Szittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24"

Átírás

1 Hányféleképpen válthatom föl a pénzemet? Szittyai István Németh László Gimnázium, Hódmezővásárhely december 8. SZTE Bolyai Intézet Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24

2 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

3 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

4 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

5 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

6 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

7 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = egy 5-ös: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség: 5 = ; 5 = ; 5 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

8 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = egy 5-ös: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség: 5 = ; 5 = ; 5 = egy sem: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

9 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = egy 5-ös: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség: 5 = ; 5 = ; 5 = egy sem: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet sem: 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

10 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

11 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

12 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

13 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

14 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

15 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség ha nullát: 20 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 11 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

16 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség ha nullát: 20 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 11 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

17 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség ha nullát: 20 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 11 lehetőség Ez összesen 40 lehetőség. (HF: fölsorolni az összeset! :) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

18 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

19 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Egy n pozitív egész szám partícióján egy n = a 1 + a a k előálĺıtást értünk, ahol az összeadandók pozitívak, sorrendjük lényegtelen és egy szám többször is szerepelhet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

20 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Egy n pozitív egész szám partícióján egy n = a 1 + a a k előálĺıtást értünk, ahol az összeadandók pozitívak, sorrendjük lényegtelen és egy szám többször is szerepelhet. Általában nemnövekvő sorrend, pl. 12 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

21 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Egy n pozitív egész szám partícióján egy n = a 1 + a a k előálĺıtást értünk, ahol az összeadandók pozitívak, sorrendjük lényegtelen és egy szám többször is szerepelhet. Általában nemnövekvő sorrend, pl. 12 = Sok helyen előfordulhatnak! (számítástudomány, fizika, genetika, stb.) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

22 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

23 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

24 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

25 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

26 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

27 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

28 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

29 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

30 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

31 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 n 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

32 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 n 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

33 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 = 2 n 1 n 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

34 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 = 2 n 1 n 1 miért lehet lényeges a sorrend egy összegben?? pl. ha egyforma dolgokat kapunk, nem mindegy, ki kap, ki nem és ki mennyit kap! Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

35 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

36 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

37 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Nem nehéz megmutatni, hogy p(n) F (n), az n. Fibonacci szám Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

38 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Nem nehéz megmutatni, hogy p(n) F (n), az n. Fibonacci szám Euler évekig foglalkozott vele, egyik legszebb eredménye: p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

39 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Nem nehéz megmutatni, hogy p(n) F (n), az n. Fibonacci szám Euler évekig foglalkozott vele, egyik legszebb eredménye: p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +... De partitione numerorum, Szentpétervári Akadémia, 1750 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

40 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

41 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

42 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

43 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

44 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

45 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = = = = =... 7 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

46 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = = = = = = = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

47 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = = = = = = = = = Néhány további érték: p(10) = 42, p(20) = 627, p(100) = , p(200) = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

48 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

49 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

50 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

51 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

52 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: vagy 12 = ? konjugált diagramok, konjugálás. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

53 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: vagy 12 = ? konjugált diagramok, konjugálás. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

54 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: vagy 12 = ? konjugált diagramok, konjugálás. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

55 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: vagy 12 = ? konjugált diagramok, konjugálás. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

56 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: vagy 12 = ? konjugált diagramok, konjugálás. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

57 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: vagy 12 = ? konjugált diagramok, konjugálás. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

58 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagramok n = 8-ig Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 9 / 24

59 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

60 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

61 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

62 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

63 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

64 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) 6 Nyilván p(n 1) = 1, mennyi a p(n 2) értéke? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

65 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) 6 Nyilván p(n 1) = 1, mennyi a p(n 2) értéke? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

66 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) 6 Nyilván p(n 1) = 1, mennyi a p(n 2) értéke? n Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

67 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

68 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

69 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

70 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

71 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

72 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

73 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

74 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es x = (x 2 ) 2 2 db 2-es Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

75 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es x = (x 2 ) 2 2 db 2-es x 4... = (x 4 ) 1 1 db 4-es 4 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

76 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es x = (x 2 ) 2 2 db 2-es x 4... = (x 4 ) 1 1 db 4-es 4 De! Végtelen sok tényező, mindegyikben végtelen sok tag... :-( Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

77 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

78 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

79 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 1 x 1 1 x x 3... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

80 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 1 x 1 1 x x 3... = Nevező? (végtelen sok tényező, de mind kéttagú!) = 1 (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

81 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

82 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

83 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Mitől függ a megmaradó tagok előjele? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

84 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Mitől függ a megmaradó tagok előjele? ±x n annyiszor fordul elő, ahányféleképpen n kül. tagokra partícionálható Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

85 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Mitől függ a megmaradó tagok előjele? ±x n annyiszor fordul elő, ahányféleképpen n kül. tagokra partícionálható páros számú tényező poz. előjel; ptlan számú tényező neg. előjel Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

86 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Ötszögszámok Ötszögszámok és általánosított ötszögszámok: k(3k 1), k N 2 k(3k ± 1), k N 2 1, 5, 12, 22, 35, 51,... illetve 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57,... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 14 / 24

87 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Ötszögszámok Ötszögszámok és általánosított ötszögszámok: k(3k 1), k N 2 k(3k ± 1), k N 2 1, 5, 12, 22, 35, 51,... illetve 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57,... (HF: vezessük le a képletet!) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 14 / 24

88 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Euler ötszögtétele Theorem Az ált. ötszögszámok kivételével minden n szám ugyanannyiféleképpen partícionálható páros számú, mint páratlan számú tagra. Az ötszögszámok esetén a különbség ±1, mégpedig 1, ha k páros és 1, ha k páratlan. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 15 / 24

89 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Euler ötszögtétele Theorem Az ált. ötszögszámok kivételével minden n szám ugyanannyiféleképpen partícionálható páros számú, mint páratlan számú tagra. Az ötszögszámok esetén a különbség ±1, mégpedig 1, ha k páros és 1, ha k páratlan. Corollary Az Euler-féle hatványsorban csak azok a hatványok nem tűnnek el, amelyeknek kitevője ált. ötszögszám. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 15 / 24

90 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = 1 (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

91 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3... ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... ) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

92 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3... ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... ) = 1 ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x x 2 + x 5 + x 7 x 12 x ) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

93 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3... ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... ) = 1 ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x x 2 + x 5 + x 7 x 12 x ) = 1 Az azonos kitevőjű hatványok együtthatói egyenlők, ebből: p(n) p(n 1) p(n 2) + p(n 5) + p(n 7)... (... + ( 1) k p n k(3k 1 ) ( + ( 1) k p n k(3k + 1 )... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

94 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

95 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

96 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

97 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

98 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

99 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 p(0) 1+p(3) ( 1)+p(4) ( 1)+p(5) = 0 p(5) = p(4)+p(3) p(0) = 7 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

100 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 p(0) 1+p(3) ( 1)+p(4) ( 1)+p(5) = 0 p(5) = p(4)+p(3) p(0) = 7 Theorem (Euler) p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +...(?) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

101 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 p(0) 1+p(3) ( 1)+p(4) ( 1)+p(5) = 0 p(5) = p(4)+p(3) p(0) = 7 Theorem (Euler) p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +...(?) Hatékony algoritmus: n 1,5 -nel arányos a kiszámítási ideje. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

102 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Leonhard Euler ( ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 18 / 24

103 Képletek és egyebek A HR-formula A KÉPLET Theorem (Hardy-Ramanujan; Rademacher) ( p(n) = 1 π A k (n) k d sinh π k 2 dx ahol k=1 A k (n) = (h;k)=1 0 h k ( x 1 24 ) (x 1 24 ω h,k e 2πinh/k ) ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 19 / 24

104 Képletek és egyebek A HR-formula A KÉPLET Theorem (Hardy-Ramanujan; Rademacher) ( p(n) = 1 π A k (n) k d sinh π k 2 dx ahol k=1 A k (n) = Csúnya, de legalább gyors! :-) (h;k)=1 0 h k ( x 1 24 ) (x 1 24 ω h,k e 2πinh/k ) ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 19 / 24

105 Képletek és egyebek A HR-formula A KÉPLET Theorem (Hardy-Ramanujan; Rademacher) ( p(n) = 1 π A k (n) k d sinh π k 2 dx ahol k=1 A k (n) = (h;k)=1 0 h k ( x 1 24 ) (x 1 24 ω h,k e 2πinh/k ) ) Csúnya, de legalább gyors! :-) Bizonyítás: (Hans Rademacher, 1937) 12 oldal... (komplex függvénytannal és egyéb szépségekkel:) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 19 / 24

106 Képletek és egyebek A HR-formula G.H.Hardy ( ) és S.A.Ramanujan( ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 20 / 24

107 Képletek és egyebek A HR-formula G.H.Hardy ( ) és S.A.Ramanujan( ) The Man Who Loved Numbers Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 20 / 24

108 Képletek és egyebek A HR-formula G.H.Hardy ( ) és S.A.Ramanujan( ) The Man Who Loved Numbers Turán Pál: Egy különös életút, Ramanujan, I. rész, II.rész, Középiskolai Matematikai Lapok, 27(1977), 49-54, Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 20 / 24

109 Képletek és egyebek Aszimptotika Monotonitás, korlátosság, határértékek Theorem p(n) < p(n + 1) < 2p(n) és p(n) < F (n) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 21 / 24

110 Képletek és egyebek Aszimptotika Monotonitás, korlátosság, határértékek Theorem p(n) < p(n + 1) < 2p(n) és p(n) < F (n) Theorem lim n p(n+1) p(n) = 1 és lim n (p(n + 1) p(n)) = (hasonlóan, mint pl. az a n = n k sorozat(ok).) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 21 / 24

111 Képletek és egyebek Aszimptotika Monotonitás, korlátosság, határértékek Theorem p(n) < p(n + 1) < 2p(n) és p(n) < F (n) Theorem lim n p(n+1) p(n) = 1 és lim n (p(n + 1) p(n)) = (hasonlóan, mint pl. az a n = n k sorozat(ok).) Theorem lim n n p(n) = 1 Összehasonĺıtás: (aranymetszés) lim n n F (n) = τ( 1, 618) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 21 / 24

112 Képletek és egyebek Aszimptotika 2. Aszimptotikus formula Definition (aszimptotikus egyenlőség) a(n) b(n) ha a(n) b(n) 1 midőn n Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 22 / 24

113 Képletek és egyebek Aszimptotika 2. Aszimptotikus formula Definition (aszimptotikus egyenlőség) a(n) b(n) ha a(n) b(n) 1 midőn n Example (Stirling-formula; prímek száma) ( n ) n n! 2nπ π(x) x e ln x Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 22 / 24

114 Képletek és egyebek Aszimptotika 2. Aszimptotikus formula Definition (aszimptotikus egyenlőség) a(n) b(n) ha a(n) b(n) 1 midőn n Example (Stirling-formula; prímek száma) ( n ) n n! 2nπ π(x) x e ln x Theorem (Hardy-Ramanujan) (szubexponenciális :-) p(n) eπ 2n/3 4n 3 n = 100-ra 0, , de n = re már 0, Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 22 / 24

115 Függelék Irodalom Fölhasznált és ajánlott irodalom I G. E. Andrews, K. Eriksson Integer Partitions Cambridge University Press, P. Hajnal Összeszámlálási alapfeladatok Polygon Jegyzettár, N. J. Vilenkin Kombinatorika Műszaki Könyvkiadó, és persze internetes források, pl. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 23 / 24

116 Függelék Irodalom KÖSZÖNÖM A FIGYELMET! Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 24 / 24

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok

Bevezetés az algebrába az egész számok Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók

Részletesebben

Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk

Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi tavasz Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20.

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása 4. szakkör, 2004. október. 20. Az órai feladatok megoldása Most csak három önmagában nem nehéz feladatot kapsz, és a feladatot magadnak kell általánosítani, szisztematikusan adatot gyűjteni, általános

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

SZTE TTIK Bolyai Intézet

SZTE TTIK Bolyai Intézet Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,

Részletesebben

A híres Riemann-sejtés

A híres Riemann-sejtés A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz 205. 04. 8. A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok

Részletesebben

Hajnal Péter. Bolyai Intézet, TTIK, SZTE, Szeged április 8.

Hajnal Péter. Bolyai Intézet, TTIK, SZTE, Szeged április 8. Fibonacci- számok és tányérok Hajnal Péter Bolyai Intézet, TTIK, SZTE, Szeged 2017. április 8. A Fibonacci-sorozat A Fibonacci-sorozat Rekurzív definíció F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2. A Fibonacci-sorozat

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

2. Rekurzió. = 2P2(n,n) 2 < 2P2(n,n) 1

2. Rekurzió. = 2P2(n,n) 2 < 2P2(n,n) 1 2. Rekurzió Egy objektum definícióját rekurzívnak nevezünk, ha a definíció tartalmazza a definiálandó objektumot. Egy P eljárást (vagy függvényt) rekurzívnak nevezünk, ha P utasításrészében előfordul magának

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást? 1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Waldhauser Tamás december 1.

Waldhauser Tamás december 1. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba

Részletesebben

Fibonacci számok. Dinamikus programozással

Fibonacci számok. Dinamikus programozással Fibonacci számok Fibonacci 1202-ben vetette fel a kérdést: hány nyúlpár születik n év múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van; minden nyúlpár, amikor szaporodik

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák

Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali). 1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

Kombinatorikai algoritmusok. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)

Kombinatorikai algoritmusok. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika

Részletesebben

Kombinatorikai algoritmusok

Kombinatorikai algoritmusok Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával,

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

KÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT évfolyam

KÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT évfolyam Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz

Részletesebben

Adatszerkezetek II. 10. előadás

Adatszerkezetek II. 10. előadás Adatszerkezetek II. 10. előadás Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31 Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat

Teljes függvényvizsgálat Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes

Részletesebben

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 = 4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)

Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! n * n 1! ha n 0 1 ha n 0 Fibonacci-számok Fib n 0 ha n 0 1 ha n 1 Fib n 1 Fib n 2 ha n 1 A

Részletesebben

Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok

Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok SOROZATOK Alapok Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok. 1, 1, 2, 3, 5,. 1,4,7,10,.. 1, 2,4,8,16,32,.(Sakktábla és búza története) 1, ½,1/3,

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás. (Horváth Gyula előadása alapján)

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás. (Horváth Gyula előadása alapján) Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás (Horváth Gyula előadása alapján) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! Fibonacci-számok Fib n A rekurzió lényege: önhivatkozás n * n 1! ha n 0 1

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.

24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.

Részletesebben

A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban.

A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 206. február. A két birodalom. Kapcsolat Mezopotámiával a 4. évezred

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2

Részletesebben

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév Kezdők III. kategória I. forduló

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév Kezdők III. kategória I. forduló Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév Kezdők I II. kategória II. forduló Kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy kört

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

CSAHÓCZI ERZSÉBET CSATÁR KATALIN KOVÁCS CSONGORNÉ MORVAI ÉVA SZÉPLAKI GYÖRGYNÉ SZEREDI ÉVA: MATEMATIKA 7.

CSAHÓCZI ERZSÉBET CSATÁR KATALIN KOVÁCS CSONGORNÉ MORVAI ÉVA SZÉPLAKI GYÖRGYNÉ SZEREDI ÉVA: MATEMATIKA 7. Pedagógusképzés támogatása TÁMOP-3.1.5/12-2012-0001 CSAHÓCZI ERZSÉBET CSATÁR KATALIN KOVÁCS CSONGORNÉ MORVAI ÉVA SZÉPLAKI GYÖRGYNÉ SZEREDI ÉVA: MATEMATIKA 7. TANKÖNYVISMERTETŐ TÓTFALUSI MIKLÓS Csahóczi

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Algoritmusok Tervezése. 1. Előadás MATLAB 1. Dr. Bécsi Tamás

Algoritmusok Tervezése. 1. Előadás MATLAB 1. Dr. Bécsi Tamás Algoritmusok Tervezése 1. Előadás MATLAB 1. Dr. Bécsi Tamás Tárgy adatok Előadó: Bécsi Tamás, St 106, becsi.tamas@mail.bme.hu Előadás:2, Labor:2 Kredit:5 Félévközi jegy 2 db Zh 1 hallgatói feladat A félév

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A k valós paraméter értékétől függően

Részletesebben

MATLAB OKTATÁS 1. ELŐADÁS ALAPOK. Dr. Bécsi Tamás Hegedüs Ferenc

MATLAB OKTATÁS 1. ELŐADÁS ALAPOK. Dr. Bécsi Tamás Hegedüs Ferenc MATLAB OKTATÁS 1. ELŐADÁS ALAPOK Dr. Bécsi Tamás Hegedüs Ferenc BEVEZETŐ A Matlab egy sokoldalú matematikai programcsomag, amely a mérnöki számításokat egyszerusíti le. (A Matlab neve a MATrix és a LABoratory

Részletesebben

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ; . A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások

Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások BBTE, Magyar Matematika es Informatika Intézet Tegezek Meghatározás Egy Q tegez egy irányított multigráf (két csomópont között több irányított él is

Részletesebben

2018, Diszkrét matematika

2018, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 3. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: természetes

Részletesebben

5. feladatsor megoldása

5. feladatsor megoldása megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.

Részletesebben

Gyakorló feladatok az 1. nagy zárthelyire

Gyakorló feladatok az 1. nagy zárthelyire Gyakorló feladatok az 1. nagy zárthelyire 2012. október 7. 1. Egyszerű, bevezető feladatok 1. Kérjen be a felhasználótól egy sugarat. Írja ki az adott sugarú kör kerületét illetve területét! (Elegendő

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

4. előadás Prímek, tökéletes számok, Fermat-teszt, pszeudoprímek

4. előadás Prímek, tökéletes számok, Fermat-teszt, pszeudoprímek 4. előadás Prímek, tökéletes számok, Fermat-teszt, pszeudoprímek Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom A prímek száma és elhelyezkedése A nagy prímszámtétel Reciprokösszegek Eratoszthenész szitája Próbaosztásos

Részletesebben

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR

Részletesebben