Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett

Átírás

1 Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett Kovács Balázs és Christian Lubich University of Tübingen SFB 1173 BME Alkalmazott Analízis Szeminárium november 10., Budapest Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 1 / 43

2 Kivonat Néhány egyszer példa Variációs formalizmus és további példák Térbeli diszkretizáció poligonális tartámányok esetén Sima tartományok Id diszkretizációk Numerikus kísérletek Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 2 / 43

3 Egyszer parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétellel Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 3 / 43

4 H vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel H vezetési egyenlet Wentzell-féle peremfeltételek mellett: { t u= u Ω-ban t u= u ν u Γ-n, Ω R d korlátos tartomány; Γ = Ω peremmel a felület; ν u normális derivált Γ-n; Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 4 / 43

5 Felülettartomány diúziós egyenlet Tekintsük egy felületi diúziót és a tartománybeli diúziót csatoló feladatot: { t u= u Ω-ban t u= Γ u ν u Γ-n, ahol Γ a LaplaceBeltrami operátor. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 5 / 43

6 Variációs formalizmus és néhány további példa Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 6 / 43

7 Absztrakt variációs formalizmus autonóm eset Tekintsük a lineáris parabolikus feladatok szokásos absztrakt felírását: legyen V és H Hilbert-tér, és normákkal, továbbá a V H beágyazás legyen s r és folytonos. Gelfand-hármas Jelölje (, ) a skalárszorzatot H-n. Legyen az a(, ) folytonos szimmetrikus bilineáris forma, amely teljesíti a Gårding-egyenl tlenséget: a(v, v) α v 2 c v 2 v V (α > 0, c R). ld. [Thomée], [Lubich és Ostermann (1994)], [Simon L. (2014)], stb. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 7 / 43

8 Absztrakt variációs formalizmus autonóm eset Ekkor az absztrakt parabolikus feladat az alábbi alakban írható fel { ( u(t), v) + a(u(t), v) = (f (t), v) v V (0 < t T ) u(0) = u 0. Tekinthet egy H-gradiens áramlásnak, azaz ( u, v) = E (u)v v V, az E(v) = 1 a(v, v) v V energiafunkcionál mellett. 2 Ekkor teljesül a következ a priori energia becslés: t ( u(t) 2 + α u(s) 2 ds e 2ct u t f (s) 2 ). 0 α ds 0 [Daturay és Lions (1992)] Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 8 / 43

9 Klasszikus PDE-k A h vezetési egyenlet homogén Dirichlet peremfeltétellel Legyen V = H0 1(Ω) és H = L 2(Ω), a bilineáris formák pedig a(u, v) = u vdx, Ω (u, v) = uvdx. Ω A fenti gradiens áramlás alapján { t u = u Ω-ban u = 0 Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 9 / 43

10 Klasszikus PDE-k A h vezetési egyenlet homogén Dirichlet peremfeltétellel Legyen V = H0 1(Ω) és H = L 2(Ω), a bilineáris formák pedig a(u, v) = u vdx, Ω (u, v) = uvdx. Ω A fenti gradiens áramlás alapján { t u = u Ω-ban u = 0 Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 9 / 43

11 Klasszikus PDE-k A h vezetési egyenlet homogén Neumann peremfeltétellel Legyen V = Ḣ 1 (Ω) és H = L 2 (Ω), a bilineáris formák pedig a(u, v) = u vdx, Ω (u, v) = uvdx. Ω A fenti gradiens áramlás alapján { t u = u Ω-ban ν u = 0 Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 9 / 43

12 Hogyan illenek a fenti feladatok az absztrakt formalizmusba? I. H vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel Legyen V = {v H 1 (Ω) γv H 1 (Γ)}, H pedig izomorkus L 2 (Ω) L 2 (Γ)-val. Bilineáris formák: a(u, v) = (u, v) = Ω Ω u v + κ uv + µ Γ Γ (γu)(γv) (γu)(γv) + β Γ Γ u Γ v, κ R, β 0 és µ > 0. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 10 / 43

13 Hogyan illenek a fenti feladatok az absztrakt formalizmusba? II. A gradiens áramlás alapján: { t u = u Ω-ban µ t u = β Γ u κu ν u Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω) κ γv 2 L 2 (Γ) β Γv 2 L 2 (Γ). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 11 / 43

14 Mit l lesz dinamikus egy peremfeltétlel? Klasszikus h vezetési egyenlet Hilbert-terek: V = H 1 0(Ω) és H = L 2 (Ω) Bilineáris formák: a(u, v) = u v Ω (u, v) = uv Ω Energia funkcionálok: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Gradiens áramlás, ( u, v) = E (u)v, szerint: { t u = u Ω-ban 0 = u Γ-n, Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 12 / 43

15 Mit l lesz dinamikus egy peremfeltétlel? Klasszikus h vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel Hilbert-terek: V = {v H 1 (Ω) γv H 1 (Γ)} és H = L 2 (Ω) L 2 (Γ) Bilineáris formák: a(u, v) = u v + κ (γu)(γv) + β Γ u Γ v Ω Γ Γ (u, v) = uv + µ (γu)(γv) (κ R, β 0, µ > 0), Ω Energia funkcionálok: Γ E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω) κ γv 2 L 2 (Γ) β Γv 2 L 2 (Γ). Gradiens áramlás, ( u, v) = E (u)v, szerint: { t u = u Ω-ban µ t u = β Γ u κu ν u Γ-n, Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 12 / 43

16 Lineáris nem-autonóm rendszerek I. Legyen V és H mint korábban, ekvivalens id függ normákkal: t és 2 t = m(t;, ). Legyen továbbá az a bilineáris forma is id függ, a(t;, ). Szükség van továbbá plusz (természetes) korlátossági feltételekre: m, a, m t és a t id ben korlátos. [Dziuk, Lubich és Mansour (2012)] Minden tulajdonság (norma ekvivalenciák, Gårding, korlátosság, stb.) id ben egyenletesen teljesül. Absztrakt nem-autonóm PDE: m(t; u(t), v) + a(t; u(t), v) = m(t; f (t), v) v V (0 < t T ) u(0) = u 0. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 13 / 43

17 Lineáris nem-autonóm rendszerek II. Például, h vezetési egyenlet nem-autonóm dinamikus peremfeltétellel: { t u = u µ(x, t) t u(x, t) = κ(x, t)u(x, t) + Γ (β(x, t) Γ u(x, t) ) ν u(x, t) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 14 / 43

18 Nemlineáris feladatok Szemilineáris feladatok szintén hasonlóan kezelhet ek: ( u(t), v) + a(u(t), v) = (f (u(t)), v) v V (0 < t T ) u(0) = u 0, ahol f : V H egy kell en sima függvény. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 15 / 43

19 Felületi reakciódiúzió egyenlet csatolása a tartománybeli diúzióhoz Egy tipikus példa: { t u= u Ω-ban µ t u= β Γ u + f (u) ν u Γ-n = Ω ahol f : R R C 2 függvény (f és f lokálisan Lipschitz). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 16 / 43

20 AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltétellel Legyenek W, W Γ : R R adott függvények (tipikusan valamilyen potenciál, pl. W (u) = (u 2 1) 2 ). Ekkor az AllenCahn egyenlet t u = u W (u) Ω-ban dinamikus peremfeltétellel: µ t u = β Γ u W Γ (u) νu Γ-n. ún. AllenCahn/AllenCahn csatolás Sok zikai cikk. [Gal (2008); Liero (2013); Colli és Fukao (2015);... ] Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 17 / 43

21 CahnHilliard egyenlet dinamikus peremfeltételekkel Egy jól ismert mintázatképz dési modell: Tekintsük a CahnHilliard egyenletet t u= w w= u W (u) Ω-ban, Allen-Cahn típusú dinamikus peremfeltétellel: µ t u= β Γ u W Γ (u) νu ν w= 0 Γ-n. ún. Cahn-Hilliard/Allen-Cahn csatolás Komplikált alapterek V és H. [Cherls, Petcu és Pierre (2010)] [Kenzler et. al. (2011); Gal (2008); Goldstein, Miranville és Schimperna (2011);... ] Lehetséges Cahn-Hilliard/Cahn-Hilliard csatolás is. (Még bonyolultabb alapterekkel.) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 18 / 43

22 Térbeli szemidiszkretizáció ahol κ R, β 0 és µ > 0. { t u = u Ω-ban µ t u = β Γ u κu ν u Γ-n, Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 19 / 43

23 Végeselem módszer lineáris bázisfüggvények Keressük u h : [0, T ] V h szemidiszkrét megoldást úgy, hogy ( u h (t), v h ) + a(u h (t), v h ) = (f (t), v h ) v h V h (0 < t T ) (u h (0), v h ) = (u 0, v h ) v h V h. ahol ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ N a V h V tér bázisfüggvényei. Ekvivalens közdi rendszer (u(t) = (u i (t))): M u(t) + Au(t) = b(t), az alábbi tömeg és merevségi mátrixszal: m ij = (ϕ j, ϕ i ), a ij = a(ϕ j, ϕ i ) és b i (t) = (f (t), ϕ i ). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 20 / 43

24 El étel Els rend hibabecslések poliédereken I. Kulcs a szemidiszkrét energia becslés (nem csak poliéderen!): t ( u h (t) 2 + α u h (s) 2 ds e 2ct u h (0) t f (s) 2 ). 0 α ds 0 Továbbá a Ritz projekció (a-ortogonális projekció) a(r h u, v h ) = a(u, v h ) v h V h (κ > 0) Teljesíti az alábbi hibabecslést u R h u 2 Ch 2 ( u 2 H 2 (Ω) + β γu 2 H 2 pw (Γ) ) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 21 / 43

25 El étel Els rend hibabecslések poliédereken II. Szemidiszkrét hibabecslés: u(t) u h (t) 2 + t Bizonyítás: Ld. [V. Thomée]: Bontsuk fel a hibát 0 u(t) u h (t) 2 dt Ch 2. u h u = (u h R h u) + (R h u u) alakban. El bbire energia becslés, utóbbira a fenti Ritz projekció hibabecslés. [...] Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 22 / 43

26 Sima felületek Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 23 / 43

27 Lift operátor Sima felületek esetében elkerülhetetlen a felület és a tartomány approximációja, és így extra óvatosság is szükségeltetik, ld. [Dziuk, Elliott, Ranner,... (1988)]. V h V p x Γ h Γ Fontos(!): Új interpolációs becslések: tartomány [Bernardi (1989), Elliott és Ranner (2013)], felület [Dziuk (1988)] Egyéb geometrikus hibák megfelel becslése. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 24 / 43

28 Diszkrét bilineáris formák a h (u h, v h ) = m h (u h, v h ) = u h v h + κ Ω h (γ h u h )(γ h v h ) + β Γ h u h v h + µ Ω h (γ h u h )(γ h v h ), Γ h Γ h Γh u h Γh v h Geometriai hibák becslése: tetsz leges v h, w h V h esetén a(v l h, w l h ) a h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h, m(v l h, w l h ) m h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h. Fontos becslés [Elliott és Ranner (2013)]: v L2 (B l h ) Ch1/2 v H1 (Ω) ( v H 1 (Ω)). (1) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 25 / 43

29 Diszkrét bilineáris formák a h (u h, v h ) = m h (u h, v h ) = u h v h + κ Ω h (γ h u h )(γ h v h ) + β Γ h u h v h + µ Ω h (γ h u h )(γ h v h ), Γ h Γ h Γh u h Γh v h Geometriai hibák becslése: tetsz leges v h, w h V h esetén a(v l h, w l h ) a h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h, m(v l h, w l h ) m h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h. Fontos becslés [Elliott és Ranner (2013)]: v L2 (B l h ) Ch1/2 v H1 (Ω) ( v H 1 (Ω)). (1) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 25 / 43

30 Diszkrét bilineáris formák a h (u h, v h ) = m h (u h, v h ) = u h v h + κ Ω h (γ h u h )(γ h v h ) + β Γ h u h v h + µ Ω h (γ h u h )(γ h v h ), Γ h Γ h Γh u h Γh v h Geometriai hibák becslése: tetsz leges v h, w h V h esetén a(v l h, w l h ) a h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h, m(v l h, w l h ) m h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h. Fontos becslés [Elliott és Ranner (2013)]: v L2 (B l h ) Ch1/2 v H1 (Ω) ( v H 1 (Ω)). (1) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 25 / 43

31 Ritz leképezés sima tartományok esetén Deniáljuk a Ritz leképezést R h : V V l h a h ( R h u, v h ) = a(u, v l h ) a következ módon: v h V h ekkor, legyen R h u := ( R h u) l V l h. Nincs Galjorkin ortogonalitás! Nem projekció, csak leképezés! Ritz leképezés hibabecslése ) Els rend becslés: u R h u 2 Ch ( u 2 2 H 2 (Ω) + β γu 2 H 2 (Γ) ; Másodrend becslés:. normában, AubinNitsche trükk. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 26 / 43

32 Konvergencia becslések Legyen Ω R d egy sima tartomány (d 3), továbbá legyen u a feladat megfelel en sima megoldása. Ekkor a szemidiszkrét megoldás lineáris bázisfüggvények esetén teljesíti a következ els rend hibabecslést: u h (t) u(t) 2 + t 0 u h (s) u(s)) 2 ds C 1 h 2, Továbbá az alábbi másodrend hibabecslés is teljesül: u h (t) u(t) 2 L 2 (Ω) + µ γ(u h(t) u(t)) 2 H θ (Γ) C 2h 4, ahol θ = 1/2, ha β = 0 és θ = 0, ha β > 0. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 27 / 43

33 Általános PDE-k Hasonló eredmények igazak szemilineáris problémák (lokálisan Lipschitz) jó trükk (?!), ( ) nem-autonóm feladatok (gyelem(!): R h (t)u(t) R h (t) u(t)), esetén is. lumped mass végeselem módszer ( exponenciális integrátorok), d dt Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 28 / 43

34 Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 29 / 43

35 Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 29 / 43

36 Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 29 / 43

37 Egy jó trükk II. Inverz becsléssel: u h L (Ω) u h I h u L (Ω) + I h u L (Ω) Ch d/2 u h I h u L2 (Ω) + u L (Ω) Ch d/2 u h u L2 (Ω) + Ch d/2 u I h u L2 (Ω) + u L (Ω) CC 2 h 2 d/2 + Ch 2 d/2 u H2 (Ω) + u L (Ω) 3 r. 2 Azaz t nem lehetett maximális! t = T Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 30 / 43

38 Id diszkretizációk Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 31 / 43

39 Klasszikus implicit módszerek Ugyanazt az absztrakt formalizmust használjuk, amelyben a parabolikus feladatok id diszkretizációja jól ismert: pl. BDF vagy algebrailag stabil implicit RungeKutta módszerek. m( τ t un h, v h) + a(u n h, v h) = m(f (t n ), v h ) v h V h, [Akrivis, Crouzeix, Lubich, Ostermann, Savaré,...,... ] Például, egy k lépéses BDF módszer (k 5): a klasszikus rendben konvergál. ( δ0 τ M + A )u n = b(t n ) M 1 τ k δ j u n j. j=1 Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 32 / 43

40 Splitting módszerek I. Force splitting: válasszuk el a tartományt és a felületet: a(, ) = a Ω (, ) + a Γ (, ) A = A Ω + A Γ 1 [t 0, t 1/2 ]: M u(t) = A Γ u(t) + b Γ (t 0 ), kezdeti feltétel: u 0, megoldás: u 1/2,. 2 [t 0, t 1 ]: M u(t) = A Ω u(t) + b Ω (t 1/2 ), kezdeti feltétel: u 1/2,, megoldás: u 1/2,+. 3 [t 1/2, t 1 ]: M u(t) = A Γ u(t) + b Γ (t 1 ), kezdeti feltétel: u 1/2,+, megoldás: u 1. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 33 / 43

41 Splitting módszerek II. Component splitting: válasszuk el a bels és a perem pontokat: ( ) ( ) u0 M0 0 u =, M =, A = u 1 0 M 1 ( ) A00 A 01, b = A 10 A 11 ( b0 b 1 ). 1 [t 0, t 1/2 ]: M 1 u 1 (t) = A 11 u 1 (t) A 10 u b 1(t 0 ), kezdeti feltétel: u 0 1, megoldás: u1/ [t 0, t 1 ]: M 0 u 0 (t) = A 00 u 0 (t) A 01 u 1/2 1 + b 0 (t 1/2 ), kezdeti feltétel: u 0 0, megoldás: u [t 1/2, t 1 ]: M 1 u 1 (t) = A 11 u 1 (t) A 10 u b 1(t 1 ), kezdeti feltétel: u 1/2 1, megoldás: u 1 1. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 34 / 43

42 Numerikus kísérletek Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 35 / 43

43 AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltételekkel BDF2 { t u = u + f Ω Ω-ban µ t u = β Γ u ν u + W Γ (u) + f Γ Γ-n, BDF BDF dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 error m 10 4 error a step size (τ) step size (τ) BDF2 módszer hibája t = 1 id pontban

44 AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltételekkel BDF4 BDF BDF dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 4 error m 10 4 error a step size (τ) step size (τ) BDF4 módszer hibája t = 1 id pontban

45 Force splitting Γ - Ω force force dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 error m 10 4 error a step size (τ) step size (τ) Force splitting hibája t = 1 id pontban

46 Component splitting 0-1 component component dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 error m 10 4 error a step size (τ) step size (τ) Figure: Component splitting hibája t = 1 id pontban

47 Összefoglalás általános absztrakt formalizmus; így a meglév id diszkretizációs eredmények direkt alkalmazhatóak; Ritz projekció nem a szokásos elliptikus formán alapul, hanem új, peremtagokat is tartalmaz, esetszétválasztás: β = 0, β > 0; sima felületek esetén a felület approximációja fontos; splitting(!!); Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 40 / 43

48 Köszönöm a gyelmet! Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 41 / 43

49 Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 42 / 43

50 Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 42 / 43

51 Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 42 / 43

52 Egy jó trükk II. Inverz becsléssel kell en kis h esetén: u h L (Ω) u h I h u L (Ω) + I h u L (Ω) Ch d/2 u h I h u L2 (Ω) + u L (Ω) Ch d/2 u h u L2 (Ω) + Ch d/2 u I h u L2 (Ω) + u L (Ω) CC 2 h 2 d/2 + Ch 2 d/2 u H2 (Ω) + u L (Ω) 3 r. 2 Azaz t nem lehetett maximális! t = T Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 43 / 43