Nemlokális függést tartalmazó nemlineáris rendszerek

Nemlokális függést tartalmazó nemlineáris rendszerek A doktori értekezés tézisei Besenyei Ádám Témavezet : Simon László egyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia doktora Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematika Doktori Iskola A doktori iskola vezet je: Laczkovich Miklós egyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja Alkalmazott Matematika Doktori Program Programvezet : Michaletzky György egyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia doktora Az értekezés az Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis Tanszékén készült. Budapest 2008

1. Bevezetés A következ kben egy rövid áttekintést adunk a szerz doktori értekezésér l. A hangsúlyt a motivációra helyezzük, az eredményeket csak vázoljuk. A pontos és szabatos tárgyalást illet en lásd az értekezést és annak irodalomjegyzékében szerepl m veket. Az értekezésben nemlokális függést tartalmazó dierenciálegyenletek, más szóval funkcionál-dierenciálegyenletek rendszereivel foglalkozunk. Nemlokális függésen azt értjük, hogy az egyenlet nemcsak az ismeretlen függvények adott pontbeli értékeit l függhetnek, hanem a többi pontbeli értékeit l is, amelyek megjelenhetnek például egy késleltetés, vagy valamilyen függvény (pl. tartományon vett integrál formájában stb. Például populációdinamikai diúziós folyamatokban egy populáció növekedési rátája függhet a populáció méretét l, azaz a s r ségének integráljától (lásd [10, 11]. Nemlokális egyenletek el fordulhatnak még például klimatológiai (lásd [13], illetve folyadékáramlási modellekben, speciálisan porózus közegbeli áramlási modellekben (lásd [12, 16]. Egyéb alkalmazásokat illet en (pl. nemlokális peremfeltételek lásd az értekezés irodalomjegyzékét. Megjegyezzük, hogy a nemlokális egyenletek tanulmányozása mellett a rugalmasságtanban el forduló nemlokális variációs egyenl tlenségek vizsgálata is fontos és érdekes téma (lásd [4, 14]. Az értekezésben két nemlokális rendszert vizsgálunk. Az egyik csupa parabolikus egyenletb l áll, a másik három különböz típusú egyenletet tartalmaz: egy közönséges, egy parabolikus és egy elliptikus dierenciálegyenletet. Ez utóbbi egy porózus közegbeli áramlási modell általánosításaként fogható fel. Vizsgálataink f eszköze a monoton típusú operátorok elmélete, ennek részletes tárgyalását illet en lásd a [8, 15, 20] monográákat. Ezenkívül a [7, 9] cikkek pszeudomonoton operátorokkal kapcsolatos eredményeire is támaszkodunk. Mindkét rendszer esetében igazoljuk gyenge megoldás létezést véges és végtelen id intervallumon, továbbá megvizsgáljuk a megoldások néhány tulajdonságát: a korlátosságot és a t esetén való stabilizációt (azaz egy stacionárius állapothoz való konvergenciát. Tételeinket az értekezésben konkrét példákkal illusztráljuk. Funkcionál-dierenciálegyenletekkel kapcsolatban érdemes megemlíteni a [17, 19] monográákat, amelyek további példákat tartalmaznak, és a témát egy másik megközelítésben (operátor-félcsoportok segítségével tárgyalja. 2. Jelölések A továbbiakban Ω R n mindig egy korlátos tartományt jelöl, amelynek pereme sima, valamint 0 < T < valós szám és röviden Q T := (0, T Ω, Q := (0, Ω. A szokásos Szoboljev-tereket W 1,p (Ω és W 1,p 0 (Ω jelöli, továbbá L p (0, T ; V azon u: (0, T V 1

( 1 T mérhet függvények tere, amelyekre u L p (0,T ;V := 0 u p p V < (1 < p <. Ismert, hogy (L p (0, T ; V = L q (0, T ; V, ahol 1 + 1 = 1. Ezenkívül p q Lp loc (0, ; V azon u: (0, V mérhet függvények tere, amelyekre u (0,T L p (0, T ; V minden 0 < T < esetén. A (W 1,p (Ω -beli, illetve L q (0, T ; V -beli funkcionálok esetében rendre a,, [, ] jelöléseket használjuk. Végül D i, D t jelöli az x i, illetve t változó szerinti (disztribúciós értelemben vett parciális deriválás operátorát és röviden D = (D 1,..., D n. 3. Parabolikus egyenletekb l álló rendszer Tekintsük az alábbi (leegyszer sített nemlokális parabolikus dierenciálegyenletet: ( ( (1 D t u(t, x div g u(t, xdx Du(t, x = f(t, x t > 0, x R n, Ω ahol f : (0, R n R, g : R R adott függvények, u: (0, R n R az ismeretlen és adott u(0, x = ϕ(x (x R n kezdeti érték. Ilyen típusú problémák például (h terjedési vagy populációdinamikai diúziós folyamatokban fordulhatnak el. A fentihez hasonló alakú nemlokális kvázilineáris egyenletekkel foglalkozik [10, 11], ahol a szerz k megoldás létezését és aszimptotikus tulajdonságait igazolták. Általános divergencia alakú parabolikus kvázilineáris egyenleteket vizsgált a monoton operátorok elméletének segítségével [18], ahol a szerz gyenge megoldás létezését és kvalitatív tulajdonságait igazolta. Az értekezés els felében ez utóbbi cikk eredményeit terjesztjük ki nemlokális parabolikus egyenletekb l álló rendszerekre (lásd [1]. Tekintsük a következ, N darab nemlokális parabolikus egyenletb l álló rendszert: n [ ] D t u (l ( D i i (, u (1 (,..., u (N (, Du (1 (,..., Du (N ( ; u (1,..., u (N (2 + 0 (, u (1 (,..., u (N (, Du (1 (,..., Du (N ( ; u (1,..., u (N = f (l ( ahol ( a (t, x Q T változót jelöli, továbbá a pontosvessz után álló tagok jelképezik a nemlokális változókat (l = 1,..., N. Az egyszer ség kedvéért a rendszerhez tartozó kezdeti feltételt válasszuk homogénnek, a peremfeltétel pedig legyen homogén Dirichletvagy Neumann-típusú. Legyen p 2 (konjugált kitev je q, továbbá V -t válasszuk (W 1,p (Ω N egy zárt lineáris alterének (a peremfeltételnek megfelel en: homogén Neumann esetén V = (W 1,p (Ω N, homogén Dirichlet esetén pedig V = (W 1,p 0 (Ω N. A megoldások tere X := L p (0, T ; V. Egy v X függvény koordinátái (v (1,..., v (N, továbbá egy ξ R (n+1n vektor koordinátái (ζ 0, ζ, ahol ζ 0 = (ζ (1 0,..., ζ (N 0 R N, ζ = (ζ (1 1,..., ζ (N 1,..., ζ n (1,..., ζ n (N R nn (az alsó index jelzi a deriválás változóját, a fels pedig az aktuális koordinátafüggvényt. Az i függvényekre néhány feltételt szabunk, amelyek biztosítani fogják gyenge megoldás létezését (0, T -ben. Tegyük fel i = 0,..., n; l = 1,..., N esetén a következ ket: 2

(A1 Minden x v X esetén az i : Q T R (n+1n X R függvény Carathéodory típusú, azaz mérhet (t, x-ben minden (ζ 0, ζ R (n+1n esetén és folytonos (ζ 0, ζ- ban m.m. (t, x Q T esetén. (A2 Léteznek g 1 : X R +, k 1 : X L q (Q T korlátos operátorok úgy, hogy m.m. (t, x Q T és minden (ζ 0, ζ R (n+1n, v X esetén érvényes a i (t, x, ζ 0, ζ; v g 1 (v ( ζ 0 p 1 + ζ p 1 + [k 1 (v] (t, x becslés. (A3 Majdnem minden (t, x Q T és minden ζ ζ R nn, ζ 0 R N, v X esetén n ( i (t, x, ζ 0, ζ; v i (t, x, ζ 0, ζ; v (ζ (l (l i ζ i > 0. (A4 Léteznek g 2 : X R +, k 2 : X L 1 (Q T operátorok, amelyekre m.m. (t, x Q T és minden (ζ 0, ζ R (n+1n, v X esetén n i=0 Továbbá teljesül, hogy i (t, x, ζ 0, ζ; vζ (l i g 2 (v ( ζ 0 p + ζ p [k 2 (v](t, x. ( lim g2 (v v p 1 X v X k 2(v L 1 (Q T v 1 X = +. (A5 Ha u k u gyengén X-ben és er sen L p (0, T ; (L p (Ω N -ben, akkor lim k a(l i (, u k (, Du k ( ; u k i (, u k (, Du k ( ; u L q (Q T = 0. Az (A1(A4 feltételek a klasszikus eset (vagyis amikor nincs nemlokális változó, lásd [9, 15, 20] feltevéseinek általánosításai, (A2(A4 növekedési, monotonitási és koercitivitási feltételek, ezenkívül (A5 nemlokális változóbeli folytonosságot fejez ki. Deniáljuk az A: X X operátort úgy, hogy u, v X esetén ( n [A(u, v] := i (u, Du; ud i v (l + 0 (u, Du; uv (l. Q T Ezenkívül legyen L: D(L X, Lu = D t u a dierenciálás operátora X-en, értelmezési tartománya D(L := {u X : D t u X, u(0 = 0}. Végül legyen F L q (0, T ; V. A fenti operátorok segítségével az (2 rendszer gyenge alakja (0, T -ben a következ : (3 Lu + A(u = F. A pszeudomonoton operátorok elméletének (lásd [7] felhasználásával adódik 3.1 Tétel. Tegyük fel, hogy az (A1(A5 feltételek teljesülnek. Ekkor A: X X korlátos, demifolytonos, koercitív és pszeudomonoton D(L-re nézve. Következésképpen minden F X esetén a (3 problémának van u X megoldása. 3

Az ún. Volterra-féle tulajdonság segítségévél egyszer en belátható gyenge megoldás létezése a (0, intervallumon. A megoldások tere X := L p loc (0, ; V és tegyük fel,hogy (Vol Az i : Q R R n+1 X R (i = 0,..., n; l = 1,..., N függvények (0, T intervallumra való i (t, x, ξ, ζ 0, ζ, η 0, η; v (0,T lesz kítései csak a v függvény (0, T - re való lesz kítését l függnek minden 0 < T < esetén. A fenti feltétel azt fejezi ki, hogy a nemlokális függés nem terjed ki a függvény jöv beli értékeire. Ekkor az átlós eljárás alkalmazásával kapjuk: 3.2 Tétel. Tegyük fel, hogy (Vol fennáll, és az (A1(A5 feltevések teljesülnek a (0, - en (azaz minden 0 < T < -re az i függvények (0, T -re való lesz kítései teljesítik ezeket. Ekkor létezik u X gyenge megoldása a (2 rendszernek a (0, intervallumon, abban az értelemben, hogy minden 0 < T < esetén u (0,T megoldása a (3 problémának. Egy további koercitivitási feltevéssel igazolható a (0, -beli megoldások korlátossága. (A4 Létezik g 2 R + konstans és k 2 : X L 1 loc (Q Volterra típusú operátor, amelyekre m.m. (t, x Q és minden (ζ 0, ζ R (n+1n, v X esetén n i=0 i (t, x, ζ 0, ζ; vζ (l i g 2 ( ζ 0 p + ζ p [k 2 (v](t, x. Ezenkívül léteznek c 4 > 0, 0 p 1 < p konstansok valamint egy ϕ C(R + függvény úgy, hogy lim ϕ(τ = 0, továbbá v X, D t v L q τ loc (0, ; V esetén m.m. t > 0-re ( [k 2 (v](t, x dx c 4 sup v(τ p 1 + ϕ(t sup v(τ p + 1. (L 2 (Ω N (L 2 (Ω N τ [0,t] τ [0,t] Ω 3.3 Tétel. Tegyük fel, hogy fennáll (Vol, és az (A1(A5, (A4 feltételek teljesülnek a (0, -en (hasonló értelemben, mint a 3.2 Tétel esetében, továbbá F L q loc (0, ; V. Ekkor a (2 rendszer minden (0, -beli u gyenge megoldására u L (0, ; (L 2 (Ω N. Néhány további feltevés mellett a megoldások t esetén való stabilizációja, azaz egy stacionárius állapothoz való konvergencia is belátható. (A2+ Létezik c v > 0 konstans és k v L q (Ω függvény úgy, hogy i (t, x, ζ 0, ζ; v c v ( ζ 0 p 1 + ζ p 1 + k v (x m.m. x Ω és minden (ζ 0, ζ R (n+1n, v X L (0, ; (L 2 (Ω N esetén (i = 0,..., n; l = 1,..., N. (A6 Léteznek i, : Ω R(n+1N R Carathéodory- tulajdonságú függvények, amelyekre lim t a(l i (t, x, ζ 0, ζ; v = i, (x, ζ 0, ζ m.m. x Ω és minden (ζ 0, ζ R (n+1n, v X L (0, ; (L 2 (Ω N esetén (i = 0,..., n; l = 1,..., N. 4

(A7 Létezik c 5 > 0 konstans úgy, hogy m.m. x Ω és minden (ζ 0, ζ, ( ζ 0, ζ R (n+1n, v X esetén n ( i=0 i (t, x, ζ 0, ζ; v i (t, x, ζ 0, ζ; v (ζ (l (l i ζ i c 5 ( ζ 0 ζ 0 p + ζ ζ p k 3 (t, x, ζ 0, η 0 ; v, ahol lim k 3 (t, x, u(t, x, ũ(t, x; vdx = 0 ha u, ũ, v L t Ω (0, ; (L 2 (Ω N. Megjegyezzük, hogy (A6 az i függvények stabilizációját jelenti, továbbá (A7 egyenletes monotonitást fejez ki, amely az egyértelm stacionárius megoldás létezését biztosítja. Értelmezzük az A : V V operátort úgy, hogy v, w V esetén n ( A (v, w := i, (v, DvD iw (l + 0, (v, Dvw (l. Ω 3.4 Tétel. Tegyük fel, hogy (Vol fennáll, és az (A1(A7 feltételek teljesülnek a (0, - en (hasonló értelemben, mint az 3.2 Tétel esetében, valamint létezik F V, amelyre lim F (t F V = 0. Ekkor egyértelm en létezik u V, amelyre A (u = F, t továbbá lim u(t u (L 2 (Ω N = 0 az (2 rendszer minden (0, -beli megoldására. t Az (A6 feltételben szerepl konvergenciára konkrét polinomiális becslést megadva a fenti tételbeli konvergencia sebességére egy polinomiális becslést nyerhetünk. Az el bbi tételek feltételeit kielégít függvényeket illet en lásd az [1, 5] cikkeket. Megjegyezzük, hogy a (2 rendszert kissé módosítva értelmezhet periodikus megoldás fogalma (minthogy ez (2 esetében nem teljesen világos és könnyen be is látható létezése. 4. Három különböz típusú egyenletb l álló rendszer Az értekezés második felében egy olyan rendszert vizsgálunk, amely három különböz típusú egyenletb l áll: egy közönséges, egy parabolikus és egy elliptikus egyenletb l. Ilyen típusú rendszer például egy porózus közegbeli áramlási modellként fordulhat el. Egy porózus közeg lyukacsos szerkezet, mint például a mészk, a benne lév folyadék áramlását a lyukak nagy összfelülete határozza meg. A folyadékban el fordulhatnak kémiai anyagok, amelyek az áramlás során megváltoztatják a lyukak szerkezetét. Ezt a folyamatot vizsgálta [16], amelyben a következ egydimenziós modellt állították fel a szerz k: (4 (5 (6 (7 ω( D t u( = D x α( v( u x ( + K(ω( D x p( u x ( ku( g(ω( D t ω( = bu( g(ω( D x (K(ω( D x p( = bu( g(ω(, v( = K(ω( D x p( 5

a (0, (0, 1-en a következ mellékfeltételekkel: u(0, x = u 0 (x, ω(0, x = ω 0 (x (x (0, 1, u(t, 0 = u 1 (t, D x u(t, 1 = 0 (t > 0 és p(t, 0 = 1, p(t, 1 = 0 (t > 0 ahol ω a porozitás (a lyukak aránya, u a folyadékban lév kémiai anyag koncentrációja, p a nyomás, v a sebesség, továbbá α, k, b adott konstansok, K és g adott függvények. Vegyük észre, hogy a (7 egyenletet a többi egyenletbe helyettesítve a rendszer valójában három egyenletb l áll. Megfelel változók rögzítésével három különböz típusú egyenletr l van szó: x u esetén (5 egy közönséges dierenciálegyenlet ω-ra nézve, x ω és p esetén (4 egy parabolikus egyenlet u-ban, végül x ω és u esetén (7 egy elliptikus egyenlet. A fenti rendszer tehát egy hibrid evolúciós-elliptikus probléma. Hasonló modellt vizsgált [12] a Rothe-módszer segítségével. Az értekezésben a fenti rendszernek a következ általánosítását tanulmányozzuk a monoton operátorok elméletének segítségével (lásd [2, 3, 6]: (8 (9 (10 D t ω(t, x = f(t, x, ω(t, x, u(t, x; u, ω(0, x = ω 0 (x, n D t u(t, x D i [a i (t, x, ω(t, x, u(t, x, Du(t, x, p(t, x, Dp(t, x; ω, u, p] + a 0 (t, x, ω(t, x, u(t, x, Du(t, x, p(t, x, Dp(t, x; ω, u, p = g(t, x, n D i [b i (t, x, ω(t, x, u(t, x, p(t, x, Dp(t, x; ω, u, p] + b 0 (t, x, ω(t, x, u(t, x, p(t, x, Dp(t, x; ω, u, p = h(t, x az (egyszer ség kedvéért ω(0, x = ω 0 (x, u(0, x = 0 kezdeti feltétellel és homogén Dirichlet- vagy Neumann-típusú peremfeltétellel (a pontosvessz utáni tagok a nemlokális változókat jelölik, a p változó a kitev kt l való megkülönböztetés érdekében félkövér. A fenti rendszerrel kapcsolatban a monoton operátorok elméletének segítségével belátható gyenge megoldás létezése és igazolható a megoldások néhány kvalitatív tulajdonsága. A vizsgálódások ötlete kett s: a gyenge megoldások terének megválasztása, illetve a szukcesszív approximáció módszerének alkalmazása a bizonyításokban. Röviden vázoljuk a rendszerrel kapcsolatos eredményeinket. Legyen 2 p 1, p 2 <, továbbá V i a W 1,p i (Ω egy zárt lineáris altere (a peremfeltételnek megfelel en és X i = L p i (0, T ; V i (i = 1, 2, ez utóbbi rendre az u és p megoldások tere. Az eredeti zikai jelentésnek megfelel en ω-t az L (Q T térben keressük. A 3. szakasszal analóg feltételeket szabunk: (A a i függvények: Carathéodory, növekedés, monotonitás, koercitivitás, folytonosság a nemlokális változóban (feltételek a p 1 kitev vel; (B b i függvények: Carathéodory, növekedés, egyenletes monotonitás, koercitivitás, folytonosság a nemlokális változóban (feltételek a p 2 kitev vel; 6

(F f függvény: Carathéodory, Lipschitz, folytonosság a nemlokális változóban, el jel feltétel (vonzó egyensúlyi helyzet. Legyenek A: L (Q T X 1 X 2 X1, B : L (Q T X 1 X 2 X2, amelyekre ( n [A(ω, u, p, v 1 ]= a i (ω, u, Du, p, Dp; ω, u, pd i v 1 + a 0 (ω, u, Du, p, Dp; ω, u, pv 1, Q T ( n [B(ω, u, p, v 2 ] = b i (ω, u, p, Dp; ω, u, pd i v 2 + b 0 (ω, u, p, Dp; ω, u, pv 2. Q T Ezenkívül L : D(L X 1, Lu = D t u a deriválás operátora X 1 -en, értelmezési tartománya D(L = {u X 1 : D t u X 1, u(0 = 0}. Végül legyen G X 1, H X 2. Ekkor a (8(10 rendszer gyenge alakja a (0, T intervallumon: (11 (12 (13 ω(t, x = ω 0 (x + Lu + A(ω, u, p = G B(ω, u, p = H. t 0 f(s, x, ω(s, x, u(s, x; uds m.m. Q T -ben 4.1 Tétel. Tegyük fel, hogy fennáll (A, (B, (F (lásd [2, 6]. Ekkor minden ω 0 L (Ω, G X 1 és H X 2 esetén létezik ω L (Q T, u D(L, p X 2 megoldása a (11(13 problémának (amelyet a (8(10 rendszer (0, T -beli gyenge megoldásának nevezünk. A bizonyítás f ötlete, hogy deniáljuk az (ω k, (u k, (p k szukcesszíve approximáló sorozatokat: ω k -t a (11 egyenletb l kapjuk az u k 1 el z közelítés segítségével; u k a (12 egyenletb l adódik az ω k 1, p k 1 el z közelítések segítségével; p k a (13 egyenletb l adódik ω k 1, u k 1 felhasználásával. A Volterra-tulajdonság segítségével nem nehéz belátni gyenge megoldás létezését a (0, intervallumon (lásd [3, 6]. Legyen X i := L p i loc (0, ; V i (i = 1, 2 a megoldások tere. 4.2 Tétel. Tegyük fel, hogy az a i, b i, f függvények Volterra-tulajdonságúak, továbbá a 4.1 Tétel feltételei teljesülnek minden 0 < T < -re. Ekkor minden G L q 1 loc (0,, V, H L q 2 loc (0,, V2 esetén létezik ω L (Q, u X1, p X2 úgy, hogy minden 0 < T < -re a (0, T -re való megszorításuk megoldása a (11(13 rendszernek. További koercitivitási feltételeket szabva (a 3. szakaszbeli (A4 -gal analóg módon igazolható a megoldások korlátossága (lásd [3, 6]. 4.3 Tétel. Tegyük fel, hogy a 4.2 Tétel feltételei teljesülnek néhány további koercitivitási feltétellel kiegészítve (lásd [3, 6] és legyen G L (0, ; V 1, H L (0, ; V 2. Ekkor ω L (Q, u L (0, ; L 2 (Ω, p L (0, ; V 2 a (8(10 rendszer minden, (0, -beli ω, u, p gyenge megoldására. 7

A p 1 = p 2 = p, X1 = X2 = X speciális esetben belátható a megoldások t esetén való stabilizációja. Feltételezve az a i, b i, f függvények stabilizációját ((A6 feltétellel analóg módon deniálhatók az A, B : L (Ω V V V operátorok: ( n A (ω, u, p, v := a i, (ω, u, Du, p, DpD i v + a 0, (ω, u, Du, p, Dpv, Ω B (ω, u, p, v := ( n b i, (ω, u, p, DpD i v + b 0, (ω, u, p, Dpv. Ω Néhány további feltételt szabva (egyenletes monotonitás (A7-tel analóg módon, illetve a (11 egyenlet egyensúlyi helyzetének exponenciális stabilitása belátható (lásd [3, 6] 4.4 Tétel. Tegyük fel, hogy a 4.3 Tétel feltételei teljesülnek kiegészítve néhány egyéb feltétellel (lásd [3, 6], továbbá lim G(t G V = 0, lim H(t H V = 0 valamilyen t t G, H V -ra. Ekkor egyértelm en létezik u, p V úgy, hogy A (ω, u, p = G, B (ω, u, p = H, ahol ω L (Ω a (11 egyensúlyi pontja. Ezenkívül a (8 (10 rendszer minden ω, u, p (0, -beli megoldására t esetén ω(t, ω L (Ω- t+1 t+1 ban, u(t u L 2 (Ω-ban, u(s u p V ds 0, p(s p p V ds 0. t 1 A 3. szakaszhoz hasonlóan a fenti tételben szerepl konvergenciára polinomiális becslés nyerhet. Példákat illet en lásd [2, 3, 5, 6]. t 1 Hivatkozások [1] Á. Besenyei, On systems of parabolic functional dierential equations, Annales Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., 47 (2004, 143160. [2] Á. Besenyei, Existence of weak solutions of a nonlinear system modelling uid ow in porous media, Electron. J. Di. Eqns., Vol. 2006(2006, No. 153, pp. 119. [3] Á. Besenyei, Stabilization of solutions to a nonlinear system modelling uid ow in porous media, Annales Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., 49 (2006, 115136. [4] Á. Besenyei, On nonlinear parabolic variational inequalities containing nonlocal terms, Acta Math. Hung., 116(12 (2007, 145162. [5] Á. Besenyei, Examples for uniformly monotone operators arising in weak forms of elliptic problems, kézirat, 2007. [6] Á. Besenyei, On a nonlinear system containing nonlocal terms related to a uid ow model, E. J. Qualitative Theory of Di. Equ., Proc. 8'th Coll. Qualitative Theory of Di. Equ., No. 3. (2008, pp. 113. 8

[7] J. Berkovits, V. Mustonen, Topological degree for perturbations of linear maximal monotone mappings and applications to a class of parabolic problems, Rend. Mat. Ser. VII 12, Roma (1992, 597621. [8] H. Brezis, Opérateurs maximaux monotones et semi-groups de contraction dans les espaces de Hilbert, North-Holland, Amsterdam, 1973. [9] F. E. Browder, Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value problems on unbounded domains, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 74 (1977, 26592661. [10] M. Chipot, B. Lovat, Existence and uniqueness results for a class of nonlocal elliptic and parabolic problems, advances in quenching, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. A Math. Anal, 8 (2001, 3551. [11] M. Chipot, L. Molinet, Asymptotic behaviour of some nonlocal diusion problems, Appl. Anal., 80(34 (2001, 279315. [12] S. Cinca, Diusion und Transport in porösen Medien bei veränderlichen Porosität, Diplomawork, Univ. Heidelberg, 2000. [13] J. I. Díaz, G. Hetzer, A quasilinear functional reaction-diusion equation arising in climatology, in: Equations aux Dérivée Partielles et Apllications, Gauthier-Villars, Paris, 1998, 461480. [14] G. Duvaut, J. L. Lions, Inequalities in Mechanics & Physics, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Series, Vol. 219., 1976. [15] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969. [16] J. D. Logan, M. R. Petersen, T. S. Shores, Numerical study of reaction-mineralogyporosity changes in porous media, Appl. Math. Comput., 127 (2002, 149164. [17] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Application to Partial Dierential Equations, Springer, 1983. [18] L. Simon, On parabolic functional dierential equations of general divergence form, Proceedings of the Conference FSDONA 04, Milovy, 2004, 280291. [19] J. Wu, Theory and Applications of Partial Functional Dierential Equations, Springer, 1996 [20] E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications II/A and II/B (Linear and Nonlinear Monotone Operators, Springer, 1990. 9