Rendezettminta-fa [2] [2]

Átírás

1 Rendezettminta-fa Minden p ponthoz tároljuk a p gyökerű fa belső pontjainak számát (méretét) Adott elem rangja: az elem sorszáma (sorrendben hányadik az adatszekezetben) Adott rangú elem keresése - T[r] Adott elem rangjának meghatározása Egyéb bővítési lehetőségek (pl. intervallumfák) [] 7-77 [] 79-85

2 Példa 6 rang= méret rang=

3 Fapont tárolása első megközelítés, a gyakorlatban nem így tároljuk! struct fapont{!!!int key, v, meret ;!!!fapont bal, jobb, apa ;! } apa key balfiu v meret jobbfiu

4 Adott rangú elem keresése 6 rang méret rmkeres(p,x) {!!r=p.bal.meret+ ;! 35 39!if (x==r) return p ;!!if (x<r) return rmkeres(p.bal,x) ;!!else return rmkeres(p.jobb,x-r) ;! } O(h)

5 Elem rangjának meghatározása rmrang(p) {!!r=p.bal.meret+ ;!!q=p ;!!while (q!=gyoker) {!!!if (q==q.apa.jobb) r+=q.apa.bal.meret+;!!!q=q.apa ;!!}!!return r ;! } O(h)

6 Méret információ fenntartása beszjav(p) {!!while (p!=gyoker) {!!!p=p.apa;!!!p.meret++ ;!!}! } torljav(p) {!!while (p!=gyoker) {!!!p=p.apa;!!!p.meret-- ;!!}! } O(h)

7 Elem rákövetkezője

8 p rákövetkezője p p p O(h)

9 p rákövetkezője fapont kovetkezo(fapont p) {!!! if (p.jobb!=nil) {!!!!! //ha van jobb fiú!!! p=p.jobb ;!!!!!!!! //akkor a jobb részfa!!! while (p.bal!=nil) p=p.bal;!//bal szélső eleme!!! return p;!!! } else {!!!!!!!!!! // ha nincs jobb fiú!!! while (p.apa!=nil) {!!!! // amíg van apa!!!!! if (p.apa.bal==p)!!!! // ha p bal gyerek!!!!!! return p.apa;!!!! // p apja a rákövetkező!!!!! p=p.apa ;!!!!!!! // megyünk felfelé p-vel!!! };!!!! return nil ;!!!!!!! // nincs rákövetkező!!! }! } O(h)

10 Törlés bináris keresőfából p q O(h)

11 void torol(fapont p) {!!! if (p.jobb!=nil) {!!!!!!!!! fapont q=kovetkezo(p) ;!!!!!!!!!!!! p.key=q.key ; p.value=q.value ;!!!!! q.apa.bal=q.jobb ;!!!! q.jobb.apa=q.apa ;!!!! delete q ;! q!! } else {!!!!!!!!!!!!!...!!!!! }! } p O(h)

12 void torol(fapont p) {!!! if (p.jobb!=nil) {!!!!!!!!! fapont q=kovetkezo(p) ;!!!!!!!! p.key=q.key ; p.value=q.value ;!!!! q.apa.bal=q.jobb ;!!!! q.jobb.apa=q.apa ;!!!! delete q ;!!! } else {!!!!!!!!!!!!! if (p.apa.jobb==p) p.apa.jobb=p.bal ;!!!! else p.apa.bal=p.bal ;!!!! p.bal.apa=p.apa ;!!!! delete p ;!!!! }! } p O(h)

13 Elem törlése példa

14 Futási idők elemzése Keresés Beszúrás Mennyi a futási idő? O(h) Törlés

15 Rendezettmintafa Műveletek: bool beszúr(<k> key, <V> value) O(h) fapont keres(<k> x) bool töröl(fapont p) fapont rákövetkező(fapont p) mindetkiir(fapont p) mindenttöröl(fapont p) int elemszám(fapont p) int rang(fapont p) fapont rangkeres(int x) O(h) O(h) O(h) O(n) O(h) O() O(h) O(h)

16

17 Teljes bináris keresőfa h n(h) k

18 n pontot tartalmazó teljes bináris keresőfa magassága h n(h) h h=o(logn)

19 Lehet-e egy bináris keresőfa teljesen kiegyensúlyozott??? n= n=3 n=7 n=? n=4 n=5 n=6? n=8...?

20 Majdnem teljes bináris keresőfa h n(h) k

21 n pontot tartalmazó majdnem teljes bináris keresőfa magassága h n(h) k h=o(logn)

22 Véletlen építésű bináris keresőfa Adott n egymástól különböző kulcs, melyekből bináris keresőfát építünk úgy, hogy a kulcsokat valamilyen sorrendben egymás után beszúrjuk a kezdetben üres fába. Ha itt minden sorrend, vagyis az n kulcsnak mind az n! permutációja egyformán valószínű, akkor a kapott fát véletlen építésű bináris keresőfának nevezzük. Tétel: Egy n különböző kulcsot tartalmazó véletlen építésű bináris keresőfa várható magassága: O(log n). [] 4-44

23 Szúrjuk be rendre az n elemeket n Legrosszabb eset h=n

24 Kiegyensúlyozott bináris keresőfák

25 Hogy lehetne javítani? más sorrendben kell beszúrni: f(i,j) {!! if (i<=j) {!!! f=int((i+j)/) ;!!! beszur(t[f]) ;!!! f(i,f-) ;!!! f(f+,j) ;!! }! }

26 Optimális bináris keresőfa Adott kulcsoknak egy K=(k,...,kn) sorozata Minden ki kulcshoz ismert annak pi előfordulási valószínűsége és Minden di=(ki,ki+) intervallumhoz ismert annak qi előfordulási valószínűsége, hogy arra az intervallumra keresünk, d0= (-,ki), dn= (kn, ) Optimális bináris keresőfa építhető (pl. dinamikus programozás módszerével) Építés: O(n ) [] 34-3

27 De az elemek egyesével is jöhetnek!

28 Hogy lehetne javítani? Mivel az elemek egyesével jönnek Minden beszúrás (és törlés) után rögtön javítani kellene

29 AVL fák

30 Az AVL-fa alatt egy ön-kiegyensúlyozó bináris keresőfát értünk." " Egy AVL-fában bármely csúcspont két részfájának magassága közti különbség legfeljebb egy. Az AVL-fa nevét két feltalálójáról G. M. Adelson-Velsky-ről és E. M. Landis -ról kapta, akik 963 -ban publikálták [4] An algorithm for the organization of information (Egy algoritmus az információ szervezettségéhez) című cikkükben. [3]

31 p pont egyensúlyfaktora egy(p)=h(p.jobb)-h(p.bal) x+-x= P x--(x-)=0 x+-x= x- x- x x+ [] 78

32 Példa h(p)=+max{h(p.jobb),h(p.bal)} egy(p)=h(p.jobb)-h(p.bal) 3 0

33 Példa egy(p)=h(p.jobb)-h(p.bal) h(p)=+max{h(p.jobb),h(p.bal)} 0

34 AVL fa

35 Legkevesebb pontot tartalmazó h mf()= magasságú AVL fa mf(3)=+mf()+mf()=4 mf()= x+-x= P mf(p)=+mf(p.bal)+mf(p.jobb) mf(h)=+mf(n-)+mf(n-) =fib(h)+ x x+ fib(n)=fib(n-)+fib(n-) [] 76

36 []

37 Műveletek []

38 Forgatás 3 3 [] 79-80

39 x Forgatás y x 3 3 void balraforgat(fapont x) {!!! fapont y ;!!! y=x.jobb ;!!! x.jobb=y.bal ;!!! if (x.jobb!=nil) x.jobb.apa=x;!!! y.apa=x.apa;!!! if (y.apa==nil) gyoker=y ;!!! else {!!!! if (x==y.apa.bal) y.apa.bal=y ;!!!! else y.apa.jobb=y ;!!! }!!!!! y.bal=x ;!!! x.apa=y ;! } O() [] 79-8

40 Példa

41 Egy érdekes eset

42

43

44

45 . eset innen törlök α β A 0 B - C γ δ innen törlök α A β B γ C 0 δ α 0 A β 0 B γ C 0 δ α=β=γ=δ

46 . eset α β A - B - C γ δ α A β B γ C δ α 0 A β 0 B γ C δ α=β=(γ+)=δ

47 3. eset α β A B - C γ δ α A β B γ C δ α - A β 0 B γ C 0 δ α=(β+)=γ=δ

48 4. eset A α B 0 B β γ - C δ α 0 A β γ C - δ α=β=γ=(δ+)

49 Összes eset α A -,0, B β - C γ δ α A β B γ -,0, C δ α -,0 A β 0, B γ -,0, C δ α=β=γ=δ α=β=(γ+)=δ α=(β+)=γ=δ α=β=γ=δ α=β=(γ+)=δ α=β=γ=(δ+) α=(β-)=γ=δ fj(p,q) És ezek tükörképei

50 Egyensúlyfaktorok javítása beszúrás α=β α<β α>β α P β α β x 0 - bal: eb(x) jobb: ej(x) 0 beszúrás előtt beszúrás után beszúrás után

51 Fapont tárolása második megközelítés, a gyakorlatban nem így tároljuk! struct fapont{!!!int key, v, egy ;!!!fapont bal, jobb, apa ;! } apa key bal value egy jobb

52 Egyensúlyfaktorok javítása kezdetben p a beszúrt vagy törölt elem while (p!=gyoker && cv) {! x 0 -! q=p.apa ;! eb(x) - 0 -! if (p==q.jobb) {! ej(x) 0!! egyq=++q.egy ;!!! if (egyq==) {!!!! if (p.egy==-) {! törlésnél (testver(p)==-)!!!! jobbraforgat(p) ;!!!! }!!!! balraforgat(q) ;!!!! fj(p,q) ;!!! //egyensúlyfaktorokat rendbetesz!!!! cv=false ;! //kilép!!!!! }!! } else...!!!! // bal eset!! p=p.apa ;! } α β A B q - C γ p δ O(logn)

53 Példa while (p!=gyoker && cv) {!! q=p.apa ;!! if (p==q.jobb) {!!! egyq=++q.egy ;!!! if (egyq==) {!!!! if (p.egy==-) jobbraforgat(p);!!!! balraforgat(q);!!!! cv=false; fj(p,q) ;!!! }!! } else {!!! egyq=--q.egy;!!! if (egyq==-) {!!!! if (p.egy==)!balraforgat(p);!!!! jobbraforgat(q);!!!! cv=false;!!!! fj(p,q) ;!!! }!! }!! p=p.apa;! } q eset p

54 fj(p,q) α A -,0, B β q - C γ p δ α A β q 0, B γ p -,0, C δ α -,0 A β B γ -,0, C δ α=β=γ=δ α=β=(γ+)=δ α=(β+)=γ=δ α=β=γ=δ α=β=(γ+)=δ α=β=γ=(δ+) α=(β-)=γ=δ És ezek tükörképei