Adatszerkezetek. Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések)

Átírás

1 Adatszerkezetek Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések)

2 Keresések A probléma általános megfogalmazása: Adott egy N elemű sorozat, keressük meg azt az elemet (határozzuk meg a helyét a sorozatban), mely megfelel egy megadott tulajdonságnak. Ha több ilyen van, akkor a keresőalgoritmusok általában az első ilyen elemet találják meg. A konkrét megvalósításoknál mi egy adott értéket keresünk. Típusok: 1. Lineáris keresés (szekvenciális) 2. Bináris keresés (logaritmikus, kettéosztásos) 2

3 1. Lineáris keresés rendezetlen elemhalmazban Legegyszerűbb keresés, az értéksorozatról nem tételezünk fel semmit. Az értéksorozat első elemétől indul, és megnézi, hogy az első elem-e a keresett érték. Ha igen megtaláltam, ha nem megyek tovább amíg meg nem találtam vagy el nem fogynak az elemek. Rendezetlen elemhalmaz esetén csak az összes elem vizsgálata után jelenthetem ki, hogy nincs az értéksorban a kereset elem. Átlagos lépések száma: n/

4 1. Lineáris keresés rendezetlen elemhalmazban Iteratív változat: T tulajdonságú elemet keressük A[1..N] elemei között. Eljárás LineárisKeresés H:=0 I:=1 Ciklus amíg (I N) and (H=0) Ha A[I] T tulajdonságú akkor H:=I I:=I+1 Ciklus vége Eljárás vége 4

5 1. Lineáris keresés rendezetlen Rekurzív változat: Lineáris_keresés H:=0 I:=1: Linker(I) Ha (I N) akkor H:=I Eljárás vége elemhalmazban Linker(I) Ha (I N) and (A(I) nem T tulajdonságú) akkor I:=I+1 Linker(I) Elágazás vége Eljárás vége 5

6 2. Lineáris keresés rendezett elemhalmazban Rendezett értéksorozatot tételezünk fel. Kiindulok az első elemtől, és azt vizsgálom, hogy az-e a keresett elem. Ha az megállok, különben megyek tovább amíg meg nem találtam, vagy míg el nem érek egy olyan elemet, amely rendezettség szempontjából már követi a keresett elemet

7 Bináris keresés Előfeltétel: A sorozat rendezett. Bármelyik elem a többitől függetlenül elérhető legyen. Algoritmus: 1. Meghatározzuk a középső elemet, majd megvizsgáljuk ez-e a keresett. Ha igen, kész vagyunk. 2. Ha nem, akkor ha a keresett kisebb a középsőnél, akkor a sorozat alsó, egyébként a felső részében folytatjuk a keresést ugyanezzel a módszerrel. A keresés két esetben fejeződhet be: megtaláltuk a keresett adatot; Egyelemű sorozathoz jutottunk, mely nem egyezik meg a keresett elemmel. 7

8 Példa Keresendő: Keresendő: elemnél már 10 lépés után meg tudom mondani, hogy benne vane az adott elem. Összehasonlítások száma: (log 2 n)+1 8

9 Rendezés A rendezési feladatok általános problémája: Adott egy n elemű sorozat, készítsük el ezeknek az elemeknek egy olyan permutációját, amelyre igaz, hogy a sorozat i. eleme kisebb (egyenlő) az i+1-ediktől. Ez a növekvő rendezés. Az ilyen algoritmusok értelemszerűen átalakíthatók csökkenő sorrendűvé. A különböző rendezések leginkább a következő két művelet alkalmazásában térnek el egymástól: összehasonlítás két sorozatelem viszonyának meghatározása, mozgatás az elemek sorrendjének változtatása a rendezettségnek megfelelően. A hatékonyság vizsgálatakor is ez a két művelet, valamint az igényelt tárterület érdekes számunkra. 9

10 Rendezési eljárások csoportosítása Az algoritmusban szereplő fő tevékenység szerint: 1. Leszámoló rendezések 2. Beszúró rendezések 3. Cserélő rendezések 4. Kiválasztó rendezések 5. Összefésülő rendezések 10

11 1. Leszámoló rendezések Alapötlet különböző elemek esetén: A j. elem a rendezett sorozatban pontosan j-1 másik elemnél lesz nagyobb. Ha egy elem pontosan k másiknál nagyobb, akkor a rendezés után a (k+1). helyre kerül. Állapítsuk meg, hogy a vizsgált elemnél hány kisebb van. (Azonos elemeknél a kisebb indexű kisebb.) Önmagával nem kell hasonlítani. 11

12 1.1. Összehasonlítva leszámoló rendezés Használjunk egy segédtömböt, melyet először nullázzunk le, ebben számoljuk, hogy a vizsgált elemet hány kisebb (vagy egyenlő) előzi meg

13 2. Beszúró rendezések Egy már rendezett sorozatban keressük meg az új elem helyét, ahova aztán beszúrjuk. Egyik legfontosabb osztály. Alaptípusai 2.1. Közvetlen beszúró rendezés 2.2. Beszúró rendezés láncolással 2.3. Shell rendezés 13

14 2.1. Közvetlen beszúró rendezés 1. Veszem az első elemet, az önmagában rendezett. 2. Mindaddig míg van elem veszem a köv. elemet és megkeresem a helyét a már rendezett elemek között Hatékonyság javítható, ha egy elem helyének a megkeresésére a bináris keresést alkalmazzuk. 14

15 2.2. Beszúró rendezés láncolással A közvetlen beszúró rendezésnél a szekvenciális tárolás miatt az elemek mozgatása időigényes. Használjunk láncolt listát, így csak néhány címet kell megváltoztatni. 15

16 2.3. Shell rendezés (fogyó növekményes rendezés) A beszúró rendezés finomított változata. 1. Rendezzük az 1. elemtől minden n. elemet 2. elemtől minden n. elemet 2. Rendezzük az 1. elemtől minden (n-1). elemet 2. elemtől minden (n-1). elemet 3. (n.) Rendezzük minden elemet beszúrással. 16

17 2.3. Shell rendezés (fogyó növekményes rendezés) n= n=2 n= Elemek távolsága (egy csoportban) tetszőleges, feltéve hogy szigorúan monoton csökkenő, és az utolsó távolság értéke egy. Bizonyos sorozatok jobb eredményt adnak, mint mások. 17

18 3. Cserélő rendezések 3.1. Buborék rendezés Szomszédok cseréjén alapul. Megvizsgáljuk a szomszédok egymáshoz való viszonyát, és ha szükséges felcseréljük őket. Fázisok: 1. (1)? (2), (2)? (3), n. elem a helyén (n-1)? (n) 2. (1)? (2), (2)? (3), (n-2)? (n-1) (n-1). elem a helyén 3. n-1. (1)? (2) minden elem a helyén 18

19 3. Cserélő rendezések 3.1. Buborék rendezés Helyben rendező módszer. Időigény: n(n-1)/2 O(n 2 ) Minimális, ha rendezett Maximális, ha fordított sorrendű Ha egy fázisban nem volt csere rendezett Elegendő az előző fázis utolsó cseréjéig hasonlítgatni. 19

20 Példa buborék rendezésre 1. fázis fázis fázis

21 3. Cserélő rendezések 3.2. Gyorsrendezés Nagy elemszámnál hatékony. Első elem: rendezés kulcsa Cél: a kulcstól balra csak elemek legyenek a kulcstól jobbra csak elemek legyenek Módszer: Balról is keressük az első elemet Jobbról is keressük az első elemet Ha a balról megtalált > jobbról megtalált csere Rekurzív algoritmus 21

22 Példa gyorsrendezésre Kulcs: Kulcs: Kulcs: Kulcs: Kulcs:

23 4. Kiválasztó rendezések 4.1. Rendezés közvetlen kiválasztással Első elem a kulcs. Keressük meg tőle jobbra a legkisebb elemet, és cseréljük meg első rendezett Második elem a kulcs,

24 5. Összefésülő rendezések Már rendezett tömböket vagy állományokat rendeznek össze úgy, hogy az egyesített részek rendezettek legyenek. Ha csak bizonyos részek rendezettek, akkor az összerendezés után a rendezett rész hossza növekszik. Típusai Közvetlen összefésülés Kétirányú összefésülő rendezés 24

25 5. Összefésülő rendezések 5.1. Közvetlen összefésülés Legyen A[1..n] és B[1..m] rendezett tömbök. Rendezzük össze egy C[1..n+m] tömbbe. 1. Hasonlítsuk össze a tömbök első elemeit, a kisebbet másoljuk át egy C tömbbe. 2. Tekintsük az elvett elem tömbjének következő elemét és hasonlítsuk össze a másik tömb aktuális elemével. A kisebbet másoljuk át a C tömbbe. 3. A 2. lépést folytatjuk mindaddig, míg az egyik tömb elemei el nem fogynak, ekkor a másik tömb elemeit sorban átmásoljuk C-be. 25

26 Példa közvetlen összefésülésre A B C