ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN

Átírás

1 Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáyi Kar Matematikataítási és Módszertai Közpot ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Készítette: Varga Viktória Matematika Bsc taári szakiráy Témavezető: Fried Katali Főiskolai doces Budapest, 0

2 TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS.... ALGORITMUS DEFINÍCIÓ TÖRTÉNET, TÖRTÉNELEM TÍPUSOK ÉS PÉLDÁK JELLEMZŐK, TULAJDONSÁGOK INFORMATIKA MATEMATIKA EGYÉB TUDOMÁNYTERÜLETEK AZ OSZTÁS..... DEFINÍCIÓ..... TÖRTÉNETE, TÖRTÉNELME..... ESZKÖZÖK AZ OSZTÁS TANÍTÁSA Általáos iskola Középiskola Egyetem PROGRAMOK ÖSSZEFOGLALÁS MELLÉKLET IRODALOMJEGYZÉK... 55

3 BEVEZETÉS Sokat godolkodtam, hogy milye témát válasszak szakdolgozatom megírásához a matematika sok szép és érdekes területei közül. Végül a választásom az algoritmusok főkét az osztás elemzésére, illetve bemutatására esett, mert úgy godolom, hogy a matematika megértéséél, elsajátításáál kulcsfotosságú szerepet tölt be az alapok átfogó ismerete, melyet jól reprezetálak az algoritmusok. A matematika, sőt az iformatika és több tudomáyág elegedhetetle alapja az algoritmusok fogalmáak ismerete, haszálata. Az algoritmus fotosságát és élkülözhetetleségét bizoyítja, hogy az élet számos területé is találkozuk vele és alkalmazzuk akár tudatosa, akár tudtuko kívül is. Az algoritmusok ismerete szoros összefüggésbe áll a godolkodásuk logikusságával, ugyais az algoritmus tulajdoképpe a matematikai problémák, feladatok megoldásához vezető módszer. Leedő taárkét agyo fotosak találom, hogy jól megtaítsuk a gyerekeket az alapvető fogalmakra, azok alkalmazására és eek a témakörek áttekitése úgy vélem, segítséget yújthat ebbe. Szakdolgozatom sorá megpróbálom bemutati a módszert, hogy miképp lehet az alapok elsajátításá, megtaításá kívül felkeltei a taulók figyelmét, érdeklődését a matematika irát, illetve megszeretteti velük ezt a agyo érdekes, szép tudomáyt. Nem köyű feladat, ugyais a diákok többsége a matematika szó hallatá em a szépségére, érdekességre és haszosságra, haem a ehézségére godol elsősorba és talá e miatt is, de agyo kevese szeretik. Szakdolgozatomba először, az első fejezetbe bemutatom az algoritmust, hogy valójába mit is jelet, hol és mikét alkalmazható. Példák kíséretébe, talá a legismertebbeket kiragadva igyekeztem szemlélteti fotosságát, elsősorba a matematika területé, majd kitérve a többi tudomáyágra, azok közül is főkét az iformatikára. A második fejezetbe az osztással, mit művelettel és aak taításával fogok foglalkozi. Legfőképp az osztási algoritmusok megjeleésével, példáko keresztül elemezve, bemutatva. Sorra veszem az általáos és középiskolába taultakat, hogy hol és mikét jeleek meg osztási algoritmusok, majd az egyetemi szitet ézve, hogy ott hogya alkalmazhatók. Szakdolgozatom vége egy program segítségével szemléltetem a poliomok osztási algoritmusát. Célom, hogy rávilágítsak az algoritmusok fotosságára, valamit, hogy kialakuljo a diákokba az algoritmikus godolkodási mód, mely haszosságát em lehet elégszer hagsúlyozi.

4 . ALGORITMUS Mi is az az algoritmus? Ez a kérdés alapvető fotosságú, elegedhetetle fogalom a matematikába és az iformatika területé, ugyaakkor agy szerepe va a mideapi életbe, hisze számtalaszor alkalmazzuk. Akármit is teszük, legtöbbször logikusa felépítük magukba egy bizoyos sorredet, melyet követük. Akarva-akaratla, tudatosa vagy spotá módo alakítuk ki apota ismétlődő eljárásokat (algoritmusokat), amelyeket lépésekét hajtuk végre. Ezek a folyamatok általába em tudatosak (bár jó vola, ha azok leéek). Viszot mide tervszerű, átgodolt tevékeységüket algoritmusok meté éljük, végezzük. Az algoritmusok struktúrát, redet viszek életükbe, godolkodásukba, tevékeységükbe. A matematikába sok feladat valamilye algoritmus segítségével oldható meg. A taítás sorá próbáljuk meg valamilye redet kialakítai a gyerekek godolkodásába, vagyis taítsuk meg őket az úgyevezett algoritmikus godolkodásra, melyek segítségével általáosabbá tehetik a feladatok megoldásait és más példáko is tudják alkalmazi a későbbiek folyamá. Ami azt jeleti, hogy bizoyos mértékbe a taóráko törekedjük a feladatok általáosítására, valamilye sémára, ily módo hatékoyabbá téve az algoritmikus godolkodás fejlesztését, ami egybe eszköze is a sikeres feladatmegoldásak. Ez természetese em azt jeleti, hogy akármilye feladatról legye szó feltétleül egy általáosított módszert kell preferáli és ezáltal háttérbe szorítai a gyerekek öálló megoldásait. Godolhaták, hogy akkor ez elletmodás, és tulajdoképpe magoli kell taítai a diákokat, ám itt arról va szó, hogy magát a módszert kell elsajátítai és a haszálatára törekedi más és más problémák megoldásáál, em pedig egy bizoyos algoritmust gyakoroli és azt alkalmazi midehol. Midezek mellett pedig megmarad a tauló kreatív godolkodásmódja is... Defiíció Az idege szavak szótára szerit: Eredetileg Abdallah Mohamed Muza Alkhvarizmi arab matematikus számolási módszere, azóta mide számolási eljárás. Az iterete: Számolási eljárás, elemi műveletek láca, szabályredszer. Szátó Sádor: Az algoritmikus godolkodás fejlesztése az általáos iskolába Idege szavak és kifejezések kéziszótára 4

5 A matematikai kiseciklopédia, pedig így fogalmaz: Az olya eljárásokat, amelyek segítségével a kívát eredméyt az adatoktól függetleül véges sok lépésbe meg tudjuk határozi, algoritmusak evezzük természetese em mide eljárás algoritmus. 4 Összefoglalva, a matematikából ered, de az iformatika elterjedésével vált ismert fogalommá a közyelvbe is. Tulajdoképpe egy számolási módszer, eljárás melyet számos területe alkalmazuk, természetese elsősorba a matematikába, illetve az iformatikába... Törtéet, törtéelem Az algoritmus szó eredete agyo érdekes. Az egyik leghíresebb arab matematikus, perzsa-arab tudós, Al-Hvárizmi, Muhammad Ib Músza (800 előtt 850?) több tucat csillagászati és matematikai művet hagyott hátra, közülük az egyik legjeletősebb címe: De Numero Idorum (A hidu számokról). A latira fordítás felületessége miatti szótorzítás következtébe a köyv címe előtt szereplő szerző eve Al-Hvárizmiről algorithmusra változott. 5 Abba a korba még ezt a köyvet jelképezte az algoritmus szó. Ma már em ezt jeleti a közyelvbe, sokkal kiterjedtebb, többrétű és egybe alapvető fogalom mide területe. Egy agyo fotos, talá az egyik legfotosabb matematikai fogalom is tőle származik, az algebra. Másik jeletős műve, mely az egyetle, ami arab yelve maradt fet a Kitáb al dzsabr valmukábala, a helyreállítás és az egyszerűsítés köyve. A dzsabr szó kiegészítést és helyretételt jelet, ami megfelel a mai egyeletredezéskor a tagátvitelek az egyik oldalról a másikra. A mukábala pedig az egyszerűsítést, összevoást jeleti. Később így alakult át a matematikus evével együtt az al-dzsabr szó a mai algebrává. Akkoriba ez a matematika egyeletekkel foglalkozó ágát jeletette, mostara már elterjedt a fogalom jeletése az algebrai struktúrákkal foglalkozó tudomáy területére is. Az első algoritmust Augusta Ada Byro (79 87), a költő láya írta meg 84-be Charles Babbage (79 87) agol matematikus által tervezett gépre (Aalytical Egie, aalitikus gép), amely végül a kor fejletleségéek köszöhetőe soha em épült meg. Az algoritmus a Beroulli-számok kiszámítására szolgált. Ada Byrot tekitjük az első programozóak. 4 5 Fried Ervi, Pásztor Istvá, Reima Istvá, Révész Pál, Ruzsa Imre: Matematikai kiseciklopédia, 45.oldal Sai Márto: Nics királyi út! Matematikatörtéet, oldal 5

6 .. Típusok és példák Többféle algoritmus típust külöböztethetük meg. Létezek egyszerű algoritmusok, feltételes algoritmusok és ismétléses algoritmusok. Egyszerű algoritmus (szekvecia): más szóval lieáris, elemi lépéseket hajtuk végre egymás utá. Ilyekor a cél, hogy miél kevesebb lépésből jussuk el a feladat megoldásához. Csak a legszükségesebb műveleteket végezzük el, em foglalkozuk az esetlegese felmerülő kérdésekkel, feltételezzük, hogy ics probléma. Ábrázolásál az egyszerű algoritmus a folyamatábrá egymás utái téglalapokból áll. Egy kokrét példa lehet egy autó beidításáak lépései (kuplug váltó fék gáz stb.). Feltételes algoritmus (elágazás, szelekció): akkor beszélhetük ilye algoritmusról, ha a feladat em oldható meg egyszerű lépések segítségével. A megoldás lépései egy bizoyos problémához vezetek, ahol több eset is felmerülhet. Egy úgyevezett elágazással állhatuk szembe. Ilyekor a helyzettől függőe választauk kell, hogy melyik lépés a helyes. Erre példa lehet egy kártyajáték, ugyais a játszma sorá sokszor találkozhatuk több külöböző, lehetséges lépéssel. Ismétléses algoritmus (ciklus, iteráció): előfordulhat, hogy az algoritmus sorá vaak lépések, amiket többször is végre kell hajtauk. Magát a feladatot, amit végrehajtuk, ciklusmagak evezzük. Az iformatikába három fajtáját külöböztetjük meg. Számláló ciklus, amikor tudjuk, hogy kokréta háyszor kell ismételük, vagy esetleg mettől meddig. Az elöltesztelős ciklusál adott egy feltétel, amit először megvizsgáluk, és ha igaz, akkor hajtjuk végre az ismétlést. Harmadikkét a hátultesztelős ciklusál addig ismételük, amíg a végé lévő feltétel igaz em lesz. Erre legjellegzetesebb hétközapi példa a főzés, hisze sok lépés ismétlődhet. Ezzel kapcsolatba az egyik legfotosabb Böhm Jacopii tétele, mely szerit mide algoritmus felépíthető szekvecia, szelekció és iteráció segítségével. Az így felépített algoritmust strukturáltak evezzük. Tekitsük két kiemelt eszközt, módszert, mely segítségével akár boyolultabb algoritmusokat is le tuduk íri, így köyebbe áttekithetővé válak az olykor komplikáltabb lépések. A. Folyamatábra előye, hogy jól követhető, hátráya azoba, hogy hosszabb algoritmusok eseté már kevésbé áttekithető 6

7 utasítás-csomópot dötéscsomópot gyűjtőcsomópot B. Struktogram előye, hogy hasolóa ábrázol, mit az előbb, de élek (yilak) élkül Egyetle alapeleme egy téglalap, mely az utasítást tartalmazza: utasítás szekvecia elágazás ciklus A későbbiek folyamá láti fogjuk, hogy mikét alkalmazható legikább a folyamatábra kokrét példáko. Ezáltal em csak szíesebbé, érdekesebbé, haem haszosabbá, jobba láthatóbbá is tesszük az algoritmusok megértését, áttaulmáyozását. Nézzük egy kokrét példát folyamatábra segítségével. Feladat: Adott Ν tauló jegye, számítsuk ki a jegyek átlagát! Megoldás: Elsőkét modatszerű leírással. Számlálós ciklust foguk alkalmazi. Be : Ν S : 0 Ciklus i - tő l Ν - i g ( ) Be : A i ( ) S : S A i Ciklus vége S Átlag : Ν Ki : Átlag Most pedig lássuk a folyamatábrát: START Be: Ν S:0 i.. Ν i Be:A ( i ) h Átlag:S/ Ν Ki: Átlag S:SA ( i ) STOP 7

8 Az életük sorá számos algoritmussal találkozuk, még ha em is vesszük észre. Tulajdoképpe szite mide, amit teszük, leírható algoritmusok, vagyis lépések egymás utá következő sorozatakét. Erre példa a hétközapokba: egy recept leírása mit milye sorredbe, hogya készítsük el, pl.: Fűszerezd be a húst! Ismétléses algoritmus, azo belül is a hátultesztelős lehet például az az utasítás, hogy főzzük a húst, amíg meg em fő. Itt akkor fejeződik be az ismétlés, ha megpuhult a hús. Számlálósra példa, ha azt írja a recept, aprítsuk fel fej hagymát, akkor a hagyma aprítás meetét kell háromszor megismételi. egy bútor összeszerelése milye sorredbe rögzítsük mit mihez, pl.: Csavard be a csavart a yílásba! Nézzük itt az egyszerű algoritmust, vagyis feltételezzük, hogy em vesszük figyelembe azokat az eseteket, amikor az összeszereléshez ics eszközük. Ilyekor a megadott lépéseket alkalmazva egyszerű utasítások segítségével eljutuk az összeszerelt bútorhoz. útvoaltervezés hova megyük először, majd milye iráyba forduljuk és azutá hová mejük (esetleg mivel, milye járművekkel), pl.: Mej megállót a 7-es busszal! Nagyo fotos, hogy csak akkor beszélhetük ilye esetekbe algoritmusról, ha em csupá egy feladatról va szó, haem ismertek a lépések is, amelyeket egymás utá elvégezve kapjuk a kívát eredméyt..4. Jellemzők, tulajdoságok Az algoritmus lépésekből áll, a lépések sorozatát folyamatak evezzük. Mide lépések, amit egymás utá alkalmazuk, egyértelműek kell leie. Lehetek összetett lépések is. Absztrakció, vagyis egy kiválogatási eljárás, mely alatt azt értjük, hogy az adatok (tárgyak) azo tulajdoságait vesszük csak figyelembe, amelyek fotosak az algoritmus végrehajtásáál. Midig va valamilye célja, vagyis egy változás törtéik a végrehajtás sorá. Bemeő adatokat haszál fel. Kimeő adatokat hoz létre. Biztosítaia kell, hogy a feladat véges számú lépésekbe megoldható legye. 8

9 Miél rövidebb idő alatt eljuthassuk a kívát megoldáshoz, vagyis hatékoyak kell leie. Megtervezésél figyeli kell, hogy elrothatatla legye. Ábrázolási módjai: Folyamatábra Struktogram Jackso diagram Modatszerű leírás Ezek közül kettőt fet ismertettem. A továbbiakba még bemutatom a folyamatábrát és a modatszerű leírást kokrét matematikai példáko is..5. Iformatika Az elméleti iformatika és a számítástudomáy foglalkozik az algoritmusok vizsgálatával. Ebbe beletartozik az algoritmusok időigéye, tárigéye, melyet pedig külö terület vizsgál, a boyolultságelmélet. Az algoritmusok futásáak befejeződését és az eredméyes véget-érést, pedig a kiszámíthatóságelmélet tárgyalja. E két terület alapja az automaták és formális yelvek elmélete. Azért érdemes elsősorba ezeket a tudomáyterületeket ismeri, mert yilvávalóa em kezdük el megoldai egy problémát, ha tudjuk, hogy megoldhatatla. Ezekívül, ha esetleg a feladatra agyo ehéz potos megoldást adi, akkor megelégszük egy közelítő értékkel. Az absztrakt gépek adak választ az úgyevezett kiszámíthatósági problémára, vagyis, hogy egy feladat megoldható-e véges sok lépésbe, azaz megoldható-e algoritmikusa. Elsőkét 96-ba Ala Turig agol matematikus defiiált ilye gépet, egy absztrakt automatát, az úgyevezett Turig-gépet. Ezekívül megfogalmazta azt a ézetet, mely szerit a Turiggéppel kiszámítható függvéyek megegyezek az algoritmikusa kiszámítható függvéyekkel, valamit a Church által az 90-as évekbe megalkotott λ-kalkuluso belül a λ-defiiálható függvéyekkel. Később próbálkoztak olya modelleket defiiáli, melyek agyobb számítási erővel redelkezek (Markov algoritmusok), de em sikerült. Ez is alátámasztja a Church Turig tézist, mely szerit a kiszámíthatóság külöböző matematikai modelljei mid az effektíve kiszámítható függvéyek osztályát defiiálják. Vagyis egy probléma kiszámítható, ha va hozzá egy megfelelőe programozott Turig-gép és ez fordítva is igaz. 6 6 Dr. Gazdag Zsolt: Számításelmélet, órai jegyzet, Szelezsá Jáos: Fejezetek a matematikából I-II. (Számítástechikusokak) (45. oldal alapjá) 9

10 Az iformatika oktatását, azo belül elsősorba a programozást, legye szó akár középiskolai vagy egyetemi voatkozásról az algoritmusok fogalmáak ismertetésével kezdik. Az iformatikába, programozásba ugyais mideek ez az alapja, erre épülek a külöböző programyelvű kódok. Mide számítást, feladatmegoldást algoritmusok segítségével állítuk elő, persze azt az adott yelvre lefordítva, átfogalmazva. Vegyük például az italautomata haszálatát: Feltesszük, hogy va 00 Ft-uk, mideképp iszuk és mide ital 00 Ft-ba kerül, valamit feltételezzük, hogy a gép em üres, em rossz, az előírásokak megfelelőe működik. ) Válassz italt! ) Dobj be egy 00 Ft-ost! ) Nyomd meg a megfelelő gombot! 4) Várj, amíg folyik az ital! 5) Vedd ki az italt! 6) Idd meg! Ahol két utasítás között a sorred em számít, azt em determiisztikusak evezzük. A 4-es utasítás potosabba: ismételd: Nézd a poharat, amíg meg em telik! A fetiek alapjá építjük fel az algoritmust, melyet azutá lefordítuk a választott programozási yelvre (például Pascal vagy C) Matematika Euklideszi algoritmus: A matematikát tekitve egy ismert ókori algoritmus. A gyermekek már a 6. osztályba megismerkedhetek a legagyobb közös osztó fogalmával, de csak később említhető meg az euklideszi algoritmus is, érdekességképp. Az a és b számok legagyobb közös osztója d, ha (i) d a, d b; és (ii) ha egy c -re c a, c b teljesül, akkor c d. 8 Az euklideszi algoritmus eek, vagyis két szám legagyobb közös osztójáak meghatározására szolgáló módszer. Tulajdoképpe egy számelméleti algoritmus. Meete: a két szám közül a agyobbikat elosztjuk a kisebbikkel, majd a maradék lesz az osztó, az osztadó pedig az eddigi osztó és így tovább, míg 0 maradékot em kapuk. Ebbe az esetbe az utolsó osztó lesz a keresett érték, vagyis a legagyobb 7 Zsakó László, Szlávi Péter: Közismereti iformatika alapjai., előadásjegyzet (saját) 8 Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet (5. oldal) 0

11 közös osztó. Ha már az elejé, az első osztásál 0 maradékot kapuk, akkor a kisebbik szám lesz egybe a legagyobb közös osztója a két számak. Pl. Keressük meg a 845 és a 68 legagyobb közös osztóját! Megoldás: Tehát az -et kaptuk mit legagyobb közös osztót Így a két szám relatív prím, azaz: ( 845,68) Ezt a megoldást ézzük meg algoritmus leíró eszköz segítségével is, jele esetbe a modatszerű leírást alkalmazva. Hátultesztelős ciklust foguk haszáli. Eljárás euklides Be : a, b Ha b > a akkor c : a a : b b : c Elágazás vége Ha b osztója a - ak akkor Ki : b külöbe Ismételd a d : b m : a d b a : b b : m Addig amíg m 0 Ki : a Elágazás vége Eljárás vége Ebbe az algoritmusba em vizsgáltuk azokat az eseteket, amikor a vagy b lehet 0 is, de ez már a kódolás feladata lee. Az első elágazás arra szolgál, hogy mideképpe az a számot tekitsük az osztadóak, természetese ez em feltétel, csak az algoritmus köyebb áttekithetőségét szolgálja, így tehát szükségük volt egy cserére, melyet egy c változóval oldottuk meg. Tekitsük egy harmadik, talá legikább szemléletes módszert, ez pedig a folyamatábra haszálata. 9 9 Természetese az ilye modatszerű leírásokál em szabad megfeledkezük az elleőrzésről sem, vagyis egy tetszőleges programozási yelve megvalósítai.

12 START Be:a,b b>a h i c:a a:b b:a i b osztója a-ak h Ki:b a d: b m:a-d b a:b b:m h m0 i Ki:a STOP Eratoszteészi szita: Olya algoritmus, amely egy adott számál em agyobb prímeket ad meg viszoylag egyszerű módo. Írjuk fel -től Ν -ig az egész számokat. Az első lépésbe karikázzuk be a -t, majd húzzuk át azokat a számokat, amelyek a többszörösei és -él agyobbak Ezutá karikázzuk be azt a legkisebb számot, amely még ics megjelölve, majd húzzuk át eek a többszöröseit Ismételjük meg a fetieket midig a legkisebb még jelöletle

13 számmal, ha ez a szám még legfeljebb Ν. Ha már mide Ν -él em agyobb számot megjelöltük, akkor álljuk meg. Ekkor a bekarikázott számok együttese éppe az Ν -él em agyobb prímszámokat adják. 0 Pl.: Nézzük a 00-ál em agyobb prímszámokat!. Pirossal bekarikázzuk a -t, és a többszöröseit beszíezzük.. A legkisebb em szíezett a -as. Sárgával bekarikázzuk, és beszíezzük a többszöröseit.. A következő az 5-ös, melyet zölddel karikázuk, és többszöröseit szíezzük. 4. Végül a 7-es, amit bekarikázuk kékkel, és beszíezzük a többszöröseit. 5. Mivel 00 0, ezért több számot már em kell megvizsgáluk, tehát a bekarikázott és kimaradt elemek leszek a prímszámok 00-ig. Vagyis:,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 5, 59, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89, Összefoglalva 00-ig 5 prímet találuk. Amikor bevezetjük a prímszámokat az órá, egyúttal ismertessük a gyerekekkel ezt a látváyos, köye érthető, megtaulható módszert is prímek megkeresésére, természetese ajálott em túl agy számot választai a jól ábrázolhatóság kedvéért. A későbbiek folyamá is haszosítható, hogy ezáltal megismerkedhetek egy újabb algoritmussal az eddig taultako kívül, mely fejleszti algoritmikus godolkodásukat. Négyzetgyökvoás: 0 Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet (5. oldal)

14 A égyzetgyökvoást az általáos iskolák 8. osztályába kezdik taítai a hatváyozás utá, a égyzet adott területéből következtetve az oldal hosszára. A hatváyozásak két iverz művelete va az iverz művelet fogalmát a későbbiekbe az osztásál defiiálom, az egyik a logaritmus, a másik a égyzetgyökvoás. Míg a logaritmusál arra vagyuk kívácsiak, hogy melyik az a hatváy, amire az alapszámot emelve a logaritmus argumetumát kapjuk, addig a égyzetgyökvoásál a hatváyalapra, vagyis azt szereték tudi, hogy mi az a szám, melyet hatváyozva a megadott értékhez jutuk. A defiíció alapjá a egy olya emegatív számot jelet, melyek a a égyzete, vagyis ebből következik, hogy ( a ) a és a 0. Később megismerkedek a taulók az -edik fogalmával is. A égyzetgyökvoást, eltekitve a köye kiszámolható értékektől, például 9 vagy 4 számológép segítségével végzik el a diákok. Nem taayag, de kiegészítéskét sok iskolába megtaítják a kézi égyzetgyökvoás egyik algoritmusát. A meete a következő: Midig kettesével, a tizedesvesszőtől balra , jelöljük ki a számokat, tehát páratla jegyűél az első kijelölt egyjegyű lesz. Megézzük, hogy az első kijelölt számot , milye szám égyzetével tudjuk alulról közelítei, ezt leírjuk az egyelőség utá, majd visszaszorzuk, kivouk és leírjuk az eredméyt, majd hozzá a következő két számjegyet. Vesszük az egyelőségjel utái számak a kétszeresét, aláírjuk. A kétszeres utá lesz egy helyi érték, egy szorzásjel, majd a szorzó. A kétszeres utá írt szám ugyaaz lesz, mit a szorzó, ezzel ismét alulról közelítjük azt a számot, melyet a égyzetgyökjel alatti alá íruk. Ezek utá visszaszorzuk, kivouk és leírjuk a kivoás eredméyét, majd a következő két számjegyet, ha elérkeztük a szám végéhez, akkor ullákat íruk, az eredméyél pedig kiírjuk a tizedesvesszőt és ugya így tovább. Addig számolhatuk a leírt eljárás szerit, míg el em jutuk a kívát potosságig. Bizoyítható, hogy ez az algoritmus helyes, és a égyzetgyököt tetszőleges potossággal meghatározhatjuk. Nézzük meg olya égyjegyű számra a bizoyítást, melyek égyzetgyöke kétjegyű. 4

15 Bizoyítás: ABCD EF ABCD EF 000A 00B 0C D ( 0E F ) 00E 0EF F AB CD E (0 A B E 000A 00B 00E )00 0C D E 0A B ( 0E F ) 0C D 0EF F 000A F F 0EF F 00B 0C D 00E 0EF. / 00E A feti módszere kívül létezik a égyzetgyök meghatározására egy másik megoldás is. A Newto evéhez fűződő rekurzív iteráció. Newto algoritmusa: a,,,... a ahol a az -edik lépés utá az szám közelítő a égyzetgyökét jelöli. Például:, a a a a ,486 7,876 Így lehet folytati tovább a kívát potosságig. Itt a4 -él közelítőleg, 876 -ot kaptuk, míg, Eek a rekurzív sorozatak a határértéke. Az említett két módszer teljese külöböző. Abba az esetbe, ha a kérdéses szám égyzetgyöke racioális, akkor a kézi égyzetgyökvoás megadja a potos égyzetgyököt közvetleül, számolás útjá, míg a Newto féle közelítő eljárás csak határértékbe. Szerkesztési algoritmusok:. Háromszög beírt köréek megszerkesztése Megszerkesztjük a háromszöget, majd midhárom szögéhez tartozó szögfelező egyeeseket. Ahol a három szögfelező egy potba metszi egymást, az lesz a háromszögbe írt kör középpotja. Tulajdoképpe elegedő a három szögfelezőből kettőt megszerkesztei, így is megkapjuk a metszéspotot. Végül, pedig a középpotból az oldalra állított merőleges szakasz lesz a kör sugara, melyek 5

16 ismeretébe már megszerkeszthetjük a beírt kört. A háromszögbe írt kör sugara T ρ, ahol T a háromszög területe, K pedig a kerület. K. Szabályos ötszög szerkesztése ) Felveszük egy O potot és rajzoluk egy tetszőleges sugarú k kört. ) Kiválasztuk egy A potot, ami rajta va a körö, majd összekötjük az O pottal, így kapuk egy f egyeest. ) Az f egyeesre merőlegest állítuk O - keresztül. Eek az egyeesek a metszéspotja a körrel M. 4) M és O szakasz felezőpotját, F -et összekötjük az A pottal, ez lesz az l kör sugara, F körül. 5) Ahol az l kör metszi az OM egyeest, az a P pot. A P potot A -val összekötve kapjuk az ötszög oldaláak hosszúságával megegyező szakaszt, amit körzőyílásba veszük. 6) Végül A -ból idulva sorra kimetsszük az a, b, c, d, e szakaszokat, vagyis az ötszög oldalait. SVG állomáy. Az SVG (Scalable Vector Graphics) magyar fordítása "méretezhető vektorgrafika". Egy XML alapú leíró yelv. Nagyo haszos geometriai ábrák szemléltetésére. 6

17 7 Gauss elimiáció: Az általáos lieáris egyeletredszerek megoldására az egyik legtermészetesebbe adódó, egyszerű és gyakorlati szempotból is jól alkalmazható eljárás a Gauss-féle kiküszöbölés, amelyek számos fotos elméleti következméye is va. Az eljárás sorá ekvivales átalakítások megegedettek. A Gauss-elimiációval tulajdoképpe kiküszöböljük az ismeretleeket az egyeletredszerből, hogy megkapjuk a kívát megoldást. Nézzük erre egy kokrét példát. Feladat: 4 7 Keressük,, -at. Megoldás: Kibővített mátria: 4 7 Vojuk ki az. sorból a. sor -szeresét, a. sorból, pedig a. sor háromszorosát Vojuk ki a. sorból a. sort Végül adjuk hozzá az. sorhoz a. sor ötödét, és osszuk el a. sort öttel Így, pedig leolvasható a megoldás: 5,. Itt egy úgyevezett szabad változó, ezért végtele sok megoldást kaptuk. Mohó algoritmus: Az optimális megoldás keresésekor az egyik módszer az úgyevezett optimista módszer, melyet mohó algoritmusak is evezük. Ez em midig a legoptimálisabb megoldást adja, de segítségével megoldható számos optimalizálási feladat. A mohó algoritmus midig, mide lépésbe a helyekéti legoptimálisabb lehetőségeket Az ábrát a GeoGebra program segítségével szerkesztettem Freud Róbert: Lieáris algebra (55. oldal)

18 választja. Az optimalizáció egyik klasszikus feladata: az utazó ügyök problémája. 4 Eek a feladatak a léyege, hogy egy olya algoritmust adjuk, melyek segítségével egy ügyök úgy látogathassa meg egy adott terület összes városát, hogy utazási költségei a lehető legalacsoyabbak legyeek, a végé pedig hazaérje. Rekurzív algoritmusok o Fraktálok: Nagyo érdekes jeleségek, melyekhez hasolóak gyakra előfordulak a természetbe is, és jól modellezhető algoritmikusa, program segítségével. Nézzük erre egy látváyos példát. Fa: Eek a fáak a megszerkesztése egy rekurzív eljárás. A rajzokat Comeius Logo 5 -val készítettem, utasításképlete: tauld fa :sz :h a két paraméter a szit és a hossz, az ábrákat 6-os szittel és 80 hosszúsággal hívtam meg tollszí! e :h ha :sz > [b 60 fa :sz - :h / 4 j 90 fa :sz - :h / b 0 ~ ha :sz > [ha maradék :sz [h :h / j 45 fa :sz - :h / b 45 e :h / ] ~ [h :h * / b 45 fa :sz - :h / j 45 e :h * / ]]] h :h tollszí! 0 vége Sierpiski-háromyszög: Koch-görbe: A természetbe például: hópehely, kristály, páfráy, brokkoli, karfiol, kagyló. 4 Lovász László, Peliká József, Vesztergombi Katali: Diszkrét matematika (67. oldal) 5 A Comeius Logo egy gyerekekek tervezett programozási yelv. 8

19 o Haoi torya: A feladat léyege, hogy adott bizoyos számú korog, amit az első rúdról egy másikra (az ábrá a középsőre) kell áthelyezi úgy, hogy kisebb korogra em rakhatuk agyobbat, és mide lépésbe csak egy korogot mozgathatuk. A klasszikus példába 64 korog szerepel. Bizoyítható, hogy az optimális, vagyis a legkevesebb lépésszám korog eseté. Ez jól modellezhető algoritmus segítségével, programot írva is. Az ábra koroggal szemléltet, ahol a megoldás lépésszáma 8 7. Még sorolhaták az algoritmusokat általáos iskolától kezdve a középiskolába taultako keresztül akár a másodfokú egyelet megoldási meete (. Kijelölt műveletek elvégzése.. 0- ra redezés.. Diszkrimiás. 4. Megoldóképlet. 5. Gyökök megadása.), illetve az egyetemi taulmáyok sorá is számos algoritmussal találkozuk. Fotosak a hétközapi életbe is sok területe haszálatos titkosítási algoritmusok. Végül lássuk egy matematikai példát, algoritmikusa leírva a megoldás meetét. Feladat: Írj algoritmust, amely előállítja N külöböző elem összes permutációját! Megoldás: Ha kézzel akarák megkeresi az összes permutációt, akkor az például elem eseté így éze ki:,, ( ) a, P( ) Tehát rekurzív módo járuk el, vagyis vesszük az első elemet, majd a maradék permutációit keressük, ahol megit csak vesszük az első elemet (a maradékból) és így tovább, míg végül az utolsó elemig em jutuk, amit pedig leíruk. Aztá úgyevezett visszalépéses módszerrel hasolóképp, és így kapjuk a lehetséges sorredeket. Nézzük a példát téylegese algoritmikusa leírva. Az adatok bekérése em az algoritmus, haem a programkészítés része. P i 9

20 Eljárás Ciklus Ciklus Eljárás permutáció i töl Ν ig T[ Ν] : a Ha Ν Elágazás vége vége i Ciklus Ciklus vége ( Ν, a, a, K, a ) akkor Ki : T Ha Ν > akkor s : Elágazás vége permutáció N j töl Ha j i akkor b s : s, T N Ν ig vége,..., T : a ( Ν, b, b, K, b ) s Ezekívül számos matematikai algoritmussal találkozuk taulmáyaik sorá. Nagyo fotos a taulók algoritmikus godolkodásáak fejlesztése. Semmiképpe em szabad elsiklai éháy, fet említett algoritmus bemutatása felett. Jó reprezetáló eszközök segítségével gyorsa, köyedé elsajátítható éháy módszer, melyeket a gyerekek j látváyosságukak is köszöhetőe hamar megszeretek..7. Egyéb tudomáyterületek Az algoritmusok a matematiká és az iformatiká kívül szerepet kapak például a biológiába, az evolúciós algoritmusok. Az evolúciós algoritmus (vagy az amerikai szóhaszálatba geetikus algoritmus) a mesterséges itelligecia egyik metaheurisztikája. Egy általáos problémamegoldó séma, melyek kialakítását a biológiai evolúció motiválta. 6 Az algoritmus fogalmáak szerepe va a pszichológiáál, a kogitív tudomáyba is, amely a metális folyamatok algoritmizálhatóságával is foglalkozik. 6 Borgulya Istvá: Evolúciós algoritmusok 0

21 . AZ OSZTÁS Ebbe a fejezetbe az egyik legalapvetőbb művelettel, az osztással és aak taításával fogok foglalkozi. Sorra veszem a kialakulásától kezdve az egyetemig, hogy hol jeleik meg, milye példákba va a legagyobb szerepe, illetve hogya taítják. Az osztással már egész kis korba találkozak a gyerekek és végig, taulmáyaik sorá gyakra előkerül külöböző feladatokba, illetve az élet számos területé... Defiíció A művelet általáos algebrai defiíciója: Tetszőleges Α emüres halmaz és 0 egész szám eseté bármely evezzük. 7. Az osztás a racioális számok halmazá: f : ( \ { 0 })a ; r ) r, f : Α a Α függvéyt az Α - értelmezett -változós műveletek ( r a r r r a művelet eredméye egyértelmű, mert ha: * * r, amelyre r r r és r r r, akkor r r r r, * tehát * r r * vagyis r ( r r) 0,. Az osztás a szorzás iverz művelete. Az iverz művelet defiíciója az algebrába: Legye adott a H halmazo egy (szorzáskét jelölt) művelet. Tegyük fel, hogy az mide b a egyelet a, b H -ra egyértelműe megoldható, azaz potosa egy olya c H létezik, amelyre cb a. Ekkor a B ( a, b) c hozzáredelést a művelet bal oldali iverz műveletéek evezzük. Hasolóa, ha mide a, b H -ra potosa egy olya d H létezik, amelyre bd a, akkor a J ( a, b) d hozzáredelés a művelet jobb oldali iverz művelete. 8 Kommutatív esetbe B midig egyelő lesz J-vel... Törtéete, törtéelme Már az ókorba is ismerték az osztást, a mai módszerrel szembe azoba egésze más számolási eljárásokat alkalmaztak. Egyiptom: az osztást összeadásra vezették vissza. Ami azt jeleti, hogy ha egy számot el akaruk osztai egy másikkal, akkor em az a kérdés, hogy háyszor va meg bee a szám, 7 Fried Ervi: Általáos algebra (. oldal) 8 Freud Róbert: Lieáris algebra (4. oldal)

22 haem, hogy meyiszer kell vei (összeadi) egymás utá az osztót, hogy az osztadót kapjuk. 4 Pl.: 6 : 4? Babilóia: Szorozi tudtak, az osztást a reciproktáblázat segítségével szorzásra vezették vissza. Csak olya számok reciprokait képezték, amelyek véges hatvaados törteket adtak, vagyis amely számok prímtéyezős felbotásába csak a 60 prímtéyezői fordulhattak elő. Az ilye számokat szabályosakak evezték...valamely tetszőleges számlálójú törtet em törzstörtek összegekét, haem egy törzstört többszörösekét fogták fel. Két szám háyadosakét azoba még em értelmezték Pl.: Idia: A hidu matematikába teljese másképp végezték az osztást, egy úgyevezett áthúzásos módszerrel. Pl.: 75 : 8? Az áthúzásos módszer léyege, hogy ahogy haladuk az osztás meetébe, úgy húzzuk át azokat a számokat, melyek a továbbiakba már em veszek részt az eljárásba, és így végül ami em kerül áthúzásra, az lesz a függőleges voal előtt a maradék, illetve mögötte a végeredméy. / 8/ 5 7/ 5 4 Először akárcsak a mi osztásukál megézzük, hogy a 75-be háyszor va meg a 8, amit a 75 alá íruk. Megva 4-szer, a voal mögé leírjuk a 4-et, majd elkezdjük a visszaszorzást höz, hogy 7 legye, kell 5, tehát leírjuk a 7-es fölé az 5-öt, majd áthúzzuk a 7-et és a 8-at. 4 5/ / 7/ 8/ / 5/ 4 9 Filep László: A tudomáyok királyője, A matematika fejlődése (5. oldal)

23 Következő lépésbe a 4-et a em áthúzott -mal szorozzuk, ami, és -höz 4 kell, hogy 55-öt kapjuk, mert a fölülre írt 5-öst és az osztadóból át em húzott 5-öst tekitjük, ezért leírjuk a 4-at a megfelelő helyi értékek fölé, és áthúzzuk a két 5-öst és a -ast. 4/ 5/ / / 7/ 5/ 4 5 8/ / 8/ Majd ezutá újra leírjuk az osztót, vagyis a 8-at egy helyiértékkel beljebb az eredeti alá, és megézzük, hogy a még áthúzatla 4-be háyszor va meg. 4 : 8 5 és marad a 6, tehát leírjuk a 4-es utá az ötöst a voal mögé és visszaszorzuk , 4-hoz kell még, leírjuk a -ast, áthúzzuk a 8-ast, 4-est, -ast. 4/ / 5/ / 6 / 7/ 5/ / 4 5 8/ / 8/ / Végül az 5-öt megszorozzuk a -mal, ami 5 és 05-höz, hogy legye, kell még 6, amit leíruk és áthúzzuk a két -ast és az -est. Így tehát maradt áthúzatlaul az -es és a 6-os, illetve a végeredméy, viszot eljutottuk a végéhez, mivel az osztadó számjegyei elfogytak. Természetese, ilyekor jöe a tizedes vessző, és 0-val kiegészítve folytathaták az osztást. Leolvasható, hogy a végeredméy 45, és a maradék 6... Eszközök Az osztást em csak fejbe vagy papíro, írásba végezhetjük, haem vaak segédeszközök, amikkel látváyosa eloszthatuk egy számot egy másikkal. Ezeket az eszközöket maapság már em haszálják, sőt a legtöbb gyerek em is ismeri, esetleg em is hallott róla. Szeritem említés szitjé mide taulóval meg kellee ismerteti a taárokak, közvetleül a taórá, rögtö, az osztás taítását követőe, ezáltal is felkeltei az érdeklődésüket, reprezetatívvá tei az osztási algoritmust. Abakusz: Görög eredetű, az abaiko szóból származik, magyarul: tábla. Az ókorba kezdetbe a görögök, majd a rómaiak haszálták számolási segédeszközkét. Magyarországo is épszerű volt, ugyais az írástudatlaok is köye számolhattak vele. Eze kívül számos változata jelet meg a külöböző országokba, például a kíaiakál ebből

24 fejlődött ki a szua pa, mely egy golyós számológép, amivel maapság is számolak, az oroszokál pedig ilye a szcsoti, valamit Gerbert fracia szerzetes abakusza, ami érdekes módo em a római módszert követte, haem már olya köveket haszált, amikre számjegyeket írt. Maapság is haszálatos az oroszokál, illetve a kíaiakál, sőt, újabba kezdik ismét bevezeti az általáos iskolákba. Japá változata pedig a szorobá. Az abakusz legikább a külöböző számredszerek taításáál yújthat segítséget a szemléltetéshez. Az abakusz egy olya szerkezet, ahol egy fa keretbe golyókat találuk. Az itt látható 0-tól 9-ig mutatja a számokat, melyek úgy vaak értelmezve, hogy a bal oldalo mide sorba 5 golyó, a jobb oldalo pedig. A bal oldaliak -et--et érek, míg a jobb oldalo fejekét 5- öt. Így tehát mide sorba az alaki értékekek megfelelő golyóállásokat láthatjuk. A egatív számokat esetleg más szíű golyókkal lehetséges szemlélteti szcsoti. szua pa. szorobá abakusz A számolótábla alkalmas összeadásra, kivoásra, szorzásra, illetve osztásra, amit ismételt kivoással végzük el, eek meetét majd a befoglalás tárgyalásáál részletezem. A japá szorobáo az osztás így éz ki: A golyókkal a számokat hasolóképp ábrázoljuk, ahogy az abakuszo, csak itt függőlegese, em vízszitese. Helyi érték szerit először kirakjuk az osztadót a baloldalo megjelölt helyre, majd középre szité helyi értékese az osztót és végül a bal oldali megjelölt helye 0 Sai Márto: Nics királyi út! Matematikatörtéet (08. oldal) 4

25 lesz a háyados. Elsőkét megállapítjuk, hogy háy számjegyből áll majd a háyados. Ahogy a szokásos osztásál is, a legagyobb helyi értékkel kezdjük, megézzük, hogy megva e bee az osztó, majd visszaszorzuk és ekkor az eredméyt a legagyobb helyi értékű szám helyéről elvesszük és így tovább, majd végül a maradék az osztadó helyé lesz látható. Logarléc: Ősét, a logaritmusskálát Edmud Guter (58 66) agol matematikus és csillagász készítette el 64-be. Előzméye, hogy 64-be Joh Napier (550 67) skót matematikus már elkészítette a logaritmustáblázatot. Maga a logarléc, mit számolási segédeszköz a 9 0. századba terjedt el igazá. Elsősorba szorzás és osztás közelítő elvégzésére alkalmas. Működéséek alapelve, hogy a számok szorzatát és háyadosát a logaritmus azoosságaival, vagyis két szám logaritmusáak összegével és külöbségével határozza meg. Külöféle speciális igéyeket kielégítő logarléceket gyártaak, amelyek még méretre is külöbözhetek egymástól. Az általáosa haszált logarlécek,5 cm, 5 cm és 50 cm hosszúságba készülek és a felső lapo öt léyeges skála található. Az osztás elvégzése úgy működik, hogy a logarléce 5 léyeges beosztás található az A, B,, C, D, egy adott osztáshoz az értéket megkeressük az A skálá, az y értéket a B y skálá, majd ezt a kettőt egymás alá csúsztatjuk, ezek utá pedig leolvasható lesz a B skála 0 egyese az A skálá, ami a háyados értékét adja. Például: A B C D 0 5 Magyarázat: Két voalzót egymás mellett tologatva el tuduk végezi kivoásokat, összeadásokat, hisze lieáris skálá ameyivel az egyik voalzót eltoljuk a másikhoz képest, ayival kerül arrébb az érték is. Hasolóa működik a logarléc is, csak itt osztást, Obádovics J. Gyula: Gyakorlati számítási eljárások (4. oldal) 5

26 szorzást is el tuduk végezi a logaritmus azoosságai segítségével. Pozitív számok osztásakor haszáljuk az lg lg y lg szabályt. Két pozitív szám szorzatára ugyaúgy az y lg lg y lg( y) azoosságot. Ezeke kívül a logarléce találhatók más skálák is:,,si, ta, arc, tehát égyzetre emelést, gyökvoást és egyéb műveleteket is elvégezhetük az eszköz segítségével..4. Az osztás taítása Az osztással már általáos iskola. osztályába megismerkedek a gyerekek. Az évek sorá külöböző, kissé eltérő módszerekkel taították. Az osztás, jóllehet egyetle művelet, léyegéek megértéséhez mégis kétféle osztásról taulak az alsó tagozatos gyerekek. A befoglaló és a részekre osztás a valóságba is megva. Ez a két fogalom léyegébe em, csak felfogásba, illetve jelölésbe tér el. A gyerekekek a szöveges feladat megoldási tervéek elkészítésekor az osztásról meg kell állapítai, hogy befoglalás-e vagy részekre osztás. Nevezetle számok osztásakor is érdemes eldötei, hogy melyik osztás előyösebb Írásbeli osztásál is midkét osztást haszáljuk. A háyados jegyeiek helyi érétkét részekre osztással, az alaki értékét befoglaló osztással állapítjuk meg. 4 későbbiek folyamá szemléltetem példá keresztül, mi is a külöbség e két agyo hasoló fogalom között..4.. Általáos iskola Az osztás mit fogalom bevezetése, értelmezése, írásbeli osztás Elsőkét a második osztályba találkozak a gyerekek a szóbeli osztással, aak is rögtö két fajtájával, először a befoglalással, majd az egyelő részekre osztással. Miutá megismerkedek szemléletes, hétközapi példáko keresztül ezekkel a fogalmakkal, sorra végigmeek az úgyevezett befoglaló táblá. Fotos már az elejé hagsúlyozi, hogy bármely számot 0-val osztai értelmetle, ugyais akármilye szám 0-val szorozva 0-t ad. A harmadik osztályosok miutá átismételték az eddig taultakat átveszik az osztás tulajdoságait. Végül, amikor már készség szite elsajátították a szóbeli osztást, akkor megtaulják az írásbeli osztást elleőrzéssel. A mideapi életbe gyakra előfordul, hogy személyek, tárgyak stb. halmazába adott egyelő számosságú részhalmazokat kell kialakítai és megállapítai a létrehozott A Szerecsi Sádor, Papp Olga: A matematika taítása II., egységes jegyzet, kézirat (5. oldal) 4 Szerecsi Sádor, Papp Olga: A matematika taítása II., egységes jegyzet, kézirat (6. oldal) 6

27 részhalmazok számát. Ezt a problémát a számok ismeretébe befoglaló osztással oldhatjuk meg. Sok esetbe a személyek, tárgyak stb. halmazából adott számú ekvivales részhalmazokat kell létrehozi, és megállapítai e részhalmazok számosságát. Az ilye probléma megoldása a számok világába részekre osztáshoz vezet. 5 Befoglalás: Rögtö példá keresztül sajátítják el a gyerekek, ahol meg is taulják, hogy ilyekor midig azt kérdezzük, hogy Háyszor va meg bee?, Háyszor tudjuk elvei? Például: Va 0 darab tojásuk és 4-es tartóik. Háy tartóra va szükségük? Ezt természetese ismételt kivoással, másképp befoglalással tudjuk megállapítai. A meete, hogy 0 tojásból elkezdük 4-es csoportokat alkoti. 0 tojás elhelyezéséhez 5 tartóra va szükségük, mégpedig azért, mert ismételt kivoás segítségével és 5-ször vettük el a 4-et, vagyis befoglalással 0 : 4 5. Rögtö el is evezzük a 0-at osztadóak, a 4-et osztóak, az 5-öt pedig háyadosak. Miutá a gyerekek már korábba megismerkedtek a szorzás fogalmával, így fel kell hívi a figyelmet az elleőrzésre, amit szorzással tehetük meg, vagyis ebbe a példába 0 : 4 5, mert Részekre osztás: A kérdés most egy kicsit más lesz, mit a befoglalásál, ugyais azt szereték tudi, hogy Meyi jut egy-egy emberek?. Tehát megadjuk, hogy háy egyelő részre szereték osztai és azt em tudjuk, hogy egy részre háy jut. Itt megfigyelhető, hogy az osztadó és a háyados lesz azoos meyiség. Va 6 tábla csokoládék. Egy testvérpár el szereté osztai úgy, hogy midekiek ugyaayi jusso. Ekkor a 6 tábla csokit szétosztjuk a két gyerek között, míg el em fogy. Midkette tábla csokit kapak. Ezt a módszert evezzük egyelő részekre osztásak, melyet másképp jelölük, mit a befoglalást, hisze más módszert alkalmazuk. Felírva 6 /. Elleőrzés: 6 /, mert 6. Később az osztásak ezzel a változatával előkészíthetjük a törtek fogalmát. Összefoglalva, a kétféle osztás közti külöbség legjobba a feladatok fajtáival érzékeltethető. Midkettőél más az elleőrzés módja is. 5 Szerecsi Sádor, Papp Olga: A matematika taítása II., egységes jegyzet, kézirat (. oldal) 7

28 Általáosítva a taultakat bevezethetjük a mide típusra alkalmazható hagyomáyos írásbeli osztást elleőrzéssel. Eek is két változata létezik, egy rövidebb és egy hosszabb. Külöböző módszerek osztásra Az írásbeli osztást többféle algoritmussal is elvégezhetjük, em csak azzal a módszerrel, melyet áluk is taítaak. Amerikába egy hasoló, de jelölésbe eltérő eljárást alkalmazak: Log divisio (Hosszú osztás) : Pl.: 9. Megoldás: Itt tehát a háyadost az osztadó fölé írjuk, az osztót pedig elé. A módszer a áluk taítottakhoz képest csak formailag tér el. Short divisio (rövid osztás) : Pl.: 4. Megoldás: Ebbe az osztási típusba az egyes maradékokat a számok jobb felső sarkába írjuk. Itt is léyegébe csak formai eltérés va, abba külöbözik a hosszú változattól, mit áluk, hogy em írjuk le, fejbe végezzük a kivoásokat. A végé pedig választhatuk, leírjuk a maradékot (rremaider), itt, illetve, tovább folytatjuk az osztást a tizedes vessző kiírásával. Chukig method (darabokéti osztás) : Pl.: Megoldás: r

29 Ez egy kicsit másfajta osztási algoritmus, mit az eddigiek. Itt úgy osztuk, hogy az osztót megszorozzuk egy olya számmal, amit fejbe köyedé is el tuduk végezi, például tízzel, a szorzatot leírjuk és kivojuk az osztadóból, majd a maradék lesz az osztadó, és ezt ismételjük tovább. Nyilvá midig úgy szorzuk, hogy a szorzat kisebb legye az osztadóál. Végül eljutuk egy olya osztadóhoz, amibe már ics meg az osztó, ez lesz a maradék. Lépésekét a jobb oldalra leírjuk, hogy háyszorosát vettük az osztóak, a végé ezeket a számokat összeadjuk és így kapjuk, hogy háy egészszer va meg az r 0 0 osztó az osztadóba, amihez a maradékot hozzáadva megkapjuk a háyadost. Botásos osztás : Pl.: 84 :. Megoldás: 84 : 8 84 : (90 6) : (90 : ) (6 : ) 0 8 Ebbe az esetbe tehát úgy próbáljuk köyítei az osztást, hogy az osztadót felbotjuk az osztó egész számú többszörösére, jele példába kivoás segítségével. A műveleti szabályok szerit megtehetjük, hogy a kivoásál először tagokét osztuk, majd a háyadosokat vojuk ki egymásból, az eredméy em változik. Ugyaez az osztás összeadás segítségével széttagolva: 84 : (60 4) : (60 : ) (4 : ) Maradékos osztás Maradékos osztáskor a legfotosabb, amit meg kell mutati a taulókak, hogy a legtöbb osztás em végezhető el a természetes számok körébe, az osztadó em többszöröse az osztóak, ilyekor maradékot kapuk. Tetszőleges a és b 0 egész számokhoz létezek olya egyértelműe meghatározott és r egész számok, melyekre a b r és 0 r < b. 9 Bizoyítható az egyértelműe létezés. Bizoyítás: Legye a, b > 0. Tekitsük a következő, végtele hosszú itervallum felsorolást: [ 0; b [ ; [ b;b[ ; [ b;b[ ;... Ezek az itervallumok párokét diszjuktak, tehát ics közös elemük. Nevezzük el ezeket az itervallumokat I -ek. Ekkor U I a a UI I és párokét diszjuktak a halmazok! k melyre a [ kb;( k ) b[ kb a < ( k ) b kb a < kb b 9 Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet (0. oldal) 9

30 Az a kb szakasz hossza kisebb, mit b és! a kb, k egyértelműe létezése miatt. Ekkor a kb 0,,,..., b számok közül az egyik, jelöljük ezt m -ek. Így a kb m a kb m, ahol k is és m is! a fetiek miatt. A bizoyítást az itervallumok helyett lehetett vola egy szigorúa, mooto övekvő, felülről em korlátos sorozattal is reprezetáli, akkor is biztos, hogy lesz olya ( k ) b, hogy a k a kettő közé esik. k b és A maradékos osztás legagyobb jeletőssége a számelmélet területé va az oszthatósági feladatok vizsgálatáál, valamit a már korábba tárgyalt euklideszi algoritmusál. Törtek Általába jeletse a 0-ál-, b -él agyobb természetes számokat, akkor az törtszámo azt értjük attól függőe, hogy előbb felosztást és azutá egyesítést végzük-e vagy fordított sorredbe, hogy. egy egészet b részre osztuk és az így kapott részekből a számút veszük, vagy. a egészet osztuk fel b egyelő részre Ha a többszöröse b -ek, akkor b a egész szám, ha ez em teljesül, akkor b a törtszám 0 Jele esetbe a -t számlálóak, b -t evezőek hívjuk. Bővítés, egyszerűsítés: Törteket úgy bővíthetük, hogy a számlálót és a evezőt is megszorozzuk ugyaazzal a számmal, ebbe az esetbe a tört értéke em változik. Pl.: Egyszerűsítésél, a tört számlálóját és evezőjét egyarát elosztjuk 66 ugyaazzal az egész számmal. Ilye számot úgy találhatuk, ha a evező és a számláló egy közös osztóját keressük. A tört legegyszerűbb alakját a számláló és evező legagyobb közös osztójával való osztással kapjuk. Pl.: : 5 5 : 5. Ilyekor a számláló és a 48 : 4 4 : 8 evező relatív prímek. A legagyobb közös osztót, a már korábba említett euklideszi algoritmus segítségével határozhatjuk meg. a b 0 Szerecsi Sádor, Papp Olga: A matematika taítása II., egységes jegyzet, kézirat (07. oldal) 0

31 A fetiekből látható, hogy egy szám végtele sokféleképpe felírható törtkét és midegyik alak ugya azt az értéket fejezi ki. Pl.: k 0, : a kc egy ekvivalecia osztályba sorolhatjuk. b kd 4 a c. Azokat az és alakú törteket, ahol 6 b d Közös evező: Mielőtt megfogalmazák, hogy is végezzük el a törtek körébe a közös evezőre hozást, érdemes szemléletese példáko keresztül megmutati mire való, illetve hogya is működik a közös evező. A közös evezőre a törtszámok összeadásáál va a legagyobb szükség, ugyais ha külöböző evezőjű törtek összegére vagyuk kívácsiak, csak úgy tudjuk őket osztás élkül, törtkét összeadi, ha a evezőket úgy bővítjük, hogy egyelőek legyeek, a bővített törtek utá pedig a számlálókat már összeadhatjuk, és megkapjuk a végeredméyt.. ábra ábra alapjá

32 Látható, hogy külöböző módszerekkel, egymásba csúsztatással jól lehet reprezetáli a közös evezőt. A második ábrá a végeredméyél em látszik, de a bal felső sarokba lévő kis kockát kétszer számoljuk az egymásra csúsztatás utá, így kapuk 7 -et. Két vagy több tört közös evezőjéhez bővítéssel vagy egyszerűsítéssel juthatuk. Közös evezőre hozáskor érdemes a legkisebb közös többszöröst választai, majd ugyaazzal a számmal, amivel a evezőt szoroztuk, megszorozzuk a számlálót is. Törtek osztása: Mide esetbe kikötjük, hogy a evezőbe em szerepelhet a 0. Adott szám eseté az reciproka: () az szám, () az a szám, amelyek -szel való szorzata. Ez a két defiíció ekvivales, vagyis ugyaazt adják a reciprokra. Midkettőből kiderül az is, hogy 0-ak ics reciproka.. Törtszámot egész számmal úgy osztuk, hogy a tört számlálóját elosztjuk az egész számmal, és a evezőt változatlaul hagyjuk, vagy a számlálót em változtatjuk, és a tört evezőjét szorozzuk meg. Pl.: látható, hogy 5 : hisze : 5 vagy 5 : 5. Egész számot törttel úgy osztuk, hogy az osztó reciprokával szorzuk, vagyis a számot megszorozzuk a tört evezőjével, és ezt a szorzatot elosztjuk a tört számlálójával. Pl.: : Törtet törttel úgy osztuk, hogy az osztadót megszorozzuk az osztó reciprokával. Az Törtek fajtái: osztó itt sem lehet 0. Pl.: 5 7 : Tizedes törtek: Azok a közöséges törtek, ahol a evező 0 valamely hatváya. Mide közöséges tört átalakítható tizedes törtté úgy, hogy a számlálót maradékosa, vagy maradék élkül elosztjuk a evezővel. Másik módszer a tizedes törtté alakításra, hogy a számlálót és a evezőt is bővítjük ugya azzal a számmal, hogy a 0 valamely 5 66 Pálfalvi Józsefé: Matematika didaktikusa (44. oldal)

33 hatváyát kapjuk a evezőbe, de ez a módszer em midig alkalmazható. Végtele szakaszos tizedes tört esetébe például em. Általáosa N -edes törtről beszélük azokba az esetekbe, amikor a tört evezője N. Például kettedes törtek hívjuk az alakú törteket, tehát itt N. A tizedes törtek tulajdoságai az alapműveleteket tekitve hasolóak a törtekével, követhetők a törtekél tault szabályok. Elsősorba a mértékegységek közötti átváltásokál ismerkedhetek meg tizedes törtekkel a taulók.. Véges tizedes törtek: Ilye alakba azok a törtszámok írhatók, melyek evezőjéek prímfelbotásába csak a vagy 5 prímszám fordul elő a tört legegyszerűbb 5 alakjába. Pl.: 5 : 8 0, Végtele szakaszos tizedes törtek: Amikor a törtet tizedes tört alakba írjuk át és az osztás következtébe, sohasem keletkezik 0 maradék. Pl: 0, ,6 & vagy 0, ,4857 0,485 & 7 & Végtele em szakaszos tizedes törtek: Végtele em szakaszos tizedes törteket em kaphatuk törtek átalakításából, hisze em írható fel két egész szám háyadosakét, tehát ilye értelembe em közöséges törtszám. Mivel a törtszámot más éve racioális számak evezzük, ilyeek a véges és végtele szakaszos törtek, így a végtele em szakaszos tizedes törteket irracioális számokak evezzük. Eze fogalmakról majd a későbbiek folyamá lesz bővebbe szó. Pl.: 0, , π (Ludolph-féle szám), e (Euler-féle szám) Állítás: Mide racioális szám felírható szakaszos tizedes törtkét () és mide periodikus tizedes tört felírható b a alakba (). a Bizoyítás: ()...ha az törtél az osztás folyamá midig lesz maradék, akkor a b-vel b való osztásál a maradék az ; ; ;...;b számok valamelyike, tehát a maradék legfeljebb (b ) féle lehet. Ezért előbb-utóbb ismétlődő maradékhoz jutuk és oa kezdve az osztási eljárás folytá periodikus ismétlődés lesz. Emiatt a háyados számjegyeibe is periodikus ismétlődés