2. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) II. előadás

Átírás

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kiogozta: Szüe Veronika egy. ts.) II. eőaás. Közeítő megoások energiaevek: Összetett rugamas peremérték feaat esetén csak közeítő megoássa tuunk szogáni amey közeítő megoássa szemben evárásokat fogamazhatunk meg az emozuás és a feszütség vonatkozásában is. Ezért két efiníció kerü bevezetésre: Kinematikaiag ehetséges emozuás mező: az az u emozuás mező amey foytonos eegenően sokszor ifferenciáható (a függvény erivátja nuátó küönbözik) és kieégíti a kinematikai peremfetétet. Ezen efiníció aapján az eső feaatra tejesünie ke az aábbi egyenetnek: u u 0 0 (Bizonyos fetéteek tejesüése esetén a kinematikaiag ehetséges emozuás mező megegyezik a tényeges megoássa). Statikaiag ehetséges feszütség mező: az a feszütség mező amey kieégíti az egyensúyi egyenetet N f és a inamikai peremfetétet. Ezen efiníció aapján a feszütségi mezőnek azaz az N rúerőnek ki ke eégítenie a következő két egyenetet: N f 0 N F Rugamas peremérték feaat megoási mószerei: Kétfée közeítő ejárást küönböztetünk meg: Emozuási mószer: oyan közeítő megoást eőáító mószer ameyben az esőeges ismereten mező a kinematikaiag ehetséges emozuás mező. Erő mószer: oyan közeítő megoást eőáító mószer ameyben az esőeges ismereten mező a statikaiag ehetséges feszütség mező. Jeen tantárgy keretében az emozuási mószerre fogakozunk. A közeítő megoás eőáításához oyan evre van szükségünk amey egy aott függvénytérbő a ehető egjobb közeítésse szogá a megoás vonatkozásában. A bemutatásra kerüő két ev a vizsgát tartományon értemezett azaz integrá értemű megfogamazást akamaz. Ezen két ev a virtuáis munka ev variációs aakja és a potenciáis energia minimum ev.

2 .1. A virtuáis munka evének variációs aakja egyimenziós esetben A virtuáis munka ev származtatása az eső feaatra szükségessé teszi két további efiníciónak a feaatunknak megfeeő megfogamazását: Virtuáis emozuás mező: két küönböző kinematikaiag ehetséges emozuás mező küönbségét virtuáis emozuás mezőnek nevezzük. Rövien: u u u 1 Tuajonságai: foytonos eegenően sokszor ifferenciáható kinematikai peremen értéke nua. Emozuás mező variációja: a tényeges emozuásmező és annak eég kis környezetében evő kinematikaiag ehetséges emozuásmező küönbsége. A virtuáis emozuássa megegyező móon Rövien: u u u u -va jeöjük. Tuajonságai: foytonos eegenően sokszor ifferenciáható kinematikai peremen értéke nua. Megjegyzés: a virtuáis emozuás mező és az emozuás variációja megegyezik ha a tényeges mező közveten környezetében a tényeges emozuás mezőre vonatkozó virtuáis emozuás mező eegenően kicsiny. u u u u 1. ábra: Az emozuás mező variációja Emozuás mező variációja és a virtuáis emozuás mező is renekeznek a már fent emített tuajonságokka azaz: foytonos eegenően sokszor ifferenciáható kinematikai peremen értéke nua. Vagyis fennának a következő összefüggések: u u0 0

3 A virtuáis munka ev variációs aakjának evezetése 1D-s esetben: y f Ag. ábra: Húzott-nyomott prizmatikus rúfeaat egy imenziós moeje Szorozzuk meg az egyensúyi egyenetet u virtuáis emozuás mezőve és integrájuk 0 - tó -ig. N N N f 0 / u f u 0 / u f u 0 v ' u Parciáis integráás: u u u u v N N v Fehasznáva az egyenet: F e ' uv uv uv ' 0 u uv u v uv uv uv u v un N uf ' ' u un N uf 0 0 Figyeembe véve a peremfetéteeket azaz u 0 0 u N u F átrenezés után:

4 u N u N 0u 0 N uf 0 F u megkapjuk a virtuáis munka ev variációs aakját: u F u uf N A tényeges megoásná a beső erők virtuáis munkája megegyezik a küső erők virtuáis munkájáva. Tényeges megoás esetén tejesünek azon fetéteek ameyekke az emozuásmező variációja és a virtuáis emozuásmező is renekeznek.

5 Rugamas peremérték feaat gyenge aakjának evezetése: Szorozzuk meg az egyensúyi egyenetet u virtuáis emozuás mezőve és integrájuk 0 - tó -ig. N f 0 / u N f u 0 /... N u f u 0 0 Megjegyzés: Parciáis integráás: eriváatan mennyiségek szorzatábó kivonjuk a kiszámított mennyiségek szorzatának integráját aho: u u u u v N N v Fehasznáva az egyenet: u un N uf 0 0 Figyeembe véve a peremfetéteeket azaz u 0 0 u N u F átrenezés után: F u u N u N 0u 0 N uf 0 megkapjuk a virtuáis munka ev variációs aakját: u F u uf N Ez utóbbi egyenetbe az anyagtörvényt peremérték feaat gyenge aakját nyerjük: u u F u uf A E u beheyettesítve a rugamas N A E A E Ezen egyenet igen fontos az emozuásra aapozott közeítő megoások így a végeseemes megoások eőáítása szempontjábó. A gyenge aakra aapozott közeítő megoás tuajonságai:

6 az emozuás mezőnek kinematikaiag ehetségesnek ke ennie a kapott megoás integrá érteemben kieégíti az egyensúyi egyenetet és a inamikai peremfetétet. Matematikai kitérő Variációszámítás aapgonoata: f az f függvény variációja azaz f etérés az f függvénytő. Tekintsük a következő függvényt ietve annak variációját. f f 0 y f u f a ( a b b heyen nincs etérés) fa fb a b Funkcioná: oyan eképezés ameyné a J f (funkcioná) értemezési tartománya az f függvények hamaza a J f értékkészete a vaós számok hamaza. b Funkcioná: J f F f f ' aho F f f ' aott ismert kifejezés. a Funkcioná variációja: J f funkcionában evő f függvény heyére heyettesítsük be: f függvényt aho vaós paraméter. Így küönböző értékeire küönböző a J f funkcionába heyettesített függvényeket kapunk. Fejtsük Tayor-sorba a J f f funkcionát az f körü úgy mintha az f egy vátozó enne az f peig f egy kis megvátozása aho f konstans: J f f J f f J f f J f f A sorfejtésben szerepő tagokat/erivátakat szokás n-e renű vagy Gateau-fée iránymenti erivátaknak is nevezni. n n Jee: D J f f J n f f 0 A J f funkcioná esőrenű Gateau-fée erivátját a funkcioná f szerinti eső variációjának nevezzük. DJ f f J f f im J f f J f 0 0 A másoik variáció Gateau szerinti értemezése:

7 D J f f J f f 0 Cé: a funkcioná szésőértékét keressük. (Az egzakt megoástó ehetséges egkisebb etérést keressük azaz aho a funkcionának minimuma esz. ) Peremfetéteek: f a fa f b fb (ezek a mi esetünkben/rugamasságtani peremérték feaat megoásáná inamikai peremfetéteeknek feenek meg). Feaat: az f függvényhamazbó annak az f0 függvénynek a megkeresése ameyre JF funkcioná szésőértéket a. Megoás: Variációszámítás szerint a funkcionáok szésőértékének fetéteei: J 0 minimum esetén J 0 maimum esetén J 0. A variációt formáisan a erivááshoz hasonóan ke képezni e a variáció nem hey hanem küönböző paraméterek szerint ifferenciá a variáció/vátoztatás során a peremfetétet minig ki ke eégíteni. Péáu az emozuás mező Az ifferenciája: u u u u y z y z u u... c c variációja: u c 1 c f függvény ifferenciája: 1 f f f f... c c variációja: f c 1 c 1