Differenciálszámítás normált terekben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 217

Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás 3 Bevezetés 4 Dolgozatomban használt jelölések 5 1. A normált tér 6 1.1. Alapfogalmak.................................. 6 1.2. Lineáris operátorok............................... 12 2. Dierenciálszámítás normált térben 16 2.1. Bevezet fogalmak és Fréchet-derivált..................... 16 2.2. Gâteaux-derivált................................ 27 2.3. Gâteaux és Fréchet-derivált közti összefüggés................. 27 2.4. Alkalmazás széls érték vizsgálatra....................... 28 Irodalomjegyzék 33

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Tarcsay Zsigmondnak, akinek segítsége és hasznos tanácsai nélkül nem jöhetett volna létre ez a dolgozat. Köszönettel tartozom családomnak, akik a tanulmányaim során mindvégig támogattak és mellettem álltak. Emellett köszönöm párom és barátaim biztatását. 3

Bevezetés A szakdolgozatom témája a normált térbeli dierenciálszámítás. A dolgozatom els felében ismertetem a normált térhez kapcsolódó alapfogalmakat és tételeket, valamint mutatok példát normára. Továbbá az els fejezet második részében bevezetem a korlátos lineáris operátor és az operátornorma fogalmát, és nem-triviális példát adok végtelen dimenziós tér felett nem korlátos lineáris transzformációra. A második fejezetben az alapfogalmak deniálása után els ként a Fréchet-deriváltat mutatom be, majd az R R lineáris transzformációk leírásának segítségével megmutatom, hogy a klasszikus értelemben vett dierenciálszámítás és a normált térbeli Fréchetderiválás lényegében ugyanaz. Ezt követ en - hasonlóan, mint az R R függvények esetében - ismertetem az összeg-, és skalárral megszorzott függvények, valamint a kompozíciófüggvény dierenciálási szabályát. Majd egy példán végigvezetem, hogy egy adott függvény dierenciálható-e, és mi a deriváltja. Ezután bemutatom a Gâteaux-deriváltat, valamint azt, hogy milyen összefüggés van a Gâteaux-derivált és a Fréchet-derivált között. Ezt követ en az egyváltozós dierenciálható függvényekhez hasonlóan szükséges feltételt mondok ki a lokális széls érték létezéséhez normált térben. Végül egy konkrét példa segítségével legrövidebb ívhosszúságú görbét keresek. 4

Dolgozatomban használt jelölések ˆ R + : Pozitív valós számok halmaza ˆ x n : Végtelen sor n N ˆ x n : Végtelen sor összege n= ˆ K számtest = R vagy C számtestek ˆ A(x) := Ax, ahol A lineáris operátor ˆ L(X, Y ): Lineáris leképezések halmaza ˆ : Maximum norma 5

1. fejezet A normált tér 1.1. Alapfogalmak 1.1.1. Deníció. Legyen X vektortér K felett, ahol K = R vagy C. Normának nevezünk egy : X R + függvényt, ha teljesülnek rá a következ normaaxiómák: i) minden x X-re: x és x = x =, ii) minden λ K és minden x X esetén λ x = λ x, iii) minden x, y X-re x + y x + y. Ekkor az (X, ) párt normált térnek nevezzük. Nézzünk néhány példát normált terekre. ˆ Legyen X := R, mint önmaga feletti vektortér, ekkor R normált tér az x := x (x R) normára nézve. ˆ Az X = C komplex számtest ugyancsak normált tér az x := x (x C) normára nézve. ˆ Ha n N +, akkor az X := R n is normált tér az euklideszi normával, azaz n x = (x 1, x 2,... x n ) R n esetén: x 2 := x i2. i=1 ˆ Legyen adott egy I = [a, b] intervallum. Ekkor az X := C(I) = {f : I R folytonos függvények} is normált tér az f max := max I f normával. 1.1.2. Deníció. Legyen X normált tér. Adott egy x X pont, valamint egy r > szám. Ekkor az r sugarú, x középpontú nyílt és zárt gömböt a következ halmazokként deniáljuk: nyílt gömb: B(x, r) := {x X : x x < r}, zárt gömb: B(x, r) := {x X : x x r}. 6

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 7 1.1.3. Deníció. Legyen X normált tér. Egy G X halmazt nyíltnak nevezünk, ha minden x G esetén létezik r >, hogy B(x, r) G. Egy F X halmazt zártnak nevezünk, ha az F C := X\F komplementer halmaz nyílt. Nem nehéz belátni, hogy a normált térbeli B(x, r) nyílt (illetve a B(x, r) zárt) gömbök valóban nyíltak (illetve zártak). 1.1.4. Állítás. Az F X halmaz akkor és csak akkor zárt, ha minden F -ben haladó (x n ) (n N) konvergens sorozatra x = lim n x n esetén x F is teljesül. 1.1.5. Deníció. Egy K X nem üres halmazt korlátosnak nevezünk, ha létezik x X és r >, hogy K B(x, r), vagyis minden k K-ra x k < r. Ekkor a K X nem üres, korlátos halmaz átmér je diam(k) := sup x y. x,y K 1.1.6. Deníció. Legyen (X, ) normált tér, (x n ) X sorozat és x X vektor. Ekkor azt mondjuk, hogy i) az (x n ) sorozat az x vektorhoz konvergál (jelölésben x n x, vagy lim n x n = x), ha x n x. ii) a n N x n végtelen sor x n összege egyenl x-el, ha az s n := n=1 sorozat x-hez konvergál, vagyis s n x. n i=1 x i részletösszeg 1.1.7. Deníció. Legyenek X és Y normált terek. Az f : X Y függvény folytonos valamely a X pontban, ha minden ε > -hoz létezik δ >, hogy ha x X és x a < δ, akkor f(x) f(a) < ε. 1.1.8. Deníció. Legyen f : X Y függvény (X és Y normált terek) és x X-beli pont. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x pontban az a y Y vektor, ha minden ε > -hoz létezik olyan δ >, hogy < x x < δ esetén f(x) y < ε. 1.1.9. Lemma. Ha X normált tér, akkor minden x, y X esetén x y x y. Bizonyítás. Legyen x = (x y) + y. A normatulajdonságot használva: x x y + y x y x y. Az állítás szimmetriája miatt az is igaz, hogy y x y x = ( 1) (x y) = x y, amib l a bizonyítandó egyenl tlenség már adódik. 1.1.1. Állítás. Az : X R + normafüggvény folytonos, azaz ha x n x, akkor x n x.

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 8 Bizonyítás. Az el z lemmát használva kapjuk, hogy xn x xn x, ha n. 1.1.11. Állítás. Legyen X normált tér, (x n ) és (y n ) (n N) X-beli sorozat. Ha x n x, y n y és (λ n ) (n N) olyan K-beli, hogy λ n λ, akkor i) x n + y n x + y, ii) λ n x n λ x. Bizonyítás. i) A feltétel szerint x n x, illetve y n y, amib l a háromszögegyenl tlenség alapján x n + y n (x + y) = (x n x) + (y n y) x n x + y n y, ami éppen azt jelenti, hogy x n + y n x + y. ii) Ismét a háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva kapjuk, hogy λ n x n λ x = λ n x n λ n x + λ n x λ x λ n x n λ n x + (λ n λ) x = = λ n x n x + λ n λ x. Mivel λ n λ, x n x és λ n λ, így a fenti kifejezés nullához tart. 1.1.12. Deníció. Az (x n ) (n N) X-beli sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden ε > -hoz létezik N N küszöbindex, hogy minden n, m N és n, m N esetén x n x m < ε. 1.1.13. Tétel. Egy X = R n -beli sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchysorozat. 1.1.14. Állítás. Normált térben minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat. Bizonyítás. Legyen (x n ) (n N) olyan X-beli sorozat, amely konvergál valamely x X vektorhoz, és legyen ε > rögzített szám. Ekkor létezik N N, hogy n N esetén x n x < ε. Ekkor n, m N esetén 2 x n x m = (x n x) + (x x m ). A normára vonatkozó háromszög-egyenl tlenséget használva: (x n x) + (x x m ) x n x + x x m < ε 2 + ε 2 = ε, amivel az állítást beláttuk. 1.1.15. Deníció. Az X normált teret Banach-térnek nevezzük, ha minden X-ben haladó Cauchy-sorozat konvergens.

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 9 Igazolható, hogy bármely véges dimenziós normált tér Banach-tér, illetve folytonos függvények C(I) tere is Banach-tér a max normára nézve. 1.1.16. Példa. Legyen [a, b] egy zárt intervallum és deniáljuk a 1 : C[a, b] R + függvényt az f 1 := b a f(x) dx egyenl séggel. Megmutatjuk, hogy 1 norma. Ehhez elegend azt igazolni, hogy az f 1 = felvetésb l f = következik, ugyanis a többi normaaxióma egyszer en ellen rizhet. Legyen f C([a, b]) olyan nemnegatív függvény, hogy f, megmutatjuk, hogy b f >. Legyen x [a, b] olyan, hogy f(x ) >. Feltehet, hogy a x ]a, b[. Az f folytonossága miatt az ε := f(x ) számhoz létezik olyan δ >, hogy ]x 2 δ, x + δ[ [a, b] és minden x ]x δ, x + δ[ esetén f(x ) ε f(x) f(x ) + ε, a azaz Emiatt 2δ ε = f(x) f(x ) 2 x +δ ε x +δ = ε. f b f, amivel igazoltuk, hogy b a f >. x δ Legyen ezek után f C[a, b] tetsz leges olyan függvény, hogy f 1 =, azaz b f =, akkor a fentiek szerint f =, azaz f =, amivel igazoltuk hogy f 1 = akkor és csak akkor, ha f =. x δ Az alábbiakban példát mutatunk nem teljes normált térre. 1.1.17. Állítás. A (C[a, b], 1 ) nem teljes, azaz nem Banach-tér. Bizonyítás. Az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy [a, b] = [ 1, 1]. Rögzített n N esetén értelmezzük az f n C[a, b] függvényt a következ képp: f n (x) =, ha x [ 1, ] és f n (x) = 1, ha x [ 1, 1], illetve legyen f n n lineáris a [, n] 1 halmazon úgy, hogy folytonos legyen. Megmutatjuk, hogy az (f n ) függvénysorozat Cauchy-sorozat a fenti (C[ 1, 1], 1 ) térben, de nem konvergens. Ugyanis, bármely n, m N, n > m esetén: f n f m 1 = f n f m = 1 m f n f m a 1 m f n + f m 1 m 2 = 2 m, a 1

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 1 amib l látható, hogy (f n ) (n N) Cauchy-sorozat. Tegyük fel indirekt módon, hogy f n f 1 teljesül valamely f C[ 1, 1] folytonos függvényre. Ekkor f = f f n f f n = f f n 1, 1 1 1 vagyis 1 f =, ezért f(x) = minden x [ 1, ] számra. Legyen m N tetsz leges, ekkor bármely n N, n m esetén f 1 = f f n f f n, 1 m 1 m 1 ezért f(x) = 1 minden x [ 1 m, 1] számra. Ez minden m-re igaz, amib l következik, hogy f(x) = 1 minden x ], 1], de ez lehetetlen, mert f folytonos függvény. A teljesség egy érdekes következményét mutatja be az alábbi eredmény. 1.1.18. Tétel. (Cantor-féle közöspont-tétel) Legyen X Banach-tér. Ha (F n ) X nem üres, zárt halmazok egymásba skatulyázott sorozata, vagyis F 1 F 2... F n, melyre diam(f n ), akkor a F n egy pont. Bizonyítás. Legyen x n F n ( n) esetén egy pont. Ezek a pontok egy Cauchy-sorozatot alkotnak, mert minden n, m N küszöbindexre m n esetén x n x m diam(f n ). Tudjuk, hogy X teljes, így a határértékre vonatkozó állításból következik, hogy létezik x * := lim x n. Az {x n, x n+1,...} sorozat is x * -hoz tart és része az F n -nek. Mivel F n zárt, így x * F n, amib l az x * F n következik. A metszetnek csak az x * pont az egyetlen eleme, mert a diam(f n ) feltétel miatt nem létezik másik pont, ami minden F n -nek eleme lenne. 1.1.19. Állítás. (Weierstass-kritérium) Legyen X Banach-tér. Ekkor n N x n konvergens, ha n N x n konvergens. Bizonyítás. Legyen a n := n x i és b n := n x i megfelel részletösszeg sorozat. Ekkor i=1 i=1 (b n ) Cauchy-sorozat a n N x n konvergenciája miatt. Továbbá felírható, hogy minden n, m N indexre, n > m esetén n a n a m = i=m+1 x i n i=m+1 x i = b n b m = b n b m.

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 11 Ebb l következik, hogy (a n ) is Cauchy-sorozat. A feltevés szerint X teljes, azaz Banachtér, ezért (a n ) konvergens is, ami éppen azt jelenti, hogy n N x n is konvergens. Megjegyezzük, hogy az olyan x n sorokat, amelyekre a x n numerikus sor konvergens, abszolút konvergens soroknak nevezzük. Ezzel a szóhasználattal a Weierstrass- n N n N kritérium úgy is átfogalmazható, hogy Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens. 1.1.2. Deníció. Legyen X Banach-tér. Ekkor az f : X X leképezés kontrakció, ha létezik q < 1 szám, melyre f(x) f(y) q x y, minden x, y X esetén. 1.1.21. Tétel. (Banach-féle xponttétel) Legyen X Banach-tér és f : X X egy kontrakció. Ekkor teljesülnek a következ k: i) f-nek egyértelm en létezik xpontja, vagyis létezik egyetlen x * X pont, melyre x * = f(x * ); ii) bármely x X esetén az x n+1 := f(x n ) (n N) iterációval értelmezett (x n ) sorozat x * -hoz konvergál; iii) minden n N-re teljesül az alábbi becslés: x n x * qn 1 q x 1 x. Bizonyítás. Tekintsük az x n+1 = f(x n ), ( n N) rekurzióval el állított sorozatot, ahol minden x X. Ekkor a kontrakciós tulajdonságból felírható a következ : x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) q x n x n 1... q x 1 x. Legyen m > n tetsz leges index, ekkor x m x n = (x m x m 1 ) + (x m 1 x m 2 ) +... + (x n+1 x n ) x m x m 1 + x m 1 x m 2 +... + x n+1 x n q m 1 x 1 x + q m 2 x 1 x +... + q n x 1 x = = q n x 1 x (1 + q + q 2 +... + q m 1 n ) < q n < 1 q x 1 x. Tehát x m x n < qn 1 q x 1 x. Az n + esetén a jobb oldal határértéke nulla. Ebb l következik, hogy minden ε > -hoz létezik N = N(ε), hogy x m x n < ε, minden m > n > N esetén. Ekkor f(x n ) Cauchy-sorozat, így konvergens is.

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 12 Jelölje x * R n a határértéket, azaz lim n x n = x *. Mivel x n+1 = f(x n ) minden n-re, ennek véve a folytonosság miatt a határértékét: lim x n+1 = lim f(x n ) = f( lim x n ) = f(x * ). n n n Tehát x * = f(x * ). A becslés bizonyításához mindkét oldalon határértéket véve kapjuk, hogy lim x q n m x n lim m m 1 q x 1 x x * x n qn 1 q x 1 x. Végül megmutatjuk, hogy egyetlen xpont létezik. Indirekt tegyük fel, hogy x *, y * R n is xpontok és x * y *. Ekkor x * = f(x * ) és y * = f(y * ). Ebb l felírva a kontrakcióra vonatkozó deníciót: x * y * = f(x * ) f(y * ) q x * y *. Ez csak akkor lehetséges, ha x * y * =, ami ellentmond az indirekt feltevésünknek, hogy x * y *. 1.2. Lineáris operátorok 1.2.1. Deníció. Legyen X és Y vektortér K számtest felett. Ha minden x, y dom A és c K esetén teljesül, hogy: i) A(x + y) = A(x) + A(y) ii) A(cx) = c A(x) akkor az A: X Y leképezés lineáris. Azaz minden x, y X és c, d K esetén teljesül A(cx + dy) = c A(x) + d A(y). A lineáris leképezéseket szokás lineáris operátoroknak is nevezni, valamint legyen a továbbiakban az Ax := A(x). 1.2.2. Állítás. Ha X, Y normált tér és A: X Y lineáris operátor, akkor a következ állítások ekvivalensek egymással. i) Az A operátor folytonos, vagyis ha x n x, akkor Ax n Ax. ii) Az A leképezés folytonos a nullában, azaz ha x n, akkor Ax n. iii) Az A operátor folytonos minden x X pontban.

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 13 iv) Az A operátor korlátos, azaz A := sup{ Ax x X, x 1} <. v) Létezik olyan C, melyre Ax C x, minden x X. Bizonyítás. Az i) ii) iii) implikációk nyilvánvalóak. iii) i) Tegyük fel, hogy A folytonos x -ban. Be kell látni, hogy mindenütt folytonos. Legyen x X és x n x, ekkor az Ax n Ax igaz-e. Ha x n x, akkor x n x, amib l következik, hogy x + (x n x) x. Mivel A folytonos x -ban, ezért A(x + x n x) = Ax + Ax n Ax Ax. Ekkor Ax n Ax, így Ax n Ax. iv) v) Tegyük fel, hogy sup{ Ax x X, x 1} <. Ekkor van olyan C, hogy Ax C, minden x X és x 1. Legyen y X és y. Ekkor y -ra felírható y a következ : y y = 1 y y = 1 y = 1. y Így az ( ) y A = y 1 y Ay = 1 Ay C, y amib l következik, hogy Ay C y. Az y = eset triviális. v) iv) Ha x X és x 1, akkor Ax C x C. Ebb l következik, hogy sup{ Ax x X, x 1} C <. v) ii) Tegyük fel, hogy Ax C x és legyen (x n ) (n N) olyan X-beli sorozat, amelyre x n, akkor azt kell belátnunk, hogy Ax n. Ez viszont nyilvánvaló, hiszen Ax n C x n, így Ax n, ami miatt Ax n, tehát A folytonos nullában. ii) iv) Tegyük fel, hogy A folytonos a nullában és tegyük fel indirekt, hogy sup{ Ax x X, x 1} =. Legyen n N egy rögzített szám, ekkor létezik x n X, x n 1 és Ax n n. Ebb l felírható, hogy x n 1 n n, tehát x n n. Emiatt ( A xnn ). Viszont A ( xn n ) = 1 n Ax n 1 n n 1, és ez ellentmond annak, hogy az A ( xnn ) kifejezés a nullához tart.

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 14 1.2.3. Deníció. (Folytonos lineáris operátor normája) Ha A: X Y folytonos lineáris operátor, akkor az számot az A normájának nevezzük. A := sup{ Ax x X, x 1} 1.2.4. Deníció. Jelölje L(X, Y ) az A: X Y korlátos lineáris operátorok halmazát. 1.2.5. Állítás. A L(X, Y ) valóban normált tér a operátornormára nézve: i) A = csak akkor teljesül, ha A =, ii) λ A = λ A, iii) A + B A + B. Bizonyítás. i) Ha A =, akkor A = sup{ Ax x X, x 1} = sup{} =. Ha A = abból következik-e hogy A =. Legyen x X, akkor x = 1. Ekkor ( ) x A sup{ Ay y X, y 1} =. x ( x Amib l következik, hogy A x ) =, továbbá Ax =, amib l kapjuk, hogy Ax =. Tehát A =. ii) Legyen λ K rögzített szám. λa := sup{ (λa)x x X, x 1} = = sup{ λ Ax x X, x 1} = = λ sup{ Ax x X, x 1} = = λ A. iii) Legyen A, B L(X, Y ) és alkalmazzuk a háromszög-egyenl tlenséget: A + B = sup{ (A + B)x x X, x 1} sup{ Ax + Bx x X, x 1} sup{ Ax + By x, y X, x 1, y 1} = = sup{ Ax x X, x 1} + sup{ By y X, y 1} = = A + B. Az állításokat beláttuk. 1.2.6. Állítás. Legyen A L(X, Y ). Ekkor teljesülnek a következ k: i) Ax A x, minden x X, x

1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 15 ii) Legyen C := A a legkisebb olyan konstans, melyre Ax C x, minden x X- re fenn áll. Speciálisan: A = min{c Ax C x, x X}. 1.2.7. Állítás. Ha X normált tér és Y Banach-tér akkor az L(X, Y ) is Banach-tér. 1.2.8. Deníció. Lineáris funkcionáloknak nevezzük az A: X K lineáris leképezéseket. 1.2.9. Következmény. Ha X normált tér akkor L(X, K) = X * Banach-tér. X * -ot az X duális terének nevezzük és elemeit folytonos lineáris funkcionáloknak nevezzük. 1.2.1. Példa. Legyen f C[a, b] függvény, x [a, b] egy rögzített pont, valamint legyen f maximum normája a következ képp értelmezve: f := max f. Tekintsük a ϕ: C[a, b] R, ϕ(f) := f(x ) egyenl séggel értelmezett leképezést. Ekkor a ϕ folytonos lineáris funkcionál és ϕ = 1. Ugyanis bármely f C[a, b] mellett ϕ(f) = f(x ) max f =: f, vagyis ϕ folytonos (korlátos) és ϕ 1. Továbbá be kell látni, hogy ϕ 1. Legyen f C[a, b] a konstans f 1 függvény, akkor f 1, és f(x ) = ϕ(f) = 1 teljesül. Ebb l és a funkcionálnorma deníciójából látható, hogy ϕ 1 is teljesül, vagyis ϕ = 1. A következ ben arra láthatunk példát, amikor egy A: X Y lineáris operátor normája nem korlátos. 1.2.11. Példa. Legyenek X = C 1 [, 1] és Y = C[, 1] folytonosan dierenciálható függvények, és f = f. Legyen A: X Y lineáris operátor, melyre Af = f. Ekkor az A nem korlátos, azaz sup{ Af f X, f 1} =. A bizonyításhoz egy olyan (f n ) (n N) C[, 1]-beli függvénysorozat keresünk, melyre f n 1 és f n +. Vegyük az f n (x) = e nx függvénysorozatot. Vegyük a maximum normáját, azaz f n = max f n = 1. Deriváljuk le f n (x)-et, ekkor kapjuk, hogy f n (x) = n e nx. Vegyük ennek is a maximum normáját, azaz f n = max f n = max n e nx = n max e nx = n max f n = n. A megadott feltételek teljesülnek, tehát A nem korlátos.

2. fejezet Dierenciálszámítás normált térben 2.1. Bevezet fogalmak és Fréchet-derivált Az alábbiakban legyenek X és Y tetsz leges normált terek. 2.1.1. Deníció. (Kis rend függvény) Egy r : X Y függvényt az a X pontban kis rend függvénynek nevezzük, ha r(a) = és létezik a határérték. lim x a r(x) x a = 2.1.2. Állítás. Az r : X Y kis rend függvény az a pontban akkor és csak akkor, ha r el áll az a pont egy U környezetében a következ alakban: r(x) = x a r * (x) (x U), ahol r * : X Y olyan függvény, mely folytonos az a pontban és r * (a) =. Bizonyítás. Legyen r * (x) := r(x), ha x U és x a, valamint x a r* (a) :=. Ekkor átalakítással kapjuk, hogy r(x) = r * (x) x a, ha x U. Továbbá be kell még látni, hogy r * folytonos az a pontban, vagyis létezik lim r * (x) = r * (a) =. Valóban, x a r(x) lim x a r* (x) = lim x a x a = = r* (a) Fordítva: Legyen r : U Y olyan függvény, hogy létezik r * : U Y függvény, melyre r * (a) =, r * folytonos az a pontban és r(x) = x a r * (x), ahol x U. Ekkor teljesülnie r(x) kell, hogy r kis rend függvény a-ban, azaz r(a) = és lim =. El ször az r(a) = x a x a feltételt bizonyítjuk a következ képp: r(a) = a a r * (a) =. 16

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 17 Végül a hátérték bizonyítása: lim x a r(x) x a = lim x a x a r* (x) x a = lim x a r * (x), ahol r * folytonos az a pontban és r * (a) =, ezért lim x a r * (x) = r * (a) =. Ebb l következik, hogy lim x a r * (x) = R. 2.1.3. Deníció. Legyenek f : X Y és g : X Y függvények, valamint a X pont. Azt mondjuk, hogy az f és g függvények érintkeznek az a pontban, ha f g kis rend függvény az a pontban, azaz f(x) g(x) lim x a x a 2.1.4. Deníció. Az L(x) := Ax + y, (x X) egyenl séggel értelmezett L: X Y leképezést folytonos inhomogén lineáris leképezésnek nevezzük, ha A L(X, Y ) és y Y adott vektor. 2.1.5. Deníció. Fréchet-dierenciálhatónak (vagy röviden: dierenciálhatónak) nevezzük az f : X Y függvényt az a X pontban, ha a int(dom f) és létezik L: X Y folytonos inhomogén lineáris függvény, melyre f L kis rend függvény az a-ban, azaz L érintkezik az a pontban az f függvénnyel. A denícióból következik, hogy (f L)(a) =, vagyis L(a) = f(a), amib l az L függvényt a következ alakban tudjuk felírni: =. L(x) = f(a) + A(x a) (x X), ahol A L(X, Y ). 2.1.6. Deníció. Az f függvény a pontbeli Fréchet-deriváltjának (vagy röviden: deriváltjának) nevezzük az L(x) = f(a) + A(x a), (x X) egyenl ségben szerepl A L(X, Y ) folytonos lineáris leképezést, és f (a)-val jelöljük. Tehát az f függvény dierenciálhatósága egy a int(dom f) pontban a következ t jelenti: létezik f (a) L(X, Y ) folytonos lineáris leképezés, melyre az L: X Y inhomogén lineáris folytonos függvény érintkezik az a pontban f-vel, azaz ahol L(x) az alábbi alakban áll el : f(x) L(x) lim x a x a =, L(x) := f(a) + f (a)(x a) (x X). Az el bbieket felhasználva a dierenciálhatóság egy ekvivalens denícióját írjuk le.

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 18 2.1.7. Deníció. Az f : X Y függvényt dierenciálhatónak nevezzük az a X pontban, ha létezik olyan f (a)-val jelölt L(X, Y )-beli folytonos lineáris leképezés, valamint létezik r : X Y kis rend függvény a-ban és az a pont egy U környezetében f(x) = f(a) + f (a)(x a) + r(x) (x U). Azaz, az f függvény f = L + r alakban áll el az a egy környezetében, ahol r kis rend függvény a-ban, valamint L az L(x) = f(a) + f (a)(x a) egyenl séggel értelmezett folytonos inhomogén lineáris függvény. Az el z denícióban az f(x)-re felírt egyenl séget a továbbiakban a következ alakban fogjuk használni: f(x) f(a) = A(x a) + r(x) (x U), ahol A := f (a). Az alábbiakban megvizsgáljuk egy f : R R függvény egy a R pontbeli (klasszikus értelemben vett) dierenciálhatóságának és az imént bevezetett Fréchet-dierenciálhatóságának, illetve a megfelel derivált fogalmak kapcsolatát. Ehhez el ször jellemezzük az R R lineáris operátorokat. Legyen M A : R R az a függvény (A R), melyre M A (x) = A x. Könnyen ellen- rizhet, hogy M A lineáris operátor. Megfordítva, legyen M : R R lineáris operátor és jelölje A := M(1). Ekkor M = M A, ugyanis bármely λ R esetén: M(λ) = M(λ 1) = λ M(1) = λ A = A λ = M A (λ). Ebb l következik, hogy az R R lineáris operátorok éppen a számmal való szorzások. Tegyük fel, hogy f függvény (klasszikus értelemben) dierenciálható az a pontban, akkor megmutatjuk, hogy Fréchet-dierenciálható és f (a) = M A, azaz létezik r kis rend függvény a-ban, hogy f(x) f(a) = M A (x a) + r(x), ahol r(x) := f(x) f(a) A (x a). Ekkor r(x) valóban kis rend függvény a-ban, ugyanis: r(x) lim = lim f(x) f(a) A (x a) x a x a x a x a = = lim f(x) f(a) x a A x a = = A A =. Megfordítva: Tegyük fel, hogy az f függvény Fréchet-dierenciálható az a pontban, azaz létezik M : R R lineáris operátor, és létezik r kis rend függvény a-ban, hogy f(x) f(a) = M(x a) + r(x).

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 19 Láttuk, hogy M = M A alkalmas A R-re. Megmutatjuk, hogy f (klasszikus értelemben) is dierenciálható az a pontban és f (a) = A, azaz létezik a következ határérték: Tudjuk, hogy melyb l átalakítással kapjuk, hogy: f(x) f(a) lim x a x a = A. f(x) f(a) = A(x a) + r(x), f(x) f(a) x a Vegyük mindkét oldal határértékét, azaz f(x) f(a) lim x a x a = A + r(x) x a. r(x) = A + lim x a x a = A. r(x) Itt kihasználtuk, hogy r kis rend függvény az a pontban, ezért lim x a x a =, ami csak r(x) akkor teljesül, ha lim =. Megmutattuk, hogy A = f (a). x a x a 2.1.8. Állítás. Minden A L(X, Y ) folytonos lineáris leképezés bármely a X pontban dierenciálható és ekkor A (a) = A. Bizonyítás. Legyen f(x) = Ax és legyen a X tetsz leges pont. Meg kell mutatni, hogy f(x) f(a) = A(x a) + r(x) teljesül valamely r a-ban kis rend függvényre. f(x) f(a) = A(x a) + r(x) Ax Aa = A(x a) + r(x) A(x a) = A(x a) + r(x) Válasszuk r(x)-nek az azonosan nulla függvényt, azaz r(x) :, ekkor r nyilvánvalóan kis rend függvény, azaz f dierenciálható a-ban és f (a) = A. Tehát A (a) = A. 2.1.9. Példa. Legyen f : R R, melyre f(x) = x 2. Ismeretes, hogy az f függvény (klasszikus értelemben) minden a R pontban dierenciálható és f (a) = 2a. Ennek mintájára tekintsük az X normált tér esetén az f : L(X) L(X) leképezést, melyre f(a) = A 2. Megvizsgáljuk az f függvényt a dierenciálhatóság szempontjából. Ha T L(X) lineáris operátor, akkor M T : L(X) L(X) folytonos lineáris leképezés, melyre M T (A) = T A. M T valóban lineáris leképezés, mert teljesülnek a következ k: M T (A + B) = T (A + B) = T A + T B = M T (A) + M T (B) Továbbá M T folytonos is, mert M T (λa) = T λa = λ T A = λm T (A) M T (A) = T A T A

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 2 teljesül. Tehát M T korlátos és M T T. Választ keresünk arra, miszerint ha f(a) = A 2, akkor igaz-e, hogy f (A) = M 2A. A válasz tagadó, mert az összeg négyzetre emelése normált térben a L(X)-beli operátorszorzás nemkommutativitása miatt nem ugyanaz, mint K számtest felett. Ezért azt állítjuk, hogy az f : L(X) L(X) függvény dierenciálható minden A L(X) pontban és f (A) = M, ahol M L(L(X)) az a lineáris operátor, melyre M(S) = AS + SA. El ször megmutatjuk, hogy M folytonos lineáris operátor. Lineáris, mert teljesül rá, hogy összegtartó és skalár-szoros tartó, azaz Valamint M folytonos is, mert M(S + R) = A(S + R) + (S + R)A = = AS + AR + SA + RA = = (AS + SA) + (AR + RA) = = M(S) + M(R) M(λS) = λ AS + λ SA = λ (AS + SA) = λ M(S) M(S) = AS + SA AS + SA A S + S A = = 2 A S, vagyis M 2 A. Továbbá megmutatjuk, hogy teljesül a következ egyenl ség: f(b) f(a) = M(B A) + r(b), ahol r alkalmas kis rend függvény A-ban. Valóban, r(b) := (A B) 2 választással: M(B A) r(b) = A (B A) + (B A) A + (A B) 2 = = AB A 2 + BA A 2 + A 2 AB BA + B 2 = = B 2 A 2 = = f(b) f(a). Meg kell mutatnunk, hogy r kis rend A-ban, azaz Ehhez vegyük észre, hogy lim B A r(b) B A =. r(b) B A = (A B) (A B) B A A B 2 B A = B A, ahol B A tart a nullához. Ezzel tehát megmutattuk, hogy f minden A L(X)-ben dierenciálható és f (A) = M, vagyis f (A)B = AB + BA teljesül minden B L(X).

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 21 2.1.1. Állítás. Ha f és g : X Y dierenciálható függvények az a X pontban, akkor az f + g és a c f (c K) függvények is dierenciálhatók az a pontban és (f + g) (a) = f (a) + g (a), (c f) (a) = c f (a). Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f, g dierenciálható függvények az a pontban. Ekkor létezik U X nyílt halmaz, hogy a U dom f, és létezik olyan V X halmaz, melyre a V dom g, ekkor a U V dom f dom g =: dom (f + g). Ekkor U V is nyílt halmaz, valamint a bels pontja a dom (f + g)-nek. Bevezetjük a következ jelöléseket: A := f (a) és B := g (a), ahol A, B L(X, Y ), valamint A + B =: C L(X, Y ). Megmutatjuk, hogy f + g dierenciálható az a pontban és ekkor (f + g) (a) = C, azaz (f + g)(x) (f + g)(a) = C(x a) + r(x), ahol r kis rend függvény a-ban. Alkalmazzuk f és g dierenciálhatóságára vonatkozó deníciót, vagyis f(x) f(a) = A(x a) + r 1 (x), g(x) g(a) = B(x a) + r 2 (x), ahol r 1 és r 2 kis rend függvények a-ban. Ekkor (f + g)(x) (f + g)(a) = (f(x) f(a)) + (g(x) g(a)) = = A(x a) + B(x a) + r 1 (x) + r 2 (x) = = C(x a) + r 1 (x) + r 2 (x) = =: C(x a) + r(x). Meg kell mutatnunk, hogy r kis rend a-ban, azaz: lim x a r(x) x a lim r 1 (x) + r 2 (x) x a x a mivel r 1 és r 2 is kis rend függvények a-ban. A konstans-szoros deriváltja hasonlóan igazolható. r 1 (x) = lim x a x a + lim r 2 (x) x a x a =, 2.1.11. Lemma. Ha g : X dom g Y dierenciálható az a Int(dom f) pontban, akkor létezik olyan U dom f nyílt környezet, hogy a h(x) := g(x) g(a), x U \ {a} x a függvény korlátos U \ {a}-n, azaz létezik olyan M, melyre h(x) M, minden x U \ {a}.

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 22 Bizonyítás. Tegyük fel, hogy létezik A(= g (a)) folytonos lineáris operátor, és a g dierenciálható a-ban, vagyis g(x) g(a) = A(x a) + r(x), ahol r kis rend függvény a-ban. r(x) Azaz lim =, ami csak akkor teljesül, ha minden ε > -hoz létezik olyan δ >, x a x a hogy x a < δ, x a esetén r(x) x a < ε. Válasszuk az ε = 1, ekkor létezik olyan δ >, hogy x a < δ, x a esetén r(x) < ε x a = x a. Jelölje U := B(a, δ), ekkor g korlátos az U\{a} halmazon. Legyen x U\{a}, ekkor az x a < δ, x a esetén h(x) = g(x) g(a) x a = A(x a) + r(x) x a A x a + r(x). x a A következ lépésben felhasználjuk az ε = 1 esetben r(x)-re kapott becslést: A x a + r(x) x a A x a + x a x a A + 1 =: M. Így a lemmát beláttuk. 2.1.12. Tétel. (Kompozíció-függvény dierenciálhatósága) Legyenek X, Y és Z normált terek, valamint g : X Y és f : Y Z függvények. Tegyük fel, hogy g függvény dierenciálható az a X pontban, és f dierenciálható a b := g(a) Y pontban, akkor az f g : X Z függvény dierenciálható az a pontban és (f g) (a) = f (g(a)) g (a). Bizonyítás. El ször megmutatjuk, hogy az a pont bels pontja az f g kompozíciófüggvény értelmezési tartományának. Tudjuk, hogy a Int(dom g), és legyen dom (f g) := {x dom g g(x) dom f}. Megmutatjuk, hogy a Int(dom (f g)). A bizonyításhoz felhasználjuk azt az állítást, mely szerint: ha g dierenciálható az a pontban, akkor g folytonos is a-ban. Valóban, a g függvény a pontbeli dierenciálhatósága miatt és a 2.1.2 Állítás alapján g(x) g(a) = A(x a) + r(x) = A(x a) + r * (x) x a, ahol r * folytonos a-ban és r * (a) =, amib l lim(g(x) g(a)) = lim (A(x a) + x a x a r* (x) x a ) =, mert r * (x) és x a, valamint A(x a), ugyanis A folytonos és A() =. Tehát g folytonos az a pontban. Alkalmazzuk az el bbi állítás egy speciális esetét, vagyis

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 23 minden ε > -hoz létezik δ >, hogy x a < δ esetén g(x) g(a) < ε. Másképp fogalmazva x B(a, δ) esetén g(x) B(g(a), ε). Ha f dierenciálható a g(a)-ban, akkor létezik ε >, hogy B(g(a), ε) dom f. Mivel g folytonos az a pontban, ezért létezik olyan δ >, hogy minden x B(a, δ) esetén g(x) B(g(a), ε) dom f. Ekkor x B(a, δ) dom g, amib l következik, hogy g(x) dom f. Ezzel beláttuk, hogy minden x B(a, δ) esetén x dom (f g), amib l kapjuk, hogy B(a, δ) dom (f g), vagyis az a bels pont. A következ kben megmutatjuk, hogy (f g) (a) = f (g(a))g (a) valóban teljesül. Az f függvény b = g(a) pontbeli dierenciálhatósága és a 2.1.2 Állítás alapján: f(g(x)) f(g(a)) = f (b)(g(x) g(a)) + g(x) g(a) r * (g(x)) = ahol legyenek = f (b)(g (a)(x a) + r(x)) + g(x) g(a) r * (g(x)) = = f (b) g (a)(x a) + f (b) r(x) + g(x) g(a) r * (g(x)), A := f (b)g (a), A L(X, Z) R(x) := f (b) r(x) + g(x) g(a) r * (g(x)). Ezeket behelyettesítve kapjuk a következ t: (f g)(x) (f g)(a) = A(x a) + R(x), (x U ), ahol azt kell még megmutatni, hogy R kis rend függvény a-ban. Az r * g : X Z függvény folytonos az a pontban, vagyis lim a (r * g) = r * (g(a)) = r * (b) =, ezért az R(x) f (b) r(x) + g(x) g(a) (r * g)(x) egyenl tlenségb l a 2.1.11 Lemma felhasználásával kapjuk, hogy R kis rend függvény az a pontban. Ezzel megmutattuk, hogy f g kompozíció-függvény dierenciálható az a pontban és (f g) (a) = A = f (g(a))g (a). 2.1.13. Példa. Legyen ϕ: R + R folytonos, dierenciálható függvény, melyre ϕ(t) := t p, ahol p R. Ekkor ϕ deriváltja: ϕ (t) = p t p 1. Legyen X = C([a, b]) normált tér, ahol értelmezzük a következ függvényt: f : C[a, b] C[a, b], melyre f(u) = u p. Mivel ez a függvény több helyen nincs értelmezve, ezért meg kell határozni a pontos értelmezési tartományt: dom f = {u C[a, b] u(t) >, t [a, b]}. Tehát f : C[a, b] dom f C[a, b] és u u p. Arra keressük a választ, hogy f dierenciálható-e, és ha igen, mi az f (a) értéke. Legyen g C[a, b] és M g : C[a, b] C[a, b] az a lineáris operátor, melyre M g u := g u, ahol u C[a, b]. Ekkor azt állítjuk, hogy M g folytonos lineáris operátor és M g = g. Könnyen látható, hogy M g valóban lineáris. Folytonos is, mert rögzített u C[a, b] esetén létezik olyan K, hogy M g u K u. Valóban: M g u = g u = max (gu)(t) = max g(t) u(t) t [a,b] t [a,b] g max u. t [a,b]

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 24 Tehát M g folytonos és M g g. Meg kell még mutatni, hogy M g g. Válasszuk u 1, ekkor M g = sup{ M g u u X, u 1} = = sup{ g u u X, u 1} g 1 = g. Tehát M g g is teljesül, amib l kapjuk, hogy M g = g. A következ kben megmutatjuk, hogy az f függvény minden a dom f pontban differenciálható és deriváltjára fennáll az f (a) = M g egyenl ség, ahol g = p a p 1, azaz g(t) = p a(t) p 1. Ehhez meg kell mutatni, hogy minden u dom f esetén f(u) f(a) = M g (u a) + r(u), ahol r kis rend függvény az a pontban. Helyettesítsük be mindkét oldalra a függvények ismert értékeit: M g (u a) = g (u a) = p a p 1 (u a), f(u) f(a) = u p a p. A kapott helyettesítéseket írjuk vissza az f(u) f(a) = M g (u a) + r(u) egyenl ségbe: u p a p = p a p 1 (u a) + r(u) = p a p 1 (u a) + u p a p p a p 1 (u a), ahol r(u) := u p a p p a p 1 (u a). Be kell látni, hogy r(u) valóban kis rend, azaz =. Ahhoz, hogy be tudjuk látni a kis rend séget térjünk vissza a kiindulási lim u a r(u) u a függvényünkhöz, ami a következ volt: ϕ(t) = t p, ahol t ], + [. Ez a függvény kétszer dierenciálható egy < α pontban, ezért felírhatjuk a maradéktagos Taylor-formula szerint a következ alakban: ϕ(t) = ϕ(α) + ϕ (α) 1! (t α) + ϕ (ξ) 2! (t α) 2, ahol ξ ]α, t[, ha α < t, illetve ξ ]t, α[, ha t < α. Helyettesítsük be az f függvény t pontbeli helyettesítési értékét a kapott Taylor-formulába: t p = α p + p α p 1 (t α) + amib l átalakítva kapjuk, hogy: t p α p p α p 1 (t α) = p (p 1) 2 p (p 1) 2 ahol ξ az α és t között van. Legyen x [a, b], t = u(x) és α = a(x), valamint jelölje K := ξ p 2 (t α) 2, ξ p 2 (t α) 2, p (p 1) 2. Ekkor: u p (x) α p (x) p a p 1 (x) (u(x) a(x)) = K ξ p 2 (x) (u(x) a(x)) 2,

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 25 ahol ξ(x) az u(x) és a(x) között van, vagyis < a p 2 (x) ξ p 2 (x) u p 2 (x), vagy < u p 2 (x) ξ p 2 (x) a p 2 (x). Ezeket felhasználva kapjuk, hogy: ξ p 2 (x) a p 2 (x) + u p 2 (x) a p 2 + u p 2, x [a, b]. Vegyük a szuprémumát ξ-nek: sup ξ p 2 (x) a p 2 + u p 2. x [a,b] Most már visszatérhetünk annak a bizonyításához, hogy r(u) kis rend függvény a-ban, azaz: amib l kapjuk, hogy: r(u) = max u p (x) a p (x) p a p 1 (x) (u(x) a(x)) = x [a,b] = max x [a,b] K ξp 2 (x) [u(x) a(x)] 2 max x [a,b] K [ a p 2 + u p 2 ] [u(x) a(x)] 2 = = K [ a p 2 + u p 2 ] u(x) a(x) 2, r(u) u a K [ a p 2 + u p 2 ] u a. Ebben az esetben ha u a, akkor u p 2 a p 2. Az el bbi u a esetén K 2 a p 2 r(u) =, azaz lim u a u a =, vagyis r kis rend függvény. Tehát megmutattuk, hogy f dierenciálható és f (a) = M g. 2.1.14. Példa. A következ kben megvizsgáljuk a skalártesten értelmezett normált tér érték fügvények dierenciálhatóságát. Ehhez el ször megmutatjuk, hogy egy A: K X folytonos lineáris leképezés azonosítható egy X normált térbeli vektorral. Ha v X vektor, akkor értelmezzük az A v : K X lineáris operátort, melyre A v (λ) = λ v. Nyilvánvaló, hogy A v lineáris operátor. Továbbá A v korlátos operátor, amelyre A v = v, ugyanis: A v (λ) = λ v = λ v, ( λ K), amib l már látható, hogy: A v = v.

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 26 Megfordítva, tekintsünk egy tetsz leges A: K X folytonos lineáris operátort, és legyen v := A(1). Megmutatjuk, hogy A = A v, vagyis minden K X folytonos lineáris operátor el áll A v alakban. Valóban, bármely λ K esetén: A(λ) = A(λ 1) = λ A(1) = λ v = A v (λ), amib l következik, hogy A = A v. Tehát X = L(K, X), ahol az azonosítás a fenti v A v leképezésen keresztül értend. 2.1.15. Tétel. Legyen x normált tér, f : K X függvény és a Int(dom f) egy bels pont, valamint v X vektor. Az f függvény pontosan akkor dierenciálható az a pontban, ha a f(x) f(a) x, (x, a K, x a) x a függvénynek az a pontban létezik határértéke és ez a határérték azonos az f (a) L(K, X) folytonos lineáris leképezéssel azonosított v vektorral. Az f függvény a pontbeli deriváltját a következ képp értelmezzük: f(x) f(a) lim =: v. x a x a f(x) f(a) Bizonyítás. Tegyük fel, hogy lim x a x a =: v, megmutatjuk, hogy ekkor f(x) f(a) = A v (x a) + r(x), ahol r(x) kis rend függvény a-ban. Rendezzük az egyenl séget r(x)-re: Meg kell mutatni, hogy lim x a r(x) x a =. r(x) x a = r(x) = f(x) f(a) A v (x a). f(x) f(a) x a ha x a, akkor az f(x) f(a) x a f(x) f(a) x a (x a) v x a = f(x) f(a) v x a, határértéke megegyezik v-vel, tehát v, (x a). Ekkor f dierenciálható és f (a) = v( = A v ). Fordítva, ha f Fréchet-dierenciálható, akkor f (a) L(K, X),ezért f (a) = v( = A v ), valamely v X esetén. A fentihez hasonló f(x) f(a) érveléssel megmutatható, hogy ekkor létezik lim = v határérték. x a x a

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 27 2.2. Gâteaux-derivált Legyenek X és Y normált terek, és legyen f : X Y függvény. Továbbá legyen v X adott vektor, melyre v, valamint egy a Int(dom f) bels pont. Ekkor létezik olyan δ >, hogy a + t v Int(dom f) és minden t < δ esetén. Az f függvényt a v irányban dierenciálhatónak nevezzük, ha létezik a következ határérték: f(a + t v) f(a) lim t t =: d v f(a) Y. 2.2.1. Deníció. Azt mondjuk, hogy az f függvény Gâteaux-dierenciálható az a pontban, ha minden v X, v irányú deriváltja létezik az a pontban és a G : v (d v f)(a), v X \ {}, G: X \ {} Y függvény folytonos (lineáris). A következ kben olyan függvényre mutatunk példát, amely a R 2 pontban Gâteauxdierenciálható, de nem folytonos (ezért nem Fréchet-dierenciálható). 2.2.2. Példa. Legyen f : R 2 R függvény a következ képp értelmezve: {, ha (x, y) = (, ) vagy (x, y) / {(t, t 2 ) t R}, f(x, y) := 1, ha (x, y) (, ) és (x, y) {(t, t 2 ) t R}. Ekkor f nem folytonos a -ban, de Gâteaux-dierenciálható ebben a pontban, ugyanis bármely v R 2, v vektorhoz létezik olyan δ >, hogy ha t ] δ, δ[ mellett t v / {(s, s 2 ) s R, s }. Ekkor Ebb l határértéket véve f( + t v) f() t = f(t v) t f( + t v) f() lim t t =, t ] δ, δ[. = lim t =, amib l következik, hogy f valóban Gâteaux-dierenciálható a -ban és (d v f)() =. 2.3. Gâteaux és Fréchet-derivált közti összefüggés 2.3.1. Tétel. Ha a Int(dom f) és f : X Y függvény Fréchet-dierenciálható az a pontban, akkor Gâteaux-dierenciálható is az a pontban és minden v X, v vektorra f (a)v = d v f(a).

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 28 Bizonyítás. Legyen g : R X függvény, melyre g(t) := a+t v. Ekkor g dierenciálható a -ban és g () = v, ugyanis: g(t) g() lim t t t v = lim t t Meg kell mutatni, hogy létezik a következ határérték: f(a + t v) f(a) lim t t = v. = lim t f(g(t)) f(g()) t F (t) F () = lim, t t ahol F = f g : R Y függvény, ami csak akkor dierenciálható az pontban, ha lim. De F dierenciálható függvény a -ban, mert g dierenciálható -ban és f F (t) F () t t dierenciálható az a = g() pontban, továbbá a kompozíció-függvény deriválása alapján: F () = (f g) () = f (g()) g () = f (a) v, F () = lim t f(a + t v) f(a) t Vagyis f (a)v = (d v f)(a), amivel a tételt beláttuk. = (d v f)(a). 2.4. Alkalmazás széls érték vizsgálatra Az alábbiakban feltesszük, hogy f : X R függvény és a Int(dom f) bels pont. 2.4.1. Deníció. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek lokális minimuma (illetve maximuma) van az a pontban, ha létezik olyan U dom f nyílt halmaz, hogy a U és minden x U-ra teljesül, hogy f(a) f(x), (illetve f(a) f(x)). Az egyváltozós, azaz f : R R dierenciálható függvények lokális széls értékének létezéséhez Pierre de Fermat adott szükséges feltételt, mely szerint ezen függvényeknek csak akkor lehet lokális széls értéke az értelmezési tartományuk egy bels pontjában, ha ott a függvény deriváltja nulla. A következ tétel ennek egy analógiáját mondja ki. 2.4.2. Tétel. Ha az f függvénynek lokális széls értéke van az a pontban és ebben a pontban dierenciálható is, akkor az f (a) =. Bizonyítás. Legyen f (a) L(X, R) azt kell megmutatni, hogy f (a)v = teljesül bármely v X vektorra. Ha v, akkor legyen g : R X függvény, melyre g(t) = a + t v. Vezessük be a következ függvényt: F := f g, ahol F (t) = f(g(t)), ekkor F : R R. Mivel g dierenciálható a pontban és g () = v, valamint f dierenciálható az a = g() pontban, ezért F dierenciálható -ban és a kompozíció-függvény dierenciálhatósága alapján F () = f (a)g () = f (a)v. Ekkor létezik olyan δ >, hogy minden t < δ esetén az a + t v U, ahol U legyen olyan környezete a-nak, hogy az f függvénynek az

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 29 a pontban van a minimuma, azaz f(x) f(a) minden x U esetén. Ebb l következik, hogy t ] δ, δ [ esetén g(t) = a + t v U és ekkor F (t) = f(g(t)) f(a) = f(g()) = F (). Tehát minden t ] δ, δ [ -ra F (t) F (), vagyis F -nek lokális minimuma van -ban és mivel F dierenciálható -ban, vagyis f (a)v = F () = minden v-re, amib l kapjuk, hogy f (a) =. Hasonlóan igazolható az állítás lokális maximum esetén. 2.4.3. Példa. Az alábbi példán keresztül megmutatjuk, hogy melyik az a legrövidebb ívhosszúságú görbe, amely a (, ) R 2 és (1, ) R 2 pontokat köti össze. Legyen u: [, 1] R olyan függvény, amely folytonosan dierenciálható, valamint a és 1 pontokban a nulla értéket veszi fel, azaz u() = u(1) =. Keressük azt az u görbét, hogy az l(u) = 1 + (u (t)) 2 dt ívhossza minimális legyen. Ha az u választjuk, akkor az u, amelyb l kapjuk, hogy 1 1 + (u ) 2 = l(u), u, tehát az u egy minimális ívhosszú összeköt görbe. A kérdés az, hogy létezik-e más görbe? Legyen X := {u C 1 [, 1] u() = u(1) = } vektortér és legyen 1 norma a következ képp deniálva: u 1 := u + u = max u + max u, továbbá legyen l : X R az a függvény, melyre l(u) := 1 + (u ) 2. Tegyük fel egy pillanatra, hogy l : X R függvény dierenciálható, akkor minden u X helyen, ahol l-nek minimuma van l (u) = teljesül. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy l valóban dierenciálható és u az egyetlen olyan X-beli függvény, melyre f (u) =. El ször a kompozíció-függvény deriválási szabályának többszöri alkalmazásával belátjuk, hogy l minden u X pontban dierenciálható és l (u)(v) = u 1 + (u ) 2 v, v X. Legyen A: X C([, 1], R) az a lineáris operátor, melyre Au := u. Ekkor A lineáris és folytonos is. A linearitás könnyen látható, a folytonosság pedig következik az alábbi becslésb l: Au = u u + u = 1 u 1,

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 3 tehát A valóban folytonos és A 1. Ezért a 2.1.8 Állítás szerint A dierenciálható és minden u X pontban A (u) = A. Legyen f : C[, 1] C[, 1], melyre f(u) := u 2. Ekkor f dierenciálható és a deriváltja: f (u) = M 2u (ahol M g v = g v, ezt láttuk a 2.1.13 Példánál). Vezessük be g : X C[, 1] függvényt, melyre g(u) := (u ) 2, ekkor g felírható a következ kompozíció-függvényként: g = f A, ezért a 2.1.12 Tétel szerint g dierenciálható és: azaz bármely v X esetén: g (u) = (f A) (u) = f (Au) A (u) = f (u ) A = M 2u A, g (u)(v) = M 2u Av = M 2u v = 2u v. Legyen h(u) = 1 + g(u) és vegyük a deriváltját: h (u) = 1 + g (u) = g (u), vagyis: h (u)(v) = g (u)(v) = 2u v, v X. Legyen k : C[, 1] C[, 1] olyan függvény, hogy k(u) := u = u 1 2. Ennek a függvénynek meg kell határozni a pontos értelmezési tartományát, vagyis k : U C[, 1], ahol U = {v C[, 1] v > }. Ekkor k a 2.1.13 Példa szerint dierenciálható függvény minden v U pontban és a deriváltja a következ : azaz minden w C[, 1] mellett: k (v) := M 1 2 v 1 2, k (v)(w) = M 1 2 v 1 2 w = 1 2 v 1 2 w. Vezessünk be egy újabb függvényt, legyen p: X C[, 1], melyre p(u) := 1 + (u ) 2 = k(h(u)), vagyis p = k h. Deriváljuk le ezt a függvényt is: p (u) = k (h(u)) h (u) = M 1 2 h(u) 1 2 M 2u A = M 1 2 (1+(u ) 2 ) 1 2 M 2u A, vagyis bármely v X esetén: p (u)(v) = M 1 2 (1+(u ) 2 ) 1 2 M 2u Av = = M 1 2 (1+(u ) 2 ) 1 2 M 2u v = = 1 2 (1 + (u ) 2 ) 1 2 2u v = = u v 1 + (u ) 2.

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 31 Legyen B : C[, 1] R az a lineáris operátor, melyre Bv = v. Azt állítjuk, hogy B lineáris és folytonos is. Lineáris, mert összegtartó és a skalár-szorostartó, valamint folytonos is, mert Bv = v v 1 max v = 1 v, tehát B folytonos és B 1. Továbbá a 2.1.8 Állítás szerint B dierenciálható és B (v) = B. Vegyük észre, hogy: l(u) = 1 + (u ) 2 = p(u) = B(p(u)), u X, azaz l = B p kompozíció-függvény. Ismét a 2.1.12 Tétel szerint l minden u X pontban dierenciálható és l (u) = (B p) (u) = B (p(u)) p (u) = B p (u), vagyis a fentiek gyelembevételével minden u, v X mellett: ( ) l (u)(v) = B p u v (u)(v) = B = 1 + (u ) 2 u v 1 + (u ) 2. Ha l(u) minimális az u pontban, akkor a 2.4.2 Tétel szerint az l (u) =, vagyis minden v X vektorra igaz, hogy l (u)(v) =. A mi esetünkben teljesülnie kell a következ nek, hogy: u v =, v X. 1 + (u ) 2 Ahhoz, hogy ez teljesüljön, tegyük fel még azt is, hogy az u függvény kétszer folytonosan u dierenciálható, ekkor w := 1+(u dierenciálható. Ekkor ) 2 w v = [w v] 1 v w = v w, ahol a parciális integrálás elvét alkalmaztuk, valamint kihasználtuk hogy minden v X-re v() = v(1) =. Így az el z levezetésb l kapjuk, hogy v w =, v X.

2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 32 Számoljuk ki w deriváltját. Tudjuk, hogy w = u 1+(u ) 2 = u (1 + (u ) 2 ) 1 2, ezért w = u (1 + (u ) 2) 1 2 u 1 2 (1 + (u ) 2) 3 2 2 u u = = u (1 + (u ) 2) [ 12 1 (u ) 2 (1 + (u ) 2) ] 1 = = u (1 + (u ) 2) 12 = u. (1 + (u ) 2 ) 3 2 Helyettesítsük be az el bb kapott w értékét: 1 1 + (u ) 2 = w v = u (1 + (u ) 2 ) 3 2 v =, v X. A következ kben megmutatjuk, hogy ha 1 z v = teljesül minden v X esetén, valamely z C[, 1]-re, akkor z =. Ha ugyanis a z függvény egy t [, 1] pontban nem nulla (például z(t ) > ) volna, akkor a z folytonossága miatt feltehet, hogy t ], 1[ egy bels pont. Ekkor ismét a folytonosság miatt létezne olyan δ >, hogy ]t δ, t + δ[ [, 1] és bármely t ]t δ, t +δ[ esetén z(t) >. Könnyen látható, hogy létezik olyan v folytonosan dierenciálható függvény, melyre v(t ) >, v és v(t) =, ha t / [t δ, t + δ]. Ekkor v X és 1 v z = teljesül, ugyanakkor z v, valamint z v, de akkor a 1.1.16 Példa eredménye alapján 1 v w, ami ellentmondás. Térjünk vissza a példánkhoz, ahol tehát: w v = u (1 + (u ) 2 ) 3 2 v =, v X. Az el z állítást felhasználva u (1+(u ) 2 ) 3 2 =, vagyis u =. Ekkor u konstans, azaz u = C, amib l következik, hogy az eredeti u függvény lineáris, vagyis u(x) = C x + D alakú, ahol u X. Helyettesítsük be és 1 pontokat, amelyekr l tudjuk, hogy u() = u(1) =, vagyis: u() = C + D = D =, u(1) = C 1 + D = C + D = C =. Ebb l már látható, hogy u =, vagyis a konstans nulla függvény az egyetlen, amelynek az ívhossza minimális.

Irodalomjegyzék [1] Komornik Vilmos: Valós analízis el adások 1., Typotex kiadó, 23 [2] Czách László: Dierenciálszámítás normált terekben, elektronikus jegyzet [3] Karátson János: Numerikus funkcionálanalízis, Typotex kiadó, 214 [4] Faragó István=Horváth Róbert: Numerikus módszerek, Typotex kiadó, 213 [5] https://hu.wikipedia.org/wiki/fermat-tétel_(analízis) 33