Adatszerkezetek és algoritmusok

Átírás

1 2010. január 8.

2 Bevezet

3 El z órák anyagainak áttekintése Ismétlés Adatszerkezetek osztályozása Sor, Verem, Lengyelforma Statikus, tömbös reprezentáció Dinamikus, láncolt reprezentáció Láncolt lista Lassú rendez algoritmusok

4 El z órák anyagainak áttekintése Ismétlés Hierarchikus adatszerkezetek A hierarchikus adatszerkezet olyan A, R rendezett pár, amelynél van egy kitüntetett r elem, ez a gyökérelem, úgy, hogy: r nem lehet végpont a A \ {r} elem egyszer és csak egyszer végpont a A \ {r} elem r-b l elérhet Az adatelemek között egy-sok jelleg kapcsolat áll fenn. Minden adatelem csak egy helyr l érhet el, de egy adott elemb l akárhány adatelem látható (pl. fa, összetett lista, B-fa). A hierarchikus adatszerkezetek valamilyen értelemben a lista általánosításai.

5 Fa adatszerkezet

6 Fa adatszerkezet Fa adatszerkezet A fa egy hierarchikus adatszerkezet, mely véges számú csomópontból áll, és igazak a következ k: Két csomópont között a kapcsolat egyirányú, az egyik a kezd pont, a másik a végpont. Van a fának egy kitüntetett csomópontja, ami nem lehet végpont. Ez a fa gyökere. Az összes többi csomópont pontosan egyszer végpont.

7 Fa adatszerkezet Fa adatszerkezet A fa rekurzív deníciója: A fa vagy üres, vagy Van egy kitüntetett csomópontja, ez a gyökér. A gyökérhez 0 vagy több diszjunkt fa kapcsolódik. Ezek a gyökérhez tartozó részfák. A fával kapcsolatos algoritmusok gyakran rekurzívak.

8 Fa adatszerkezet Fa deníciók I A fa csúcsai az adatelemeknek felelnek meg, Az élek az adatelemek egymás utáni sorrendjét határozzák meg egy csomópontból az azt követ be húzott vonal egy él. A gyökérelem a fa els eleme, amelynek nincs megel z je. Levélelem a fa azon eleme, amelynek nincs rákövetkez je. Közbens elem az összes többi adatelem. Minden közbens elem egy részfa gyökereként tekinthet, így a fa részfákra bontható: részfa: t részfája a-nak, ha az a gyökere, azaz közvetlen megel z eleme t-nek, vagy t részfája a valamely részfájának

9 Fa adatszerkezet Fa deníciók II Elágazásszám: közvetlen részfák száma A fa szintje a gyökért l való távolságot mutatja. A gyökérelem a 0. szinten van. A gyökérelem rákövetkez i az 1. szinten. stb. A fa szintjeinek száma a fa magassága. További deníciók Csomópont foka: a csomóponthoz kapcsolt részfák száma Fa foka: a fában található legnagyobb fokszám Levél: 0 fokú csomópont Elágazás (közbens vagy átmen csomópont): > 0 fokú csomópont Szül ( s) : kapcsolat kezd pontja (csak a levelek nem szül k)

10 Fa adatszerkezet Fa deníciók III Gyerek (leszármazott): kapcsolat végpontja (csak a gyökér nem gyerek) Ugyanazon csomópont leszármazottai egymásnak testvérei Szintszám: gyökért l mért távolság. A gyökér szintszáma 0. Ha egy csomópont szintszáma n, akkor a hozzá kapcsolódó csomópontok szintszáma n + 1. Útvonal: az egymást követ élek sorozata Minden levélelem a gyökért l pontosan egy úton érhet el. Ág: az az útvonal, amely levélben végz dik Üresfa az a fa, amelyiknek egyetlen eleme sincs.

11 Fa adatszerkezet Fa deníciók IV Fa magassága: a levelekhez vezet utak közül a leghosszabb. Mindig eggyel nagyobb, mint a legnagyobb szintszám. Minimális magasságú az a fa, amelynek a magassága az adott elemszám esetén a lehet legkisebb. (Valójában ilyenkor minden szintre a maximális elemszámú elemet építjük be.) Egy fát kiegyensúlyozottnak nevezünk, ha csomópontjai azonos fokúak, és minden szintjén az egyes részfák magassága nem ingadozik többet egy szintnél. Rendezett fa: ha az egy szül höz tartozó részfák sorrendje lényeges, azok rendezettek.

12 Fa adatszerkezet Fa adatszerkezet 0. szint 2 Gyökér Részfa Levél 1. szint szint 5 7 0

13 Bináris fa Bináris fa A bináris fa olyan fa, amelynek csúcspontjaiból maximum 2 részfa nyílik (azaz fokszáma 2). A szül mindig a gyerekek között helyezkedik el. (Ennek a bejárásoknál lesz szerepe.) Egy bináris fa akkor tökéletesen kiegyensúlyozott, ha minden elem bal-, illetve jobboldali részfájában az elemek száma legfeljebb eggyel tér el. Teljesnek nevezünk egy bináris fát, ha minden közbens elemének pontosan két leágazása van. Majdnem teljes: ha csak a levelek szintjén van esetleg hiány.

14 Bináris fa Speciális bináris fa Kiszámítási- vagy kifejezésfa Az a struktúra, amely egy nyelv szimbólumai és különböz m veletei közötti precedenciát jeleníti meg. Aritmetikai kifejezések ábrázolására használják. Minden elágazási pont valamilyen operátort, A levélelemek operandusokat tartalmaznak. A részfák közötti hierarchia fejezi ki az operátorok precedenciáját, illetve a zárójelezést. A következ kifejezés fája: ((10/3) x) + (5 y 2 )

15 Bináris fa Speciális bináris fa + - * / x 5 ^ 10 3 y 2

16 Fa m veletek Fa m veletek I Lekérdez m veletek: Üres-e a fa struktúra Gyökérelem lekérdezése Meghatározott elem megkeresése, az arra vonatkozó referencia visszaadása Módosító m veletek: Üres fa létrehozása konstruktor Új elem beszúrása Meghatározott elem kitörlése Összes elem törlése Egy részfa törlése

17 Fa m veletek Fa m veletek II Részfák kicserélése egymással Gyökér megváltoztatása Fák bejárása. Megadott stratégia (algoritmus szerint végiglépkedni az elemeken.)

18 Fa m veletek Bejárások Rekurziós módszerek tetsz leges fa esetén: Pre-order bejárás (El ször a gyökér kiírása (érintése) majd a részfák ugyanilyen módszer bejárása) Post-oreder bejárás (El ször a részfák bejárása, majd legvégül a gyökér érintése) Bináris fák esetén még egy bejárási módszer: In-order bejárás (El ször a balgyerek bejárása, majd a gyökér érintése, azután a jobbgyerek bejárása) Például tekintsük a következ fát.

19 Fa m veletek Bejárások példák

20 Fa m veletek Bejárások példák Preorder 6, 4, 2, 1, 3, 0, 9, 7, 5, 8 Postorder 1, 3, 2, 0, 4, 7, 8, 5, 9, 6 Mivel bináris fa volt a példa ezért lehetséges az inorder bejárás is: Inorder 1, 2, 3, 4, 0, 6, 7, 9, 8, 5

21 Fa reprezentáció Fa reprezentáció Általános fa esetén: Balgyerek-jobbtestvér: Minden csomópont ismeri a szül jét, egyetlen (legbaloldalibb) gyermekét és a közvetlen jobbtestvért. Ezzel lehetséges, hogy bármely csomópontnak tetsz leges gyereke legyen, amik gyakorlatilag egy láncolt listát alkotnak. Multilistás ábrázolás: Minden csomópont egy láncolt lista. A lista els eleme tartalmazza az adatot, a többi csomópont már csak hivatkozásokat a leszármazottakra (gyermekcsomópontokra)

22 Fa reprezentáció Fa reprezentáció példa

23 Fa reprezentáció Fa reprezentáció Bal gyerek - Jobb testvér null 2 null 6 4 null null null null null null

24 Fa reprezentáció Fa reprezentáció Multilista 2 6 null null 4 null null null null

25 Fa reprezentáció Fa reprezentáció Bináris vagy korlátos fokszámú fa esetén: Aritmetikai ábrázolás: Tömbben is lehetséges, szintfolytonosan. (Balra tömörített, minimális magasságú fa esetén ideális lehet.) Láncolt ábrázolás: Minden csomópont ismeri a szül jét, valamint a jobb és balgyerekét. (Ez általánosítása a kétirányú láncolt listának.)

26 Fa reprezentáció Fa reprezentáció Példa

27 Fa reprezentáció Fa reprezentáció Példa Aritmetikai ábrázolása:

28 Fa reprezentáció Fa reprezentáció Példa null null null 7 5 null null null 1 3 null null null null null 8 null

29 Bináris keresési fák

30 Bináris keresési fák Bináris keresési fák A rendezési fa (vagy keres fa) olyan fa adatszerkezet, amelynek kialakítása a különböz adatelemek között meglév rendezési relációt követi. A fa felépítése olyan, hogy minden csúcsra igaz az, (bináris esetben) hogy a csúcs értéke nagyobb, mint tetsz leges csúcsé a t le balra lév leszálló ágon és a csúcs értéke kisebb minden, a t le jobbra lév leszálló ágon található csúcs értékénél. A T fa bármely x csúcsára és bal(x) bármely y csúcsára és jobb(x) bármely z csúcsára y < x < z

31 Bináris keresési fák Bináris keresési fák A rendezési fa az t tartalmazó elemek beviteli sorrendjét is visszatükrözi. Ugyanazokból az elemekb l különböz rendezési fák építhet k fel. Els sorrend 6,3,1,9,7,5,10 Második sorrend 9,7,6,5,10,3,1

32 Bináris keresési fák Fa reprezentáció Példa

33 Bináris keresési fák Bináris keresési fák tulajdonság Fontos tulajdonság: inorder bejárással a kulcsok rendezett sorozatát kapjuk. Az algoritmus helyessége a bináris-keres -fa tulajdonságból indukcióval adódik. Egy n csúcsú bináris keres fa bejárása O(n) ideig tart, mivel a kezd hívás után a fa minden csúcspontja esetében pontosan kétszer (rekurzívan) meghívja önmagát, egyszer a baloldali részfára, egyszer a jobboldali részfára.

34 Bináris keresési fák m veletek Bináris keresési fák keresés m velet Keresés: A T fában keressük a k kulcsú elemet (csúcsot) Ha ez létezik, akkor visszaadja az elem címét, egyébként NULL-t. Az algoritmust megadjuk rekurzív és iteratív megoldásban is, ez utóbbi a legtöbb számítógépen hatékonyabb. Fában-keres(x, k) rekurzív HA x = NULL VAGY k = kulcs[x] akkol return x HA k < kulcs[x] AKKOR RETURN Fában-keres(bal[x], k) KÜLÖNBEN RETURN Fában-keres(jobb[x], k)

35 Bináris keresési fák m veletek Bináris keresési fák keresés m velet Fában-keres(x, k) iteratív CIKLUS AMÍG x NULL ÉS k kulcs[x] HA k < kulcs[x] AKKOR x bal[x] KÜLÖNBEN x jobb[x] RETURN x

36 Bináris keresési fák m veletek Bináris keresési fák Minimum keresés Minimum keresés: tegyük fel, hogy T NULL Addig követjük a baloldali mutatókat, amíg NULL referenciát nem találunk. Fában-minimum (T) iteratív x gyökér[t] CIKLUS AMÍG bal[x] NULL x bal[x] RETURN x Helyessége a bináris-keres -fa tulajdonságból következik. Lefut O(h) id alatt, ahol h a fa magassága. Hasonlóan megkereshet a maximum érték is, ami a legjobboldalibb elem.

37 Kupac (Heap)

38 Bináris fák teljessége Bináris fák teljessége Egy bináris fa teljes, ha a magassága h, és 2 h 1 csomópontja van Egy h magasságú bináris fa majdnem teljes üres; vagy: a magassága h, és a bal részfája h 1 magas és majdnem teljes és jobb részfája h 2 magas és teljes; vagy: a magassága h, és a bal részfája h 1 magas és teljes és jobb részfája h 1 magas és majdnem teljes.

39 Bináris fák teljessége Bináris fák teljessége Heap tulajdonság Gyakorlatilag ez azt jelenti, hogy a majdnem teljes fákat balról töltjük fel. (Avagy szintenként haladunk a feltöltéssel és balról jobbra... ) Egy majdnem teljes bináris fa heap (kupac) tulajdonságú üres (vagy) a gyökérben lév kulcs nagyobb, mint mindkét gyerekében, és mindkét részfája is heap tulajdonságú Reprezentálásuknál kihasználjuk a tömörítettséget és majdnem teljességet aritmetikai reprezentációval tömbben tároljuk az értékeket és az egy indexfüggvény számítja a szül t és a gyerekeket.

40 Bináris fák teljessége Kupac Példa X K O A D L M

41 Kupac M veletek Kupac Gyökér törlése A gyökér a legnagyobb elem. Eltávolítása után a legalsó szint legjobboldalibb elemét tesszük fel a helyére, hogy a majdnem teljes tulajdonság megmaradjon. Ezzel elrontjuk kupac tulajdonságot, amit helyre kell állítani: Cseréljük fel a gyökeret a nagyobb gyerekével A felcserélt ágon ismételjuk a kupac tulajdonság helyreállítását, amíg szükséges.

42 Kupac M veletek Kupac Gyökér törlése X K O A D L M

43 Kupac M veletek Kupac Gyökér törlése M K O A D L

44 Kupac M veletek Kupac Beszúrás Amikor beszúrunk, tegyük a következ szabad pozícióra, a legalsó szint legjobboldalibb elemének tesszük fel a helyére, hogy a majdnem teljesség megmaradjon. Ezzel elrontjuk kupac tulajdonségot, amit helyre kell állítani: Cseréljük fel az újonnan beszúrtat a szül jével, amíg nagyobb az új a szül jénél. (Ismételjük... )

45 M veletigények Kupac M veletigény A kupacnál a beszúrás és maximum törlés m veletigénye, legfeljebb a fa magasságával arányos (O(h)), ami az O(log n)). A kupacot fejjel lefelé is fel lehet építeni, amikor is a gyökérben a legkisebb elem lesz. Indexfüggvények aritmetikai reprezentáció esetén: Balgyerek(k) RETURN 2k Jobbgyerek(k) RETURN 2k+1 Szülö(k) RETURN k/2

46 M veletigények Kupac M veletigény Ennek megfelel en a kupac adatszerkezet használható rendezésre is. Minden, rendezend elemet beszúrunk egy kupacba, majd a gyökeret eltávolítva megkapjuk a legnagyobb elemet. Az eltávolításokat folytatva egy rendezést kapunk eredményül. M veletigény n beszúrás: O(n log n) n törlés: O(n log n) Összesen: O(n log n) Ami jobb, mint a lassú rendezések.

47 Összefoglaló

48 Összefoglaló Összefoglaló Hiearchikus adatszerkezetek ismétlés Fák Bináris keresési fák Kupac Bejárások

49 Felhasznált el adások Felhasznált el adások 6-7. el adás Nyékyné Gaizler Judit (Illetve új anyagok)