XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály

feldt: Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály Két játékos következő játékot játsz: Az,,3,,07 véges számsoroztól váltkozv kiválsztk egy-egy számot, és zt törlik soroztól Bármelyikük látj, hogy milye számot válsztott másik Midkette feljegyzik füzetüke z áltluk kiválsztott számokt A játék kkor ér véget, mikor megdott számsorozt már em mrd szám A játékot z játékos yeri meg, ki áltl kiválsztott számok összege em oszthtó 3-ml Melyik játékosk v yerő strtégiáj? Szilágyi Judit, Kolozsvár, Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy feldt: Az ABC hegyesszögű háromszöge, melye ( ) 75 m ABC Legye M BC úgy, hogy AM BC, vlmit N AC úgy, hogy O vl zt potot, melyre MO AB ) Igzold, hogy m AOB 90 AN AM Az MN félegyeese jelöljük NC MC ) Jelölje F z AB szksz felezőpotját Bizoyítsd e, hogy OF AB Bíró Bél, Sepsziszetgyörgy 3 feldt: Adott z M y, y hlmz Igzold, hogy z M hlmz elemei között icseek 7-tel oszthtó egész számok Jk Tior, Sepsziszetgyörgy

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály 4 feldt: Az ABC -e D, E ( AB) úgy, hogy [ AD] [ DE] [ EB] és F ( AC) úgy, hogy Legye BF CD { M}, BF CE { N} AF AC 3 Igzold, hogy T T DENM CDE 5 4 Simo József, Csíkszered 5 feldt: egész Htározd meg zokt z irrcioális számokt, melyekre és számok dr Becze Mihály, Bukrest 6 Feldt Háyféleképpe lehet megdi három pozitív egész számot, melyekre c 30030 teljesül? c és Rók Sádor, Nyíregyház

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály feldt: Igzold, hogy eseté se! 89 07 em írhtó fel két prímszám összegekét egyetle 4 Dr Becze Mihály, Bukrest, Dávid Géz, Székelyudvrhely feldt: Az első 000 pozitív egész szám között háy oly szám v, melyekek pozitív osztóik összege pártl? Rók Sádor, Nyíregyház 3 feldt: Adott kilec, párokét külööző pozitív egész szám, melyekek összege 30 Igzold, hogy létezik közöttük égy oly, melyekek összege leglá 70 Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy 4 feldt: Az ABCD kove égyszög oldlir kivülről megszerkesztjük z ABR, BCT, DCS és APD egyelőoldlú háromszögeket Legye Q z AS és PC szkszok, O pedig z AT és RC szkszok metszéspotj Igzold, hogy: PC AT ) RC AS ) AQ DQ QC PQ QS és AO BO OC RO OT c) 3 TAQCO ( AQ QC AO OC ) 4 Pálhegyi-Frks László, Ngyvárd

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály 5 feldt: Az ABC háromszög C csúcsá átmeő kör z AB oldlt D pot ériti, hol D felezi háromszög oldlát A kör z AC és BC oldlkt z M és N pot metszi, továá AC : BC 3: Mekkor z ADM és DBN háromszögek területéek ráy? Rók Sádor, Nyíregyház 6 feldt: Igzold, hogy h z coldlhosszú,, ABC háromszög területe kkor háromszög derékszögű! T c c Ik Tior, Sepsiszetgyörgy,

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - osztály feldt: Oldd meg vlós számok hlmzá z y y z y z z egyeletredszert! Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy feldt: Igzold, hogy 07 08 oszthtó 07 -tel! 08 Komá Zsomor, Brssó 3 feldt: Szályos háromszöglpokól és égyzetlpokól oldlú kove sokszögeket rkuk ki átfedés élkültudv, hogy háromszöglpok illetve égyzetlpok oldlik hossz em feltétleül zoos, htározd meg z lehetséges értékeit 4 feldt: Adott z A,3,5, 7,9, 07 Rók Sádor, Nyíregyház hlmz Leglá háy elemet kell kiválszti z A hlmz elemei közül, hogy kiválsztott elemek között legye leglá két elem, melyek háydos 7 töszöröse? Mátéfi Istvá, Mrosvásárhely k k 5 feldt: Adottk z, úgy, hogy, 3,5,7,, k, és Igzold, hogy DrBecze Mihály, Bukrest 6 feldt: Az ABC háromszöge AB, BC, AC, hol, és AD szögfelező Az A csúcso átmeő kör BC oldlt D pot ériti, z AB és AC oldlkt z E illetve F potok metszi ) Mutsd ki, hogy EF BC ) Számítsd ki z EF szksz hosszát! Rók Sádor, Nyíregyház

feldt: Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 9 osztály Az ABC háromszög oldlik hossz redre z,, c pozitív vlós számok H feáll z c c egyelőtleség, igzold, hogy háromszög derékszögű! 6 3 feldt: Vss Csill, Sepsiszetgyörgy Az ABC háromszög AB és AC oldlát felosztjuk egyelő részre, Az osztópotokt z A-tól kiidulv z AB oldlo B, B,, B -, illetve z AC oldlo C, C,, C - -el jelöljük ) Igzold, hogy BC BC B C összegvektor és BC vektor kollieáris BC szkszo felvesszük z M potot, BC - z M potot,, ) A BM k k k B C szkszo pedig z M potot úgy, hogy, ármely k, M C k k k eseté Htározd meg 3 feldt: AM k összeget k Mészár Juli, Ngyszlot Adott z sorozt úgy, hogy 0, és z,, számok mide pártl számr számti hldváy és mide páros számr mérti hldváy vk Igzold, hogy 4 feldt: Igzold, hogy * k k k k dr Becze Mihály, Bukrest ( )(8 ) 3 5 7 4 4, ármely 3, hol z vlós szám egész részét jelöli dr Becze Mihály, Bukrest Megjegyzések: - mukidő 3 ór; - mide feldt helyes megoldás 0 potot ér; - léyeges áltláosításokért és z elsőtől léyegese külööző megoldásokért egy feldtr legfelje 5 pluszpot jár

Miisterul EducţieiNțiole Suiectepetru Etpţiolă Cocursului de Mtemtică l Liceelor Mghire di Româi feldt: Oldd meg következő egyeletet: Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 0 osztály 8 7 30 54 60 8 0 4 45 90 Kovács Bél, Sztmárémeti feldt: Igzold, hogy h, k,,, k és t 3 3 4, kkor k log k t DrBecze Mihály, Bukrest 3 feldt: Az ABCDEF htszög oldlir kívülre egyelő oldlú háromszögeket szerkesztük, melyekek középpotjit redre M, N, O, P, Q és R -rel jelöljük, hol M z EF oldlr szerkesztett háromszög középpotj Igzold, hogy z NPR és OQM háromszögek súlypotji kkor és cskis kkor esek egye, h z ACE és BDF háromszögek súlypotji is egyeesek Pálhegyi-Frks László, Ngyvárd 4 feldt: Mutsd ki, hogy ármely ABC háromszöge feáll z lái egyelőtleség: m m 4c oldlfelező hosszát jelöli Mikor áll fe z egyelőség?, hol m, m z, illetve oldlkhoz trtozó Zákáy Móik, Ngyáy

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály feldt: Tekitsük z összes oly A i 3 melye, ármely,,,3 ij hrmdredű égyzetes mátriot, ij j 3 i j eseté Eze mátriok hlmzát jelöljük H -vl ) Igzold, hogy mide H -eli mátri determiás oszthtó3 -vel! ) Bizoyítsd e, hogy H - létezik leglá 7 oly mátri, melyekek determiási egyelőek! feldt: Igzold, hogy h AM, kkor Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy 8 det A A I det A Tr A 3 drbecze Mihály, Bukrest 3 feldt: Egy -es tégllp (egységyi oldlú égyzet) átlójár szerkesztük egy tégllpot, melyek hosszúság megegyezik z előző tégllp átlóják hosszávl, szélessége pedig egységyi Folyttjuk szerkesztést következő módo: keletkezett tégllp átlójár szerkesztük egy új tégllpot, melyek hosszúság megegyezik tégllp átlóják hosszávl, szélessége pedig z előző tégllp átlóják hosszávl A műveletet -szer ismételjük Jelölje T z -edik tégllp területét, ) Számítsd ki lim T T htárértéket! k ) Számítsd ki lim htárértéket! k T k Pálhegyi Frks László, Ngyvárd és Mészár Juli, Ngyszlot 07 4 feldt: Legye, 0, ármely eseté ) Igzold, hogy z ) Számítsd ki lim 07 07 07 sorozt koverges, és számítsd ki htárértékét! htárértéket! 06 c) Számítsd ki lim htárértéket! drbecze Mihály, Bukrest Megjegyzések: - mukidő 3 ór; - mide feldt helyes megoldás 0 potot ér; - léyeges áltláosításokért és z elsőtől léyegese külööző megoldásokért egy feldtr legfelje 5 pluszpot jár

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály k M k 0,,,,, jelöli z szám törtrészét Mutsd ki, hogy M, Áel féle csoport és feldt: Legye M,, és y y, hol drbecze Mihály, Bukrest feldt: Adottk z ( A, ) ésb, csoportok, melyek semleges elemei e, illetve u H z f : A B függvéy redelkezik z lái tuljdoságokkl: ii i, y A eseté f ( y) f ( ) f ( y) és igzold, hogy f ijektív f ( ) u, A \ e elemre, 3 feldt: Adottk z f : 0,, ) Számítsd ki: f f d Pálhegyi-Frks László, Ngyvárd e cos si f, si ) Htározd meg z f primitív függvéyeiek hlmzát 4 feldt: Adott z : ármely függvéyek Mátéfi Istvá, Mrosvásárhely 5 f, függvéy, melyre igz, hogy 5 f f, eseté Mutsd ki, hogy z f függvéyek v primitív függvéye drbecze Mihály, Bukrest Megjegyzések: - mukidő 3 ór; - mide feldt helyes megoldás 0 potot ér; - léyeges áltláosításokért és z elsőtől léyegese külööző megoldásokért egy feldtr legfelje 5 pluszpot jár

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály feldt: Két játékos következő játékot játssz: Az,,3,,07 véges számsoroztól váltkozv kiválsztk egy-egy számot, és zt törlik soroztól Bármelyikük látj, hogy milye számot válsztott másik Midkette feljegyzik füzetüke z áltluk kiválsztott számokt A játék kkor ér véget, mikor megdott számsorozt már em mrd szám A játékot z játékos yeri meg, ki áltl kiválsztott számok összege em oszthtó 3-ml Melyik játékosk v yerő strtégiáj? Vlmelyik játékos yerő strtégiáj zt jeleti, hogy függetleül z ellefél lépéseitől, z illető játékos yer Szilágyi Judit, Kolozsvár, Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy A kezdőjátékost evezzük A k, másikt B ek Vegyük észre, hogy megdott számsorozt 673 dr 3k+ lkú, 67 dr 3k lkú, illetve 67 dr 3k+ lkú szám v () A k v yerő strtégiáj és ez következő: Első válsztás egy 3k+ lkú szám Ezzel válsztássl eléri, hogy úgy 3k, mit 3k+, illetve 3k+ lkú számokól ugyyi, 67 dr mrd sorozt Ettől kezdve milye típusú számot válszt második játékos, ugy oly típusút válszt ő is Mivel midhárom típusól páros számú v, játék végé B játékosk 336 drj lesz midegyik típusú számól, z A játékosk pedig 3k és 3k+ lkú számokól 336 3k+ lkúól pedig 337 dr szám lesz Így B játékos számik összege 3 töszöröse, z A játékosé pedig 3k+ lkú, vgyis em oszthtó 3-ml Tehát, árhogy is játsszo B játékos, ezzel strtégiávl z A játékos yer

feldt: Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály Az ABC hegyesszögű háromszöge, melye ( ) 75 m ABC Legye M BC úgy, hogy AM BC, vlmit N AC úgy, hogy O vl zt potot, melyre MO AB ) Igzold, hogy m AOB 90 AN AM Az MN félegyeese jelöljük NC MC ) Jelölje F z AB szksz felezőpotját Bizoyítsd e, hogy OF AB A izoyítási godoltmeet leírásához hszáljuk mellékelt árát! Bíró Bél, Sepsziszetgyörgy ) Mivel m( ABC) 75 és m( AMB) 90 ezért m( BAM ) 5 Tekitsük z FOM háromszöget, melyről kimuttjuk, hogy egyelő oldlú Vló: feltevés lpjá MF z ABM derékszögű háromszög átfogójához trtozó oldlfelező Ezért FM AF FB () ()és () m FMA mfam ( ) 5 (3) A feldt dott ráypáról, szögfelező tétele lpjá, következik, hogy z (MN félegyees z AMC szögfelezője, ezért m AMO 45 (4) (3) és (4) mfmo mfma m AMO 5 45 60(5)

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 Másrészt feldt egyik feltevése lpjá I forduló - 9 osztály MO AB FB (6) A () es, (5) ös és (6) os egyevetéséől dódik, hogy z FMO egyelő oldlú, ezért FO FM FB FA, (7) vgyis z A, O és B potok egy F középpotú és AB átmérőjű körö vk Ie dódik, hogy z AOB félköre írt kerületi szög, tehát derékszög Ezzel z ) lpot állítását igzoltuk ) Másrészt: Aól, hogy m AMB 90és m AOB 90, dódik, hogy AOMB m BAM m BOM (lásd () - et) húrégyszög Emitt 5 A BOM háromszög szögeiek mértékét vizsgálv, z eddig megszerzett iformációk lpjá következik, hogy mobm 30 Ezt egyevetve zzl, hogy z AOMB égyszög m OAM m OBM (8) köreírhtó, kpjuk, hogy 30 () és (8) mfao 5 30 45 (9) (7) FO FA, mit (9) - cel egye vetve, kpjuk, hogy mfoa 45 és 90 m FAO m AFO, zz OF AB

3 feldt: Adott z M y, y Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály hlmz Igzold, hogy z M hlmz elemei között icseek 7-tel oszthtó egész számok Jk Tior, Sepsziszetgyörgy y Megmuttjuk, hogy em oszthtó 7-el,, y N eseté Az M hlmz egyetle eleme sem oszthtó 7-el Írhtó, hogy 0,,,4 mod7, z 7 k r lkú, hol r 0,,,3,4,5,6 Hsoló, y,,4 mod7, k 3 k k 3 k ismétlődek, mert 7 y Elkészítük egy táláztot z szám 7-el vló osztási mrdék 0,,,4 lehet, mert y lkú számok 7-el vló osztási mrdéki 3 periódussl oszthtó 7-el szám 7-el vló osztási mrdékir y mrdéki (->) 4 mrdéki (lá) 0 4 3 5 3 4 6 4 5 6 y A tálázt feltütettük z szám 7-el vló osztási mrdékit Mivel itt em y szerepel 0, következik, hogy em oszthtó 7-el,, y N eseté

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály 4 feldt: Az ABC -e D, E ( AB) úgy, hogy [ AD] [ DE] [ EB] és F ( AC) úgy, hogy Legye BF CD { M}, BF CE { N} AF AC 3 Igzold, hogy T T DENM CDE 5 4 Simo József, Csíkszered Szükségük lesz CN CE, CM CD Meelosz tételéek lklmzásávl kpuk meg ráyokr, melyeket Az AEC és B, N, F kollieáris potok eseté Meelosz BA FC NE tétel lklmzásávl BE FA NC NC 6 NE CN 6 CE 7 () Az 3 NE NC ADC és B, M, F kollieáris potok eseté Meelosz tétel lklmzásávl BA FC MD 3 MD MC 3 BD FA MC MC MD CM 3 CD 4 () Az () és () felhszálásávl CM CN si ( DCE) TCMN CM CN 3 6 9 T CDE CD CE si ( DCE) CD CE 4 7 4 B E D N A M F C Ugykkor TDENM TDEC TCMN, ho T T DENM DEC 5 4

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály 5 feldt: Htározd meg zokt z irrcioális számokt, melyekre és számok Legye és A feti összefüggésekől, kijelet szerit, egész dr Becze Mihály, Bukrest és ) H 0, hmis mert és ) H 0, 5, és mivel ezek 0, irrcioálisk, ezért éppe ezek megoldások Elleőrizzük, hogy ezekre z értékekre, 6 feldt: Háyféleképpe lehet megdi három pozitív egész számot, melyekre c 30030 teljesül? c és Rók Sádor, Nyíregyház 30030 3573 mitt ekük 6 prímszámot (, 3, 5, 7, és 3 számokt) kell három hlmz szétoszti, és így djuk meg z,, c számok prímtéyezőit Ez szétosztás 6 3 -féleképp törtéhet, hisze ht prím midegyikéél 3 válsztási lehetőség v: z első, második vgy hrmdik hlmz tesszük őt

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 9 osztály Eze szétosztások közül hármt kiveszük, zokt melyekél mid ht prím ugy hlmz került, z, vgy 3 hlmz: ekkor z,, c számok egyike 30030, másik kettő pedig Egy szétosztás eseté z, és 3 hlmzok sorredjét megváltozttv másik szétosztást kpuk, összese 3! 6 -féle sorred v Ezek közül csk egyet számoluk, mikor teljesül z 3 c sorred Emitt keresett,, c 6 3 számhármsok szám 6

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály feldt: Igzold, hogy eseté se! 89 07 em írhtó fel két prímszám összegekét egyetle 4 Dr Becze Mihály, Bukrest, Dávid Géz, Székelyudvrhely A 89 07 pártl mide eseté, tehát, h felírhtó két prímszám 4 összegekét, kkor z egyik pímszám kell legye Ezért 89 05 prímszám kell legye, mi elletmodás, mert 4 4 89 05 45 45 45, hol midkét téyező gyo, mit ármely eseté feldt: Az első 000 pozitív egész szám között háy oly szám v, melyekek pozitív osztóik összege pártl? Megoldás Egy pártl szám mide osztój pártl Rók Sádor, Nyíregyház Eze pártl osztók összege kkor lesz pártl, h pártl sok számot duk össze Mit tudjuk, égyzetszámokk és cskis ekik v pártl számú osztój Tehát pártl számok közül égyzetszámok zok, melyek osztóik összege pártl Az k m páros szám (hol m pártl) páros osztóik összege páros, így osztóik összege kkor pártl, h pártl osztók összege pártl, zz pártl osztók szám pártl Az pártl osztói zoosk m osztóivl Az elő már láttuk, ez zt jeleti, hogy z m pártl szám égyzetszám, m, tehát k k m

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály H -htváyól -es téyezőket párosávl kiemeljük, kkor vgy z lkot ölti Azt kptuk, hogy z és 000-ig 3 égyzetszám v, és oly szám, mely 3 53 3 feldt:, vgy lkú számok zok, melyek osztóik összege pártl lkú A keresett számok szám Adott kilec, párokét külööző pozitív egész szám, melyekek összege 30 Igzold, hogy létezik közöttük égy oly, melyekek összege leglá 70 Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy A számokt gyetűkkel jelölve, állítsuk övekvő sorrede: A B C D E F G H I Ismert, hogy A B C D E F G H I 30 A középső számr összpotosítv, két esetet külööztetük meg: ) H z E pozitív egész szám leglá 5, kkor z F G H I összeg leglá 6 7 8 9 70, mi feldt állítását izoyítj ) H z E pozitív egész szám legfee 4 kkor z A B C D E összeg legfee 0 3 4 60 Így töi égy szám összege, vgyis F G H I most is leglá 30 60 70 Ezzel izoyítást efejeztük 4 feldt: Az ABCD kove égyszög oldlir kivülről megszerkesztjük z ABR, BCT, DCS és APD egyelőoldlú háromszögeket Legye Q z AS és PC szkszok, O pedig z AT és RC szkszok metszéspotj Igzold, hogy:

PC AT ) RC AS Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály ) AQ DQ QC PQ QS és AO BO OC RO OT c) 3 TAQCO ( AQ QC AO OC ) 4 Pálhegyi-Frks László, Ngyvárd ) m( PDC ) m( ADS ) 60 m( ADC ) PD AD és DC DS Tehát z ADS és PDC háromszögek kogruesek, ezért PC AS Hsoló igzoljuk, hogy RC AT Ezért PC AT RC AS ) Iduljuk ki égyszögől és megszerkesztett háromszögekől Legyeek Q és O z ABR és BTC háromszögek, illetve z APD és DCS háromszögek köré írt körök második metszéspotji Akkor m( DQS ) m( DCS ) 60 m( DQP ) m( DAP ) 60 és m( PQA ) m( PDA ) 60 Tehát z A, Q, S potok kollieárisk Hsoló törtéik P, Q, C potok, z R, O, C potok és A, O, T potok kollieritásák izoyítás is Továá lklmzzuk V Schoote tételt : Legye P egy tetszőleges pot z ABC egyelőoldlú hárömszög köré írt körö H P z A pottól v legtávol, kkor PA PB PC, melyet z láik izoyítuk:

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály Alklmzzuk Ptolemiosz tételét z ABPC köreírhtó égyszöge: AP BC AB PC PB AC De háromszög egyelő oldlú, ezért zol következik, hogy PA PB PC Alklmzzuk feti megállpítást z AOBR, BOCT, APDQ és QDSC köreírhtó égyszögekre: PQ AQ QD () SQ DQ QC () OT BO OC (3) RO BO AO (4) H összedjuk z () és (), illetve (3) és (4) összefüggéseket következik AQ DQ QC PQ QS és AO BO OC RO OT c) m( PQS ) m( PQD ) m( DQS ) m( PAD ) m( DCS ) 60 60 0 Hsoló igzoljuk, hogy m( AOC) 0 AQ QC si0 AO OC si0 3 4 Akkor T T T AQ QC AO OC 5 feldt: AQCO AQC AOC Az ABC háromszög C csúcsá átmeő kör z AB oldlt D pot ériti, hol D felezi háromszög oldlát A kör z AC és BC oldlkt z M és N pot metszi, továá AC : BC 3 : Mekkor z ADM és DBN háromszögek területéek ráy? Megoldás Rók Sádor, Nyíregyház Az AC : BC 3 : ráy mitt legye AC 3, BC Legye AM, BN y, és AD DB c ; m CAB és m ABC (Lásd z árát)

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály Az ADM és DBN háromszögek területéek ráy: T T ADM DBN c si si y c si y si A sziusztétel mitt si si 3 Az ADM ACD és z BDN CDB hsolóságokól kpjuk, hogy: 3 c y, így y 3 Ezek lpjá T T ADM DBN c si si 4 y c si y si 3 3 9 6 feldt: Igzold, hogy h z,, c oldlhosszú ABC háromszög területe kkor háromszög derékszögű! T c c Ik Tior, Sepsiszetgyörgy, Megoldás Irhtó, hogy T c c c R c 4 c

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály T c képletet hszáltuk) c R 4R c 8R si A si B si C, z R si A képletet hszáltuk) si A si B si C cos 4 A, cos si képletet hszáltuk) cos cosb cosc 4 3 A cos A cos B cos C 0 cos cosb) (cosc 0 A, tgokt csoportosítottuk) cos BcosA B cos C 0 A, cos cos és cos p cos q képleteket hszáltuk ) cos cos BcosA B cos A B 0 A A BcosA B cosa B 0 A Bcos Acos B 0 cos cos A cos B cosc 0 z ABC háromszög derékszögű Megoldás Adhtó egy kevésé elegás megoldás is, melye felhszáljuk z 4 4 4 6T c c c egyelőséget Ezt Hero képletéől kphtjuk meg A feldteli egyelőség így irhtó T c c T c c 6T c 8 c (elvégezzük szorzásokt) 4 4 4 4 4 4 6 6 6 c c c c c c 0

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - 0 osztály 0 4 4 4 c c c c c c 0 4 c c 0 c c c z ABC háromszög derékszögű Megjegyzés: Kezdete úgy csoportosítjuk tgokt, hogy tudjuk kiemeli c téyezőt

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - osztály feldt: Oldd meg vlós számok hlmzá z y y z y z z egyeletredszert! Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy y () y Az egyeletredszer egyeértékű z z () és 0, y 0, z 0 egyeletredszerrel y z (3) z Ezek z egyelőségek csk kkor teljesülek, h 0, y 0 és z 0 Eek figyeleme vételével és számti mérti közepekre votkozó egyelőtleségek lklmzásávl írhtjuk, hogy, Az y, y z 4 z,, 3 és 4 egyevetésével kpjuk, hogy pedig, y és z 5, y, z Ie Másrészt: z egyeletek megfelelő oldlik összeszorzásávl, egyszerűsítés utá, kpjuk, hogy y z 6 Az 5 és 6 együttes htás mitt csk z y z jöhet számítás Megfordítv: közvetleül elleőrizhető, hogy z,, számhárms kielégíti redszer mide egyeletét Tehát z dott egyeletredszerek egyetle megoldás v, éspedig z,, számhárms

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - osztály feldt: Igzold, hogy 07 08 oszthtó 07 -tel! 08 Komá Zsomor, Brssó k, eseté k Idukcióvl igzolhtó, hogy Aho k 07 08 08 08 09 08 08 06 08 06 08 4 09 08 09 09 08 07 08 4 07 08 4 09 08 09 08 08 07 06 4 07 07 4 09 08 06 07 07 4 Mivel z összeg első két tgj oszthtó 07 -tel, csk zt kell izoyíti, hogy 06 oszthtó 07 -tel, mely kis Fermt-tétel lpjá igz Megjegyzés: Legye k 3 S k 3 k, kkor S 3 4 3 A két egyelőséget kivov egymásól következik, hogy 3 S ho S k k k S k k k k k

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - osztály 3 feldt: Szályos háromszöglpokól és égyzetlpokól oldlú sokszögeket rkuk ki átfedés élkültudv, hogy háromszöglpok illetve égyzetlpok oldlik hossz em feltétleül zoos, htározd meg z lehetséges értékeit Rók Sádor, Nyíregyház 3, 4,5, 6, 7,8,9,0,, eseté v oly oldlú kove sokszög, mely kívát módo kirkhtó H egy kove sokszöget z elvárt módo rkuk ki égyzetekől és szályos háromszögekől, kkor kirkott sokszög első szögeiek mértéke 60,90,0 vgy 50 lehet, emitt külső szögek leglá 30-osk A sokszög külső szögeiek összege 360, zz 30 360, tehát

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - osztály 4 feldt: Adott z A,3,5,7,9, 07 hlmz Leglá háy elemet kell kiválszti z A hlmz elemei közül, hogy kiválsztott elemek között legye leglá két elem, melyek háydos 7 töszöröse? Mátéfi Istvá, Mrosvásárhely 3 Az A hlmz elemeiől oly részhlmzokt képezük, melyek p,7 p,7 p,7 p, lkúk 3 p, kkor felírhtók p,7 p,7 p,7 p hlmzok p 9,,3,, 4 \,35, kkor keresett hlmz,7,7 43, 45, 47,, 85 \ 7 7,9,,,39 H,3,5 H p p p lkúk H p k k, kkor keresett hlmz p,7p lkú A fetieke felsoroltuk 3 oly részhlmzt, melyek 4 eleme v, 5 oly részhlmzt, melyek 3 eleme v, 05 oly részhlmzt, melyek eleme v, tehát összese 67 elem tlálhtó feti hlmzok, mrdt 74 elem A 74 elem ármely két eleméek háydos em lehet 7 töszöröse H kiválsztjuk z 74 elemet és egy-egy elemet kételemű háromelemű illetve égyelemű hlmzokól, kkor kiválsztott elemek szám 865 és ezek közül ármely két elem háydos em töszöröse 7-ek A továik, h ármely elemet válsztjuk, kkor kiválsztott elemek között iztos v két elem, melyek háydos 7 töszöröse Tehát leglá 866 elemet kell kiválszti

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - osztály k k 5 feldt: Adottk z, úgy, hogy, 3,5,7,, k, és Igzold, hogy Newto iomiális tételét lklmzv kpjuk, hogy: DrBecze Mihály, Bukrest 0 C C C C C k k Felhszálv C C, k 0, egyelőségeket felírhtjuk, hogy: C C C ho 3 3 C C C Alklmzv z z z z, z, z, z z z z, z, z összefüggéseket kpjuk, hogy: C C Jelölje r 0, feti egyelőtleségől következik r C C C rc, felhszálv C C C C zoosságot kpjuk, hogy 0 r C r C 0, ho 3 r r r 4r 8r r C 0, de mivel 0 C és 3 r r 4r 8r r 0 kpjuk, hogy 0 r vgyis

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 I forduló - osztály 6 feldt: Az ABC háromszöge AB, BC, AC, hol, és AD szögfelező Az A csúcso átmeő kör BC oldlt D pot ériti, és z AB és AC oldlkt z E illetve F potok metszi ) Mutsd ki, hogy EF BC! ) Számítsd ki z EF szksz hosszát! Rók Sádor, Nyíregyház ) AD szögfelező mbad mcad u () mead mefd u (kerületi szögek) () mcad mfdc u(kerületi szögek) (3) Az (), (), (3) EFD FDC EF BC (első váltó szögek) ) Felhszálv szögfelező tételét kpjuk, hogy: AB AC BD DC Mivel BDE BD BD BAD BD BE BA BD (4) 4 3 (5) 4 4 BE AE Alklmzv hsolóság lptételét z ABC háromszöge AE AB 5 3 EF 4 EF BC

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 9 osztály feldt: Az ABC háromszög oldlik hossz redre z,, c pozitív vlós számok H feáll z c c egyelőtleség, igzold, hogy háromszög derékszögű! 6 3 Vss Csill, Sepsiszetgyörgy c c 3c 6 c () 6 3 Alklmzv Cuchy-Buykovskij-Schwrz egyelőtleséget következik, hogy: 3c 3 c 3c 6 c () (), () 3c 6 c Mivel Cuchy-Buikovski-Schwrz egyelőtlesége, egyelőség áll fe következik, c hogy: 0 ho, és c 3 3 Mivel 3 c tehát z ABC háromszög derékszögű C -e Megjegyzés: A feldt teljes égyzetek kilkításávl is megoldhtó

feldt: Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 9 osztály Az ABC háromszög AB és AC oldlát felosztjuk egyelő részre, Az osztópotokt z A-tól kiidulv z AB oldlo B, B,, B -, illetve z AC oldlo C, C,, C - -el jelöljük ) Igzold, hogy BC BC B C összegvektor és BC vektor kollieáris BC szkszo felvesszük z M potot, BC - z M potot,, ) A BM k k k B C szkszo pedig z M potot úgy, hogy, ármely k, M C k k k eseté Htározd meg ) AM k összeget k Mészár Juli, Ngyszlot k k BkCk AC AB k k k k B C ( AC AB) AC AB BC k k k k k k Tehát z összegvektor kollieáris BC vektorrl k k k k ) AM k AB AC k k k k k k k k k k AM AB AC AB AC AB AC 6

3 feldt: Adott z Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 9 osztály sorozt úgy, hogy 0, és z,, számok mide pártl számr számti hldváy és mide páros számr mérti hldváy vk Igzold, hogy k k k k Kiszámítjuk sorozt 3, 5 6, 7, 9 0 pártl és dr Becze Mihály, Bukrest 4, 9, 6 páros ideű éháy tgját 4 6 8 Észrevesszük, hogy * ( ),, Mtemtiki idukció módszerével kpjuk: Elleőrizzük k -re 0, -igz Feltételezzük, k-r igz: ( k ) k, k k k Bizoyítjuk k+-re : k k k k ( ), k ( ) k k k k k k k k k k ( ) ( ) k ( k) ( k ) k k k k Tehát 3 k k k k k k k k ( k ) k ( k ) k k k

4 feldt: Igzold, hogy * Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 9 osztály ( )(8 ) 3 5 7 4 4, ármely 3, hol z vlós szám egész részét jelöli dr Becze Mihály, Bukrest Észrevesszük, hogy z összege z egészrész értelmezése lpjá dr -es, dr -es, 4 dr 3-s, 4 dr 4-es, 6 dr 5-ös, 6 dr 6-os és így tová, dr (-)-es és dr -es szám szerepel Vló k lesz z egészrésze ezekől 4k 4k 4k 4k 4k, 4k 4k 3,, 4k k k dr v Hsoló k lesz z egészrésze ezekől 4k 4k 4k számokk, és 4k, 4k 3,, 4k 4k k k dr v számokk és Így z összeg: 43 4 4 65 66 ( ) ( ) 4(3 4) 6(5 6) ( ) (4 ) 8 k k k k ( )( ) ( ) ( )(8 ) 8 6 3 k k k Megjegyzés: A feldt mtemtiki idukció módszerével is igzolhtó

Miisterul EducţieiNțiole Suiectepetru Etpţiolă Cocursului de Mtemtică l Liceelor Mghire di Româi feldt: Oldd meg következő egyeletet: Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 0 osztály 8 7 30 54 60 8 0 4 45 90 Kovács Bél, Sztmárémeti A számokt törzstéyezőkre otjuk és lklmzzuk htváyok tuljdoságit 3 3 3 3 3 5 3 3 5 = 3 3 3 5 3 3 5 3 5 Hszálv lkítuk ki,3, 5 c jelöléseket átredezzük z egyeletet és szorztot 3 3 3 3 c c c c c szorzótéyezőt próáluk kilkíti 3 3 3 3 c c c c c 0 ( ) ( ) c( ) ( ) c( ) 0 ( )( c c c) 0 A második zárójele z + c téyezőt lkítjuk ki ( )( c c c) 0 ( )( ( c) ( c) ( c)) 0 ( )( c)( ) 0, mi csk z lái eseteke teljesül: ) = 0 esete kpjuk, hogy = 3 vgyis = 0 ) + = c esete kpjuk, hogy + 3 = 5 vgyis 3 + = 5 3 Mivel loldli szigorú csökkeő és jooldli szigorú övekvő függvéy, következik, hogy = z egyetle megoldás 3) = esete kpjuk, hogy 3 6 vgyis 3 =

Miisterul EducţieiNțiole Suiectepetru Etpţiolă Cocursului de Mtemtică l Liceelor Mghire di Româi Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 0 osztály Mivel loldli szigorú csökkeő és jooldli szigorú övekvő függvéy, következik, hogy = - z egyetle megoldás Az dott egyelet megoldáshlmz:,0, feldt: Igzold, hogy h, k,,, k és t 3 3 4, kkor k log k t Hszálv Cuchy-Buykovszkij-Schwrz egyelőtleséget: DrBecze Mihály, Bukrest 3 3 k t kpjuk, hogy k log t log log k k k k k k k k log log log log k k k i j k i, j 3 feldt: Az ABCDEF htszög oldlir kívülre egyelő oldlú háromszögeket szerkesztük, melyekek középpotjit redre M, N, O, P, Q és R -rel jelöljük, hol M z EF oldlr szerkesztett háromszög középpotj Igzold, hogy z NPR és OQM háromszögek súlypotji kkor és cskis kkor esek egye, h z ACE és BDF háromszögek súlypotji is egyeesek Pálhegyi-Frks László, Ngyvárd

Miisterul EducţieiNțiole Suiectepetru Etpţiolă Cocursului de Mtemtică l Liceelor Mghire di Româi Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 0 osztály Jelöljük potok ffiumit megfelelő kisetűvel Legye N z AF oldlr kivülről szerkesztett egyelőoldlú háromszög középpotj A háromszög legye például FAG Akkor z FA szkszk z F körüli 60-os forgtásávl megkpjuk z FG szkszt, vgyis i 3 g f f, hol Tehát g f f Ie megkpjuk FAG háromszög súlypotját, legye eek eve például N Akkor z ffium: f f 3 A cirkuláris permutáció elve lpjá kpjuk töi középpot ffiumát is: o, 3 f e f e m 3 c c p, 3 Akkor NPR háromszög súlypotj: és z OQM háromszög súlypotji pedig: d c d c q, 3 9 e d e d r és 3 f c e d f c e d d c f e d c f e Ezek pedig kkor és cskis kkor egyelőek, h f c e d d c f e 9 vgyis c e d f mi súlypotjik egyeesését jeleti c e d f 3 3 felírás potos z ACE és BDF

Miisterul EducţieiNțiole Suiectepetru Etpţiolă Cocursului de Mtemtică l Liceelor Mghire di Româi Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 0 osztály 4 feldt: Mutsd ki, hogy ármely ABC háromszöge feáll z lái egyelőtleség: 4 c m m, hol m m, z, illetve oldlkhoz trtozó oldlfelező hosszát jelöli Mikor áll fe z egyelőség? Zákáy Móik, Ngyáy Alklmzzuk Cuchy- Buykovszkij- Schwrz egyelőtleséget z,, vlmit m m, számokr: m m m m Tudjuk, hogy 4 c m Ezt felhszálv kpjuk: 4 4 4 m m c m m c c Négyzetgyököt vov kpott egyelőtleségől, kpjuk: 4 c m m Egyelőség kkor áll fe, mikor Cuchy- Buykovszkij- Schwrz egyelőtlesége is, vgyis: m m, ez feltétel potos z egyelő szárú háromszög eseté teljesül

Miisterul EducţieiNțiole Suiectepetru Etpţiolă Cocursului de Mtemtică l Liceelor Mghire di Româi Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - 0 osztály Vló, z egyelőségi feltétel így lkul: m m és c c c 0 4 4 Tehát egyelő szárú háromszög eseté áll fe z egyelőség

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály feldt: Tekitsük z összes oly A i 3 melye, ármely,,,3 ij hrmdredű égyzetes mátriot, ij j 3 i j eseté Eze mátriok hlmzát jelöljük H -vl ) Igzold, hogy mide H -eli mátri determiás oszthtó3 -vel! ) Bizoyítsd e, hogy H - létezik leglá 7 oly mátri, melyekek determiási egyelőek! Bíró Bél, Sepsiszetgyörgy ) Nyilvávló, hogy mide H -eli mátri egész elemű, ezért determiásik is egész számok Tehát értelme v z oszthtósági kérdés felvetéséek Tekitsük egy tetszőleges H -eli mátriot A det A első sorát rögzítjük (melye és/vgy szerepel csupá) és ezt redre djuk hozzá második illetve hrmdik sorhoz Ekkor második és hrmdik soro 0, 4 vgy 4 számok szerepelhetek Így det A-k z első soráól kiemelhetük közös téyezőkét -t, míg második illetve hrmdik soról 4 -et, tehát teljes determiásól, 4 4 3 -t úgy, hogy kiemelés utá mrdt determiás elemei 0,, egészek, így determiás értéke is egész szám Ezzel izoyítottuk, hogy tetszőleges H -eli A mátri determiás oszthtó 3 -vel ) A feti godoltmeetet folyttv: tetszőleges A H eseté, det A determiást háromszögszállyl kifejtve 6 dr háromtéyezős szorzt lgeri összegét kpjuk, hol téyezők és/vgy Így 48 6 3 det A 6 3 48 és det A egész szám Az ) lpot izoyított oszthtóságot is figyeleme véve zt kptuk, hogy det A oly 3 -vel oszthtó egész szám, melyik 48,48 itervllum v Ilye szám csk három létezik, éspedig: 3,0 és 3 Midhárom megvlósulht determiásértékkét, például: 0, 3 és 3

Tehát A H Ngyvárd, 07 feruár 3 6 eseté det 3, 0,3 II forduló - osztály A Másrészt: H - összese 9 5 mátri v H H -eli mátriok közül legfee 70 -ek lee ugyz szám determiás, kkor legfee 370 50 mátriról lehete szó, mi elletmod k, hogy H számosság 5 Ezzel izoyítást efejeztük feldt: Igzold, hogy h AM, kkor 8 det A A I det A Tr A 3 drbecze Mihály, Bukrest Legye P det A I, hol Tr A, det A Másrészt det det A A I A I A I P P 3, hol, Így det A A I Tehát izoyítdó egyelőtleség egyeértékű z láivl: 8 3 3 0 4 0 3 feldt: Egy -es tégllp (egységyi oldlú égyzet) átlójár szerkesztük egy tégllpot, melyek hosszúság megegyezik z előző tégllp átlóják hosszávl, szélessége pedig egységyi Folyttjuk szerkesztést következő módo: keletkezett tégllp átlójár szerkesztük egy új tégllpot, melyek hosszúság megegyezik tégllp átlóják hosszávl, szélessége pedig z előző tégllp átlóják hosszávl A műveletet -szer ismételjük Jelölje T z -edik tégllp területét, ) Számítsd ki lim T T htárértéket! k ) Számítsd ki lim htárértéket! k T k Pálhegyi Frks László, Ngyvárd és Mészár Juli, Ngyszlot ) A tégllpok átlóit Pitgorász tételével kiszámolv, következő sorozthoz jutuk:,, 3, 5, 8, 3, Észrevesszük, hogy ezek Fiocci sorozt tgjik F, 3 F F F F égyzetgyökei hrmdik tgtól kezdve:

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály Megjegyzés: F0 0, F, F F F, A keresett területek: T F F, T F F3, T3 F3 F4,, T F F, T F F lim lim lim T F F F F 5 (z rymetszet szám) ) A htárérték kiszámításáál felhszáljuk Fiocci sorozt áltláos tgják z lkját: 5 5 5 F, Egyrészt evides, hogy T F F másrészt igz z úgyevezett Cssii zoosság: F F F, ezért k F F F F F F F F F F F k k k k k 3 k Tk k Fk Fk k Fk Fk F3 F F4 F3 F F F F F F F F k F 5 Akkor: lim lim k T k F 5 A Cssii zoosság igzolás: F F Tudjuk, hogy (idukcióvl zol igzolhtó) 0 F F Számítsuk ki determiásukt és tegyük egyelővé: F F det det F F F 0 0 F F

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály 07 4 feldt: Legye, 0, ármely eseté ) Igzold, hogy z ) Számítsd ki lim 07 07 07 sorozt koverges, és számítsd ki htárértékét! htárértéket! 06 c) Számítsd ki lim htárértéket! drbecze Mihály, Bukrest ) A mtemtiki idukció módszerével igzoljuk, hogy 0 0 vgyis szigorú csökkeő és korlátos, tehát koverges 07 07 Legye lim 0 07 07 07 ) lim lim 3 lim c) Mivel szigorú csökke 0 -hoz, következik, hogy 07 korlátos Alklmzv CesroStolz- tételt következik: ővekvő és em 06 06 06 06 06 lim 06 lim lim lim lim 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 lim 06 lim 06 06 06 06 06 06 06 lim 06 06 06 06 06 06 05 06 06

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály k M k 0,,,,, jelöli z szám törtrészét Mutsd ki, hogy M, Áel féle csoport és feldt: Legye M,, és y y, hol drbecze Mihály, Bukrest ), y M eseté, legye H, kkor és y, hol 0, ;, y M H 4 0,tehát y M eseté Tehát z M hlmz zárt műveletre ézve Asszocitivitás:, mivel, y z y z y z y y z y z,, y, z M y z y z y z y z y z y z,, y, z M Tehát * művelet sszocitív A kommuttivitás evides Semleges elem létezése: em : e, M e, M e 0 M z M hlmz semleges eleme Szimetrizálhtóság: 4 M M : * * 0 0 0, Tehát, h 0 0 M, h 0 M A fetiekől következik, hogy M, Áel féle csoport Az izomorfizmus igzolás:

Tekitsük z F: M, H Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály k F k függvéyt k k F F, 0 k, k k k k k osztv -gyel k k Amiől kpjuk, hogy F ijektív k k t M, zz F t Kimuttjuk, hogy F y F F y,, y M eseté k k M, y,0 k, k H k, tehát F szürjektív is, zz F ijektív k k H k k 0 Tehát k k M és k k F y F y F k k k k F F y k k k k 4 0 H, így k k M Ezek szerit k k k k F y F y F F k k k k F F y M,, Tehát

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály feldt: Legyeek z ( A, ) és B, csoportok semleges elemei e, illetve u H z f : A B függvéy redelkezik z lái tuljdoságokkl: ii i, y A eseté f ( y) f ( ) f ( y) és igzold, hogy f ijektív f ( ) u, A e elemre, Pálhegyi-Frks László, Ngyvárd szokásos módo jeletse z iverz elemét Legye először y e, kkor f ( e) f ( ee) f ( e) f ( e) Másrészt Tehát f () e u f ( e) f ( e) f ( e) f ( e) f ( e) f ( e) f ( e) f ( e) u f ( e) f ( e) u () Legye most A és y, kkor u f ( e) f ( ) f ( ) f ( ) ie következik, hogy f ( ) f ( ), A eseté () Legye most A és y helyett legye y Akkor f ( y) f ( ) f ( y) f ( ) f ( y), lklmztuk ()-es tuljdoságot Tehát, y A eseté f ( y) f ( ) f ( y) (3) Az ijektivítás igzolás: Feltételezzük, hogy f ( ) f ( ), kkor f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) u, ie u f ( ) f ( ) f ( ), lklmztuk (3)-s tuljdoságot Tehát f ( ) u, miől z igzolt ()-es tuljdoság és ()-es feltétel lpjá következik, hogy e lehet csk, zz

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály 3 feldt: Adottk z f : 0, R, ) Számítsd ki: f f d e cos si f, si ) Htározd meg z f primitív függvéyeiek hlmzát függvéyek Mátéfi Istvá, Mrosvásárhely ) f f d e cos si e cos si d d si si De e cos si si e cos si cos d d si si e cos cos d e cos cos d e cos si f f d e cos d C Tehát e cos si cos si e cos si ) Legye k,, f f d k k f f3 d k k 3 f 3 f d k 3 k e Összedv kpjuk, hogy: f f d k k k e cos si f d k k k C C

Ngyvárd, 07 feruár 3 6 II forduló - osztály 4 feldt: Adott z : 5 f, függvéy, melyre igz, hogy 5 f eseté Mutsd ki, hogy z f függvéyek v primitív függvéye 5 Legye g :, g = +5 Az 5 f +5 f összefüggés ekvivles g f, ármely drbecze Mihály, Bukrest f, egyelőséggel 4 A g függvéy driválhtó és g = 5 +5 l5 >0 g függvéy szigorú övekvő z hlmzo Tehát g ijektív Mivel g függvéy folytoos z lim g és lim g, vgyis hlmzo, következik, hogy Drou tuljdoságú és g tehát g függvéy szürjektív A fetiekől következik, hogy g függvéy ijektív, tehát ivertálhtó Mivel g f f g z f függvéy folytoos z hlmzo, tehát z f függvéyek v primitív függvéye