Rendezések. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar október 24.

Átírás

1 Rendezések 8. előadás Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar október 24. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

2 Felhasznált irodalom Szlávi Péter, Zsakó László: Módszeres programozás: Programozási tételek (Mikrológia 19). ELTE TTK, 2002 Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

3 Rendezési algoritmusok A rendezési algoritmusok alapfeladata egy N elemű sorozat nagyság szerinti sorba rendezése. Szükséges, hogy a sorozat elemei között értelmezhető legyen a < művelet. A rendezéseket általában helyben az eredeti sorozatban hajtjuk végre, így a rendezetlen sorozatot elveszítjük Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

4 Rendezések Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

5 Egyszerű cserés rendezés Alapötlet Hasonĺıtsuk össze a sorozat első elemét az összes őt követővel. Ha egy elem kisebb mint az első, akkor cseréljük meg őket. Így a sorozat első helyére a megfelelő (azaz legkisebb) elem kerül. Ezt követően ugyanezt tegyük meg a második elemmel, majd az összes következővel. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

6 Egyszerű cserés rendezés Algoritmus Rendezés(N,X ) Ciklus i := 1-től N 1-ig Ciklus j := i + 1-től N-ig Ha X [i] > X [j] akkor Csere(X [i],x [j]) Elágazás vége Ciklus vége Ciklus vége Eljárás vége Példa i = i = i = i = Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

7 Csere megvalósítása Két sorozatbeli elem megcseréléséhez szükséges egy plusz elem a sorozaton kívül, melynek típusa azonos a sorozat elemeinek típusával. Algoritmus Csere(X [i],x [j]) TEMP := X [i] X [i] := X [j] X [j] := TEMP Eljárás vége Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

8 Egyszerű cserés rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: N + 1 Hasonĺıtások száma: N(N 1) 2 Mozgatások száma: Legalább 0, legfeljebb 3 N(N 1) 2 Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

9 Rendezések összehasonĺıtása 30 elemű sorozatokat hasonĺıtottunk össze A majdnem rendezett sorozatban két elem nem volt a helyén. A fordítva rendezett sorozat csökkenő sorrendben volt rendezett. A véletlen sorozat az első 30 pozitív egész szám egy véletlen permutációja volt. Majdnem rendezett sorozat Fordítva rendezett sorozat Véletlen sorozat Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Egyszerű cserés Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

11 Minimumkiválasztásos rendezés Alapötlet Az Egyszerű cserés rendezés hibája, hogy általában túl sok cserét hajt végre annak érdekében, hogy az elemek a megfelelő helyre kerüljenek. Ezen javíthatunk, ha az aktuális elemet a mögötte állók minimumával cseréljük fel, ha egyáltalán kell cserélni. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

12 Minimumkiválasztásos rendezés Algoritmus Rendezés(N,X ) Ciklus i := 1-től N 1-ig MIN := i Ciklus j := i + 1-től N-ig Ha X [MIN] > X [j] akkor MIN := j Elágazás vége Ciklus vége Csere(X [i],x [MIN]) Ciklus vége Eljárás vége Példa i = i = i = i = Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

13 Minimumkiválasztásos rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: N + 1 N(N 1) Hasonĺıtások száma: 2 Mozgatások száma: 3 (N 1) A mozgatások száma akár több is lehet, mint az Egyszerű cserés rendezésnél. Ennek oka, hogy a külső ciklusban mindenképp cserélünk, annak érdekében, hogy ne kelljen mindig egy összehasonĺıtást is elvégezni. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

14 Rendezések összehasonĺıtása Majdnem rendezett sorozat Fordítva rendezett sorozat Véletlen sorozat Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Egyszerű cserés Minimumkiválasztásos Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

16 Buborékos rendezés Alapötlet Összehasonĺıtjuk egymással a szomszédos elemeket, s ha a sorrendjük nem jó, akkor cseréljük meg őket. A szomszédok cseréje miatt először a legnagyobb elem fog a helyére kerülni, majd ezt követően a második legnagyobb, és így tovább. Az algoritmusban az elemek úgy kerülnek a sorozatbeli helyükre a legnagyobbtól kezdve, mint a felfelé szálló buborékok. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

17 Buborékos rendezés Algoritmus Rendezés(N,X ) Ciklus i := N-től 2-ig 1-esével Ciklus j := 1-től i 1-ig Ha X [j] > X [j + 1] akkor Csere(X [j],x [j + 1]) Elágazás vége Ciklus vége Ciklus vége Eljárás vége Példa i = i = i = i = Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

18 Buborékos rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: N + 1 Hasonĺıtások száma: N(N 1) 2 Mozgatások száma: Legalább 0, legfeljebb 3 N(N 1) 2 Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

19 Rendezések összehasonĺıtása Majdnem rendezett sorozat Fordítva rendezett sorozat Véletlen sorozat Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Egyszerű cserés Minimumkiválasztásos Buborékos Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

21 Javított buborékos rendezés Alapötlet Ha a Buborékos rendezés belső ciklusában egyáltalán nincs már csere, akkor az algoritmust kár folytatni. Ha volt csere, de az utolsó csere például a sorozat közepénél volt, akkor az utolsó csere helyétől a sorozat végéig a sorozat már rendezett, tehát kár azzal a résszel foglalkozni. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

22 Javított buborékos rendezés Algoritmus Rendezés(N,X ) i := N Ciklus amíg i 2 CS := 0 Ciklus j := 1-től i 1-ig Ha X [j] > X [j + 1] akkor Csere(X [j],x [j + 1]) CS := j Elágazás vége Ciklus vége i := CS Ciklus vége Eljárás vége Példa i = i = i = Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

23 Javított buborékos rendezés Helyfoglalás: N + 1 N(N 1) Hasonĺıtások száma: Legalább N 1, legfeljebb 2 N(N 1) Mozgatások száma: Legalább 0, legfeljebb 3 2 A Buborékos rendezéshez képest szignifikáns javulás az átlagos végrehajtási időben van. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

24 Rendezések összehasonĺıtása Majdnem rendezett sorozat Fordítva rendezett sorozat Véletlen sorozat Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Egyszerű cserés Minimumkiválasztásos Buborékos Javított buborékos Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

26 Beillesztéses rendezés Alapötlet Egy elem önmagában rendezett. A második elemet tegyük a helyére. A harmadikat és az összes következőt tegyük a helyére. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

27 Beillesztéses rendezés Algoritmus Rendezés(N,X ) Ciklus i := 2-től N-ig j := i 1 Ciklus amíg j > 0 és X [j] > X [j + 1] Csere(X [j],x [j + 1]) j := j 1 Ciklus vége Ciklus vége Eljárás vége Példa i = i = i = i = Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

28 Beillesztéses rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: N + 1 N(N 1) Hasonĺıtások száma: Legalább N 1, legfeljebb 2 N(N 1) Mozgatások száma: Legalább 0, legfeljebb 3 2 Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

29 Rendezések összehasonĺıtása Majdnem rendezett sorozat Fordítva rendezett sorozat Véletlen sorozat Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Egyszerű cserés Minimumkiválasztásos Buborékos Javított buborékos Beillesztéses rendezés Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

31 Javított beillesztéses rendezés Alapötlet A Beillesztéses rendezésben túl sok cserét hajtunk végre annak érdekében, hogy egy elem a helyére kerüljön. Hasznosabb lenne, ha a szükséges elemeket hátrább tolnánk eggyel. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

32 Javított beillesztéses rendezés Algoritmus Rendezés(N,X ) Ciklus i := 2-től N-ig j := i 1 Y := X [i] Ciklus amíg j > 0 és X [j] > Y X [j + 1] := X [j] j := j 1 Ciklus vége X [j + 1] := Y Ciklus vége Eljárás vége Példa i = i = i = i = Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

33 Javított beillesztéses rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: N + 1 N(N 1) Hasonĺıtások száma: Legalább N 1, legfeljebb 2 Mozgatások száma: Legalább 2 (N 1), legfeljebb N(N 1) 2 (N 1) + 2 Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

34 Rendezések összehasonĺıtása Majdnem rendezett sorozat Fordítva rendezett sorozat Véletlen sorozat Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Hason. Csere Mozg. Egyszerű cserés Minimumkiválasztásos Buborékos Javított buborékos Beillesztéses rendezés Javított beillesztéses Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

36 Szétosztó rendezés Alapötlet Feltesszük, hogy a rendezendő sorozat elemei struktúrák, amelyeknek van olyan kulcsmezője, amely 1 és N közötti természetes szám lehet, és nincs két azonos kulcsú elem. A kulcsmező egyértelműen meghatározza azt a helyet, ahova az adott elemnek kerülnie kell. Nincsen szükség hasonĺıtásra. Kell egy másik tömb, ahova az eredmény kerül. Struktúra típus Egy változóban több, akár különböző típusú változót zárhatunk egybe. Például: X.sorszam, X.eloado, X.cim, X.szerzo Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

37 Szétosztó rendezés Algoritmus Rendezés(N,X,Y ) Ciklus i := 1-től N-ig Y [X [i].kulcs] := X [i] Ciklus vége Eljárás vége Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

38 Szétosztó rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: 2 N Hasonĺıtások száma: 0 Mozgatások száma: N Kulcsmezőindexelés: N Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

40 Számlálva szétosztó rendezés Alapötlet A kulcsmező indexe nem csak 1 és N közötti érték lehet, hanem N-nél nagyobb értéket is felvehet. Jelöljük a lehető legnagyobb elemet M-mel. Több elemnek is lehet ugyanolyan értékű a kulcsmezője. Először megszámláljuk, hogy melyik kulcsértékből hány darab van. Másodjára meghatározzuk minden kulcsértékhez a nála nemnagyobb kulcsértékű elemek számát. Harmadjára már minden elemet a helyére helyezhetünk. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

41 Számlálva szétosztó rendezés Algoritmus Rendezés(N,X,Y ) DB[1..M] := [0,..., 0] Ciklus i := 1-től N-ig DB [X [i].kulcs] := DB [X [i].kulcs] + 1 Ciklus vége Ciklus j := 2-től M-ig DB[j] := DB[j] + DB[j 1] Ciklus vége Ciklus i := 1-től N-ig Y [DB [X [i].kulcs]] := X [i] DB [X [i].kulcs] := DB [X [i].kulcs] 1 Ciklus vége Eljárás vége Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

42 Számlálva szétosztó rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: 2 N + M ε, ahol ε egy egész típusú változó memóriabeli mérete. ε jóval kisebb, mint egy összetett típusú tömbelem mérete. Hasonĺıtások száma: 0 Mozgatások száma: N Kulcsmezőindexelés: 5 N Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

44 Számláló rendezés Alapötlet Számoljuk meg, hogy egy elemnél hány kisebb elem van az egész sorozatban, illetve hány vele egyenlő van az őt megelőző indexűek között. Az így kapott szám meghatározza, hogy melyik elemnek hányadik helyen kell állnia a rendezett sorozatban. Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

45 Számláló rendezés Algoritmus Rendezés(N,X,Y ) DB[1..N] := [1,..., 1] Ciklus i := 1-től N 1-ig Ciklus j := i + 1-től N-ig Ha X [i] > X [j] akkor DB[i] := DB[i] + 1 különben DB[j] := DB[j] + 1 Elágazás vége Ciklus vége Ciklus vége Ciklus i := 1-től N-ig Y [DB[i]] := X [i] Ciklus vége Eljárás vége Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

46 Számláló rendezés Hatékonyság Helyfoglalás: 2 N + N ε N(N 1) Hasonĺıtások száma: 2 Mozgatások száma: N 2-szeres indexelés: N Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

48 Rendezés Shell módszerrel Alapötlet Hasonĺıtsuk először össze az egymástól távoli elemeket, és ha kell cseréljük meg őket Így az egyes elemek gyorsan közel kerülnek a végleges helyükhöz Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

49 Rendezés Shell módszerrel Algoritmus Rendezés(N,X ) L := L 0 Ciklus amíg L 1 Ciklus K := L + 1-tól 2L-ig Ciklus i := K-től N-ig L-esével j := i L Y := X [i] Ciklus amíg j > 0 és X [j] > Y X [j + L] := X [j] j := j L Ciklus vége X [j + L] := Y Ciklus vége Ciklus vége L :=Következő(L) Ciklus vége Eljárás vége Sergyán (OE NIK) AAO október / 1

50 Rendezés Shell módszerrel L 0 nem lépheti túl N-t A Következő(L) függvény meghatározására pár példa: 2 k 1 alakú eset Következő(L) Következő:=(L + 1)/2 1 Eljárás vége Fibonacci szám alakú eset Következő(L) L2 := L L1 L := L1 L1 := L2 Következő:=L1 Eljárás vége Sergyán (OE NIK) AAO október / 1