ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8.
. fejezet Feladatok 3
4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3 ) dy dx (x + y ) dx dy Adja meg egyenl tlenségekkel a következ ábrákon látható integrációs tartományokat!.5. D 5 =?.6. D 6 =?.7. D 7 =?.8. D 8 =?
5.9. D 9 =?.. D =?.. Határozzuk meg az f(x, y) = xy függvény integrálját az ábrán látható háromszögtartományra.. Számítsuk ki az f(x, y) = x + y függvény integrálját az ábrán látható trapéz alakú tartományon! Számítsa ki az alábbi függvények kett s integrálját az ábrán megadott tartományokon!
6.3. f(x, y) = e x+y..4. f(x, y) = 3x + 5y..5. f(x, y) = x y..6. f(x, y) = (x + y) 3.7. f(x, y) = x + y..8. f(x, y) = 3 x + 5 y
7.9. f(x, y) = x 3 y... f(x, y) = xy... Határozza meg két egymásra mer leges sugarú henger közös részének térfogatát! (A hengerek tengelyei egy síkban vannak! A kérdéses térfogat felét kapjuk ha az x + z = függvényt az x + y = kör-tartományon integráljuk.).. Számítsa ki az x 4 + y = hengerfelület, a z = x + y + 6 sík, és az xy sík által 9 határolt csonkahenger térfogatát!.3. Határozza meg a z = x y felület, az x = és a z = síkok által meghatározott test térfogatát!.4. Határozzuk meg az sugarú gömb térfogatát! A számolást polár-koordinátarendszerben végezzük! Írja le polár-koordinátarendszerben egyenl tlenségekkel az alábbi tartományok határait!.5. D 5 =?.6. D 6 =?
8.7. D 7 =?.8. D 8 =?.9. Számítsuk ki a következ integrált az els síknegyedben lév egységsugarú negyedkör tartományra: x + y + dt T.3. Tekintsük az alábbi feltéletek által határolt testnek azt a darabját, amely az x és z térrészbe esik: z = x y hiperbolikus paraboloid, az xy tengelysík és az x + y = hengerpalást Mennyi ennek térfogata?.3. Határozza meg az ( x y ) dt integrál értékét az x + y = 9 körtartományon!.3. Számítsa ki az alábbi ábrán látható körgy r -tartományon az (x + y )dt integrál értékét! T T.33. Határozza meg annak test térfogatát, melynek határolói:
9 4 + y = henger, a 3x + 4y + z = sík és az xy tengelysík..34. Számítsa ki x y dt az x T értékét az ábrán látható tartományon!.35. Számítsa ki a z = 4x y felület és az xy sík által meghatározott test térfogatát..36. Határozza meg a z = x + y felület, a z = sík és az (x ) + y = 4 körhenger által határolt test térfogatát..37. Mekkora a z = x + y kúp, a z = sík és az (x ) + y = 4 határolt test térfogata? henger által.38. Határozzuk meg a x = y + 4z elliptikus paraboloid és az x = sík által határolt test térfogatát!.. Hármas integrálok Számítsa ki az alábbi hármas integrálokat, integráljon más sorrendben is:.39..4. 3.4. 3 (x 4y + 6z 3) dz dy dx 3 3 x x y (x + y + z) dx dy dz dz dy dx ( + x + y + z) 3
.4. Határozza meg aa alábbi hármas integrál értékét (x y + 4z) d, térrészt az x + y + z =, x =, y = és z = felületek határolják!.43. Számítsa ki az x + z =, x =, y =, y = és z = felületek által határolt térrészre a (x + y + z ) d integrál értékét!.44. Mekkora (e x+y+z ) d értéke, ha -t az x =, y =, y = x, z = és z = x + y egyenlet felületek határolják?.45. Mennyi a (x + z ) d integrál értéke ahol az x + y = 4 hengernek a z = és z = 8 síkok közé es része!.46. Mennyi a (x + y ) d integrál értéke, ha az ábrán látható z tengely, alapsugarú egyenes körkúp?
.47. Számítsa ki a zyx d integrált az x + y + z = gömb x nyolcadára! Írja fel az alábbi hármas integrálokat az összes lehetséges sorrendben (még 5-féle képpen):.48. y f (x, y, z) dz dy dx.49. x x x f (x, y, z) dy dz dx.5. Számítsa ki az alábbi hármas integrált: x + z d(x, y, z), ahol E az y = x + z paraboloid y = 4 -ig terjed része..3. Térfogat, tömeg, súlypont.5. Számítsa ki az gömb és az E x + y + z 4a = (x a) + y a = henger közös részének térfogatát (Viviani- féle test)!.5. Határozza meg a z = x y felület x, z része, a z = és az x = síkok által határolt homogén test súlypontjának helyzetét!.53. Számítsa ki a z = y x, x = és z = egyenlet felületek által határolt homogén test súlypontjának koordinátáit!.54. Számítsa ki a következ síkok által közrezárt test térfogatát: x + y + z = x = y, x =, z =
.55. Határozza meg az x + y = henger, a 3x + 4y + z = sík és a z = sík által határolt test térfogatát..56. Határozza meg a z = x + y paraboloid és az x + y = 9 henger azon részének térfogatát, mely a z féltérbe esik..57. Határozza meg a z = x + y kúp 4 x + y 5 körgy r fölötti részének térfogatát..58. Határozza meg a z = 3x 3y paraboloid és a z = 4 sík közti térfogatot.
.4. Vonalintegrál.4.. Valós függvény vonalintegrálja.6. Legyen a Γ görbe az x + y = körvonal x tengely fölötti része. Határozza meg az ( + x y) ds vonalintegrál értékét. Γ 3.6. Tekintsünk egy fékör alakú drótot, melyet az x + y =, y feltételek határoznak meg. Tegyük fel, hogy a drót s r sége y-ban lineárisan változik - a csúcsban a legnagyobb. Mekkora a drót tömege?.4.. Vektormez vonalintegrálja.63. Határozza meg az vektormez vonalintegrálját a ( ) x + y F (x, y) = y x 3y x = egyenes x közötti darabja mentén. Az irányítás -ból -be vezet..64. Határozza meg az F (x, y) = ( x y xy vektormez vonalintegrálját az alábbi görbe mentén: ( ) t γ(t) =, t. 3t 5.65. Határozza meg az alábbi vektormez F (x, y, z) = vonalintegrálját a Γ görbe mentén, ahol xy yz zx Γ = {γ(t) : t }, γ(t) = (t, t, t 3 ). )
4.66. Integrálja az ( ) x F (x, y) = y vektormez t azon Γ görbe mentén, melynek koordinátafüggvényei.67. Határozza meg az alábbi vektormez x(t) = a cos t, y(t) = b sin(t), t π/. F (x, y, z) = vonalintegrálját a Γ görbe mentén, ahol.68. Számítsa ki az x y z Γ = {γ(t) : t }, γ(t) = (t, t, t ). F (x, y, z) = vektormez vonalintegrálját Γ mentén. a) yz xz xy ( ) t Γ = {γ(t) = 3t 5 : t 3}. b) Γ a P (,, ) és P (5, 5, 9) pontok közötti, koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenes szakaszokból álló út. Az irányítás P -b l P -be vezet. Potenciálos-e a vektromez?.69. Számítsa ki az F (x, y, z) = 3x y z x 3 yz x 3 y vektormez vonalintegrálját a P (,, 3) pontot az origóval összeköt egyenes szakasz mentén. Az irányítás -ból P -be vezet.
3. fejezet Megoldások 5
6.. Kett s integrálok.. I = ln(/9) =.54... I = 66..3. I = (5π)/4 = 3.97..4. I = /3..5. x, x y x..6. x, x y x..7. x, x y 4 x..8. x, x y x..9.. megoldás: A tartomány két részre bontható: D 9 = D 9 D 9, ahol és D 9 : x y 4 x, D 9 :, x, y x.. megoldás: y, y 4 x y... A tartomány két részre bontandó: D = D D, ahol és D : x, D : x,.. Az integrálási tartomány határai: és így I = 37, 875. x 4, x 4 8 y x x 4 8 y. 3 (x + ) y (4x ), 3.. Az integrálási tartomány Az integrál értéke I = 9.34. y, y x 6 y.
7.3. I = e 6 e 5 e 3 + e = 4.3..4. I = 54..5. I = 4/5..6. I = /36..7. I = + π/8..8. I = 3.7..9. I = 5 6.. I = 65 ln. 8.. I = 6 3 3... Útmutató: A térfogatot megkaphatjuk, ha az f(x, y) = x + y + 6 függvényt integráljuk az x 4 + y = ellipszis tartományon. I = 36π. 9.3. Útmutató: A z = sík - vagyis az xy sík - ezt a felületet az x y = egyenes-párban metszi. Mivel x y = (x y)(x + y) =, kapjuk az y = ±x egyeneseket. Az integrációs tartomány tehát az ábrán látható. I = 3..4. Polár koordinátákat használunk. Ekkor x = r cos θ, y = r sin θ és d(x, y) = r d(r, θ). Ha az f(x, y) = x y = r függvényt a r és θ π határok között integráljuk, a gömb térfogatának felét kapjuk..5. r 3, π 4 θ 3π 4.
8.6. π 4 θ π 4, r cos θ..7. π θ π, r cos θ..8. θ π, r sin θ..9. I = π ( ) =, 656..3. A kiszámítandó térfogat negyedrészét kapjuk ha polárkoordinátákra áttérve a határok között integrálunk. I = /4..3. I = 3, 5π = 98, 96. r, π 4 θ π 4.3. I = 45 4 π = 35, 34..33. Útmutató: Integráljuk az f(x, y) = 3x 4y függvényt az x 4 + y = tartományon! Helyettesítünk x = r cos θ, y = r sin θ. Ekkor d(x, y) = r d(r, θ). Az integrálási határok I = 4π. r és θ π..34. I = 4 6 =, 43..35. I = π 4 =, 7854..36. Polár koordinátákban az integrálási határok: Az integrál értéke I = 4π. r 4 cos θ, π θ π..37. I = π 8 9 =, 689..38. I = π.
.. Hármas integrálok 9.39. 36..4. 48..4. I = (ln 5 8 ) =.34..4. I = 8..43. I = 4 3..44. I = 8 (e4 6e + 8e 3)..45. Az integrált henger-koordinátákban számoljuk ki. A helyettesítés: x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, és Az integrálás határai: dx dy dz = r dr dθ dz. Az integrál értéke:.46. A kúp egyenlete: z M = Henger koordinátákkal kifejezve: ( Az integrálás határai: r, θ π, z 8. z = M z M I = 44 3 π = 54.9. x + y. ) x ( + y = M r ). ( r ) ; r ; θ π. Az integrál értéke: I = M4 π
.48. Az integrált gömb koordináták bevezetésével lehet egyszer en kiszámítani. A helyettesítés: x = r cos θ sin ϑ, y = r sin θ sin ϑ, z = r cos ϑ, valamint Az integrálás határai: Az integrál értéke: dx dy dz = r sin ϑdr dϑ dθ. r, θ π, ϑ π. I = 5..49. Útmutató: Határozzuk meg az integrálási tartományt és írjuk fel különböz normáltartományként..5. Útmutató: Határozzuk meg az integrálási tartományt és írjuk fel különböz normáltartományként..5..megoldás: (z szerinti normáltartományként) Az (x, y) síkbeli vetületet jelölje S. Ez megegyezik azzal a metszettel, ahol z. Tehát S = { (x, y) : x, x y 4 } így normáltartomány: = {(x, y, z) : (x, y) S, y x z } y x ekkor az integrál x + z d(x, y, z) = S y x y x x + z dz d(x, y) Ennek kiszámítása igen hosszadalmas lenne..megoldás: (y szerinti normáltartományként) Az (x, z) síkbeli vetületet jelölje T: T = {(x, z) : x + z 4}. Ezért = { (x, y, z) : (x, y) T, x + z y 4 }.
Tehát az integrál: I = 4 x + z dy d(x, z) = ( 4 x z ) x + z d(x, z) T x +z T Ezt úgy számolhatjuk ki, ha az (x, z) síkban áttérünk polárkoordinátákra: I = π ( 4 r ) r dθdr = 8π 5 ahol a jobboldali r -et a Jacobi-determináns r-jével való szorzás miatt kapunk.3. Térfogat, tömeg, súlypont.5. Az integrálandó függvény a fels félgömbre szorítkozva. z = 4a x y Az integrációs tartomány az (x a) + y = a kör. Polárkoordináták bevezetése után az integrálás határai: Az itegrál értéke: r a cos θ és π θ π. V = 3a3 3 ( π ). 3.5. Homogén test súlypontjának koordinátáit az alábbi összefüggések segítségével számíthatjuk: S x = x d, S y = y d, S z = z d, V V V ahol V a test térfogata. Az integrálás határait ld. a.3. feladatnál. A súlypont koordinátái: ( 4 S 5 ; ; 4 ). 5.53. S ( ) 7 ; ; 4. 7
.5.5.5.5.5.5.75.75.54. Legyen S 3 a megadott síkok által közrezárt térrész. Legyen ennek vetülete az (x, y) síkon. Az () és (4) síkok metszete az (x, y) síkban: x + y + z = z = x + y = Az () sík a z tengelyt a z = pontban metszi. Az x = y sík mer leges az (x, y) síkra, így :.75.5.5.5.5.5.5.75 A fenti ábrán (S) felülnézete látható, ahol a fels függvény f(x) = x, az alsó g(x) = x. Tehát a keresett térfogat: ( x y) d(x, y) = x ( x y) dydx = 3 x.55. A következ integrált nézzük: 3x 4y dz d(x, y) = ( 3x 4y) d(x, y)
3 Írjuk át polárkoordinátákra: π ( 3r cos θ 4r sin θ) r dr dθ = 44π.56. Polárkoordinátákban számolunk: x +y dzd(x, y) = π 3 ( (r cos θ) + (r sin θ) ) r dr dθ = 8 π.57. A nagyobbik sugarú kör vetületéb l kivonjuk a kisebbiket, így kapjuk meg a körgy r t. Átírva polárkoordinátákba: π 5 (r cos θ) + (r sin θ) r dr dθ π (r cos θ) + (r sin θ) r dr dθ = = 78π.58. Átírjuk polár koordinátákba, és a 4 = 3x 3y kör intervallumán tekintjük: 6 = 3x 3y azaz x + y = 3x 3y dz d(x, y) = π ( 6 3 (r cos θ) 3 (r sin θ) ) r dr dθ = 6π 4
4.4. Vonalintegrál.4.. Valós függvény vonalintegrálja.6. I = (π 3 )..6. Adjuk meg a görbét paraméteresen: A s r ségfüggvény: ahol k az arányossági konstans. Így a tömeg: m = Γ x = cos t, y = sin t, t π. k( y) ds = ρ(x, y) = k( y), π = kπ + k cos t.4.. Vektormez vonalintegrálja.63. 74 8..64. 3. k( sin t) sin t + cos tdt = π = k(π )..65. Behelyettesítve a paraméterezett görbe egyenletét a vektromez koordinátáiba: A görbe t szerint deriváltja: Így a vonalintegrál: F (r)dr =.66. a3 + b 3.67.. 3 Γ. F (r) = tt t t 3 tt 3. γ(t) = (, t, 3t ). (t 3, t 5, t 4 ), (, t, 3t 4 ) dt = (t 3 + 5t 6 )dt = 7 8.
5.68. a) 5 b) 5 A vektromez potenciálos..69.. Megoldás. Az egyenes szakasz egy lehetséges paraméterezése, és annak deriváltja t γ(t) = t, t, γ(t) =. 3t 3 A vektorrmez a görbe mentén ezért A vonalintegrál értéke Γ F (γ(t)) = 36t 5 t 5 4t 5, F (γ(t)) γ(t) = 7t 5. F (r)dr =. Megoldás. Legyen U(x, y, z) = x 3 y z. Ekkor 7t 5 dt =. F (x, y, z) = grad U(x, y, z). Így. Γ F (r)dr = U(P ) U() =.