Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
|
|
|
- Péter Fekete
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
2 Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! n * n 1! ha n 0 1 ha n 0 Fibonacci-számok Fib n 0 ha n 0 1 ha n 1 Fib n 1 Fib n 2 ha n 1 A rekurzió lényege: önhivatkozás 9:28 Zsakó László: Rekurzió 2/47
3 Klasszikus példák Binomiális számok: Rekurzió,,, B n k 1 ha k 0 B n 1 k B n 1 k 1 ha 0 k n 1 ha k n 1 ha k n k B n, k ha 0 k n k, B n k McCarthy-féle 91-es függvény: M n M n 10 M n 11 Értéke 91 lesz, minden 100-nál kisebb n-re. ha ha n 100 n 100 9:28 Zsakó László: Rekurzió 3/47 3
4 Klasszikus példák Ackermann-függvény:,, A n m Elvadultságáról: A(0,m)=m+1 A(1,m)=m+2 A(2,m)=2*m+3 A(3,m)=2 m+3-3 Rekurzió m 1 ha n 0 A n 1 1 ha n 0 és m 0 An 1, A n, m 1 ha n 0 és m 0 A(4,m)= 2-3, ahol az a 2-t m+2-ször tartalmazza kitevőként. A , m 2 3 9:28 Zsakó László: Rekurzió 4/47 4
5 Faktoriális: Rekurzív specifikáció és algoritmus n! n * n 1! ha n 0 1 ha n 0 Fakt(n): Ha n>0 akkor Fakt:=n*Fakt(n-1) különben Fakt:=1 Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 5/47 5
6 Fibonacci számok: Rekurzív specifikáció és algoritmus Fib n 0 ha n 0 1 ha n 1 Fib n 1 Fib n 2 ha n 1 Fib(n): Ha n=0 akkor Fib:=0 különben ha n=1 akkor Fib:=1 különben Fib:=Fib(n-1)+Fib(n-2) Eljárás vége. Lame számok: Lame(n)=Lame(n-1)+Lame(n-3) Q számok: Q(n)=Q(n-Q(n-1))+Q(n-Q(n-2)) 9:28 Zsakó László: Rekurzió 6/47 6
7 Binomiális számok: Rekurzív specifikáció,,, B n k és algoritmus 1 ha k 0 B n 1 k B n 1 k 1 ha 0 k n 1 ha k n Bin(n,k): Ha k=0 vagy k=n akkor Bin:=1 különben Bin:=Bin(n-1,k)+Bin(n-1,k-1) Eljárás vége., Bn, k 1 B n k 1 ha k n k 0 1 ha 0 k n k Bin(n,k): Ha k=0 akkor Bin:=1 különben Bin:=Bin(n,k-1)*(n-k+1)/k Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 7/47 7
8 McCarthy 91-függvény: Rekurzív specifikáció M és algoritmus n M n 10 M n 11 ha ha n 100 n 100 M(n): Ha n>100 akkor M:=n-10 különben M:=M(M(n+11)) Eljárás vége. M(n): Ha n>100 akkor M:=n-10 különben x:=m(n+11); M:=M(x) Eljárás vége. Tehát a dupla rekurzió algoritmikus szinten nem okoz semmilyen gondot! 9:28 Zsakó László: Rekurzió 8/47 8
9 Ackermann függvény: Rekurzív specifikáció,, A n m és algoritmus m 1 ha n 0 A n 1 1 ha n 0 és m 0 An 1, A n, m 1 ha n 0 és m 0 Ack(n,m): Ha n=0 akkor Ack:=m+1 különben ha m=0 akkor Ack:=Ack(n-1,1) különben Ack:=Ack(n-1,Ack(n,m-1)) Eljárás vége. Tehát a dupla rekurzió algoritmikus szinten nem okoz semmilyen gondot! 9:28 Zsakó László: Rekurzió 9/47 9
10 Feladat Közvetett rekurzió Döntsük el egy számról, hogy páros-e, ha nincs maradékszámítás műveletünk! Megoldás Páros(n): Ha n=0 akkor Páros:=igaz különben ha n=1 akkor Páros:=hamis különben Páros:=Páratlan(n-1) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 10/47
11 Feladat Közvetett rekurzió Döntsük el egy számról, hogy páros-e, ha nincs maradékszámítás műveletünk! Megoldás Páratlan(n): Ha n=0 akkor Páratlan:=hamis különben ha n=1 akkor Páratlan:=igaz különben Páratlan:=Páros(n-1) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 11/47
12 Feladat Közvetett rekurzió Döntsük el egy számról, hogy páros-e, ha nincs maradékszámítás műveletünk! A két közvetetten rekurzív eljárás összevonható: Megoldás Páros(n): Ha n=0 akkor Páros:=igaz különben ha n=1 akkor Páros:=hamis különben Páros:=Páros(n-2) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 12/47
13 Hanoi tornyai: Rekurzív eljárás Adott 3 rudacska. Az elsőn egyre csökkenő sugarú korongok vannak. Az a feladat, hogy tegyük át a harmadik rudacskára a korongokat egyenként úgy, hogy az átpakolás közben és természetesen a végén is minden egyes korongon csak nála kisebb lehet. Az átpakoláshoz lehet segítségül felhasználni a középső rudacs-kát. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 13/47 13
14 Rekurzív eljárás Hanoi tornyai: 9:28 Zsakó László: Rekurzió 14/47 14
15 Rekurzív eljárás Hanoi tornyai: Hanoi(n,A,B,C): Ha n>0 akkor Elágazás vége Eljárás vége. Hanoi(n-1,A,C,B) Ki: N,A,B Hanoi(n-1,C,B,A) Hanoi(n,A,B,C): Ha n>1 akkor Hanoi(n-1,A,C,B) Ki: n,a,b Hanoi(n-1,C,B,A) különben Ki: n,a,b Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 15/47 15
16 Bajok a rekurzióval Problémák a rekurzióval Hely: nagyra dagadt veremméret. Idő:a vermelés adminisztrációs többletterhe, a többszörösen ismétlődő hívások. Pl. Fibonacci-számoknál: r(n):=az N. Fibonacci-szám kiszámításához szükséges hívások száma r(0):=1, r(1):=1, r(i):=r(i-1)+r(i-2)+1 Állítás: a) r(i)=f(i+1)+f(i)+f(i-1)-1 i>1 b) r(i)=2*f(i+1)-1, ahol F(i)=az i. Fibonacci-szám. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 16/47
17 Korlátos memóriájú függvények Korlátos memóriájú függvények Ha egy rekurzív függvény minden értéke valamely korábban kiszámolható értékből számolható, akkor némi memóriafelhasználással elkészíthető a rekurzió mentes változat, amelyben az egyes függvényértékeknek megfeleltetünk egy F(N) vektort. A függvény általános formája: f i g h f i 1, f i 2,..., f i K i ha ha i K 0 i K 9:28 Zsakó László: Rekurzió 17/47 17
18 Korlátos memóriájú függvények Korlátos memóriájú függvények f(n): Ha N<K akkor f:=h(n) különben f:=g(f(n-1),...,f(n-k)) Függvény vége. Az ennek megfelelő vektoros változat: f(n): Ciklus I=0-tól K-1-ig F(I):=h(I) Ciklus vége Ciklus I=K-tól N-ig F(I):=g(F(I-1),...,F(I-K)) Ciklus vége f:=f(n) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 18/47 18
19 Korlátos memóriájú függvények Korlátos memóriájú függvények Ez így természetesen nem hatékony tárolás, hiszen a rekurzív formulából látszik, hogy minden értékhez csak az őt megelőző K értékre van szükség. A hatékony megoldásban az alábbi ciklust kell átalakítani: Ciklus I=K-tól N-ig F(I):=g(F(I-1),...,F(I-K)) Ciklus vége Lehet pl. F(I mod K):=g(F(K-1),...,F(0)), ha a g() függvény kiszámítása nem függ a paraméter sorrendtől. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 19/47 19
20 Korlátos memóriájú függvények Példa: Fibonacci-számok 0 ha n 0 1 ha n 1 Fib n 1 Fib n 2 ha n 1 Fib n Fib(n): Ha n=0 akkor Fib:=0 különben ha n=1 akkor Fib:=1 különben Fib:=Fib(n-1)+Fib(n-2) Eljárás vége. Fib(n): F(0):=0; F(1):=1 Ciklus i=2-től n-ig F(i):=F(i-1)+F(i-2) Ciklus vége Fib:=F(n) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 20/47 20
21 Korlátos memóriájú függvények Példa: Fibonacci-számok Fib n Helytakarékos megoldás: Fib(n): F(0):=0; F(1):=1 Ciklus i=2-től n-ig F(i mod 2):=F(0)+F(1) Ciklus vége Fib:=F(n mod 2) Függvény vége. 0 ha n 0 1 ha n 1 Fib n 1 Fib n 2 ha n 1 9:28 Zsakó László: Rekurzió 21/47 21
22 Rekurzió memorizálással Megoldási ötlet: amit már kiszámoltunk egyszer, azt ne számoljuk újra! Tároljuk a már kiszámolt értékeket, s ha szükségünk van rájuk, használjuk fel őket! A megoldásban F(i)0 jelenti, ha már kiszámoltuk az i-edik Fibonacci számot. Fib(N): Ha F(N)<0 akkor ha N<2 akkor F(N):=N különben F(N):=Fib(N-1)+Fib(N-2) Fib:=F(N) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 22/47
23 Rekurzió memorizálással Binomiális együtthatók számolása. Bin(N,K): Ha N=0 vagy N=K akkor Bin:=1 különben Bin:=Bin(N-1,K-1)+Bin(N-1,K) Függvény vége. Ugyanez memorizálással: Bin(N,K): Ha B(N,K)<0 akkor Ha N=0 vagy N=K akkor B(N,K):=1 különben B(N,K):=Bin(N-1,K-1)+Bin(N-1,K) Elágazás vége Bin:=B(N,K) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 23/47
24 Feladat Közvetett rekurzió - járdakövezés Számítsuk ki, hogy hányféleképpen lehet egy n egység méretű járdát kikövezni 1x1, 1x2 és 1x3 méretű lapokkal! Az első helyre tehetünk 1x1-es lapot: Az első helyre tehetünk 1x2-es lapot: Az első helyre tehetünk 1x3-as lapot: Az első esetben n-1, a másodikban n-2-t, a harmadikban pedig n-3 cellát kell még lefednünk. Azaz az n cella lefedéseinek Lefed(n) száma Lefed(n-1)+Lefed(n-2)+Lefed(n-3). 9:28 Zsakó László: Rekurzió 24/47
25 Megoldás Közvetett rekurzió - járdakövezés Lefed(N): Elágazás N=1 esetén Lefed:=1 N=2 esetén Lefed:=2 N=3 esetén Lefed:=4 egyéb esetben Lefed:=Lefed(N-1)+ Lefed(N-2)+Lefed(N-3) Elágazás vége Függvény vége. Sokszoros hívás esetén vagy memorizálás, vagy ciklusos megoldás kell! 9:28 Zsakó László: Rekurzió 25/47
26 Feladat Közvetett rekurzió - járdakövezés Számítsuk ki, hogy hányféleképpen lehet egy 2xn egység méretű járdát kikövezni 1x2 és 1x3 méretű lapokkal! 9:28 Zsakó László: Rekurzió 26/47
27 Közvetett rekurzió - járdakövezés Az első oszlop egyféleképpen fedhető le: Az első két oszlop további elrendezéssel újra egyféleképpen fedhető le: Az első három oszlop újra egyféleképpen: Sajnos ez is előfordulhat: 9:28 Zsakó László: Rekurzió 27/47
28 Jelölje A(n) a megoldás értékét 2xn egység méretű járda esetén! Jelölje B(n) a megoldás értékét 2xn egység méretű járda esetén, ha az egyik jobboldali sarok nincs befestve! A n B n A n A n Közvetett rekurzió - járdakövezés An 2 An 3 2Bn Bn 1 Bn 3 ha ha ha n n ha ha ha ha n 1 9:28 Zsakó László: Rekurzió 28/47 ha n n 1 n 2 n 3 n 3
29 Közvetett rekurzió - járdakövezés A(n): Ha n=1 akkor A:=1 különben ha n=2 akkor A:=2 különben ha n=3 akkor A:=4 különben A:=A(n-1)+A(n-2)+A(n-3)+2*B(n-2) Függvény vége. B(n): Ha n<3 akkor B:=0 különben ha n=3 akkor B:=1 különben B:=A(n-3)+B(n-1)+B(n-3) Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 29/47
30 Feladat Közvetett rekurzió - járdakövezés Számítsuk ki, hogy hányféleképpen lehet egy 3xn egység méretű járdát kikövezni 1x2 méretű lapokkal! Megoldás Biztos nincs megoldás, ha n páratlan szám! 9:28 Zsakó László: Rekurzió 30/47
31 Közvetett rekurzió - járdakövezés Az első oszlop középső négyzete háromféleképpen fedhető le. 1. eset 2. eset 3. eset 9:28 Zsakó László: Rekurzió 31/47
32 Közvetett rekurzió - járdakövezés Az egyes esetek csak az alábbi módon folytathatók: Jelölje A(n) a megoldás értékét 3xn egység méretű járda esetén! Az 1. eset csak így folytatható 9:28 Zsakó László: Rekurzió 32/47
33 Közvetett rekurzió - járdakövezés Jelölje B(n) azt, hogy hányféleképpen fedhető le egy 3xn egység méretű járda, amelynek a bal alsó sarka már le van fedve! Szimmetria miatt a jobb felső sarok lefedettsége esetén is B(n)- féle lefedés van. A 2. eset csak így folytatható A n A n Bn 1 ha ha ha A 3. eset csak így folytatható n 1 n 2 n 2 9:28 Zsakó László: Rekurzió 33/47
34 Közvetett rekurzió - járdakövezés Az egyes esetek csak az alábbi módon folytathatók: Jelölje B(n) azt, hogy hányféleképpen fedhető le egy 3xn egység méretű járda, amelynek a bal alsó sarka már le van fedve! B(n) páros n-re mindig 0 értékű! A 2. eset csak így folytatható Az 1. eset csak így folytatható B n A n Bn 2 ha ha ha n 1 n 2 n 2 9:28 Zsakó László: Rekurzió 34/47
35 Közvetett rekurzió - járdakövezés A(n): Ha n=1 akkor A:=0 különben ha n=2 akkor A:=3 különben A:=A(n-2)+2*B(n-1) Függvény vége. B(n): Ha n=1 akkor B:=1 különben ha n=2 akkor B:=0 különben B:=A(n-1)+B(n-2) Függvény vége. Kövezés(n): Ha páros(n) akkor Kövezés:=A(n) különben Kövezés:=0 Függvény vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 35/47
36 Közvetett rekurzió - járdakövezés Szükség van itt memorizálásra? Igen, B(n-3)-hoz háromféle, A(n-4)-hez ötféle úton juthatunk el (B(n-3)-ból is számoljuk) Fibonacci számszor! Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy csak minden második A(i) és B(i) értéket számoljuk ki! 9:28 Zsakó László: Rekurzió 36/47
37 A(n): Ha TA[n]<0 akkor Ha n=1 akkor TA[n]:=0 különben ha n=2 akkor TA[n]:=3 különben TA[n]:=A(n-2)+2*B(n-1) Elágazás vége A:=TA[n] Függvény vége. B(n): Ha TB[n]<0 Ha n=1 akkor TB[n]:=1 különben ha n=2 akkor TB[n]:=0 különben TB[n]:=A(n-1)+B(n-2) Elágazás vége B:=TB[n] Függvény vége. Közvetett rekurzió - járdakövezés 9:28 Zsakó László: Rekurzió 37/47
38 Rekurzió és iteráció Jobbrekurzió A rekurzió problematikáját mint láttuk a lokális adatok, ill. paraméterek kezelése jelenti. Ha az eljárás utolsó utasításaként szerepel a rekurzív hívás, akkor nincs szükség a lokális adatok és paraméterek visszaállítására, azaz vermelésére. Ezt az esetet nevezzük jobbrekurziónak (vagy hosszabban jobboldali rekurziónak). 9:28 Zsakó László: Rekurzió 38/47 38
39 Rekurzió és iteráció Jobbrekurzió alapesetei R(x): S(x) Ha p(x) akkor R(x) Eljárás vége. R(x): Ciklus S(x) amíg p(x) Ciklus vége Eljárás vége. Azaz az átírás egy egyszerű hátultesztelős ciklus. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 39/47 39
40 Rekurzió és iteráció Jobbrekurzió alapesetei R(x): Ha p(x) akkor T(x); R(x) Eljárás vége. R(x): Ciklus amíg p(x) T(x) Ciklus vége Eljárás vége. Azaz az átírás egy egyszerű elöltesztelős ciklus. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 40/47 40
41 Rekurzió és iteráció Jobbrekurzió alapesetei R(x): S(x) Ha p(x) akkor T(x); R(x) különben U(x) Eljárás vége. R(x): S(x) Ciklus amíg p(x) T(x); S(x) Ciklus vége U(x) Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 41/47 41
42 Jobbrekurzió példa Egy szó kiírása: Kiír(szó): Ha nem üres?(szó) akkor Ki: első(szó) Kiír(elsőutániak(szó)) Eljárás vége. Rekurzió és iteráció Kiír(szó): Ciklus amíg nem üres?(szó) Ki: első(szó) szó:=elsőutániak(szó) Ciklus vége Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 42/47 42
43 Rekurzió és iteráció Jobbrekurzió példa Logaritmikus kiválasztás (az A vektor E. és V. eleme között az X elem biztosan megtalálható): Kiválasztás(A,X,K,E,V): K:=(E+V) div 2 Elágazás A(K)<X esetén Kiválasztás(A,X,K,K+1,V) A(K)>X esetén Kiválasztás(A,X,K,E,K-1) Elágazás vége Eljárás vége. Ez nem a formális jobbrekurzió változat, első lépésként tehát formális jobbrekurzióvá kell alakítani! 9:28 Zsakó László: Rekurzió 43/47 43
44 Rekurzió és iteráció Jobbrekurzió példa Logaritmikus kiválasztás (az A vektor E. és V. eleme között az X elem biztosan megtalálható): Kiválasztás(A,X,K,E,V): K:=(E+V) div 2 Elágazás A(K)<X esetén E:=K+1 A(K)>X esetén V:=K-1 Elágazás vége Ha A(K)X akkor Kiválasztás(A,X,K,E,V) Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 44/47 44
45 Rekurzió és iteráció Jobbrekurzió példa Logaritmikus kiválasztás (az A vektor E. és V. eleme között az X elem biztosan megtalálható): Kiválasztás(A,X,K,E,V): Ciklus K:=(E+V) div 2 Elágazás A(K)<X esetén E:=K+1 A(K)>X esetén V:=K-1 Elágazás vége amíg A(K)X Ciklus vége Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 45/47 45
46 Rekurzió és iteráció Nem tisztán jobbrekurzió példa Gyorsrendezés: Quick(A,e,v): Szétválogat(A,e,v,k) Ha k-e>1 akkor Quick(A,e,k-1) Ha v-k>1 akkor Quick(A,k+1,v) Eljárás vége. Quick(A,e,v): Ciklus Szétválogat(A,e,v,k) Ha k-e>1 akkor Quick(A,e,k-1) e:=k+1 amíg v-k>1 Ciklus vége Eljárás vége. 9:28 Zsakó László: Rekurzió 46/47 46
47 Rekurzió előadás vége
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás. (Horváth Gyula előadása alapján)
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 11. előadás (Horváth Gyula előadása alapján) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! Fibonacci-számok Fib n A rekurzió lényege: önhivatkozás n * n 1! ha n 0 1
Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai. felhasználásával)
Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! Fibonacci-számok Fib n A rekurzió lényege: önhivatkozás n * n 1! ha n 0 1 ha n 0 0 ha n 0 1
Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió Klasszikus példák Faktoriális n! Fibonacci-számok Fib n A rekurzió lényege: önhivatkozás n * n 1! ha n 0 1 ha n 0 0 ha n 0 1
Feladatmegoldási stratégiák
Kumulatív összegzés Algoritmusok kumulatív összegzés Adott egy N elemű számsorozat, adjuk meg a sorozat azon [a,b] intervallumát, ahol az elemek összege maximális! Bemenet: N N, X N * Kimenet: a,b H *
Informatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Rekurzió TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV 1. A faktoriális függvény A rekurzió, mint eszköz felbukkan specifikációs, algoritmikus, implementációs
Rekurzió 2. Belépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag
Belépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag Bende Imre, Heizlerné Bakonyi Viktória, Menyhárt László, Szlávi Péter, Törley Gábor, Zsakó László Szerkesztő: Abonyi-Tóth Andor, Zsakó László
5. Rekurzió és iteráció (Rekurzív programok átírása nemrekurzívvá)
5. Rekurzió és iteráció (Rekurzív programok átírása nemrekurzívvá) Az elõzõekben megbarátkoztunk a rekurzióval, mint egy problémamegoldási stratégiával, sõt megvizsgáltunk néhány programozási nyelvet a
Rekurzió. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Rekurzió (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Rekurzió és iteráció Balrekurzió Ha az eljárás első utasításaként szerepel a rekurzív hívás, akkor a rekurzió lényegében az első nem
Informatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Rekurzió memorizálással TÁMOP-.2.3.-12/1/KONV Bajok a rekurzióval Hely: nagyra dagadt memóriaméret az ismétlődő eljáráshívások miatt.
Rekurzív algoritmusok
Rekurzív algoritmusok 11. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. november 14. Sergyán (OE NIK) AAO 11 2011. november 14. 1 / 32 Rekurzív
A programozás alapjai 1 Rekurzió
A programozás alapjai Rekurzió. előadás Híradástechnikai Tanszék - preorder (gyökér bal gyerek jobb gyerek) mentés - visszaállítás - inorder (bal gyerek gyökér jobb gyerek) rendezés 4 5 6 4 6 7 5 7 - posztorder
Rekurzió. Működése, programtranszformációk. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.
Rekurzió Működése, programtranszformációk előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Rekurzió Rekurzió alapjai Rekurzív
Kombinatorikai algoritmusok. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)
Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával,
1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).
1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb
Kombinatorikai algoritmusok
Kombinatorikai algoritmusok (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával) Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával,
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 03 Oszd meg és uralkodj. Nagy
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 03 Oszd meg és uralkodj Divide & Conquer (,,Oszd meg és uralkodj ) paradigma Divide: Osszuk fel az adott problémát kisebb problémákra. Conquer: Oldjuk meg a kisebb
Információs Technológia
Információs Technológia Rekurzió, Fa adatszerkezet Fodor Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék foa@almos.vein.hu 2010. november 18. Rekurzió Rekurzió
Alkalmazott modul: Programozás 4. előadás. Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok. Alprogramok. Alprogramok.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás 4. előadás Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto
Felvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga
BABEȘ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR A. tételsor (30 pont) Felvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga 1. (5p) Egy x biten tárolt egész adattípus (x szigorúan pozitív
Dinamikus programozás II.
Dinamikus programozás II. Dinamikus programozás stratégiája A dinamikus programozás stratégiája 1. Az [optimális] megoldás szerkezetének tanulmányozása. 2. Részproblémákra és összetevőkre bontás úgy, hogy:
Adatszerkezetek II. 10. előadás
Adatszerkezetek II. 10. előadás Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik
Pásztor Attila. Algoritmizálás és programozás tankönyv az emeltszintű érettségihez
Pásztor Attila Algoritmizálás és programozás tankönyv az emeltszintű érettségihez 9. ÖSSZETETT FELADATOK...111 9.1. ELEMI ALGORITMUSOK ÖSSZEÉPÍTÉSE...111 9.2. ÖSSZEFOGLALÁS...118 9.3. GYAKORLÓ FELADATOK...118
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Problémamegoldási stratégiák
Problémamegoldási stratégiák Kumulatív összegzés Algoritmusok kumulatív összegzés Adott egy N elemű számsorozat, adjuk meg a sorozat azon [a,b] intervallumát, ahol az elemek összege maximális! Bemenet:
Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 2. Rekurzió 2.1. Feladat: Sorbaállítások száma Hány féleképpen lehet sorbaállítani az
Programozás alapjai. 6. gyakorlat Futásidő, rekurzió, feladatmegoldás
Programozás alapjai 6. gyakorlat Futásidő, rekurzió, feladatmegoldás Háziellenőrzés Egészítsd ki úgy a simplemaths.c programot, hogy megfelelően működjön. A program feladata az inputon soronként megadott
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás Oszd meg és uralkodj! Több részfeladatra bontás, amelyek hasonlóan oldhatók meg, lépései: a triviális eset (amikor nincs rekurzív hívás) felosztás (megadjuk
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 6. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 6. előadás Tesztelési módszerek statikus tesztelés kódellenőrzés szintaktikus ellenőrzés szemantikus ellenőrzés dinamikus tesztelés fekete doboz módszerek fehér
A 2017/2018 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2017/2018 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai 1. feladat: Repülők (20 pont) INFORMATIKA II. (programozás) kategória Ismerünk városok közötti repülőjáratokat.
A 2009/2010 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása. INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában
Oktatási Hivatal A 2009/2010 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás Elágazás és korlátozás A backtrack alkalmas-e optimális megoldás keresésére? Van költség, és a legkisebb költségű megoldást szeretnénk előállítani. Van
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Rekurzió. Témakörök. Rekurzió alapelve. Rekurzió alapjai Rekurzív algoritmusok végrehajtása Visszalépéses keresés Programtranszformációk
Rekurzió szenasi.sandor@nik.bmf.hu PPT 2007/2008 tavasz http://nik.bmf.hu/ppt 1 Témakörök Rekurzió alapjai Rekurzív algoritmusok végrehajtása Visszalépéses keresés Programtranszformációk 2 Rekurzió alapelve
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása
4. szakkör, 2004. október. 20. Az órai feladatok megoldása Most csak három önmagában nem nehéz feladatot kapsz, és a feladatot magadnak kell általánosítani, szisztematikusan adatot gyűjteni, általános
BBTE Matek-Infó verseny mintatételsor Informatika írásbeli vizsga
BABEȘ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR A. tételsor (30 pont) 1. (5p) Tekintsük a következő alprogramot: Alprogram f(a): Ha a!= 0, akkor visszatérít: a + f(a - 1) különben visszatérít
Multihalmaz, intervallumhalmaz
Multihalmaz, intervallumhalmaz Halmaz féleségek 1. Halmaz Gyümölcsök: {alma,körte,szilva,barack} 2. Multihalmaz Állatok: {(macska,4),(rigó,2),(galamb,3)} 3. Intervallumhalmaz diszjunkt Óráim: {[8-10],[13-14],[16-20)}
ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
A 2012/2013 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása. INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában
Oktatási Hivatal A 2012/2013 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Bevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása
1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június
FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
Sorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
A félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
REKURZIÓ. Rekurzív: önmagát ismétlő valami (tevékenység, adatszerkezet stb.) Rekurzív függvény: függvény, amely meghívja saját magát.
1. A REKURZIÓ FOGALMA REKURZIÓ Rekurzív: önmagát ismétlő valami (tevékenység, adatszerkezet stb.) Rekurzív függvény: függvény, amely meghívja saját magát. 1.1 Bevezető példák: 1.1.1 Faktoriális Nemrekurzív
Hatékonyság 1. előadás
Hatékonyság 1. előadás Mi a hatékonyság Bevezetés A hatékonyság helye a programkészítés folyamatában: csak HELYES programra Erőforrásigény: a felhasználó és a fejlesztő szempontjából A hatékonyság mérése
Visszalépéses kiválogatás
elépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag Heizlerné akonyi iktória, Horváth Győző, Menyhárt László, Szlávi Péter, Törley Gábor, Zsakó László Szerkesztő: Abonyi-Tóth Andor, Zsakó László
Szittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24
Hányféleképpen válthatom föl a pénzemet? Szittyai István Németh László Gimnázium, Hódmezővásárhely 2012. december 8. SZTE Bolyai Intézet Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók 2012.12.08, Bolyai, Szeged
3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
2. Milyen értéket határoz meg az alábbi algoritmus, ha A egy vektor?. (2 pont)
A Név: l 2017.04.06 Neptun kód: Gyakorlat vezet : HG BP l 1. Az A vektor tartalmát az alábbi KUPACOL eljárással rendezzük át maximum kupaccá. A={28, 87, 96, 65, 55, 32, 51, 69} Mi lesz az értéke az A vektor
ABSZTRAKCIÓ FÜGGVÉNYEKKEL (ELJÁRÁSOKKAL)
ABSZTRAKCIÓ FÜGGVÉNYEKKEL (ELJÁRÁSOKKAL) Elágazó rekurzió Absztrakció függvényekkel (eljárásokkal) FP-5..7-2 Korábban lineáris-rekurzív, ill. lineáris-iteratív folyamatokra láttunk példákat (faktoriális
B-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.
B-fa Felépítés, alapvető műveletek előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar B-fa Felépítése Beszúrás művelete Törlés
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
I. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 1. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 1. előadás Specifikáció A specifikáció elemei bemenet mit ismerünk? kimenet mire vagyunk kíváncsiak? előfeltétel mit tudunk az ismertekről? utófeltétel mi az összefüggés
Exponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
JÁKLI AIDA JUHÁSZ TIBOR A FIBONACCI-SOROZAT ÁLTALÁNOSÍTÁSAI. Kiegészítés a Programozási ismeretek versenyzőknek című könyvhöz (Műszaki Kiadó, 2015)
JÁKLI AIDA JUHÁSZ TIBOR A FIBONACCI-SOROZAT ÁLTALÁNOSÍTÁSAI Kiegészítés a Programozási ismeretek versenyzőknek című könyvhöz (Műszaki Kiadó, 2015) Jákli Aida Juhász Tibor: A Fibonacci-sorozat általánosításai
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
Számítógépek felépítése
Számítógépek felépítése Emil Vatai 2014-2015 Emil Vatai Számítógépek felépítése 2014-2015 1 / 14 Outline 1 Alap fogalmak Bit, Byte, Word 2 Számítógép részei A processzor részei Processzor architektúrák
2. Rekurzió. = 2P2(n,n) 2 < 2P2(n,n) 1
2. Rekurzió Egy objektum definícióját rekurzívnak nevezünk, ha a definíció tartalmazza a definiálandó objektumot. Egy P eljárást (vagy függvényt) rekurzívnak nevezünk, ha P utasításrészében előfordul magának
Összetett programozási tételek
Összetett programozási tételek 3. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 19. Sergyán (OE NIK) AAO 03 2011. szeptember
11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Adatbázis rendszerek Gy: Algoritmusok C-ben
Adatbázis rendszerek 1. 1. Gy: Algoritmusok C-ben 53/1 B ITv: MAN 2015.09.08 Alapalgoritmusok Összegzés Megszámlálás Kiválasztás Kiválasztásos rendezés Összefésülés Szétválogatás Gyorsrendezés 53/2 Összegzés
PROGRAMOZÁSI TÉTELEK
PROGRAMOZÁSI TÉTELEK Összegzés tétele Adott egy N elemű számsorozat: A(N). Számoljuk ki az elemek összegét! S:=0 Ciklus I=1-től N-ig S:=S+A(I) Megszámlálás tétele Adott egy N elemű sorozat és egy - a sorozat
Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása 2. előadás
Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása 2. előadás Tartalom Összegzés vektorra, mátrixra Megszámolás vektorra, mátrixra Maximum-kiválasztás vektorra, mátrixra Eldöntés vektorra, mátrixra Kiválasztás
A 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató INFORMTIK II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a dolgozatokat
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Algoritmusok pszeudókód... 1
Tartalomjegyzék Algoritmusok pszeudókód... 1 Abszolút érték... 1 Hányados ismételt kivonással... 1 Legnagyobb közös osztó... 1 Páros számok szűrése... 2 Palindrom számok... 2 Orosz szorzás... 2 Minimum
A 2012/2013 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai. II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2012/2013 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai II. (programozás) kategória 1. feladat: Karesz a robot (40 pont) Karesz egy utcagyerek, aki egy
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
ALGORITMIKUS SZERKEZETEK ELÁGAZÁSOK, CIKLUSOK, FÜGGVÉNYEK
ALGORITMIKUS SZERKEZETEK ELÁGAZÁSOK, CIKLUSOK, FÜGGVÉNYEK 1. ELÁGAZÁSOK ÉS CIKLUSOK SZERVEZÉSE Az adatszerkezetek mellett a programok másik alapvető fontosságú építőkövei az ún. algoritmikus szerkezetek.
ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK
ELEMI PROGRAMOZÁSI TÉTELEK 1. FELADATMEGOLDÁS PROGRAMOZÁSI TÉTELEKKEL 1.1 A programozási tétel fogalma A programozási tételek típusalgoritmusok, amelyek alkalmazásával garantáltan helyes megoldást adhatunk
Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.
9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2
Kép mátrix. Feladat: Pap Gáborné-Zsakó László: Algoritmizálás, adatmodellezés 2/35
Grafika I. Kép mátrix Feladat: Egy N*M-es raszterképet nagyítsunk a két-szeresére pontsokszorozással: minden régi pont helyébe 2*2 azonos színű pontot rajzolunk a nagyított képen. Pap Gáborné-Zsakó László:
Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
Készítette: Trosztel Mátyás Konzulens: Hajós Gergely
Készítette: Trosztel Mátyás Konzulens: Hajós Gergely Monte Carlo Markov Chain MCMC során egy megfelelően konstruált Markov-lánc segítségével mintákat generálunk. Ezek eloszlása követi a céleloszlást. A
Adatbázis és szoftverfejlesztés elmélet. Programozási tételek
Adatbázis és szoftverfejlesztés elmélet Témakör 8. 1. Egy sorozathoz egy érték hozzárendelése Az összegzés tétele Összefoglalás Programozási tételek Adott egy számsorozat. Számoljuk és írassuk ki az elemek
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
end function Az A vektorban elõforduló legnagyobb és legkisebb értékek indexeinek különbségét.. (1.5 pont) Ha üres a vektor, akkor 0-t..
A Név: l 2014.04.09 Neptun kód: Gyakorlat vezető: HG BP MN l 1. Adott egy (12 nem nulla értékû elemmel rendelkezõ) 6x7 méretû ritka mátrix hiányos 4+2 soros reprezentációja. SOR: 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6
Adatszerkezetek. Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések)
Adatszerkezetek Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések) Keresések A probléma általános megfogalmazása: Adott egy N elemű sorozat, keressük meg azt az elemet (határozzuk meg a helyét a sorozatban),
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
Nagypontosságú aritmetika I.
Nagypontosságú aritmetika I. Nagypontosságú aritmetika Problémák: sokjegyű (100 vagy 1000 vagy...) egész számok kellenek több alkalmazásban; jó lenne, ha 1/3*3 értéke 1 lenne, azaz kellenének racionális
A rész (30 pont) A.1. Vajon mit csinál? (5 pont) A generál(n) algoritmus egy n természetes számot dolgoz fel (0 < n < 100).
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA-INFORMATIKA KAR Felvételi verseny - szeptember Informatika írásbeli A versenyzők figyelmébe: 1. Minden tömböt 1-től kezdődően indexelünk. 2. A rácstesztekre (A rész)
A rekurzív algoritmusok tanításáról
Ismerd meg A rekurzív algoritmusok tanításáról A rekurzív algoritmusok fontos eszközei a számítógépek programozásának. A mai programozási nyelvek és a mai hardver lehetőségek megszüntették a rekurzív hívások
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:
A 2010/2011 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása. INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában
Oktatási Hivatal A 2010/2011 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása INFORMATIKÁBÓL II. (programozás) kategóriában Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a
1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 2.-4. Gyakorlat 1 / 33 Feladatok 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja
6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.