ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i p cos 7 + i si ) 7 p 4 4, vagyis z cos 3 + i si ) 3 p 4 4, z cos 7 + i si ) 7 p 4 4, z3 4 cos 7 + i si ) 7 p 8 8, z4 4 ) cos + i si 8 8.. feladat 8+7 pot) a) Igazolja, hogy ha eseté? b) Adja meg az alábbi határértékeket:. Igaz-e, hogy eseté lim + ) 3, lim + a) >, h > N p), vagyis ε > b) potosa akkor, ha > p). Mivel a ɛ, így létezik N > N, hogy > N eseté ez teljesül p), ez lesz tehát az sorozat ε-hoz tartozó küszöbszáma p). A másik állítás em igaz, például ),de ) p). + ) p + ) N, hogy > N eseté + ) p e,vagyis mide ε > számhoz létezik p > e ε) p,
ha e + ε >, vagyis a speciális redőrelv értelmébe lim ) 3 A második sorozat eek reciproka, így lim p). + p. 3. feladat 7 pot) Adja meg az alábbi sorozat torlódási potjaiak halmazát, limesz szuperiorját és limesz iferiorját. Koverges a sorozat? + 4) +. Páros eseté 4 4 4 4 + 3 4 4 3 4, 3p) páratla eseté ), vagyis a torlódási potok halmaza {, 4} p), és p) vagyis a sorozat em koverges p). lim if lim sup 4, p) 4. feladat pot) Milye a és b eseté lesz az six), ha x < sh ax fx) b, ha x ch x) x, ha x > függvéy az értelmezési tartomáy mide potjába folytoos?
f az x pot kivételével folytoos függvéyek összetétele, illetve háyadosa, vagyis folytoos p). six) lim fx) lim x x sh ax lim cosx) x a ch ax a, p) lim fx) lim ch x) x x + x + mert l ch x lim x + x f folytoos a potba, ha p e lim x + sh x p lim ch x x + p. l ch x x p, a lim fx) f) lim fx) b, p) x x + vagyis ha a, b p).. feladat pot) Adja meg az fx) th 3x) arctgx) + függvéy éritőegyeeséek egyeletét az x potba. f) p), és f x) 3 th3x) ch 3x) arctgx) + ) th 3x) x + arctgx) + ), p) vagyis f ) p, így az éritőegyees egyelete y p).. feladat +7 pot) a) Ismertesse Weierstrass első és második tételét. b) Adja meg az fx) shx 3 x +x+) függvéy miimumát illetve maximumát az [, 4] itervallumo.
a) Weierstrass I: korlátos és zárt itervallumo folytoos függvéy korlátos. 3p) Weierstrass II: korlátos és zárt itervallumo folytoos függvéy felveszi a maximumát és a miimumát. 3p) b) f) sh, f4) sh 4 p), és f x) p 3x x + ) chx 3 x + x + ) ha 3x x +, vagyis ha x / [, 4], vagy x 3 [, 4] p). f3) sh, tehát az sh függvéy szigorú mooto övekedése miatt a miimum sh, a maximum pedig sh 4 p). Ugyaeze mootoitás miatt elég lee a belső függvéy miimumát, illetve maximumát keresi, az is teljes értékű megoldás.) 7. feladat + pot) Számolja ki az alábbi itegrálokat a) tg3x)dx, b) ctg3x)dx. a) Páratla függvéy itegrálja origóra szimmetrikus itervallumo, vagyis az itegrál értéke p). Vagy így: [ ] b) ctg3x) p cos3x) si3x) dx p p 3 l si3x) 3 3 l 8 feladat pot) Megfelelő helyettesítéssel határozza meg az alábbi itegrált: e x dx.
t p e x helyettesítéssel x p l t, és l t) p, vagyis t e x dx p tt ) dt, ahol tt ) p A t + B t így B p, A p. Ebből következik, hogy e x dx p t ) t dt p At ) + Bt, tt ) p l t + l t +c p l ex + l e x +c. feladat +8 pot) a) Hogya értelmezzük az b a fx)dx itegrált, ha lim x a+ fx)? b) Adja meg az itegrál értékét, ha létezik. x + ) 3 arctg x dx a) b) b b fx)dx lim fx)dx, ha f Ra + ε, b), illetve ha a határérték létezik a ε + a+ε p). így x + ) 3 arctg x dx p lim ε + x + ) 3 arctg x dx p ε x + ) 3 dx, és arctg x arctg x) arctg x) 3 dx p 3 arctg x) 3 + c x + ) 3 arctg x dx p 3 [ lim arctg x) 3 ε + ε ) p 3 arctg) 3 lim arctg ε) p 3 3 ε + 4 ] ) 3