Matematikai segédlet
|
|
- Csaba Péter
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematikai segéet Takács Gábor 5. ecember 5.. Legenre-poinomok A Legenre-fée ifferenciáegyenet x P.. Megoás hatványsor aakban + νν + P Mive az egyenet másorenű, két ineárisan függeten megoása étezik. Keressük a [, ] intervaumon reguáris megoásokat a következő aakban: Beheyettesítve: P x x α n c n x n { α + nα + n cn x α+n [α + nα + n + νν + ] } c n x α+n n Együtthatók: Ezért x α : αα c x α : αα + c x α+j : α + j + α + j + c j+ [α + jα + j + νν + ]c j j N c j+ α + jα + j + νν + c j α + j + α + j + és vagy csak páros, vagy csak páratan hatványok forunak eő. Két eset van: c : α vagy α c : α vagy α A másoik ehetőség min a két esetben paritást vát, a függeten esetek tehát az α váasztássa eőának: jj + νν + c j+ c j j + j + Mive c j+ c j ha j
2 minkét sor ivergá x -ben, kivéve, ha véges sok tag után terminának. Ez akkor ehetséges, ha ν N és ekkor paritásátó függően a páros vagy a páratan sor terminá. Ezt a megoást a következőképpen normájuk: P és -efokú Legenre poinomnak nevezzük, jee P x Megjegyzés: az r, θ, φ gömbi koorinátákban feírt Lapace-egyenet megoásakor az x jeentése x cos θ Az x ± pontokbei reguaritás megköveteése azt jeenti, hogy a megoási tartomány a θ poárszögben a tejes [, π] intervaum. Amennyiben ez nem követemény p. a csúcshatás tárgyaásáná, megengehető, hogy tetszőeges vaós szám egyen, vaamint ha egyik pontban sem szükséges a reguaritás, akkor minkét ineárisan függeten megoás szóba jöhet iyenkor a megoások nem poinomok. Az paraméter anaitikusan akár a kompex síkra is kiterjeszthető. Mive az egyenetnek szimmetriája, ezért az paraméter funamentáis tartománya.. Ortogonaitás A Legenre poinomok ortogonáisak: és ˆ ˆ ˆ ˆ P x Re x P x + + P x P x x P x + + P xp x P x [ + + ] x P x P x x P x ˆ P P + + P xp x + + P xp x azaz ˆ P xp x Mive minen x n hatvány eőá a Legenre poinomok ineáris kombinációjaként, ezért egyben tejes függvényrenszert is akotnak. Ráaásu mive az x n hatványt náa nem nagyobb fokú Legenre-poinomokka ehet kifejezni, ezért ˆ x n P x > n
3 azaz a Legenre-poinomok pont az eemi hatványokbó Gram-Schmit ortogonaizációva képzett bázis a [, ] intervaumon négyzetesen integráható függvények terében. Normájuk ezeket a függvényeket a P fetétee..3. Rorigues formua A fentiekbő következik a Rorigues formua: P x! x Bizonyítás: eőször is -szeres parciáis integráássa ˆ + x n x > n tehát minenképpen igaz, hogy P x x mive utóbbi egy -efokú poinom, ami minen náa kisebb fokszámú poinomra ortogonáis a [, ] intervaumon. Expicit számítássa eenőrizhető, hogy! x x Bizonyítás:! x x! x x + x n! n x n n x + n n x Ebbő csak az n tag a járuékot x -né, azaz! x x! x + x! x +!.4. Generátorfüggvény x A Lapace-egyenet átaános megoása azimutáis szimmetria esetén x Φr, θ A r + B r P cos θ A Gx, x x x 3
4 is megoja a Lapace egyenetet ha x x : x x x Legyen x e z és x r <, ekkor az r -ban vett reguaritás miatt B és azaz t cos θ jeöésse és a t pontban x e z A x P cos θ A r P t tr + r r A r A Átjeöve a vátozókat, ezze beáttuk, hogy a Legenre poinomok generátorfüggvénye.5. Normáás Most már csak t P x xt + t N ˆ ke. Inujunk ki a generátorfüggvénybő: xt + t Minkét oat integráva Eemi integráássa Fehasznáva. hogy aóik, hogy ˆ ˆ P x t k t P xp k x k xt + t N k t k k xt + t t og + t t og t og + t N k t k k t n n n n tn n n k k + tk azaz a Legenre-poinomok tejes ortogonaitási reációja ˆ P xp x + δ 4
5 .6. Függvények kifejtése Legyen f egy a [, ] intervaumon négyzetesen integráható függvény. Ekkor fx c P x aho c + ˆ + P xfx. Asszociát Legenre függvények Az asszociát Legenre-egyenet x P + aho kihasznáva az egyenet szimmetriáját a transzformációra, egyen ν... Szinguáris pontok [νν + m ν ν x Ennek az egyenetnek x ± szinguáris pontjai. Átírva a vátozót és a megoást x ξ ξ ξ ξ ξp ξ ξ + [ νν + ξ ξ m ] P P x ξ α n c n ξ n ] P 3 aakban keresve α ± m aóik. Ebbő csak a pozitív eője efogaható a reguaritás miatt. Ezek szerint P x x m/ ha x. Ugyanez a gonoatmenet heyettesítésse azt aja, hogy ha x. x + ξ P x + x m/ 5
6 .. Ansatz és rekurzió Ezért keressük a megoást a következő aakban: P x x m/ px 4 Legyen m > és fejtsük ki a p függvényt: px n c n x n Ekkor azt kapjuk, hogy [ nn x n mm + + n + m νν + x n] c n azaz n c n+ mm + + n + m νν + c n n + n + Ez a rekurzió m -ra visszaaja -t, ahogy ez e is várható. Megint van egy páros és egy páratan megoás, ameyek egymástó függetenek. A reguaritáshoz x ±-ben megint az ke, hogy a sor termináójon; ez akkor történik meg, ha a fenti rekurzióban a számáó, ami két esetben ehetséges: n m ν n ν m Ekkor a másoik ehetőség vezethet terminááshoz, amihez az ke, hogy ν N és m Ekkor a megfeeő paritású hatványokbó áó px egy m-e fokú poinom..3. Megoás eőáítása a Legenre-poinomokka Expicit beheyettesítésse eenőrizhető, hogy a P m x x m/ m P x m megoja az asszociát Legenre-egyenetet. Bizonyítás: ifferenciájuk e a Legenre-egyenetet m-szer m m x P + + P azaz p m x m P m x m m x p m x x P x xp + + P x +m P mx+m +m x P +m x mm P m m x x +m P +m x P mxm m x + + P m m x ami egy m-efokú poinom megoja az m + x pm x + [ + mm + ] p m x 6
7 egyenetet. Másfeő a 4 Ansatzot az asszociát Legenre-egyenetbe heyettesítve az aóik, hogy az ott szerepő px függvény megoja az x px m + x px egyenetet. Ebbő következik, hogy a normáást egynek váasztva px p m x m P m x + [ + mm + ] px 5 hiszen a rekurzió szerint a 5 egyenetnek normáás erejéig egyeten oyan megoása van, ami m-efokú poinom..4. Kiterjesztés m < -ra P m x x m/ m P x x m/ m! +m x Ez kiterjeszthető arra az esetre, ha m. Azonban mive 3 csak m -et tartamazza, P m x és P m x ugyanazt az asszociát Legenre-egyenetet oja meg, aminek tujuk, hogy normáás erejéig csak egy véges fokú poinom megoása van. Ezért ez a két függvény nem ehet függeten egymástó; köztük fenná a P m m m! x + m! P m x reáció. Bizonyítás: mive nem ehetnek függetenek, ezért P m x c m P m x és csak c m értéke a kéréses. Ez az egyenet kiírva azaz m +m +m x m/! m x c m x m/! +m x m m x c m x m +m +m x A két oaon a egmagasabb fokú tag együtthatója meg ke egyezzen: m m x c m x m +m +m x és itt már expicite e tujuk végezni a eriváást:... + m + x +m c m m... m + x +m azaz amibő az áítás következik.! + m! c m m! m! 7
8 .5. Az asszociát Legenre-függvények aapvető tuajonságai. P m x P x. P m x, m >. Ez egyszerűen következik abbó, hogy P m x x m/ m P x x m/ m! és egy -efokú poinom -né magasabb erivátja nua. 3. Ortogonaitás ˆ + P m xp m x +m +m x ha. A bizonyítás ugyanúgy megy, ahogy a P Legenre poinomokná áttuk. 4. Normáás ˆ + Bizonyítás: Ezt beírjuk az integrá aá ˆ + P m m + m! m! P m xp m x + + m! m! P m m + m! x m! P m x xp m x ˆ + m! m x +m! +m x Most m-szer parciáisan integráunk, a kiintegrát rész a határon minig : + m! m! ˆ + ˆ + + m! P x m! + m! + m!! x! x Ennek következménye 3. Gömbfüggvények ˆ + P m xp m x + + m! m! δ 3.. Definíció + m! Y m θ, φ 4π + m! P m cos θe imφ 8
9 3.. Ortonormátság ˆ Bizonyítás: azaz Fehasznáva, hogy ΩY m θ, φ Y m θ, φ δ δ mm Ω sin θθφ cos θφ ˆ ΩY m θ, φ Y m θ, φ ˆ + m! + m! ˆ π P m 4π + m! 4π + m xp m! x ˆ π φe im m φ azt kapjuk, hogy ˆ ΩY m θ, φ Y m θ, φ + m! 4π + m! + m! 4π + m! φe im m φ πδ mm ˆ + m! 4π + m! πδ mm + m! 4π + m! πδ mm P m xp m x + m! + m! δ 3.3. Tejesség δ δ mm Ha aott a gömbfeüeten egy fθ, φ négyzetesen integráható függvény, azaz ˆ Ω fθ, φ < akkor kifejthető gömbfüggvények szerint fθ, φ f m m f m Y m θ, φ m ˆ ΩY m θ, φ fθ, φ Ez mit is jeent? m ˆ fθ, φ Ω Y m θ, φy m θ, φ fθ, φ m ˆ ˆ cos θ m φ Y m θ, φy m θ, φ fθ, φ m azaz m Y m θ, φy m θ, φ δcos θ cos θ δφ φ m Ez fejezi ki azt, hogy a gömbfüggvények renszere tejes. 9
10 3.4. Aíciós téte P cos γ 4π + m Y mθ, φ Y m θ, φ aho γ a θ, φ és a θ, φ poárszögekke jeemzett irányok közötti szög. 4. Besse-függvények A Besse-fée ifferenciáegyenet J x + x J x + ν Jx 4.. Hatványsor megoás x Jx x α n c n x n α ±ν c k 4kk + α c k c k A megoást feírhatjuk a gamma-függvény Γx segítségéve. A stanar inuó normáás ekkor t t x e t Γx + xγx ΓxΓ x π sin πx Γn n! n Z + a k a Ha ν / N, akkor a két függeten megoás α Γα + k k+α k!γk + α + J ν x J ν x ν k ν k k k k!γk + ν + k k 6 k!γk ν + ezek a sorok minen x C-re abszoút konvergensek. Azonban, ha ν m N J m x m J m x
11 Ezt úgy ojuk meg, hogy efiniájuk a Neumann-függvényt N ν x J νx cos πν J ν x sin πν J ν és N ν minig bázist akot; N ν -nek akkor is van imesze, ha ν m Z. A Besse-egyenet megoásának egy másik bázisát aják az ún. Hanke-függvények Az összes iyen függvényre igaz, hogy H ν, x J ν x ± in ν x Ω ν x + Ω ν+ x ν x Ω νx Ω ν x Ω ν+ x Ω νx aho Ω ehet J, N vagy H,. Bizonyítás: a 6 sorbó expicit számítássa átható, hogy xν J ν x x ν J ν x x ν J ν x x ν J ν+ x Evégezve a eriváást a fenti formuákban kapjuk, hogy azaz A két egyenetet összeava és kivonva ν x J νx + J νx J ν x ν x J νx + J νx J ν+ x J ν x ν x J νx + J νx J ν+ x ν x J νx J νx J ν x + J ν+ x ν x J νx J ν x J ν+ x J νx innen peig N ν és H ν, efinícióját hasznáva ez utóbbiakra is következik az áítás. A Besse-függvények eőáíthatók a következő integráa: J ν x Bizonyítás: fejtsük sorba az exponenciáist ν ˆ + t ν / e ixt t ν > / πγ ν + ν ˆ + t ν / ixt n t πγ ν + n! n ix n ν ˆ + t ν / t n t n! πγ ν + n
12 A ˆ + t ν / t n t integrá, ha n páratan. Ha peig n s, akkor Ugyanakkor és Γ/ π, ezért ˆ + Ezt beírva, az integráunk t ν / t s t ˆ + ˆ + t ν / t s t u ν / u s / t Γν + /Γs + / Γs + ν + Γs + / s + /s /.../Γ/ Γs + / s! π s s! ν ˆ + ν t ν / e ixt s s t πγ ν + s!γs + ν + s J ν x Expicit számoássa átható továbbá, hogy aho J ν x N ν x γ im n ν Γν + { π og x + γ ν ν ν n k Γν π x k og n az Euer-Mascheroni áanó. Nagy x-re peig J ν x x πx cos νπ π 4 N ν x x πx sin νπ π 4 Ez utóbbit a móosított Besse-függvények segítségéve igazojuk. 4.. Móosított Besse-egyenet Y x + x Y x + ν Y x Ennek megoásai a móosított Besse-függvények I ±ν x, aho I ν x ν k i ν J ν ix x k k!γk + ν +
13 aho, ha ν nem egész, akkor a következőképpen ke érteni a kompex hatványt: i ν e i π ν Ha ν m egész, akkor I m I m és a másik függeten megoás K m x im ν m K ν x K ν x π I ν x I ν x sin νπ Expicit számoássa N ν és H ν efinícióját hasznáva átható, hogy itt a kompex hatvány értéke Ezekre a függvényekre a rekurziós reációk K ν x π iν+ H ν ix i ν+ e i π ν+ xν I ν x x ν I ν x x ν I ν x x ν I ν+ x ν x I νx + I νx I ν x ν x I νx + I νx I ν+ x ietve I ν x I ν+ x ν x I νx I ν x + I ν+ x I νx xν K ν x x ν K ν x x ν K ν x x ν K ν+ x ν x K νx + K νx K ν x ν x K νx + K νx K ν+ x K ν x K ν+ x ν x K νx K ν x + K ν+ x K νx bizonyítás mint J-re. Az I n móosított Besse-függvényekre átvihető a J n Besse-függvények integrá eőáítása: I ν x i ν J ν ix ν ˆ + t ν / e xt t x >, ν > / πγ ν + 3
14 Másrészt igazoható, hogy π K ν x Γ ν t ν / e xt t x >, ν > / ν + Ez utóbbit úgy tujuk beátni, hogy megmutatjuk, hogy P ν x x ν t ν / e xt t kieégíti a móosított Besse-egyenetet: ezért x P ν x + xp νx + ν P ν x [ x ν+ xt ν+/ n + ] tt ν / e xt t x ν+ Nagy és pozitív x-re heyettesítsünk [ t ν+/ e xt] t t P ν x A ν I ν x + B ν K ν x ekkor t + u x ν / u P ν x x ν+ x + u e x u u x ν / ˆ u x ν+ e x + u ν / u x x ν / e u u ν / ˆ x ν+ e x u ν / e u u x ν / e x x / e x Tehát Γν + /x ν+ x P ν x x Mive I n x hatványsorában az összes együttható pozitív, ezért I n x a végteenhez tart, ha x. Ebbő következik, hogy A ν, azaz P ν x B ν K ν x B ν onnan számítható ki, hogy megnézzük a két oa visekeését x körü. Ekkor ismét a heyettesítést hasznáva t + u x P ν x x ν t ν / e xt t ν / u x ν+ x + u e x u u x x ν e x + x ν / u ν e u u u x ν u ν e u u Γνx ν 4
15 Másrészt I n hatványsorát és K n efinícióját hasznáva ezért tehát De ezért K ν x Γνν x ν B ν Γν Γν ν Γν ν π ΓνΓν + / B ν ν π Γν + / Tehát K ν x B ν P ν x π Γ ν t ν / e xt t ν A Besse-függvények aszimptotikus visekeése Fehasznáva, hogy nagy x-re P ν x Γν + /x ν+ x ν / e x azt kapjuk, hogy Viszont ezért nagy x-re Viszont K ν x π x e x K ν x π iν+ H ν ix H ν x πx eix ν+/π/ J ν x Re H ν x K ν x Im H ν x ezért nagy x-re J ν x N ν x x πx cos νπ π 4 x πx sin νπ π 4 5
16 4.4. Néhány hasznos integráformua móosított Besse-függvényekke. A Cserenkov-sugárzás kiszámításáná hasznájuk, hogy e isx s s + K t és a fentiekben kiszámot aszimptotikus visekeést: π K x e x + O/x x. A szinkrotron sugárzás kiszámításakor fehasznátuk az [ x sin x 3 ξ + 3 ] x3 [ cos 3 ξ összefüggéseket. 3 K /3 x x + 3 x3 ] 3 K /3 x 3. A szinkrotron sugárzás spektrumának frekvencia szerinti kiintegráásához peig a következő formua jön jó: πγ +α x α K ν x Γ +α ν Γ +α + ν 4Γ + α aho Re α + ν > és pontosabban ennek α esete: Re α ν > ξξ K ν ξ π 4ν 3 cos πν aho Re ν < 3 amibő a frekvenciaintegrááshoz szükséges formuák a következők: 4.5. A Besse-függvények gyökei A egyenetnek végteen sok megoása van: ξξ K /3 ξ 5π 44 ξξ K /3 ξ 7π 44 J ν x x νn n,,... J ν aszimptotikáját fehasznáva, az origótó távo fekvő gyökök értéke x νn nπ + ν π 6
17 4.6. Egy fontos integrá Amennyiben akkor J ν ξa Eőször is J n megoja a Besse-egyenetet, ezért x [J ν ξx] a [J ν+ξa] így azaz ahonnan x J νξx + x J νξx + ξ x ν J ν ξx J νξx x x J νξx J νξx + x J νξx + ξ x ν J ν ξx + ξ x ν J ν ξx ξ xj ν ξx ξ xj ν ξx x J νξx + ξ x ν J ν ξx ξ xj ν ξx a J νξx + ξ a ν J ν ξa xa + ν J ν Na most egyfeő nemnegatív ν-re másfeő így Viszont νj ν J ν ξa xj ν ξx ξ a J νξx xa J ν+ x ν x J νx J νx ahonnan azaz Innen ξj ν+ ξx ν x J νξx J νξx J νξx ν xa a J νξa ξj ν+ ξa ξj ν+ ξa x [J ν ξx] a [J ν+ξa] 7
18 4.7. A Besse-függvények ortogonaitása ρ ρ J νx νn ρ/a + ρ ρ Jx νnρ/a + ρ ρ ρ ρ Jx νnρ/a + x ρ νn a ν x ρ νn a ν J ν x νn ρ/a J ν x νn ρ/a Szorozzuk ezt be ρ Jx νn ρ/a-va, integrájuk ki és integrájunk parciáisan az eső tagban: [ ] [ ] ρρ ρ Jx νnρ/a ρ Jx νn ρ/a + ρρ J ν x νn ρ/a x ρ νn a ν J ν x νn ρ/a Cseréjük meg n-et és n -t: + A két egyenetet egymásbó kivonva [ ] [ ] ρρ ρ Jx νn ρ/a ρ Jx νnρ/a ρρ ρ J ν x νn ρ/a x νn a ν J ν x νn ρ/a a x νn x νn ρρj ν x νn ρ/aj ν x νn ρ/a amibő az eőbb igazot formuát fehasznáva kapjuk, hogy ρρj ν x νn ρ/aj ν x νn ρ/a a [J ν+x νn ] δ nn 4.8. Besse-Fourier sor és tejesség Bármey ν-re, a J ν x νn ρ/a n N függvények tejes ortogonáis renszert akotnak a [, a] intervaumon. négyzetesen integráható az ρρ fρ < érteemben, akkor f feírható fρ f n J ν x νn ρ/a n Ha egy f függvény aakban, aho az ortogonaitási reációt fehasznáva Tehát azaz fρ n f n [J ν+ x νn a] ρ ρ n ρρj ν x νn ρ/afρ [J ν+ x νn ] J νx νn ρ/aj ν x νn ρ /afρ [J ν+ x νn ] J νx νn ρ/aj ν x νn ρ /a ρ δρ ρ 8
19 4.9. Hanke transzformáció Ha végteen féegyenest veszünk, azaz a akkor a x νn a huámszámok besűrűsönek és foytonossá vának a és között; egyen az ennek megfeeő vátozó jee k. Ekkor az ortogonaitási reáció határesete a következő aakú esz: Ha f-re igaz, hogy véges, akkor a következő aakba írható: aho az F ν k Hanke-transzformát ρρj ν kρj ν k ρ k δk k fρ F ν k ρρ / fρ k kf ν kj ν kρ ρ ρfρj ν kρ Ez a Fourier transzformáció megfeeője a féegyenesen, és minen ν > / esetére efiniát. 9
Kiegészítő jegyzet a gömbfüggvényekhez és a Bessel-függvényekhez
Kiegészítő jegyzet a gömbfüggvényekhez és a Bessel-függvényekhez Takács Gábor 3. április 8.. Legendre-polinomok A Legendre-féle differenciálegyenlet d x dp.. Megoldás hatványsor alakban +νν +P Mivel az
Részletesebben2. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) II. előadás
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kiogozta: Szüe Veronika egy. ts.) II. eőaás. Közeítő megoások energiaevek: Összetett rugamas peremérték feaat
RészletesebbenSÍKBELI KERINGŐMOZGÁS SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS
SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS Időtő függeten Schrödinger-egyenet két dimenziós körmozgásra: h V E 8π m x y R V x ha x y R ha x y R Poárkoordináták: SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS x y rcos r sin r x x r x r y y r y r x
Részletesebben+ magasabb rend½u tagok. x=x0
Variációs módszer Ebben a fejezetben a kvantummechanikában már megismert variációs mószert eevenítjük fe. Ez az ejárás küönösen fnts szerepet töt be a mekua zikában, mive több aapvet½ közeítés ezen aapu
Részletesebben2002. október 29. normalizáltjai eloszlásban a normális eloszláshoz konvergálnak, hanem azt is, hogy a
A Vaószínűségszámítás II. eőadássorozat hetedik eőadása. 2002. október 29. Határeoszástéteek függeten vektor értékű vaószínűségi vátozókra. Hangsúyoztuk, hogy a Lindeberg fée centráis határeoszástéte nemcsak
Részletesebben2. Közelítő megoldások, energiaelvek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 3. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, egy. ts.) III. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.. A tejes otenciáis energia
RészletesebbenELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége:
ELLENŐRZŐ ÉRDÉSE LENGÉSNBÓL: Átaáno kérdéek: Mik a engőrendzer eemei?: engőrendzer eemei: a tömeg(ek), a rugó(k), ietve a ciapítá(ok). Mi a rugóáandó?: rugóáandó a rugó egyégnyi terheé aatti aakvátozáát
RészletesebbenTevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a teljes potenciális energia értelmezését! Írja fel és tanulja meg a külső erőrendszer potenciálját!
tejes potenciáis energia minimuma ev Ovassa e a bekedést! Jegyee meg a tejes potenciáis energia értemeését! Írja fe és tanuja meg a küső erőrendser potenciáját! tejes potenciáis energia minimuma ev konervatív
RészletesebbenNagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év
XI. Erdéyi Tudományos Diákköri Konferencia Matematika szekció Ponceet záródási tétee Szerző Nagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év Témavezető Dr. András Sziárd, adjunktus BBTE, MIK, Differenciáegyenetek
RészletesebbenParabola - közelítés. A megoszló terhelés intenzitásának felvételéről. 1. ábra
Paraboa - közeítés A kötéstatikáva aktívan fogakozó Ovasónak az aábbiak ismétésnek tűnhetnek vagy nem Hosszabb tanakoás után úgy öntöttem, hogy a nem tejesen nyivánvaó ogokró éremes ehet szót ejteni Iyennek
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebbenu u IR n n = 2 3 t 0 <t T
IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenA befogott tartóvég erőtani vizsgálatához III. rész
A befogott tartóvég erőtani vizsgáatához III. rész Az I. részben a befogott gerendavéget merevnek, a tehereoszást ineáris függvény szerintinek vettük. A II. részben a befogott gerendavéget rugamasan deformáhatónak,
RészletesebbenHOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? I.
bi eredmények aapján ezze együtt is egfejebb néhány ezred naptömeget kapnánk a por mennyiségére, ami továbbra is jóva kisebb az eméeti tanumányokban prognosztizát tömegekné Tanumányunk összességében azt
RészletesebbenREZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus. 17. feladat: Kéttámaszú tartó (rúd) hajlító rezgései (kontinuum modell)
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidogota: Dr. Nagy Zotán egyetemi adjunktu 7. feadat: Kéttámaú tartó (rúd) hajító regéei (kontinuum mode) y v( t ) K = 8m E ρai
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
RészletesebbenREZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK REZGÉSTAN GYAKORLAT Kdogozt: r. Ngy Zotán egyetem djunktus 4. fedt: Mndkét végén efzott rúd ongtudnás rezgése (kontnuum mode) A, ρ, E Adott: mndkét
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenBeugró kérdések. Elektrodinamika 2. vizsgához. Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Beugró kérdések Elektrodinamika 2. vizsgához. Görbült koordináták Henger koordináták: r=(ρ cos φ, ρ sin φ, z) Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenMechanikailag deformált grafén optikai vezetőképessége
Tudományos Diákköri Dogozat Mechanikaiag deformát grafén optikai vezetőképessége Könye Viktor Témavezetők: Dr. Cserti József Széchenyi Gábor Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kompex
RészletesebbenCastigliano- és Betti-tételek összefoglalása, kidolgozott példa
Castigiano- és Betti-téteek összefogaása, kidogozott péda Készítette: Dr. Kossa Attia kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék Frissítve: 15. január 8. Az aakvátozási energiasűrűség számítása egy
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
Részletesebben2. Közelítő megoldások, energiaelvek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 4. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) IV. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.4. Ritz-módszer,.4.. Lineáris
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 5 III. Trigonometrius egyenete Azoat az egyeneteet és egyentenségeet, ameyeben az ismereten vaamiyen szögfüggvénye szerepe, trigonometrius
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenAszimptotikus Analízis
Nemes Gergő Aszimptotikus Analízis B. Sc. szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem. május 3. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar B. Sc. szakdolgozat Aszimptotikus Analízis Szerző: Nemes
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba
Kvatummechaika gyakorlo felaatok - Megolások felaat: z eltolás operátoráak megtalálásával teljese aalóg móo fejtsük Taylor-sorba a hullámfüggvéyt a változójába: ψr θ ϕ + ϕ ψr θ ϕ + ψr θ ϕ ϕ + ψr θ ϕ ϕ
RészletesebbenHarmonikus rezgőmozgás
Haronikus rezgőozgás (Vázat). A rezgőozgás fogaa. Rezgőozgás eírását segítő ennyiségek 3. Kapcsoat az egyenetes körozgás és a haronikus rezgőozgás között 4. A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenHárom erő egyensúlya kéttámaszú tartó
dott: z 1. ábr szerinti kéttámszú trtó. Három erő egyensúy kéttámszú trtó 1. ábr Keresett: ~ rekcióerők vektor, szerkesztésse és számításs, z ábbi dtok esetén ; ~ speciáis esetek tgás. dtok: F = 10,0 kn;
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenM M b tg c tg, Mókuslesen
Mókusesen A két egyforma magas fiú Ottó és András a sík terepen áó fenyőfa törzsén fefeé mászó mókust figyei oyan messzirő ahonnan nézve a mókus már csak egy pontnak átszik ára ára Amikor a mókus az M
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebben+ - kondenzátor. Elektromos áram
Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Részletesebben4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények
4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények Igazolásában, Út az Algebrai Számelmélet felé 4.1. Maradékosztálygyűrűk egységcsoportjai szerkezete. Jelölés. Tetszőleges n > 1 egészre jelölje U n a Z n maradékosztálygyűrű
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenPontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
RészletesebbenA tapasztalat szerint a Faraday-féle indukciótörvény alakja a nyugalmi indukcióra: d U o Φ
4 Nyuami indukció Faraday-fée indukció törvény, interáis és differenciáis aak Szoenoid tekercs önindukciós eyütthatója Máneses mező eneriája és eneriasűrűsée Huroktörvény átaánosítása eyeten hurok esetében
RészletesebbenMakromolekulák fizikája
Makomoekuák fizikája Bevezetés Az egyedi ánc moekuaméet, áncmode a konfomációt befoyásoó tényezők eoszások Poime odatok köcsönhatások eegyedés fázisegyensúy Moekuatömeg meghatáozás fagyáspontcsökkenés
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenHidrogénszerű atomi részecskék. Hidrogénszerű atomi részecskék
Hidrogénzerű rézeckék páyáinak radiái fuámfüggvénye: páya radiái uámfüggvény p 3 3p 3d Zr Zr Rn, ( r) Nn, r exp Ln radiái uámfüggvény na na R ( Z / a ) exp( Zr / a ) 3, R ( Z / a ) ( Zr / a )exp( Zr /
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenBÉKÉSCSABA MEGYE1 JOGÚ VÁROS. Békéscsaba, Szent István tér 7.
BÉKÉSCSABA MEGYE1 JOGÚ VÁROS ALPOLGÁRMESTERÉTŐL Békéscsaba, Szent István tér 7. Ik!. sz.: V.449120fO. Eőadó: Túriné Kovács Márta Tarné dr. Maatyinszki Anita, Nagy Árpád Me.: f Hiv. sz: Postacím: 5601 Pf
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenHőterjedési formák. Dr. Seres István. Fizika I. Hőterjedés. Seres István 1
Dr. Seres István Hőterjedés Seres István http://fft.szie.hu HŐAN Hő terjedési formák: hőáramás hővezetés hősugárzás Seres István http://fft.szie.hu HŐAN Hőáramás Miért az abak eé rakják a radiátort? Miért
RészletesebbenKét példa lineárisan változó keresztmetszetű rúd húzása
Két péda ineárisan vátozó keresztmetszetű rúd húzása Eőző dogozatnkban meynek címe: Hámos rúd húzása szintén egy vátozó keresztmetszetű, egyenes tengeyű, végein P nagyságú erőve húzott rúd esetét vizs
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenSzittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24
Hányféleképpen válthatom föl a pénzemet? Szittyai István Németh László Gimnázium, Hódmezővásárhely 2012. december 8. SZTE Bolyai Intézet Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók 2012.12.08, Bolyai, Szeged
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Egydimenziós, rugalmas, peremérték feladat:
SZÉCHNYI ISTVÁN GYTM ALKALMAZOTT MCHANIKA TANSZÉK 1. MCHANIKA-VÉGSLM MÓDSZR LŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) Bevezető: A számítógépes mérnöki tervező rendszerek szinte mindegike tartamaz végeseem
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenOktatási Hivatal. A 2012/2013. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő fordulójának megoldása. I. kategória
Oktatási Hivata A 2012/2013. tanévi FIZIKA Országos Középiskoai Tanumányi Verseny döntő forduójának megodása I. kategória ELTE Anyagfizikai Tanszék Budapest, 2013 ápriis 13. Forgó hengerekre heyezett rúd
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Részletesebben1. Feladatok rugalmas és rugalmatlan ütközések tárgyköréből
1. Feadatok rugamas és rugamatan ütközések tárgykörébő Impuzustéte, impuzusmegmaradás törvénye 1.1. Feadat: Egy m = 4 kg tömegű kaapács v 0 = 6 m/s sebességge érkezik a szög fejéhez és t = 0,002 s aatt
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenÁ ü ü Á Á Á ü Á ű ű ű Ö ü ü ü ü ü ü ü ű É É É É Ö Á ű ű ű Á ű ű Á ű Ö Í ű ü ü ü ü Í ü Í Ü Ö ü Ü ü ű ű Ö Ö Ü ü ü ű ü Í ü ü ü Ő Ő Ü ü Í ű Ó ü ű Ú ü ü ü ü ü Ö ü Ű Á Á ű É ü ü ü ü ű ü ü ü ű Ö Á Í Ú ü Ö Í Ö
Részletesebben18/1997. (IV.29.) sz. önkor.mányzati rendelete
Budapest Kőbányai Önkor.mányzat 18/1997. (IV.29.) sz. önkor.mányzati rendeete a Budapest X. ker., Mag1ódi út - Bodza u. - Sörgyár u. - Kada utca áta határot terüet R-35973 tt.számú Részetes Rendezési Tervérő
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben