Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség kedvéért legen f, ) = +, a feladatban tehát ennek + az f, ) kétváltozós függvénnek a határértékeit vizsgáljuk. Ehhez el ször határozzuk meg a kétváltozós függvén értelmezési tartománát. Világos, hog a tört nevez je nem lehet nulla. Ezen kívül a nevez ben eg gökös kifejezés van, alatta két valós szám négzetösszege található. Mivel a négzetösszeg csak pozitív vag nulla lehet, ezért az egetlen kikötésünk, hog, íg az értelmezési tartománból ki kell dobnunk a, ) pontot. Íg tehát D f = R \ {, )}. Segítségképpen, a láthatóság kedvéért álljon itt a vizsgált kétváltozós függvén grakonja eg korlátos intervallumon, miel tt még nekiállunk a határértékek kiszámításához. 7 6 7 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Kezdjük az a) ponttal. Látjuk, hog bár az A =, ) nem része a függvén értelmezési tartománának, mégis torlódási pont, mert A minden körnezete tartalmaz A-tól különböz D f -beli elemet. A határérték tehát ebben a pontban vizsgálható. Mivel a kifejezés klasszikusan " "-típusú, átalakításért kiált. Próbálkozzunk meg a polárkoordinátákkal: = r cos ϕ, = r sin ϕ r =, ϕ = arctan.. oldal
Írjuk át a kifejezésünket a következ képpen:,),) = r cos ϕ + r cos ϕ sin ϕ r + r ϕ [,π) = r cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ). r + ϕ [,π) Itt eg pillanatra megállunk. Eg szorzatkifejezést kaptunk. Látjuk, hog r tart a nullához, ez tiszta sor. Azt kellene belátnunk, hog a zárójelben található trigonometrikus kifejezés korlátos. Tudjuk, hog cos ϕ, valamint azt, hog cos ϕ sin ϕ ϕ R, tehát cos ϕ + cos ϕ sin ϕ, azaz a zárójelben lév trigonometrikus kifejezés korlátos. Ebb l már következik, hog,),) = A feladat b) részében A =, ), tehát a r cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ) =. r + ϕ [,π),), ) határértéket vizsgáljuk. Világos, hog, ) torlódási pont, és egértelm, hog ebben az esetben eg " "-típusú határértékkel van dolgunk, ezért próbáljunk vele megbírkózni a domináns tagok, tehát legmagasabb hatvánainak kiemelésével:,), ) =,), ) +. + Itt állunk meg néhán szóra. El ször is kikerüljük azt a hibát, amel miatt az esetek kilencven százalékában elrontjuk az ilen példákat, tehát észrevesszük, hog esetén =, amel miatt a példában. Tudjuk továbbá, hog és, tehát,), ) + = +,), ) ),), ) + = ) ) =. + A feladat utolsó, c) részében A =, ), ez is torlódási pontja D f -nek. A kérdés tehát a határérték. Ismét " "-típusú kifejezéssel van dolgunk, próbálkozzunk meg hát a domináns tagok, azaz és legnagobb hatvánainak kiemelésével. Tapasztalt hallgatóként már fel sem merül bennünk, hog ez a recept itt m ködni fog, hiszen akkor nem ez lenne a c) feladat, de azért fussuk meg a tiszteletköröket:,), ) =,), ) + = +. +,), ) +. oldal
Pontosan úg van, ahog vártuk. Látjuk, hog a szorzat els tagja ) tart a -be, amíg a szorzat második tagjaként tetszelg hánados határértéke nulla. Azt sejtjük, hog a határérték nem létezik. Próbáljuk meg igazolni! Els nekifutás: legen el ször = t, = t t > ) és t. Ekkor,), ) + = t) + t) t t t = t t) + t t t = =. t t Második nekifutás: most legen = t, = t t > ) és t. Ekkor,), ) = t t t 3 t + t 4 = t t 3 t 4 t = t t + t t =, + t látjuk tehát, hogha kétféleképpen tartunk A-ba, akkor kétféle határértéket kapunk, a határérték tehát nem létezik. Kész, enni..,5 pont) Írjuk fel az f, ) = / + ) függvén grafikonjához az, ) pontba húzott érint sík egenletét! Látjuk, hog az f, ) = + kétváltozós függvénnel állunk szemben, releváns kérdés tehát, hog a feladatban felkínált, ) pont vajon benne van-e egáltalán ennek a kétváltozós függvénnek az értelmezési tartománában. Ezúttal nem szükséges D f alapos kivesézése, fussunk neki a favágómódszerrel és helettesítsünk be helére eget, helére kett t. Ekkor f, ) =, ami rendben van, tudunk tehát érint síkot deniálni az adott ponthoz. Az a, b) pont z, ) érint síkjának egenlete: z, ) = f a, b) + f, ) a) +,)=a,b) f, ) b).,)=a,b) Ez eg elég mechanikus feladat, verg djük át hát magunkat az eges komponensein az egenletnek, aztán pedig tegük össze ket. A függvén helettesítési értéke: f a, b) = f, ) = Az -szerinti parciális deriváltfüggvén: f, ) + = ; = + ) = ) + ) ) = + ) ; Ennek az értéke az, ) pontban: f, ) =,)=,) Az -szerinti parciális deriváltfüggvén: + ) = 4 = ; f, ) = + ) = ) + ) = + ) ; 3. oldal
Ennek az értéke az, ) pontban: f, ) =,)=,) + ) = 4. Szuper, minden komponensünk megvan, most rakjuk össze az egészet z, ) egenlete szerint, és enni-kész-vége: z, ) = + ) 4 ) = 4 +. 3. pont) Határozzuk meg f, ) = 4 + 4 +4 széls értékeit! Az biztosan nem árt senkinek, ha vetünk eg szó szerint felületes pillantást a kétváltozós függvénre R valamilen kompakt intervallumán az origó körnezetében. Az eredmén alább látható. 5 5 5 5-5 - - -5 - - A feladat megoldása szükségszer en úg kezd dik, hog felírjuk a gradiensvektort, majd megnézzük, hog mel pontokban t nik el, azaz mel pontokban lesz egenl a kétdimenziós nullvektorral. Ugorjunk neki: f, ) f, ) =, f, ) ) = 4 3 4 + 4, 4 3 + 4 4 ). Ennek a vektornak kell elt nnie, tehát a megoldandó egenletrendszer egb l leosztva mindkét oldalukat néggel): { 3 + =, 3 + =. Már látjuk, hog az a =, ) triviális megoldása az egenletrendszernek, de ne rohanjunk el re, ez még kés bb is ki fog pottanni az algebrai masszírozásból. Amúg nem kifejezetten t nik a dolog rutinfeladatnak, de azért abszolválható. Tekintsük a második egenletet: ) + = = ). Kifejeztük -et, csodálatos. Dobjuk vissza az összefüggésünket az els egenletbe: 3 ) 3 + ) + = 3 [ ) 3 + ] =. 4. oldal
Itt már látszik, hog mi a helzet szituációja. El ször is az egenlet igaz, ha 3 = =, íg az els megoldás a =, ), hurrá. Másodsorban igaz az egenlet, ha ) 3 = = = ±, ezeket a gököket visszahelettesítve egenletébe kapjuk meg a számunkra fontos, további kett koordinátapárt: a =, ), a 3 =, ). Azt tehát már állíthatjuk, hog f, )-nak a, a és a 3 pontokban széls értéke lehet. Tekintsük most a második deriváltakat: f, ) = 4, f, ) = 4, íg a Hesse-determinánsunk: f, ) = 4, f, ) 4 4 4 4. = 4, Most nézzük, hog mi a helzet a =, ) esetén: 4 4 4 4 = 6 6 =, azaz a lehet széls értékhel is, illetve neregpont is. Természetesen most sincsen akkora szerencsénk, hog közvetlenül a tétel segítségével tudjunk nilatkozni. A sejtésünk, hog nincsen széls érték, azaz a függvén, ) tetsz legesen kicsi körnezetében felvesz pozitív és negatív értékeket is. Legen el ször =,. Ekkor f, ) = 4 + 4 4 = 4 8 = 8 ), és tudjuk, hog biztosan pozitív, de a szorzat második tagja nulla közelében már negatív, íg a szorzat, tehát a függvénérték is negatív. Másodszor pedig legen =,. Ekkor: f, ) = 4 + 4 + 4 = 4 >, tehát a függvénnek a -ben neregpontja van. Következik az a =, ) esete: 4 4 = 4 >, tehát f, )-nek a -ben széls értéke van. Mivel ebben az esetben >, ezért a =, ) -ben szigorú heli minimum van. Vegük észre, hog a koordináták el jelváltása sem a második derivált, sem a Hessedetermináns el jelét nem befolásolja, ezért uganez igaz a 3 =, ) esetében is, tehát ott is szigorú heli minimum van. 5. oldal