Kombinatorikai algoritmusok
|
|
- Emil Orosz
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
2 Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik (Wikipedia) Tipikus kombinatorikai feladatok: részhalmazok képzése összes felsorolása partícionálás céljából halmazfelbontás adott tulajdonságú (pl. adott számosságú) megadása 2/54
3 Kombinatorikai algoritmusok Tipikus kombinatorikai feladatok: halmazok számosságának a meghatározása halmazok (~sorozatok) felsorolása összes eleme halmazok (~sorozatok) valamely elemének generálása egy eleme szabályos sorrend szerinti i. elem adottra következő, előző véletlen elem 3/54
4 Kombinatorikai algoritmusok Kombinatorikai feladattípusok: permutációk (ismétlés nélküli, ismétléses) kombinációk (ismétlés nélküli, ismétléses) variációk (ismétlés nélküli, ismétléses) részhalmazok diszjunkt felbontások (N elemű halmaz diszjunkt felbontásai K halmazra, vagy természetes számra: N=x 1 + x k, ahol x i 0) partíciók (N elemű halmaz diszjunkt felbontásai, vagy természetes számra: N=x 1 + x m, ahol x i >0) 4/54
5 Ismétlés nélküli kombinációk Ismert képlet: az elemszám kiszámítása N K K! Rekurzív definíció 1: N elemből K elem választása az első elemet választjuk, majd még N-1 elemből választunk K-1 elemet. vagy az első elemet nem választjuk és a maradék N-1 elemből választunk K elemet. B(N,K)=B(N-1,K-1)+B(N-1,K). N! N K! K N N K N K N K /54
6 az elemszám kiszámítása Ismétlés nélküli kombinációk B(N,K): Ha K=0 vagy K=N akkor B:=1 különben B:=B(N-1,K-1)+B(N-1,K) Függvény vége. De táblázatkitöltéssel hatékonyabb! Binom(N,K): Szélek feltöltése Ciklus i=1-től N-ig Ciklus j=1-től i-ig B(i,j):=B(i-1,j-1)+B(i-1,j) Eljárás vége. 6/54
7 az elemszám kiszámítása Ismétlés nélküli kombinációk Rekurzív definíció 2: N elemből K elem választása először kiválasztunk K-1 elemet, majd a maradék N-K+1 elemből kell egyet választani (de így minden kombináció pontosan K-féleképpen áll elő), tehát jön még egy K-val osztás B(N,K)=B(N,K-1)*(N-K+1)/K 7/54
8 az elemszám kiszámítása Ismétlés nélküli kombinációk B(N,K): Ha K=0 akkor B:=1 különben B:=B(N,K-1)*(N-K+1)/K Függvény vége. Táblázatkitöltéssel lényegében nem hatékonyabb! Binom(N,K): B(0):=1 Ciklus i=1-től N-ig B(i):=B(i-1)*(N-i+1)/i Függvény vége. 8/54
9 az elemszám kiszámítása Elsőfajú Euler számok E(n,k) az első n természetes szám azon permutációi száma, ahol pontosan k emelkedés van (emelkedés van az i-edik helyen, ha x i <x i+1 ). n-1 elem összes olyan permutációja, ahol pontosan k növekedés van: az n-edik számot a sorozat elejére vagy egy emelkedésbe tesszük; n-1 elem összes olyan permutációja, ahol pontosan k-1 emelkedés van: n-edik elemet a sorozat végére vagy egy nem emelkedő helyre tesszük. E n, k k 1 E n 1, k n k E n 1, k 1 9/54
10 az elemszám kiszámítása Másodfajú Euler számok E(n,k) az {1,1,2,2,,n,n} sorozat olyan permutációi száma, amelyekben tetszőleges m szám két előfordulása között csak náluk nagyobb szám fordulhat elő és pontosan k emelkedő részsorozata van. Vegyük észre, hogy amikor áttérünk n-1-ről n-re, akkor a két n-edik számot csak egymás mellé szúrhatjuk be! 10/54
11 az elemszám kiszámítása Másodfajú Euler számok n-1 elem összes olyan permutációja, ahol pontosan k növekedés van: az n-edik számpárt a sorozat elejére vagy egy emelkedésbe tesszük; n-1 elem összes olyan permutációja, ahol pontosan k-1 emelkedés van: n-edik számpárt a sorozat végére vagy egy nem emelkedő helyre tesszük (ebből 2*n-1-k van). E n, k k 1 E n, k 1 2n 1 k E n 1, k 1 11/54
12 az elemszám kiszámítása n\k Zsakó László: Kombinatorika :46 12/54
13 az elemszám kiszámítása Ismétlés nélküli permutációk száma megszorítással minden elem a sorszám szerinti helyétől legfeljebb egyet távolodhat el Amikor a permutációk előállításában az I. elemnél tartunk, akkor két döntési lehetőségünk van: az I marad a helyén, majd permutációk I+1-től, az I+1 és az I helyet cserél, majd permutációk I+2-től. Permszám(X,n): Ha n<2 akkor Permszám:=n különben Permszám:=Permszám(n-1)+ Permszám(n-2) Eljárás vége. 13/54
14 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció Backtrack: i (1 i n): j (1 j<i): X j X i Összes ismétlés nélküli kombináció Backtrack: i (1 i k): j (1 j<i): X j <X i Összes ismétléses kombináció Backtrack: i (1 i k): j (1 j<i): X j X i Összes partíció Olyan K-jegyű számok, ahol a számjegyek összege pontosan N. Összes diszjunkt felbontás N felbontása pozitív (>0) számok összegére. 14/54
15 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció N-1 N 1,2,3,,N-1,N 1,2,3,,N,N-1 N,1,2,3,,N-1 N,N-1,,3,2,1 15/54
16 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció ciklussal Permutációk(N): i:=1; X():=(0,,0) Ciklus amíg i 0 és i N Ha vanjóeset(i,van,j) akkor Ha i=n akkor Kiír: X különben X(i):=j; i:=i+1 különben X(i):=0; i:=i-1 Eljárás vége. 16/54
17 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció ciklussal vanjóeset(i,van,j): j:=x(i)+1 Ciklus amíg j N és rossz(i,j) j:=j+1 van:=j N Eljárás vége. 17/54
18 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció ciklussal rossz(i,j): k:=1 Ciklus amíg k<i és j X(k) k:=k+1 rossz:=k<i Eljárás vége. 18/54
19 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció rekurzív backtrack Az összes olyan szám-n-es előállítása visszalépéses kereséssel, ahol i j x i x j Perm(i,n,X,db,Y): Ha i=n+1 akkor db:=db+1; Y(db):=X különben Ciklus j=1-től n-ig Ha nem Rossz(i,j) akkor X(i):=j; Perm(i+1,n,X,Db,Y) Eljárás vége. 19/54
20 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció rekurzív backtrack Rossz(i,j): k:=1 Ciklus amíg k<i és X(k) j k:=k+1 Rossz:=(k<i) Függvény vége. 20/54
21 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció rekurzívan Ha N-1 elem összes permutációja kész, akkor szúrjuk be az N-et minden lehetséges helyre, mindegyikbe! Permutáció(x,i,n): Ha i>n akkor Ki: x különben x(i):=i; Permutáció(x,i+1,n) Ciklus j=i-1-től 1-ig -1-esével Csere(x(j),x(j+1)) Permutáció(x,i+1,n) Eljárás vége. 21/54
22 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció megszorítással Az 1,,n sorozat összes olyan permutációját állítsuk elő, ahol minden elem maximum 1 hellyel mozdul el a helyéről, azaz i-1 X(i) i+1! A backtrack-es megoldást könnyű módosítani: Ciklus j=1-től n-ig helyett Ciklus j=i-1-től i+1-ig kell a programba! A rekurzív megoldást ezzel szemben újra kell gondolni! 22/54
23 az összes előállítása Összes ismétlés nélküli permutáció megszorítással Amikor a permutációk előállításában az I. elemnél tartunk, akkor két döntési lehetőségünk van: az I marad a helyén, majd permutációk I+1-től, az I+1 és az I helyet cserél, majd permutációk I+2-től. Permutáció(X,i,n): Ha i>n akkor Ki: X különben X(i):=i; Permutációk(X,i+1,n) Ha i<n akkor X(i):=i+1; X(i+1):=i Permutációk(X,i+2,n) Eljárás vége. 23/54
24 Feladat: Az összes permutáció alkalmazása Jól ismert fejtörő, amelyben egy aritmetikai művelet kapcsol egybe szavakat. A feladat az, hogy a szavak egyes betűinek feleltessünk meg egy számjegyet úgy, hogy a művelet helyes eredményt szolgáltasson a szavakon. Pl. SEND + MORE = MONEY. Megoldás: A szavakban előforduló jelekhez (SENDMORY) keressük a 0..9 számjegyek egyértelmű hozzárendelését. 24/54
25 Az összes permutáció alkalmazása 1. megoldási ötlet ( algebrai hozzáállás ): D+E=Y, N+R=E, M=1 D+E=10+Y, N+R+1=E, M=1 2. megoldási ötlet: Az összes permutáció algoritmusára építünk. A Jó eljárás ellenőrzi a permutáció a feladat szempontjából való helyességét, és gondoskodik az esetleges megoldás gyűjtéséről vagy kiírásáról. 25/54
26 Az összes permutáció alkalmazása A megfelelőség a (*) SEND + MORE MONEY = 0 egyenletre. Ha 'S X(1) értékű, akkor a (*)-ban X(1) *1000-rel van jelen; 'E' X(2) értékű, akkor X(2)*( )=X(2)*91-gyel; 'N' X(3) értékű, akkor X(3)*(10-100)= X(3)*(-90)-nel; 'D' X(4) értékű, akkor X(4)*(1)-gyel; 'M' X(5) értékű, akkor X(5)*( )=X(5)*(-9000)-rel; 'O' X(6) értékű, akkor X(6)*( )= X(6)*(-900)-zal; 'R' X(7) értékű, akkor X(7)*10-zel; 'Y' X(8) értékű, akkor X(8)*(-1)-gyel van jelen. továbbá az S és az M betűhöz nem rendelhetünk nullát, azaz X(1) 0 és X(5) 0! 26/54
27 Az összes permutáció alkalmazása Megoldás(i,n,X,db,Y): Ha i=n+1 és jó(x) akkor db:=db+1; Y(db):=X különben Ciklus j=0-tól 9-ig Ha nem Rossz(i,j) akkor X(i):=j; Megoldás(i+1,n,X,Db,Y) Eljárás vége. jó(x): jó:=(x(1) *1000+X(2)*91+X(3)*(-90)+X(4)*1+X(5)*(-9000)+ X(6)*(-900)+X(7)*10+X(8)*(-1)=0 és X(1) 0 és X(5) 0) Függvény vége. Ha a konstansokat egy Z vektorban tárolnánk, akkor a Jó függvényben X és Z skaláris szorzatát kellene kiszámolnunk. 27/54
28 Összes részhalmaz az összes előállítása Feleltessük meg a részhalmazokat kettes számrendszerbeli számoknak: {} {1} {2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} /54
29 az összes előállítása Összes részhalmaz (kettes számrendszerbeli számként) Részhalmazok(n,Y): Ciklus i=0-tól 2 n -1-ig k:=i Ciklus j=1-től n-ig X(j):=k mod 2; k:=k div 2 Y(i+1):=X Eljárás vége. 29/54
30 az összes előállítása Összes részhalmaz (részhalmazként) Részhalmazok(n,Y): Ciklus i=0-tól 2 n -1-ig X.db:=0 Ciklus j=1-től n-ig Ha k mod 2=1 akkor X.db:=X.db+1; X.t(X.db):=j k:=k div 2 Y(i+1):=X Eljárás vége. 30/54
31 Összes ismétléses variáció Feleltessük meg a variációkat N alapú számrendszerbeli K jegyű számoknak! 1,...,1, ,...,1, ,...,1,n (n-1) 1,...,2, ,...,2,n n,...,n,n az összes előállítása (n-1) (n-1)...(n-1) 31/54
32 az összes előállítása Összes ismétléses variáció Variációk(n,k,Y): Ciklus i=0-tól n k -1-ig m:=i Ciklus j=1-től n-ig X(j):=m mod n; m:=m div n Y(i+1):=X Eljárás vége. 32/54
33 Összes partíció Az N számot bontsuk fel az összes lehetséges módon K nemnegatív szám összegére! Felbontás(N): az összes előállítása X N X i, ahol X i 0 sorozatok halmaza, amelyek összege éppen N. A megoldások alakja: 1,x,,x 2,x,,x N,x,,x, azaz olyan X 33/54
34 az összes előállítása Összes partíció Felbontás(n,k,i,db,Y): Ciklus j=1-től n-1-ig X(i):=j; Felbontás(n-X(i),i+1) X(i):=n; X(i+1..k):=0 db:=db+1; Y(db):=X Eljárás vége. 34/54
35 Összes partíció Az N számot bontsuk fel az összes lehetséges módon K monoton csökkenő sorrendű nemnegatív szám összegére! Felbontás(N): az összes előállítása X N X i, ahol X i 0, azaz olyan X sorozatok halmaza, amelyek összege éppen N és. A megoldások alakja: 1,x,,x 2,x,,x N,x,,x X i X i 1 35/54
36 az összes előállítása Összes partíció Felbontás(n,k,i,db,Y): Ciklus j=1-től min(n-1,x(i-1))-ig X(i):=j; Felbontás(n-X(i),i+1) Ha X(i-1) n akkor X(i):=n; X(i+1..k):=0 db:=db+1; Y(db):=X Eljárás vége. 36/54
37 I-edik permutáció az I. előállítása Vegyük pl. a minimum-kiválasztásos rendezést! Jelentse F(j) a j-edik lépésbeli csere távolságát! Az F vektor alapján az eredeti sorrend visszaállítható! Minden i természetes számhoz (0 i<n!) különböző F vektor tartozik, az i szám felírása faktoriális számrendszerben. 37/54
38 Rendezés az I. előállítása Rendezés(n): Ciklusi=1-től n-ig min:=i Ciklus j=i+1-től n-ig Ha X(j)<X(min) akkor min:=j Csere(X(i),X(min)); Táv(i):=min-i Eljárás vége. 38/54
39 az I. előállítása Rendezés: a Táv vektor alapján az eredeti sorrend visszaállítható Rendezés vissza(n): Ciklus j=n-1-től 1-ig -1-esével Csere(x(j),x(j+Táv(j))) Eljárás vége. 39/54
40 A Táv vektor elemei: Táv(n-1) {0,1} Táv(n-2) {0,1,2} Táv(1) {0,1,,n-1} az I. előállítása Ez egy olyan n-1 számjegyből álló szám, amelynek helyiértékenként más a számrendszer alapszáma faktoriális számrendszer. 40/54
41 Az i-edik permutáció: az I. előállítása Az i felírása faktoriális számrendszerben, majd cserék. Permutáció(i,n): x:=(1,2,...,n); K:=2 Ciklus j=n-1-től 1-ig -1-esével t:=i mod K; i:=i div K Csere(x(j),x(j+t-1)) K:=K+1 Eljárás vége. Probléma: nem lexikografikus sorrend! 41/54
42 Az i-edik permutáció: az I. előállítása Tudjuk, hogy pontosan (n-1)! 1-gyel, 2-vel,... kezdődő permutáció van. Permutáció(i,n): x:=(1,2,...,n); i:=i-1; m:=n-1 Ciklus j=1-től n-1-ig k:=i div fakt(m); i:=i mod fakt(m) Eltol(j,k); m:=m-1 Eljárás vége. 42/54
43 Az i-edik permutáció, amelyben minden elem legfeljebb eggyel mozdulhatott el: Permutáció(i,n): m:=n-1; j:=1; Ciklus amíg j<n Ha i<fib(m) akkor x(j):=j; m:=m-1; j:=j+1 különben i:=i-fib(m); x(j):=j+1; x(j+1):=j m:=m-2; j:=j+2 Eljárás vége. az I. előállítása Tudjuk, hogy pontosan Fib(n-1) (1)-gyel, illetve Fib(n-2) (2,1)-gyel,... kezdődő ilyen permutáció van. 43/54
44 az I. előállítása Az i-edik ismétléses variáció: Az i felírása K alapú számrendszerben. Variáció(i,n,k): ciklus j=n-től 1-ig -1-esével x(j):=i mod k; i:=i div k ciklus vége Eljárás vége. 44/54
45 Az i-edik részhalmaz: az I. előállítása Az i felírása kettes számrendszerben. Részhalmaz(i,n): ciklus j=n-től 1-ig -1-esével x(j):=i mod 2; i:=i div 2 ciklus vége Eljárás vége. 45/54
46 Következő permutáció a következő előállítása X 1, X i, X i+1, X n rákövetkezője, ha X i+1, X n monoton csökkenő és X i <X i+1 : X 1, X i-1, a régi X i -nél nagyobbak közül a legkisebb, majd a többiek monoton növekvően. Példa: X X X X X X /54
47 Következő permutáció a következő előállítása Következő(P): i:=n Ciklus amíg i>0 és P(i)<P(i-1) S(i):=P(i); i:=i-1 Ha i>0 akkor 47/54
48 a következő előállítása Ha i>0 akkor j:=n Ciklus amíg P(j)<P(i) j:=j-1 S(j):=P(i); P(i):=P(j); j:=n Ciklus amíg i<n i:=i+1; P(i):=S(j); j:=j-1 Eljárás vége. 48/54
49 Előző permutáció a következő előállítása X 1, X i, X i+1, X n rákövetkezője, ha X i+1, X n monoton növekvő és X i >X i+1 : X 1, X i-1, a régi X i -nél kisebbek közül a legnagyobb, majd a többiek monoton csökkenően. Példa: X X X X X X /54
50 Előző permutáció a következő előállítása Következő(P): i:=n Ciklus amíg i>0 és P(i)>P(i-1) S(i):=P(i); i:=i-1 Ha i>0 akkor 50/54
51 a következő előállítása Ha i>0 akkor j:=n Ciklus amíg P(j)>P(i) j:=j-1 S(j):=P(i); P(i):=P(j); j:=n Ciklus amíg i<n i:=i+1; P(i):=S(j); j:=j-1 Eljárás vége. 51/54
52 HALADÓ!!!!! Kombinatorikai algoritmusok A binomiális együtthatók felhasználhatók számok speciális számrendszerben, az un. binomiális számrendszerben való felírására. Rögzített m esetén minden nemnegatív n szám egyértelműen felírható az alábbi formában: n a 1 1 a2 2 am... m a a... a m, ahol. 52/54
53 Kombinatorikai algoritmusok HALADÓ!!!!! A Zeckendorf tétel alapján minden természetes szám egyértelműen előállítható Fibonacci számok összegeként úgy, hogy n F F... F k 1 k ahol i 1 i r : k i k i 1 2, és k r 2. A Fibonacci számokat az alábbi képlettel számolhatjuk: F k F k 2 k r 0 ha k 0 1 ha k 1 1 Fk 2 ha k 1 53/54
54 Kombinatorikai algoritmusok előadás vége
Kombinatorikai algoritmusok. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával,
Adatszerkezetek II. 10. előadás
Adatszerkezetek II. 10. előadás Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik
Visszalépéses kiválogatás
elépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag Heizlerné akonyi iktória, Horváth Győző, Menyhárt László, Szlávi Péter, Törley Gábor, Zsakó László Szerkesztő: Abonyi-Tóth Andor, Zsakó László
Informatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: isszalépéses kiválogatás TÁMOP-4.2.3.-12/1/KON isszalépéses kiválogatás 1. Az összes lehetséges sorrend Sokszor előfordul feladatként,
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás Oszd meg és uralkodj! Több részfeladatra bontás, amelyek hasonlóan oldhatók meg, lépései: a triviális eset (amikor nincs rekurzív hívás) felosztás (megadjuk
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Informatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Rekurzió TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV 1. A faktoriális függvény A rekurzió, mint eszköz felbukkan specifikációs, algoritmikus, implementációs
Biomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Hatékonyság 1. előadás
Hatékonyság 1. előadás Mi a hatékonyság Bevezetés A hatékonyság helye a programkészítés folyamatában: csak HELYES programra Erőforrásigény: a felhasználó és a fejlesztő szempontjából A hatékonyság mérése
Felvételi tematika INFORMATIKA
Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.
Mohó stratégia. Feladat: Megoldás:
I. Feladat: Egy kábelhálózat különböző csatornáin N filmet játszanak. Ismerjük mindegyik film kezdési és végidejét. Egyszerre csak 1 filmet tudunk nézni. Add meg, hogy maximum hány filmet nézhetünk végig!
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
Visszalépéses maximumkiválasztás
Belépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag Visszalépéses maximumkiválasztás Heizlerné Bakonyi Viktória, Horváth Győző, Menyhárt László, Szlávi Péter, Törley Gábor, Zsakó László Szerkesztő:
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
Adatszerkezetek II. 6. előadás
Adatszerkezetek II. 6. előadás Feladat: Egy kábelhálózat különböző csatornáin N filmet játszanak. Ismerjük mindegyik film kezdési és végidejét. Egyszerre csak 1 filmet tudunk nézni. Add meg, hogy maximum
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása
1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június
Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.
9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2
Adatbázis és szoftverfejlesztés elmélet. Programozási tételek
Adatbázis és szoftverfejlesztés elmélet Témakör 8. 1. Egy sorozathoz egy érték hozzárendelése Az összegzés tétele Összefoglalás Programozási tételek Adott egy számsorozat. Számoljuk és írassuk ki az elemek
Közismereti informatika I. 4. előadás
Közismereti informatika I. 4. előadás Rendezések Bemenet: N: Egész, X: Tömb(1..N: Egész) Kimenet: X: Tömb(1..N: Egész) Előfeltétel: Utófeltétel: Rendezett(X) és X=permutáció(X ) Az eredmény a bemenet egy
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 1. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés 1. előadás Az algoritmus fogalma végrehajtható (van hozzá végre-hajtó) lépésenként hajtható végre a lépések maguk is algoritmusok pontosan definiált, adott végre-hajtási
Adatszerkezetek. Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések)
Adatszerkezetek Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések) Keresések A probléma általános megfogalmazása: Adott egy N elemű sorozat, keressük meg azt az elemet (határozzuk meg a helyét a sorozatban),
Backtrack-es feladat-variációk
Menyhárt László 1, Zsakó László 2 { 1 menyhart, 2 zsako }@caesar.elte.hu ELTE IK Absztrakt. Ezt a cikket olyan informatika tanároknak írtuk, akik az óráikon, házifeladatnak, esetleg versenyeken backtrack-es
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás. (Horváth Gyula előadása alapján)
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás (Horváth Gyula előadása alapján) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! Fibonacci-számok Fib n A rekurzió lényege: önhivatkozás n * n 1! ha n 0 1
Felvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga
BABEȘ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR A. tételsor (30 pont) Felvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga 1. (5p) Egy x biten tárolt egész adattípus (x szigorúan pozitív
ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK
ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK 1. FELADATMEGOLDÁS PROGRAMOZÁSI TÉTELEKKEL 1.1 A programozási tétel fogalma A programozási tételek típusalgoritmusok, amelyek alkalmazásával garantáltan helyes megoldást adhatunk
2015, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:
Multihalmaz, intervallumhalmaz
Multihalmaz, intervallumhalmaz Halmaz féleségek 1. Halmaz Gyümölcsök: {alma,körte,szilva,barack} 2. Multihalmaz Állatok: {(macska,4),(rigó,2),(galamb,3)} 3. Intervallumhalmaz diszjunkt Óráim: {[8-10],[13-14],[16-20)}
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
Számelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:
Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! n * n 1! ha n 0 1 ha n 0 Fibonacci-számok Fib n 0 ha n 0 1 ha n 1 Fib n 1 Fib n 2 ha n 1 A
Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény
Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény Király Balázs, Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2011 2 Lektor: Kátai Imre egyetemi tanár, az MTA rendes tagja Tartalomjegyzék Előszó 5 I. Jegyzet 7 I.1. Permutációk,
Bevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás Elágazás és korlátozás A backtrack alkalmas-e optimális megoldás keresésére? Van költség, és a legkisebb költségű megoldást szeretnénk előállítani. Van
NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
Rekurzív algoritmusok
Rekurzív algoritmusok 11. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. november 14. Sergyán (OE NIK) AAO 11 2011. november 14. 1 / 32 Rekurzív
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
A 2017/2018 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2017/2018 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai 1. feladat: Repülők (20 pont) INFORMATIKA II. (programozás) kategória Ismerünk városok közötti repülőjáratokat.
7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:
Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Feladatmegoldási stratégiák
Kumulatív összegzés Algoritmusok kumulatív összegzés Adott egy N elemű számsorozat, adjuk meg a sorozat azon [a,b] intervallumát, ahol az elemek összege maximális! Bemenet: N N, X N * Kimenet: a,b H *
4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =
4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió és iteráció Balrekurzió Ha az eljárás első utasításaként szerepel a rekurzív hívás, akkor a rekurzió lényegében az első nem
Rendezések. A rendezési probléma: Bemenet: Kimenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat
9. Előadás Rendezések A rendezési probléma: Bemenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat Kimenet: a bemenő sorozat olyan (a 1, a 2,,a n ) permutációja, hogy a 1 a 2 a n 2 Rendezések Általánosabban:
PROGRAMOZÁSI TÉTELEK
PROGRAMOZÁSI TÉTELEK Összegzés tétele Adott egy N elemű számsorozat: A(N). Számoljuk ki az elemek összegét! S:=0 Ciklus I=1-től N-ig S:=S+A(I) Megszámlálás tétele Adott egy N elemű sorozat és egy - a sorozat
24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc
Programozási tételek. Dr. Iványi Péter
Programozási tételek Dr. Iványi Péter 1 Programozási tételek A programozási tételek olyan általános algoritmusok, melyekkel programozás során gyakran találkozunk. Az algoritmusok általában számsorozatokkal,
Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Alkalmazott modul: Programozás. Programozási tételek, rendezések. Programozási tételek Algoritmusok és programozási tételek
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás, rendezések 2015 Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Algoritmusok és programozási tételek
Algoritmusok és adatszerkezetek I. 1. előadás
Algoritmusok és adatszerkezetek I 1 előadás Típusok osztályozása Összetettség (strukturáltság) szempontjából: elemi (vagy skalár, vagy strukturálatlan) összetett (más szóval strukturált) Strukturálási
Informatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Visszalépéses maximumkiválasztás TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV 1. Munkásfelvétel: N állás N jelentkező Egy vállalkozás N különböző állásra
Permutáció n = 3 esetében: Eredmény: permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation
Visszalépéses módszer (Backtracking) folytatás Permutáció n = 3 esetében: 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Eredmény: 3 2 3 1 2 1 123 132 213 231 312 321 permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation
Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
A 2016/2017 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2016/2017 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató INFORMATIKA II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a
VÉLETLEN PERMUTÁCIÓ ELŐÁLLÍTÁSA
VÉLETLEN PERMUTÁCIÓ ELŐÁLLÍTÁSA Az alábbi algoritmusban X(1..N) tömb elemeinek egy véletlen permutációját állítjuk elő. Természetesen elvárjuk, hogy a HalmazFelsorolás(X) előfeltétel teljesüljön. Talán
SZAMOKKAL Egy algoritmus generálja növekvő sorrendben, kizárólag a 3, 5 és 7 számjegyeket használva, az összes n számjegyű számot.
SZAMOKKAL 1. -16- Egy algoritmus generálja növekvő sorrendben, kizárólag a 3, 5 és 7 számjegyeket használva, az összes n számjegyű számot. Ha n=5 esetén az első 5 megoldás 33333, 33335, 33337, 33353, 33355,
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Problémamegoldási stratégiák
Problémamegoldási stratégiák Kumulatív összegzés Algoritmusok kumulatív összegzés Adott egy N elemű számsorozat, adjuk meg a sorozat azon [a,b] intervallumát, ahol az elemek összege maximális! Bemenet:
æ A GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek)
æ A3 6-7. GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek) 1. Az 1,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával hány különböző 5- jegyű szám készíthető? 2. A 0,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Algoritmizálás, adatmodellezés 1. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés 1. előadás Algoritmus-leíró eszközök Folyamatábra Irányított gráf, amely csomópontokból és őket összekötő élekből áll, egyetlen induló és befejező éle van, az induló élből
Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja
2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább
Fibonacci számok. Dinamikus programozással
Fibonacci számok Fibonacci 1202-ben vetette fel a kérdést: hány nyúlpár születik n év múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van; minden nyúlpár, amikor szaporodik
5. Rekurzió és iteráció (Rekurzív programok átírása nemrekurzívvá)
5. Rekurzió és iteráció (Rekurzív programok átírása nemrekurzívvá) Az elõzõekben megbarátkoztunk a rekurzióval, mint egy problémamegoldási stratégiával, sõt megvizsgáltunk néhány programozási nyelvet a
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
Összetett programozási tételek Rendezések Keresések PT egymásra építése. 10. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 10.
Összetett programozási tételek Sorozathoz sorozatot relő feladatokkal foglalkozunk. A bemenő sorozatot le kell másolni, s közben az elemekre vonatkozó átalakításokat lehet végezni rajta: Input : n N 0,
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Algoritmuselmélet 2. előadás
Algoritmuselmélet 2. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 12. ALGORITMUSELMÉLET 2. ELŐADÁS 1 Buborék-rendezés
Informatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Mohó stratégia 1. TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV Többféle feladat megoldási stratégia létezik. Közülük az egyik legegyszerűbb a mohó stratégia,
Negatív alapú számrendszerek
2015. március 4. Negatív számok Legyen b > 1 egy adott egész szám. Ekkor bármely N 0 egész szám egyértelműen felírható N = m a k b k k=1 alakban, ahol 0 a k < b egész szám. Negatív számok Legyen b > 1
9. előadás. Programozás-elmélet. Programozási tételek Elemi prog. Sorozatszámítás Eldöntés Kiválasztás Lin. keresés Megszámolás Maximum.
Programozási tételek Programozási feladatok megoldásakor a top-down (strukturált) programtervezés esetén három vezérlési szerkezetet használunk: - szekvencia - elágazás - ciklus Eddig megismertük az alábbi
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es?
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Alkalmazott modul: Programozás. Programozási tételek, rendezések Giachetta Roberto
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Programozási tételek, rendezések 2015 Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Algoritmusok
A 2015/2016 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal 2015/2016 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató INFORMTIK II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a dolgozatokat
Amortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
Bánsághi Anna 2014 Bánsághi Anna 1 of 68
IMPERATÍV PROGRAMOZÁS Bánsághi Anna anna.bansaghi@mamikon.net 3. ELŐADÁS - PROGRAMOZÁSI TÉTELEK 2014 Bánsághi Anna 1 of 68 TEMATIKA I. ALAPFOGALMAK, TUDOMÁNYTÖRTÉNET II. IMPERATÍV PROGRAMOZÁS Imperatív
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
INFORMATIKA javítókulcs 2016
INFORMATIKA javítókulcs 2016 ELMÉLETI TÉTEL: Járd körbe a tömb fogalmát (Pascal vagy C/C++): definíció, egy-, két-, több-dimenziós tömbök, kezdőértékadás definíciókor, tömb típusú paraméterek átadása alprogramoknak.
SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA
1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.
Rendezések. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar október 24.
Rendezések 8. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. október 24. Sergyán (OE NIK) AAO 08 2011. október 24. 1 / 1 Felhasznált irodalom
Bizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n.
Bizonyítási módszerek - megoldások 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha (a) 9 n 3 n (b) 4 n 2 n (c) 21 n 3 n (d) 21 n 7 n (e) 5 n 25 n (f) 4 n 16 n (g) 15 n (3 n 5 n) 9 n n = 9k = 3 3k