =.7. Magasabbrend, inhomogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek 4. Feladat: y 5y + 6y = sin x λ 5λ + 6 = = λ =, λ = 3 A homogén egyenlet általános megoldása: y H = C e x + C e 3x 6 y ip := A sin x + B cos x 5 y ip = A cos x B sin x y ip = 4A sin x 4B cos x A = 6, B = 5 6 y iá = C e x + C e 3x + 6 sin x + 5 6 cos x, C, C R 4. Feladat: y 6 y + 3y = 39 Mivel λ 6λ + 3 = = λ, = 3 ± j e (3+j )x = e 3x (cos x + j sin x), a homogén egyenlet általános megoldása: y H = C e 3x cos x + C e 3x sin x y ip := A, 3 A = 39 = A = 3 y iá = C e 3x cos x + C e 3x sin x + 3, C, C R 4. Feladat: y 5y + 6y = x e x, y(x) =? λ 5λ + 6 = = λ =, λ = 3 = y H = C e x + C e 3x

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK y ip = (Ax + B) e x alakban keressük. A =, B = 3 ( = y ip = x + 3 ) Így a keresett általános megoldás: ( y iá = y H + y ip = C e x + C e 3x + x + 3 ) e x e x 43. Feladat: y y y = 3 e x, y() = 3, y () =, y(x) =? λ λ = = λ =, λ = = y H = C e x + C e x y ip := A x e x (küls rezonancia) y ip = A e x + A x e x y ip = A e x + A e x + 4A x e x x e x ( A A + 4A) + e x ( A + 4A) = 3 e x = 3A = 3, tehát A =. = y ip = x e x Így a keresett általános megoldás: y iá = C e x + C e x + x e x Mivel y iá = C e x C e x + e x + x e x A keresett partikuláris megoldás: y() = 3 : 3 = C + C y () = : = C C + = C =, C = Vagyis a keresett partikuláris megoldás: y = e x + e x + x e x Írjuk fel a példát, írjuk fel a homogén általános megoldását! Beszéljük meg a kísérletez függvényt és csak a felvett konstansokra kapott értékeket írjuk fel, legyen házi feladat a meghatározásuk! 44. Feladat: y (4) 8 y + 6 y = x 9, y(x) =? λ 4 8λ 3 + 6λ = λ (λ 4) = = λ, =, λ 3,4 = 4 (bels rezonancia) = y H = C + C x + C 3 e 4x + C 4 x e 4x y ip = (Ax + B) x = Ax 3 + Bx alakban keressük. (Küls rezonancia) A = ( 48, B = = y ip = 4 48 x ) x 4

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C + C x + C 3 e 4x + C 4 x e 4x + ( 48 x ) x 4 45. Feladat: y + y = sin x cos x, y() =, y () =, y(x) =? λ + = = λ, = ±j = y H = C cos x + C sin x Mivel f(x) = sin x, ezért a próbafüggvény: y ip = A sin x + B cos x A = 3, B = = y ip = 3 sin x Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C cos x + C sin x 3 sin x Mivel y iá = C sin x + C cos x 3 cos x A keresett partikuláris megoldás: y() = : = C + = C = y () = : = + C 3 = C = 5 3 Vagyis: y = cos x + 5 3 sin x 3 sin x 46. Feladat: y y y + y = ch x, y(x) =? λ 3 λ λ + = = λ (λ ) (λ ) = = (λ ) (λ ) = = λ =, λ =, λ 3 = = y H = C e x + C e x + C 3 e x Mivel f(x) = ex + e x, ezért a próbafüggvény: A e x + B e x helyett y ip = A x e x + B e x (küls rezonancia) A = 6, B = 4 = y ip = 6 x ex 4 e x Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C e x + C e x + C 3 e x + 6 x ex 4 e x 47. Feladat: A Feladatgy jteményb l:.5.. -.5..

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3.8. Lineáris rekurzió 48. Feladat: f(n) = 4 f(n ) 3 f(n ) a) Adja meg a lineáris rekurziót kielégít összes számsorozatot! b) Adja meg az f() =, f() = 6 kezdeti feltételt kielégít megoldást! c) Írja fel az összes O() típusú megoldást! a) Tudjuk, hogy van f(n) = q n (q ) alakú megoldás: q n = 4 q n 3 q n, q = q = 4q 3 = q 4q + 3 = (q ) (q 3) = = q =, q = 3 Az általános megoldás: f(n) = C + C 3 n, C, C R b) f() = : C + C = f() = 6 : C + 3C = 6 = C =, C = Tehát f(n) = 3 n c) f(n) = O() jelentése: K : f(n) K, n > N (legfeljebb véges sok kivétellel) Tehát f(n) - nek korlátosnak kell lennie, ehhez C = választás kell. 49. Feladat: a) Adja meg az f(n + ) = 5 f(n) f(n ) lineáris rekurziót kielégít összes számsorozatot! b) Van-e f(n) = O() tulajdonságú megoldás? c) Adja meg az f() =, f() = 5 kezdeti feltételt kielégít megoldást? a) f(n) = q n alakú megoldást keresünk. Helyettesítsünk be az egyenletbe! q n+ = 5 qn q n = q q 5 q + = = q =, q = Így az összes megoldás: f(n) = C n + C ( ) n, C, C R b) f(n) = O() jelentése: f(n) korlátos. Ez C =, C R esetén teljesül. } n = : C + C = c) n = : C + C = C = 3, C = = ( ) n Így a keresett megoldás: f(n) = 3 n

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4 5. Feladat: Adja meg a lineáris rekurziót kielégít összes számsorozatot! Írja fel az összes O(), O(n), illetve O(3 n ), típusú megoldást! a) f(n) = 3 f(n ) f(n ) b) f(n) = 5 f(n ) 4 f(n ) c) f(n) = 5 f(n ) 6 f(n ) 5. Feladat: Írja fel a rekurzió adott kezd értékhez tartozó megoldását! a) f(n) = 3 f(n ) f(n ), f() = 3, f() = 3 b) f(n) = f(n ) + f(n ), f() = 3, f() = c) f(n) = 3 f(n ) + f(n ), f() = 3, f() = 6 d) f(n) = 5 f(n ) + 6 f(n ), f() =, f() =.9. Alkalmazások 5. Feladat: Harmonikus rezg mozgás Az ideális rugó által kifejtett F er arányos, és ellentétes irányú a rugó x megnyúlásával, F (x) = Dx. Hogyan mozog (egydimenzióban) az a test, amelyre egyetlen rugó hat? Newton II. törvénye értelmében F (x) = mẍ. Beírva a rugóer alakját, a Dx(t) = mẍ(t) másodrend dierenciálegyenlethez jutunk, melynek általános megoldása x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt), D ahol ω =. m (Az egyenletet visszavezethetjük els rend re, ha megszorozzuk ẋ(t)-vel, és felhasználjuk, hogy ẋ(t)x(t) = dt( d x (t) ), valamint ẍ(t)ẋ(t) = dt(ẋ d (t) ).) 53. Feladat: Kondenzátor kisülése A C kapacitású, Q kezdeti töltéssel feltöltött kondenzátort az R ellenálláson keresztül kisütjük. Határozzuk meg a kondenzátor Q(t) töltésének id függését, az áramkörben folyó I(t) áramot, valamint a kondenzátor kapcsain mérhet U(t) feszültséget az id függvényében! A szükséges zikai ismeretek: A kondenzátor U(t) feszültsége, Q(t) töltése és C kapacitása között minden pillanatban fennáll, hogy C = Q. Az ellenálláson folyó áram és a sarkai U

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 közt mérhet feszültség kapcsolata: R = U. Végül a kondenzátor töltése és az áram közti I kapcsolat: Q(t) = Q + t τ=t I(τ)dτ, azaz Q(t) = I(t). Az áramkörben nincsen telep, tehát az ellenálláson és a kondenzátoron es feszültségek összege minden pillanatban zérus, U C (t) + U R (t) =. Az U C (t) feszültség a kondenzátor töltésével kifejezve: U C (t) = Q(t). Az áramkörben folyó áram I(t) = Q(t), tehát az ellenálláson es C feszültség U R (t) = RI(t) = R Q(t). De e két feszültség összege zérus, tehát a Q(t) C + R Q(t) =, Q() = Q dierenciálegyenletet kapjuk, aminek a kezdeti feltételt kielégít megoldása: Q(t) = Q e C R t. 54. Feladat: Radioaktív bomlás Radioaktív bomlás során az id egység alatt elbomlott atomok száma arányos a még el nem bomlott atomok számával. Határozzuk meg, hogyan változik az id függvényében a még el nem bomlott atomok száma, valamint a minta aktivitása (id egységre jutó bomlások száma)! Legyen a még el nem bomlott atomok száma N(t). Rövid dt id alatt elbomlott atomok száma arányos (N(t)-vel és dt-vel, azaz N(t) N(t + dt) = N(t)λdt, ahonnan Ṅ(t) = λn(t) dierenciálegyenlethez jutunk. Ennek megoldása: N(t) = N e λt ; a minta aktivitásának id függése pedig A(t) = Ṅ(t) = N λe λt. 55. Feladat: Oszlopra tekert kötél A matrózok úgy tartják a nagy hajókat a partnál, hogy a kiköt kötelet el bb néhányszor a kiköt höz betonozott függ leges oszlopra csavarják, és a felcsavart kötél másik végét húzzák. Vajon miért teszik ezt? Mennyivel tudnak így nagyobb er t kifejteni, mintha a kötelet közvetlenül húznák? Az oszlopra csavart kötél ráfeszül az oszlopra, és az oszlop és a kötél közt ébred súrlódási er segít megtartani a hajót. Jelölje az oszlop sugarát R. Legyen ϕ az oszlopra csavart kötél pontjait jellemz szög (ϕ = a hajó felé es kötélpont, ϕ = ϕ pedig a matróz felé es kötélpont), és legyen K(ϕ) a kötelet a ϕ szöggel jellemzett pontban feszít er. (Tehát K iránya az oszlop érint jébe esik.) Szemeljünk ki egy ϕ-nél elhelyezked, kis dϕ kötéldarabot. E kis kötéldarabra a két végénél K(ϕ), ill. K(ϕ + dϕ K(ϕ) er hat. A két er iránya közel ellentétes, a hatásvonalaik szöge dϕ. Egyszer geometriai megfontolásból adódik, hogy (dϕ esetében) a két er ered je közel sugár irányú, és nagysága dn(ϕ) K(ϕ)dϕ. Ekkora nyomóer nél a tapadási súrlódási er maximuma ds(ϕ) = µ dn(ϕ) µ K(ϕ)dϕ. A kiszemelt dϕ szög kötéldarab nyugalomban van, tehát a rá ható érint irányú er k ered je zérus, azaz K(ϕ) = K(ϕ+dϕ)+dS(ϕ). Innen a kötélet feszít er re, mint a felcsavarodási szög függvényére a következ dierenciálegyenletet kapjuk: d dϕ K(ϕ) = µ K(ϕ); K() = K, aminek a megoldása: K(ϕ) = K e µ ϕ.

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 6 Tehát ha a matróz ϕ szögben csavarja rá a kötelet az oszlopra, és a kötél és az oszlop között a tapadási súrlódási együttható µ, akkor a matróz e µ ϕ -szer kisebb er kifejtésével képes megtartani a hajót. 56. Feladat: Esés nagy magasságból a világ rben +++ Tegyük föl, hogy egy gonosz varázsló megállítaná a Holdat, és az kezd sebesség nélkül szabadon esne a Föld felé. Hogyan változna a FöldHold távolság az id függvényében? Legyen a Föld tömege M, a Hold tömege m, kezdeti távolságuk h, és tegyük föl az egyszer ség kedvéért, hogy a Föld nem mozdul el a Hold felé. (Ez a közelítés akkor jogos, ha M m.) A gravitációs állandót jelölje γ. Amikor a Föld és a Hold távolsága r(t), akkor a Föld által a Holdra kifejtett gravitációs vonzóer F (r) = γ mm, így a Hold mozgásegyenlete: r m r(t) = γ mm r (t). (A negatív el jel utal arra, hogy az er vonzó.) A kapott egyenlet másodrend dierenciálegyenlet az r(t) függvényre nézve, azonban egy ügyes trükkel els rend vé alakíthatjuk. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ṙ(t)-vel, és vegyük észre, hogy r(t)ṙ(t) = dt(ṙ d (t) ), valamint ṙ(t) = ( d r (t) dt r(t)). Tehát ahonnan dt(ṙ d (t) ) = γm d ( ), dt r(t) ṙ (t) = γm r(t) + C. A kapott egyenlet a Holdra felírt mechanikai energiamegmaradás törvényének átrendezett alakja. Autonóm, szeparálható dierenciálegyenlet... 57. Feladat: Láncgörbe +++ Milyen alakú egy két végpontjában felfüggesztett lánc? Írjuk le a lánc alakját az y(x) függvénnyel, mely a lánc x vízszintes koordinátájú pontjának magasságát adja meg. A láncban ébred er vízszintes, ill. függ leges komponensét jelölje K x (x), ill. K y (x). Vizsgáljuk a láncnak az x helyen lev kis dl hosszúságú, dm = ρdl tömeg darabját! (ρ a lánc hosszegységre vonatkoztatott s r sége.) Ez a kis láncdarab nyugalomban van, tehát a rá ható er k ered je (vízszintes és függ leges irányban egyaránt) zérus. Vízszintes irányban a láncra nem hat küls er, tehát K x (x) = K x (x+dx), így a láncot feszít er vízszintes komponense állandó, K x (x) K x. Függ leges irányban a láncdarabra hat a (dm)g nehézségi er, tehát K y (x + dx) K y (x) = gρdl. Ezen kívül tudjuk még, hogy a lánc meredeksége az x pontban y (x), tehát dl = + y (x)dx, valamint a láncban ébred er érint irányú, azaz K y (x) = y (x)k x. Ezeket felhasználva a K x y (x) = ρg + y (x).

. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 7 dierenciálegyenletet kapjuk a lánc alakjára, ami az y (x) függvényre nézve els rend, autonóm, szeparálható egyenlet. A megoldása: ( ρgx ) y (x) = sh + C, y(x) = K ( x ρgx ) K x ρg ch + C. K x Ezért hívják sokszor a koszinusz-hiperbolikusz függvényt láncgörbének. 58. Feladat: Mozgás közegellenállással nagy sebességnél Légnem vagy folyékony közegben nagy sebességgel mozgó testre a sebesség négyzetével arányos közegellenállási er hat. Meg tudjuk mondani például, hogy leszállás után hogyan mozog a kifutópályán az a repül gép, amelyet csak a fékez erny je fékez. A gép mozgásegyenlete: mẍ(t) = κẋ (t), ami ẋ(t)-re els rend, autonóm, szeparábilis dierenciálegyenlet. Például a Föld légkörében szabadon es test mozgásegyenlete mḧ(t) = κḣ (t) mg. 59. Feladat: Mozgás közegellenállással kis sebességnél Talán egyszer bben megoldható a feladat akkor, ha a közegellenállási er a sebességgel arányos. Egy s r, viszkózus folyadékban lassan s llyed kis golyó mozgásegyenlete például mÿ(t) = mg F felh αẏ(t), ami ẋ(t)-re els rend, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós egyenlet. (Az egyenletben F felh a felhajtóer t jelöli, ami csak a test térfogatától és a folyadék fajsúlyától függ állandó.)

. FÜGGVÉNYSOROK 8. Függvénysorok.. Hányados- és gyökkritérium (numerikus sorok) Átismételtük a numerikus sorokról a múlt félévben tanultakat (majoráns, minoráns kritériumot is). Most a két új kritériumot gyakoroljuk (a limeszes alakot használjuk, de mindkét alakot elevenítsük fel).. Feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! 9 n a) n! b) n= lim n n= a n+ a n = lim n 5 3n n 4 a n := 9n n! 9 (n+) n! = lim (n + )! 9n n = n= a n 9 n + = < konvergens a n := 53n n 4 Lehet hányados kritérium, de jobb a gyökkritérium: lim n n an = lim n 5 3 n n 4 = 53 lim n = ( n n) 4 = 53 > divergens n= a n c) n= (n + )! n n (n + )! a n := n n A hányados kritériumot alkalmazzuk: lim n = lim n a n+ = lim a n n + n + n ( n n + (n + )! n n (n ) + ) n+ (n + )! n + n = = lim n + n = n= = lim n a n ( + n (n + ) n n (n + ) = n+ ) n = e < konvergens

. FÜGGVÉNYSOROK 9. Feladat: n= (n + 5) 3 n 5 n+ konvergen- (n + 5) 3n a n := 5 n+ Hányadoskritériummal célszer dolgozni, mert a gyökkritériumnál az ciáját a rend relvvel kellene megmutatni. n n + 5 lim n a n+ a n = (n + 6) 3n 5 n+ 5 n+ (n + 5) 3 n = 3 5 = n= a n n + 6 n + 5 = 3 5 konvergens + 6 n + 5 n 3 5 < 3. Feladat: n= Gyökkritériummal: lim n n an =... = n 4 (3n + 3) n (3n + ) n lim ( n n) 4 n = ( + 3/3 ) n n ( + /3 ) n 4 e e = /3 e/3 > n n= a n divergens 4. Feladat: n= Gyökkritériummal: ( 3 + n + n ) n 3 n 5 n+ ( + 3n ) n lim n n an =... = lim n ( + n ) n ( n n) 5 4 n e3 5 e 4 = e 4 < = n= a n konvergens 5. Feladat: Vizsgálja konvergencia szempontjából az alábbi sorokat!

. FÜGGVÉNYSOROK 3 a) n= ( ) n n n + 5 a) n= ( ) n n a3) n + 5 n= ( ) n n 3 n + 5 a n := ( ) n n n + 5 lim a n = e 7, mert... n n= a) A sor divergens, mivel az általános tag nem tart nullához, tehát a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül. a) b n, ahol b n = n a n. Mivel lim b n = (ezt meg kell beszélni, hogy rend relv- n vel látható be, de nem kell megcsinálni), így ez a sor is divergens. n a3) c n, ahol c n = a n n= A gyökkritérium alkalmazásával: lim n n cn = lim a n = e 7 < = n n= c n konvergens 6. Feladat: n= n + 3 n+ + ( )n (n)! + 3n +++ c n := n + 3 n+ + ( )n < 3n + 9 3 n + 3 n = 3n (n)! + 3n (n)! (n)! := d n d n konvergens, mert (hányadoskritériummal) n= Ezért a majoráns kritérium miatt n= c n is konvergens. 7. Feladat: Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett +++ hibára, ha a sor összegét a. részletösszeggel közelítjük! a) n= (n + ) 3 n (n + 5) n! a n < 3n n! lim n = b n+ (n + ) 3n a n := (n + 5) n! := b n konvergens, mert a hányadoskritérium alkalmazásával: = lim b n n n= n= b n 3 n n! = lim (n + )! 3n n b n konvergens } = {{ } maj. kr. n= a n 3 n + = < konvergens

. FÜGGVÉNYSOROK 3 b) Az elkövetett hiba: (n + ) 3 n < H = (n + 5) n! n= n= = 3! = 3! ( ) 3n n + 6n < n= 3 n n! ( + 3 + 3 3 + 3 ) = 3! + 3! + 3 3! + = < 3! ( + 3 + 3 + ) = ( ) 3n n + a n := 6n ( ) 3 lim n n + an = lim = = n n 6n 6 < 3 = konvergens n= Az elkövetett hiba: ( ) 3n n + < H = < 6n n= = a n n= ( 3 5 ( ) 3n n + n = 6n n ) 33 n= ( (3 ) ) 3 n = 5 ( ) 3 (q = 3 5 ( ) ) 3 3 5 8. Feladat: További gyakorló feladatok Vizsgálja az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! ( ) n n + 3 +3n a) n + n= n! 6 n b) (n)! n= 3 n c) ( n ) n d) e) n= n= n= 4 n (n + 3) (n)! n (n + ) n+ f) Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett hibára, ha a sor összegét a. részletösszeggel közelítjük!

. FÜGGVÉNYSOROK 3 3n+ (n)! n= g) Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett hibára, ha a sor összegét a. részletösszeggel közelítjük! n= n (n + 3) 6 n+..... Weierstrass-kritérium függvénysorok egyenletes konvergenciájára 9. Feladat: Egyenletesen konvergens-e a (, ) intervallumon az alábbi függvénysor? a) b) n= n= cos (n 4 x + ) n 3 + arctg (n 5 x 3 ) n n + 5 a) b) n= n= n 3 konv. π n n = π f n (x) = cos (n4 x + ) < n 3 + n 3 Weierstrass kr. = f n (x) egyenletesen konvergens (, ) -en. n= n= f n (x) = arctg (n5 x 3 ) n n + 5 n 3/ Weierstrass kr. = konvergens < π n n f n (x) egyenletesen konvergens (, ) -en. n=

. FÜGGVÉNYSOROK 33.3. Hatványsorok konvergencia sugara, konvergenciatartománya. Feladat: Jelenleg: lim n Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! ( ) n (x )n n n n= a n = ( )n n, x n = ( ) n n an = lim n n n n = lim n n n = = R = R = ( ) n ( ) n x = 3 : n n n = konvergens (de nem abszolút konvergens) n ( ) n x = : n n ( )n = n ( )n = divergens n KT (konvergenciatartomány): (, 3]. Feladat: n= ( ) n n + (n)! (x + 7) n R =? Jelenleg: a n = ( ) n n +, x = 7 (ez most nem fontos) (n)! lim a n+ n a n = lim (n + 3) (n)! n (n + )! (n + ) = lim n + 3 n n + (n + )(n + ) = = R =. Feladat: n= (n + ) n (n + 6) n + xn R =? Jelenleg: a n = lim n n an = lim n (n + )n (n + 6), x n + = ( n + n + 6 ) n n n + 6 = = e 4 = R = e 4, (mert < n n + 6 < n 7 n n és rend relv )

. FÜGGVÉNYSOROK 34 3. Feladat: n= (n + ) n n! x n R =? Jelenleg: a n = lim n a n+ a n = lim (n + )n n! n, x = (n + ) n+ n! (n + )! (n + ) = lim n n ( ) n ( ) n+ n + = n + = lim n + n + ( + ) n n + n n = e e = e = R = e 4. Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! Hol abszolút konvergens a sor? ( ) n (n + 3) x n n + 3 n= R =, mert... x = : x = : n= n= K.T. = A.K.T. = n + 3 n + 3 ( ) n n + 3 n + 3 (, divergens, mert... ) konvergens, de nem abszolút konvergens, mert... 5. Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! (x + 4) n n 3 n n= n n 3 (x + n )n, x =. n= lim n n an = lim n n n n 3 = n 3 = R = R = 3

. FÜGGVÉNYSOROK 35 x = 7 : ( ) n n : konvergens x = : n : konvergens [ Konvergenciatartomány: 7 ], 6. Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! ( ) n (x) n n 5 n... n= 7. Feladat: n= n n x3n = x3 + x6 + R =? {, ha n nem osztható 3-mal a n = n/3, ha n osztható 3-mal n/3 n Ezért a n = n n/3 n n = n n/3 3 3,, ha n nem osztható 3-mal ha n osztható 3-mal = Torlódási pontok: t =, t = 3 = lim n a n = 3 = R R = 3 Egy ügyesebb megoldás: u = x 3 helyettesítéssel egy egyszer bb feladatra vezetjük vissza. b n u n n := n un n= n= n bn n n = lim n = n = R b = R b lim n Tehát u < = x 3 < = x < 3 = R = 3

. FÜGGVÉNYSOROK 36 8. Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! n + (x ) n 9 n n= u := (x ) lim n helyettesítéssel a sor alakja: n= n + 9 n u n a n+ a n = lim (n + ) 9 n n 9 n+ (n + ) = = = R = 9 9 A végpontokat itt is lehet vizsgálni, de az eredeti sorban is vizsgálhatjuk majd. utóbbi módon járunk el. Tehát u < 9 = (x ) < 9 = x < 3 = R = 3 ( < x < 5) A végpontokban: (n + ) divergens, hiszen nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. n= Konvergenciatartomány: (, 5) Most az.4. Hatványsorok összegfüggvénye 9. Feladat: Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! x n n + n= f(x) := n= x n n + f (x) := x f(x) = x f (x) = f (x) = d dx n= n= d dx, f() =. Ha x : n= x n+ n +, x n+ n + = x n n +, = n= n= x n+ n + x ( R, R) esetén szabad tagonként deriválni: x n = x x R =, és az eredeti sornak is ugyanennyi, mert tagonkénti deriválásnál nem változik. f (x) = x f (x) dx(= f (x) f ()) = x x x dx = x ( x) x dx =

. FÜGGVÉNYSOROK 37 = (x + ln( x)) x = x ln( x) x ln( x) ln( x) =, ha x <, x f(x) = x x, ha x = (Hf.: Tudjuk, hogy f folytonos x < -ben. Ellen rizzük le, hogy igaz-e: lim f(x) = f()(= )?) x. Feladat: Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! n + n + xn n= R =, mert (Vagy itt mutatjuk meg, vagy az el z gondolatmenettel kés bb indokoljuk.) n + (n + ) + g(x) := n + xn = x n = n + n= = n= x n + n= n= x n n + = x x + f(x) = (L. el z példa!). Feladat: Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! (n + 3) x n n= R =, mert f(x) := (n + 3) x n, f (x) := x f(x) = n= = d dx x f (x) dx = = ( x 4 x ) (n + 3) x n+ = n=. Feladat: Határozza meg az alábbi sor összegfüggvényét és konvergenciasugarát! k + x k 4 k+ k= k + =? 4 k+ k=

. FÜGGVÉNYSOROK 38 f(x) := x k= f(x) dx = Tehát R = 4 f(x) = d dx k + 4 k+ x k x x = k= k= k + 4 k+ x k dx = ( x 4 f(x) dx = ) k+ = x 4 x 4 k= x k + 4 k+ x k dx = k= k + x k+ 4 k+ k + = x 4 x, x < = x < 4 4 ( ) x = 4 x x( ) = 4 x (4 x) 4 (4 x) x = k= k + 4 k+ = f() = 4 9.5. Taylor-polinom 3. Feladat: a) Deniálja az n-edrend Taylor polinomot! b) Írja fel a deníció segítségével az f(x) = x 3 3 + cos 3x függvény x = pontbeli negyedrend Taylor polinomját és a Lagrange-féle hibatagot! c) Legfeljebb mekkora hibát követünk el, ha f(, ) értékét T 4 (, ) értékével közelítjük? a) az f függvény x bázispontú n-edrend Taylor polinomja: T n (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x )! (x x ) + + f (n) (x ) (x x ) n n! Ha f legalább (n + )-szer dierenciálható [x, x)-ben (ill. (x, x ]-ban), akkor ξ (x, x) (ill. ξ (x, x )), hogy R n (x) = f(x) T n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+. b) f(x) = x 3 3 + cos 3x f() = f (x) = 3x 3 sin 3x f () =

. FÜGGVÉNYSOROK 39 f (x) = 6x 9 cos 3x f () = 9 f (x) = 6 + 7 sin 3x f () = 6 f IV (x) = 8 cos 3x f IV () = 8 f V (x) = 43 sin 3x T 4 (x) = + 9! x + 6 3! x3 + 8 4! x4 H = f V (ξ) x 5 43 sin 3ξ =, 5, ξ (,.) 5! 5! sin x x miatt sin 3ξ 3,, ezért H = 4. Feladat: 43 sin 3ξ 5!, 5 < 43 3, 5! y = y + 3x 6x, 5 a) Rajzolja fel a P (, ) ponthoz tartozó vonalelemet! b) Van-e lokális maximuma vagy minimuma az origón áthaladó megoldásgörbének az origóban? (Ne próbálja megoldani a dierenciálegyenletet, de feltételezheti, hogy van ilyen megoldás!) c) Írja fel az origón áthaladó megoldás x = bázispontú harmadrend Taylor polinomját!... 5. Feladat: y = xy 3 y + a) Van-e lokális maximuma vagy minimuma az x =, y = ponton áthaladó megoldásgörbének ebben a pontban? (Ne próbálja megoldani a dierenciálegyenletet, de feltételezheti, hogy van ilyen megoldás!) b) Írja fel az x =, y = ponton áthaladó megoldás x = bázispontú harmadrend Taylor polinomját! (Ne próbálja megoldani a dierenciálegyenletet!) a) y() =, y () = + = = lehet itt lokális széls érték. y = y 3 + x 3y y yy, y () = Tehát y () = és y () = < : pontban. a megoldásnak lokális maximuma van ebben a

. FÜGGVÉNYSOROK 4 b) y = 3y y + 3y y + x 6yy + x 3y y y y y T 3 (x) = y() + y ()! y () = 3 = 5 (x ) + y ()! (x ) + y () 3! (x ) 3 = =! (x ) 5 3! (x )3.6. Taylor-sor 6. Feladat: Adja meg az f(x) = x 3 függvény x =, illetve x = 5 bázispontú Taylor sorfejtéseit és azok konvergenciatartományát! x = esete: f(x) = 3 x 3 = 3 ( + x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) 4 3 + + + + = 3 3 3 = ( x ) n = xn 3 3 3n+ n= n= ( Geometriai sor: a = 3, q = x ) 3 Konvergenciatartomány: q = x = x 3 3 < = x < 3, R = 3 x = 5 esete: f(x) = (x 5) + = = ( ) n (x 5) = (x 5) n= Konvergenciatartomány: q = (x 5) x 5 = < = x 5 <, R = n= ( ) n n+ (x 5) n 7. Feladat: Adja meg az alábbi függvények x = bázispontú Taylor sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x5, g(x) = x + 3 x + 3

. FÜGGVÉNYSOROK 4 f(x) = 3 g(x) = x 3 = 3 ( x 3 + = ) n ( x = 3 3 n= n= (Geometriai sor: a = ( ) x ( ) x 3 ( ) ) x 4 + = 3 3 3 ( ) n 3 n+ x n 3, q = x 3 Konvergenciatartomány: q = x 3 = x 3 < = x < 3, R f = 3 x5 x + 3 = x5 f(x) = x 5 n= ( ) n 3 n+ x n = n= ) ( ) n 3 n+ x n+5 Konvergenciatartomány: x < 3, R g = 3 (ugyanaz) 8. Feladat: Adja meg az alábbi függvények x = bázispontú Taylor sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x + 7, g(x) = x + 3x4, h(x) = x + 7 x + 7 f(x) = 7 x = 7 7 = 7 ( x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) 4 7 + + = 7 7 7 n= ( x ) n = 7 n= ( ) n 7 n+ x n ( Geometriai sor: a = 7, q = x 7 Konvergenciatartomány: q = x = x 7 7 < = x < 7, R f = 7 g(x) = x + 7 5 x + 7 h(x) = = 5 x + 7 = 5 f(x) = 5 n= ) ( ) n 7 n+ x n Konvergenciatartomány: x < 7, R g = 7 (ugyanaz) 3x4 x + 7 = 3x4 f(x) = 3x 4 n= ( ) n 7 n+ x n = n= 3 ( ) n 7 n+ x n+4 Konvergenciatartomány: x < 7, R h = 7 (ugyanaz)

. FÜGGVÉNYSOROK 4 9. Feladat: Írja fel az f függvény x konvergenciatartományát! f(x) = x + bázispontú Taylor sorát és adja meg a sor a) x = b) x = 5 x = : f(x) = x + = (x ) + 4 = ( = a ) = 4 (x ) q 4 ( = ( ) ( ) ( ) ) 3 x x x + + = 4 4 4 4 = 4 n= ( x ) n = 4 n= ( ) n 4 n+ (x ) n Konvergenciatartomány: q = x x 4 = 4 < = x < 4, ( < x < 6, R = 4) x = 5 : f(x) = x + = (x + 5) 3 = 3 ( = ( x + 5 + 3 3 x + 5 3 ) ( x + 5 + 3 ) ( ) ) 3 x + 5 + + = 3 = 3 n= ( ) n x + 5 = 3 n= (x + 5)n 3n+ Konvergenciatartomány: q = x + 5 x + 5 3 = < = x + 5 < 3, ( 8 < x <, R = 3) 3 3. Feladat:

. FÜGGVÉNYSOROK 43 a) Írja fel az f (x) = x + 3 függvény x = bázispontú Taylor sorfejtését! R =? b) f sorfejtésére támaszkodva írja fel az alábbi függvények x = bázispontú sorfejtését! f (x) = ln (x + 3), R =? f 3 (x) = (x + 3), R 3 3 =? a) f (x) = x + 3 = 3 x 3 = 3 n= = 3 Konvergenciatartomány: q = ( x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) 4 3 + + = 3 3 3 ( x ) n ( ) n = x n 3 3 n+ n= x = x 3 3 < = x < 3, R = 3 b) f (x) = f (x) = x n= ( ) n 3 n+ x n f (t) dt = f (x) f () }{{} =ln 3 = x n= ( ) n 3 n+ t n dt [, x] ( 3, 3), szabad tagonként integrálni: f (x) = ln 3 + n= ( ) n 3 n+ x t n dt = ln 3 + = ln 3 + n= n= ( ) n 3 n+ x n+ n + ( ) n t n+ 3 n+ n + ( ) n+ x n = f (x) = ln 3 + 3 n n, R = R n= (Tagonkénti integrálásnál nem változik a konvergenciasugár.) x = ( ) ( ) f (x) = = = x + 3 (x + 3) Tehát ( f 3 (x) = ) ( ) n x n = 3 n+ n= n= (x + 3) 3 = f 3 (x) = f (x) ( ) n n (n ) 3 n+ x n

. FÜGGVÉNYSOROK 44 R 3 = R (Tagonkénti deriválásnál nem változik a konvergenciasugár.) 3. Feladat: Tudjuk, hogy a) Írja fel az ln ( + x) = x x + x3 3 x4 4 +..., R = f(x) = ln ) ( + x 3 függvény x = bázispontú Taylor sorát és adja meg annak konvergencia sugarát! b) Az a)-beli sorfejtést felhasználva adja meg az ln ) ( + x 3 dx integrál értékét az f függvény negyedfokú Taylor polinomjának felhasználásával és becsülje meg a hibát! a) ln ( + u) = n= ( ) n+ n u n, R = u = x 3 helyettesítéssel: ( ) ( ) n+ x n ( ) n+ f(x) = = x n n 3 n 3 n n= n= Konvergenciasugár: x 3 < = x < 3 = R f = 3 b) [, ] ( 3, 3), szabad tagonként integrálni: ) ln ( + x dx = x 3 3 x4 + x6 }{{ 3 } 3 3 + 3 dx = T 4 (x) = x3 3 3 x5 3 5 + x7 3 3 3 7 + = 3 3 3 5 + 3 3 3 7 + 3 3 3 5 =,, H < 3 3 3 7 (Leibniz sor)

. FÜGGVÉNYSOROK 45 3. Feladat: Tudjuk, hogy a) Írja fel az arctg u = u u3 3 + u5 5 u7 7 + = n= ( ) n f(x) = x 3 arctg x függvény x = pontra támaszkodó Taylor sorát! R =? b) f () () =?, f () () =? (A sorfejtésb l adjon választ!) un+ n +, u c) Adjon becslést az f(x) dx Taylor polinomjával közelítve! integrál értékére az integranduszt kilencedfokú a) arctg x = n= ( ) n n + Konvergenciatartomány: ( ) x n+ = x n= ( ) n x4n+ (n + ) n+ = x f(x) = x 3 n= ( ) n (n + ) n+ x4n+ = n= ( ) n (n + ) n+ x4n+5 = = x5 x9 + x3 }{{ 3 3 } 5 x7 5 7 + 7 R = T 9 (x) b) a n = f (n) () n! miatt f (n) () = n! a n f () () =! a =, mert a = ( x -os tag nincs a sorban) f () () =! a =! ( )4 9 9 ( a : x együtthatója, ezért 4n + 5 = = n = 4) c) Mivel [, ] (, ), ezért szabad tagonként integrálni: f(x) dx = = n= n= ( ) n (n + ) n+ x4n+ dx = ( ) n x 4n+6 (n + ) n+ 4n + 6 n= ( ) n (n + ) n+ = x6 6 x 3 3 + x 3 5 5 3 = 6 3 3 + 5 5 3 4, H < 5 5 3 x 4n+ dx = =

. FÜGGVÉNYSOROK 46 (Leibniz sort kaptunk.) 33. Feladat: Írjuk fel e x, sin x, cos x, ch x, sh x Taylor-sorát és konvergenciatartományát! 34. Feladat: Írja fel az alábbi függvények x pontbeli Taylor sorát és annak konvergenciatartományát! a) f (x) = sin 3x, x = b) f (x) = e 4 x, x =, ill. x = 3 c) f 3 (x) = sh x 4, x = d) f 4 (x) = e x ch 5x, x = a) f (x) = u u3 3! + u5 5! u=3x b) e u = + u + u! + u3 3! + u4 4! +, u R x = : u = 4 x helyettesítéssel: = 3 x 33 3! x6 + 35 5! x, x R f (x) = e 4 x = + 4 x + 4! x + 43 3! x3 + 44 4! x4 +, x R x = 3 : f (x) = e 4 (x 3) + = e e 4 (x 3) = ( ) = e + 4 (x 3) + 4! (x 3) + 43 3! (x 3)3 + 44 4! (x 3)4 +, x R c) f 3 (x) = sh x 4 = u + u3 3! + u5 5! + u7 7! + = u=x 4 = x 4 + 3 3! x + 5 5! x +, x R d) f 4 (x) = e x ch 5x = e x e5 x + e 5 x = (e3 x + e 7 x ) = 35. Feladat: f(x) = 5 x 3 e 3 x, x = Írja fel a függvény Taylor sorát! Konvergenciatartomány? f () () =?, f () () =? (A sorfejtésb l adjon választ!) f(x) = 5 x 3 n= u n n! u= 3x = 5 n= ( 3) n n! x n+3, x R

. FÜGGVÉNYSOROK 47 a n = f (n) () = f (n) () = n! a n n! Így f () () =! a, ahol a : x együtthatója: n + 3 = = n N, melyre ez teljesülne = a = = f () () = f () () =! a, ahol a : x együtthatója: n + 3 = = n = 49 = f () () =! 5 ( 3)49 49! 36. Feladat: Határozza meg a következ számsorok pontos összegét! a) b) k= k= 4 k k! ( ) k k k! ( = e 4 ) ( = e / ) c) d) k= k= ( ) k (k + )! (k)! (= sin ) (= ch ) 37. Feladat: lim x x sin x x sin x =? L'Hospital szabállyal hosszadalmas, ezért Taylor sorfejtéssel dolgozunk: 38. Feladat: lim x e x4 + x 4 x 5 sin x 3 =? A számláló és a nevez megfelel Taylor sorfejtésével oldja meg a feladatot! 39. Feladat: Szemléltessük, hogy e j ϕ = cos ϕ + j sin ϕ

. FÜGGVÉNYSOROK 48 e j ϕ (jϕ) n = = + j ϕ + j ϕ + j3 ϕ 3 + j4 ϕ 4 n!! 3! 4! n= ) = = ( ϕ! + ϕ4 4! + + j + j5 ϕ 5 5! (ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! + + = ) = cos ϕ + j sin ϕ.7. Binomiális sorfejtés 4. Feladat: Írja fel az f(x) = 4 x, g(x) = 4 x függvények x = bázispontú Taylor sorát és a sor konvergenciasugarát! a 4 =? (Elemi m veletekkel adja meg!) ( ) Tudjuk, hogy ( + u) α = α u k, R =. Ezt használjuk fel: k= k f(x) = 4 x = ( ( + x )) ( ) / / ( = x ) k = 4 k= k 4 4 = ( ) / ( ) k x k k= k 4 k x < = x < 4 = R f = 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 7 a 4 = ( ) / ( ) 4 = 4 4 4 3 4 4 4 g(x) = 4 x 4 = ( + )) / ( x = 4 = ( ) / ( ) k x k k= k 4 k x 4 < = x < = R g = ( ) ( ) 3 a 4 = ( ) / ( ) = 4 4 k= ( ) ) k / ( x = k 4

. FÜGGVÉNYSOROK 49 4. Feladat: Írja fel az f(x) = 5 3 x, x = Tudjuk, hogy bázispontú Taylor sorát és a sor konvergenciasugarát! a 8 =? (Elemi m veletekkel adja meg!) f (6) () =?, f (5) () =? ( + u) α = f(x) = 5 3 ( + ( x = a 8 = k= ( 5 k k= = )) /5 6 ) ( ) k x k 6 k ( ) α u k, R =. Ezt használjuk fel: k ( + Konvergenciasugár: ( ) ( 6 ) ( 5 5 5 3 4 ) ( 6 5 )) /5 ( x = 6 f(x) = a n x n és a n = f (n) () miatt n= n! f (6) () = 6! a 6 = 6! ( ) 5 ( ) 3 3 6 3 ( a 6 : x 6 együtthatója, ezért k = 6 = k = 3) f (5) () = 5! a 5 =, mert a 5 = ( x 5 -es tag nincs a sorban, tehát együtthatója van.) k= ( ) ) k 5 ( x = k 6 x 6 < = x < 4, R = 4 ) 6 4 (x 8 együtthatója, k = 4) f (n) () = n! a n 4. Feladat: Írja fel az g(x) = x 3 5 3 x, x = bázispontú Taylor sorát és a sor konvergenciasugarát! g () () =?, g (3) () =?

. FÜGGVÉNYSOROK 5 Mivel g(x) = x 3 f(x), ( 5 k g(x) = x 3 n= k= a n x n és a n = g(n) () n! felhasználhatjuk az el z példa eredményét: ) ( ) ( ) k x k = 5 ( ) k 6 k k miatt k= g (n) () = n! a n 6 k x k+3, R = 4 (u.a.) g(x) = g () () =! a =, mert a = ( x -es tag nincs a sorban) ( ) g (3) () = 3! a 3 = 3! 5 ( ) 5 5 6 5 ( a 3 : x 3 együtthatója, ezért k + 3 = 3 = k = 5) 43. Feladat: / + x 4 dx? ( + x 4 ) / = / Az integranduszt nyolcadfokú Taylor polinomjával közelítse és becsülje meg a hibát! k= ( ) / k x 4k = x4 + 3 8 x8 }{{} T 8 (x) ( ) + x 4 / dx = x 5 x5 + 3 8 9 x9 5 6 3 x3 + 5 6 x + R = 5 5 + 3 8 9 9, H < 5 6 3 3 (Leibniz sor) /.8. Fourier-sor Bevezet : Ha f π szerint periodikus és f R [,π], akkor f Fourier sora ahol a k = π a + a+π k= (a k cos kx + b k sin kx), f(x) cos kx dx, k =,,,... b k = π a a+π f(x) sin kx dx, k =,,... a