Adatszerkezetek I. 8. előadás. (Horváth Gyula anyagai felhasználásával)

Átírás

1 Adatszerkezetek I. 8. előadás (Horváth Gyula anyagai felhasználásával)

2 Kereső- és rendezőfák Közös tulajdonságok: A gyökérelem (vagy kulcsértéke) nagyobb vagy egyenlő minden tőle balra levő elemnél. A gyökérelem (vagy kulcsértéke) kisebb vagy egyenlő minden tőle jobbra levő elemnél. Keresőfa specialitása: Nincs két azonos (kulcsú) elem

3 Kereső- és rendezőfák A keresőfa új műveletei: keresés beillesztés törlés kiegyensúlyozás

4 Kereső- és rendezőfák Keresés(k,kf): Elágazás Üres?(kf)esetén Keresés:=kf k<gyökérelem(kf).kulcs esetén Keresés:=Keresés(k,balgyerek(kf)) k>gyökérelem(kf).kulcs esetén Keresés:=Keresés(k,jobbgyerek(kf)) k=gyökérelem(kf).kulcs esetén Keresés:=kf Elágazás vége Függvény vége

5 Kereső- és rendezőfák Beillesztés(e,kf): Elágazás Üres?(kf)esetén kf:=egyeleműfa(e) e.kulcs<gyökérelem(kf).kulcs esetén Beillesztés(e,balgyerek(kf)) e.kulcs>gyökérelem(kf).kulcs esetén Beillesztés(e,jobbgyerek(kf)) Elágazás vége Függvény vége

6 Kereső- és rendezőfák Törlés(k,kf): Elágazás k<gyökérelem(kf).kulcs esetén Törlés(k,balgyerek(kf)) k>gyökérelem(kf).kulcs esetén Törlés(k,jobbgyerek(kf)) k=gyökérelem(kf).kulcs esetén Gyökértörlés(k,kf) Elágazás vége Függvény vége

7 Kereső- és rendezőfák A megoldandó estek: a törlendő levélelem nincs jobboldali részfája nincs baloldali részfája egyik részfája sem üres

8 Kereső- és rendezőfák kf= kf= bf bf

9 Kereső- és rendezőfák kf= bf jf bf jf

10 Kereső- és rendezőfák Gyökértörlés(k,kf): c:=kf Ha üres?(balgyerek(kf)) akkor kf:=jobbgyerek(kf) különben ha üres?(jobbgyerek(kf)) akkor kf:=balgyerek(kf) különben Legbal(kf,jobbgyerek(kf),lb) kf:=(lb,balgyerek(kf),jobbgyerek(kf)) Elágazás vége Felszabadít(c) Függvény vége. Lehetne a másik oldalról is: Legjobb(balgyerek(kf),lj)

11 Kereső- és rendezőfák Legbal(szülő,kf,lb): Ha nem üres?(balgyerek(kf)) akkor Legbal(kf,balgyerek(kf),lb) különben lb:=gyökérelem(kf); t:=kf Balrailleszt(szülő,jobbgyerek(kf)) Felszabadít(t) Függvény vége

12 Kereső- és rendezőfák Kiegyensúlyozás definíciók: 1. Kiegyensúlyozott az a bináris fa, amelynek tetszőleges pontjában gyökerező részfáinak ághosszai legfeljebb eggyel térnek el egymástól (AVL-fa). 2. Teljesen kiegyensúlyozott az a bináris fa, amelynek tetszőleges pontjában gyökerező részfáinak pontszámai legfeljebb eggyel térnek el egymástól. 3. Teljes az a bináris fa, amelynek tetszőleges pontjában gyökerező részfáinak pontszámai pontosan megegyeznek

13 Kereső- és rendezőfák Cél: a beszúrás és a törlés műveletek módosítása úgy, hogy ha előtte az AVL-tulajdonság teljesült, akkor utána is teljesüljön. A beszúrás lényege: egyszeres elforgatás x y y x f 3 f 1 új elem f 1? f 2 új elem? f 2 f

14 Kereső- és rendezőfák A beszúrás lényege: kétszeres elforgatás y x z z y x f 4 f 1 f 2 f 3 f 2 f 3 új elem? f 1 új elem? f

15 Kereső- és rendezőfák Kérdés: Lehet-e olyan keresőfa, amelyben több azonos értékű (kulcsú) elem is van? A megoldáshoz egy szabályt módosítani kell: az ilyen keresőfa minden elemétől balra csak nála kisebbek, jobbra nála nagyobb vagy egyenlők lehetnek. A keresés ekkor az azonos értékűekből az elsőt találja meg. Szükség van egy új műveletre: az aktuálisat (utoljára megtaláltat) követő elem megadására. Ha a tárolási szabályt nem módosítjuk, akkor még az aktuálisat megelőző elem megadására is szükségünk lehet

16 Kereső- és rendezőfák A rendezőfa új műveletei: beillesztés (majdnem azonos a keresőfával de itt lehetnek egyforma értékű elemek) BKJ-bejárás Megjegyzés: Itt törlés művelet nincs, a fát egyszer építjük fel, bejárjuk, majd a tejes fát törölhetjük

17 Kereső- és rendezőfák Beillesztés(e,kf): Elágazás Üres?(kf) esetén kf:=egyeleműfa(e) e.kulcs gyökérelem(kf).kulcs esetén Beillesztés(e,balgyerek(kf)) e.kulcs>gyökérelem(kf).kulcs esetén Beillesztés(e,jobbgyerek(kf)) Elágazás vége Függvény vége

18 Kereső- és rendezőfák Feladat: Határozzuk meg egy X vektor i. és j. eleme között levő elemek minimumát! A feladat felfogható egy egyszerű minimumkiválasztás tétel alkalmazásként, ahol az eredmény meghatározásához j-i összehasonlítást kell végezni, azaz a futási idő a vektor elemszámával arányos. A feladat azonban megoldható másként is, egy speciális bináris fa, a szegmens fa alkalmazásával. A bináris fa elkészítése is munkaigényes, de gazdaságos, ha sok intervallumon kell minimumot keresnünk

19 Szegmens fa Szegmens fa a (6;9;4;2;5;1;10;7;8;3) sorozatra:

20 Szegmens fa A szegmens fa levelei a tömb elemeit tartalmazzák. A fa többi elemének indexét a hozzá tartozó két szélső levélelem indexének átlagaként számoljuk. Minden belső elemhez rendeljük hozzá azt az eredeti tömbindexet, ahol a levelei minimuma található! Mint látható, ez a fa is egy modell, állandó szerkezetű, a megfelelő indexek egy tömbben tárolhatók

21 Szegmens fa Felépít(a,b): Ha a=b akkor Felépít:=a különben k:=(a+b/2) x:=felépít(a,k) y:=felépít(k+1,b) Ha A(x)<A(y) akkor Fa(k):=x különben Fa(k):=y Felépít:=Fa(k) Függvény vége

22 Szegmens fa Ezután az [a,b] szegmensfában az [i,j] intervallum minimumának meghatározása rekurzívan megadható: i, ha i=j FA((a+b)/2Ö ha a=i és j=b vagy A(i) vagy A(FA((a+b)/2)) [a,(a+b)/2] szegmensfában [i,j] minimuma, ha j (a+b)/2 [(a+b)/2+1,b] szegmensfában [i,j] minimuma, ha i>(a+b)/2 [i,j]-t felosztjuk a bal- és jobboldali szegmensfára, mindkettőben minimumot keresünk, majd vesszük a két elem minimumát

23 Szegmens fa Keres(a,b,i,j): k:=(a+b/2) Ha i=j akkor Keres:=i különben ha a=i és b=j akkor Keres:=FA(k) különben ha j k akkor Keres:=Keres(a,k,i,j) különben ha i>k akkor Keres:=Keres(k+1,b,i,j) különben x:=keres(a,k,i,k) y:=keres(k+1,b,k+1,j) Ha A(x)<A(y) akkor Keres:=x különben Keres:=y Függvény vége

24 Fák Néhány speciális fa művelet: elemszám(bf): Ha üres?(bf) akkor elemszám:=0 különben elemszám:=1+elemszám(balgyerek(bf))+ elemszám(jobbgyerek(bf)) Függvény vége. magas(bf): Ha üres?(bf) akkor magas:=0 különben magas:=1+max(magas(balgyerek(bf)), magas(jobbgyerek(bf)) Függvény vége

25 Fák Bináris fa "fordított" ábrázolása, a levelektől vissza: Ha a bináris fa elemei címezhetőek is (pl. sorszámuk van), akkor elképzelhető egy olyan statikusan láncolt ábrázolás, amikor azt adjuk meg minden elemről, hogy ki van a fában fölötte. Típus BFa=Tömb(1..Max,BFaelem) BFaelem=Rekord(érték: Elemtípus, szülő: 0..Max) Egy ilyen fára persze másféle műveleteket definiálhatunk

26 Fák Üres(bf): Ciklus i=1-től N-ig bf(i).szülő:=0 Ciklus vége Függvény vége. Beilleszt(bf,a,b): {a szülője b-nek} bf(b).szülő:=a Függvény vége

27 Fák Ősszülő(bf,e): Ha bf(e).szülő=0 akkor Ősszülő:=e különben Ősszülő:=Ősszülő(bf,bf(e).szülő) Függvény vége. Őse?(bf,utód,ős): Ha utód=ős akkor Őse?:=igaz különben ha bf(utód).szülő=0 akkor Őse?:=hamis különben Őse?:=Őse?(bf,bf(utód).szülő,ős) Függvény vége. Megjegyzés: egyetlen fa esetén a bf tömb lehet globális változó is

28 Fák Ősszülő(bf,e): Ciklus amíg bf(e).szülő 0 e:=bf(e).szülő Ciklus vége Függvény vége. Őse?(bf,utód,ős): Ciklus amíg utód ős és bf(utód).szülő 0 utód:=bf(utód).szülő Ciklus vége Őse?:=utód=ős Függvény vége. Ugyanez ciklussal

29 Fák Bináris fa "fordított" ábrázolása, a levelektől vissza: Ha a bináris fa elemei címezhetőek is (pl. sorszámuk van), akkor elképzelhető egy olyan dinamikusan láncolt ábrázolás, amikor azt adjuk meg minden elemről, hogy ki van a fában fölötte. Típus BFa=Tömb(1..Max,BFaelemMutató) BFaelem=Rekord(érték: Elemtípus, szülő: BFaelemMutató) Egy ilyen fára persze másféle műveleteket definiálhatunk

30 Fák Üres(bf): Ciklus i=1-től N-ig bf(i):=sehova Ciklus vége Függvény vége. Beilleszt(bf,a,b): {a szülője b-nek} Tartalom(bf(b)).BFaelemMutató:=bf(a) Függvény vége

31 Fák Megjegyzés: A prioritási sor típusnál szerepelt a kupac, ami egy teljes bináris fa, minden szintje balról jobbra kitöltve. Ennek a műveletei azonban mások voltak, mint az általános bináris fa műveletei

32 Kérdezőfa A kérdezőfa egy olyan bináris fa, amelyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok: A fának n levele van, amelyek balról jobbra sorrendben az 1,,n számokat tartalmazzák. A fának n-1 belső pontja van, mindegyiknek 2 gyereke. Minden p belső pont a p bal-részfájában levő levélértékek maximumát tartalmazza. Minden kérdéshez költségek tartoznak, vagy a kérdések száma korlátozott vagy a nem válaszok száma korlátozott... A kérdezőfát úgy építjük fel, hogy a kérdések összköltsége minimális legyen!

33 A kérdezőfa használata: Kérdezőfa Induljunk ki a fa gyökeréből (az 1-es elemből)! Amíg az aktuális pont nem levél, kérdezzünk rá az aktuális ponthoz tartozó értékre (a keresett érték -e nála)! Ha a válasz igen, akkor lépjünk a fában balra, egyébként pedig jobbra! Statikus láncolással: Típus Kérdezőfa=Tömb(1..Max,Faelem) Faelem=Rekord(érték,ár: Egész, bal,jobb: 0..max)

34 Kérdezőfa Kérdés(kf,p,S): p:=1; S:=0 Ciklus amíg kf(p).bal>0 {vagy kf(p.jobb)>0} S:=S+kf(p).érték; Be: V Ha V="igen" akkor p:=kf(p).bal különben p:=kf(p).jobb Ciklus vége Eljárás vége

35 Kérdezőfa Kérdezőfa előállítása kérdésköltségek esetén: Jelölje K(x) a kérdezőfában a gyökértől az x levélig haladó úton a belső pontok kérdéseihez értékek összegét. Ha a gondolt szám x, akkor a kitalálásának költsége K(x). Az a kérdezőfa optimális, amelyre a K(x) értékek maximuma a lehető legkisebb. A kérdezőfa előállítása: dinamikus progarmozás!

36 Adatszerkezetek I. 8. előadás vége