+ magasabb rend½u tagok. x=x0

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "+ magasabb rend½u tagok. x=x0"

Ágoston Hegedüs
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Variációs módszer Ebben a fejezetben a kvantummechanikában már megismert variációs mószert eevenítjük fe. Ez az ejárás küönösen fnts szerepet töt be a mekua zikában, mive több aapvet½ közeítés ezen aapu (p. Hartree- Fck közeítés). Funkciná A funkciná a szkáss függvény átaánsítása, de míg az utóbbi egy eképezés a vaós (R) vagy kmpex (C) számk hamazábó, ugyanezen hamazk vaameyikébe, a funkciná egy yan eképezés, ami egy nrmát teret V (vektrtér nrmáva) a vaós (R) vagy kmpex (C) számk terére képezi e. Derivát, variáció A funkcináis derivát a függvényekné megszktt derivát fgam átaánsítása, ami bár sk hasnóságt mutat mégis es½re szkatannak t½unhet. Itt csak az es½ derivát fgamáva fgakzunk de a gndatmenet könnyen átaánsítható magasbb derivátakra is. E½ször írjuk át a függvények esetében megszktt fgamainkat, hgy közeebb kerüjenek a funkciná haszáatsakhz. Legyen f(x) egy függvény. A kakuusban tanutaknak megfee½en Itt df(x) f(x 0 + ) f(x 0 ) + df(x) a függvény derivátja az x x 0 heyen, df(x) + magasabb rend½u tagk. xx0 pedig a függvény -ban es½rend½u megvátzása xx0 ugyanezen a heyen ezt nevezhetjük a "függvény variációjának". Legyen F [y] egy nrmát vektrtéren értemezett kmpex érték½u funkciná. Legyen egy T V azt ú.n. tesztfügvények tere és t 2 T. (A tesztfüggvényt gyakran y-na jeöik.) Ekkr Fréchet nymán ah [y 0; t] ineáris(!) funkciná és F [y 0 + t] F [y 0 ] + [y 0; t] + O [t] ko [t]k im 0 ktk!0 ktk A ineáris funkciná az F [y] funkcináis derivátja az y y 0 heyen, a funciná értéke ( [y 0; t]) pedig a t tesztfüggvényre adja a funkciná es½rend½u variációját. Péda Legyen a függvényterünk az egyvátzós (0,) intervamn integráható vaós függvények tere. Legyen tvábbá y(x) a tér egy eeme és a téren értemezett funkciná F [y] y (x) 2 A fenti de níció szerint áítsuk e½ az F es½rend½u variációját. F [y + y] F [y] (y + y) 2 2yy + y 2 y 2 + 2yy + y 2 Itt az es½ integrá y-ban es½ a másdik másdrend½u. Az utóbbit a az es½rend½u variáció kiszámításáná a de níció szerint ehagyjuk. Ezze F [y; y] 2yy y 2

2 Megjegyzés Az integrá aakban feírt funkcinák esetében a F kifejezésében a y szrzójaként megjeen½ függvényt szkás funkcináis derivátnak nevezni és F y -na jeöni. A funciná anaízis szerint egy skaárszrzats vektrtéren értemezett ineáris funkciná G [y] feírható a tér meghatárztt eeméve vett skaárszrzat aakjában G [y] (g; y). Ezt úgy szkás megfgamazni, hgy a ineáris funkciná aznsítható a vektrtér egy adtt eeméve. Az e½bbi esetben az integrá a skaárszrzat és a funcináis derivát a 2y-na vett skaárszrzat. Variációs ev I. Legyen egy kvantum rendszer Hamitn perátra H és ennek sajátértékei és rtnrmát sajátáaptai E k és j k i (k 0; ; 2; ). Legyen a rendszer tetsz½eges áapta j i. Ebben az áaptban az energia várhatóértéke feírható az áapt E [ ] funkcinájaként E [ ] h jhj i () A variációs ev kimndja, hgy ez a funciná stacinárius a j i szerinti variációra a sajátáaptkná, azaz a j i szerinti es½ variációja et½unik, E [ k ; ] 0 (2) akkr és csakis akkr, ha j i j k i (k 0; ; 2; ) Biznyítás Számítsuk ki E [ ] es½rend½u variációját a fenti de níció szerint. Számítsuk ki e½ször a E [ + ] E [ ] küönbséget. Ehhez A hányadst írjuk át az x+" x E [ + ] h + jhj + i h + j + i h jhj i + h jhj i + h jhj i + h jhj i x 2 " + srfejtés segítségéve (ah " + + ). E [ + ] fh jhj i + h jhj i + h jhj i + h jhj ig ( ) Összeszrzás után csak a j i-ben es½rend½u tagkat megtartva E [ + ] h jhj i amive az es½rend½u variáció h jhj i + + h jhj i + h jhj i h jhj i + h jhj i h jhj i ( + ) 2 E [ ] + E [ ] h jhj i + h jhj i + E [ ] Hasznájuk ki, hgy az utóbbi kifejezés tetsz½eges tesztfüggvényre igaz ke hgy egyen. Térjünk rá a téte biznyítására. Tegyük fe, hgy vaamey -re E [ ; ] 0 Hasznájuk ki, hgy a (3) kifejezés tetsz½eges tesztfüggvényre igaz ke hgy egyen. Azaz p. -re és i -re is. Ebb½ E [ ] E [i ] h jh E [ ]j i i + hi jh E [ ]j i 2 i h jh E [ ]j i i h jh E [ ]j i (3)

3 Fetevésünk szerint a variáció mindkét esetben et½unik, azaz 0 0 i h jh E [ ]j i i h jh E [ ]j i A másdik egyenetet i-ve sztva és a két egyenetet kivnva Ez csak úgy tejesühet tetsz½eges -re ha h jh E [ ]j i 0 H j i E [ ] j i azaz j i a H sajátáapta és E [ ] a sajátértéke. Tegyük fe mst, hgy j i k a H sajátáapta és E [ ] E k a sajátértéke. Ekkr az es½rend½u variáció (3) aapján Ezze a téteünket biznyítttuk. Variációs ev II. h k j(e k E k ) (E k E k )j k i z } { z } { h E [ ] k j H E [ ] j i + h j H E [ ] j k i 0 h k j k i Legyen a rendszer tetsz½eges nrmát(!) áapta j i. Ebben az áaptban az energia várhatóértéke feírható az áapt E [ ] funkcinájaként E [ ] h jhj i (4) A variációs ev kimndja, hgy ez a funciná stacinárius a j i szerinti variációra a sajátáaptkná, azaz a j i szerinti es½ variációja et½unik a meékfetéte meett, E [ k ; ] 0 (5) akkr és csakis akkr, ha j i j k i (k 0; ; 2; ) Biznyítás Számítsuk ki E [ ] es½rend½u variációját. Az energia funkciná aakja csak abban az esetben fee meg a fenti (4) aaknak, ha biztsitjuk a j i nrmátságát. A variáció számítás srán (a kakuusban tanut, a fetétees szés½érték számásná hasznát) Lagrange mutipikátrs módszer segítségéve tudjuk ezt megtenni. Ez azt jeenti, hgy az E [ ] funkciná heyett bevezetünk egy új funkcinát, ami az eredeti funkciná és a nuára rendezett fetéte összege ~E [ ] h jhj i + ( ) Ez a funkciná már szabadn variáható. Számítsuk ki e½ször a ~ E [ + ] ~ E [ ] küönbséget. Ehhez ~E [ + ] h + jhj + i + ( h + j + i) h jhj i + h jhj i + h jhj i + h jhj i + ( ) h jhj i + ( ) + h jhj i + h jhj i + h jhj i ( + + ) Ebb½ az ~ E [ ]-t evnva és a -ben másdrend½u tagkat ehagyva ~ E [ ; ] + h jhj i + h jhj i h jh j i + h jh j i Az iménti biznyításhz hasnóan, fetéve, hgy vaamey -re E [ ; ] 0; azt kapjuk, hgy k H vaamey sajátáapta. És visznt kiinduva abbó, hgy k H vaamey sajátáapta, a E k értékre következik, hgy E [ ] 0 3

4 Variációs ev aapáaptra A gyakrati akamazásk szempntjábó kiemet jeent½sége van a variációs ev aapáaptra vnatkzó frmájának. Tetsz½eges j i nrmát próbafüggvénnye számt h jhj i energia várhatóérték nagybb vagy egyen½ mint a Hamitn perátr egkisebb energia sajátértéke E 0 (aapáapti energia). Az egyen½ség csak abban az esetben tejes½u, ha j i az aapáapt. Biznyítás Fejtsük ki a próbafüggvényt H nrmát sajátáaptain (tegyük fe, hgy az áaptk az energia sajátértékek szerinti növekv½ srba rendezettek) j i k a k j k i és írjuk ezt be az energia várhatóértékbe E h jhj i a ka h k jhj i k k a ka E h k j i ja j 2 E ; {z } k k a ka h k j H j i {z } E j i ah kihasznátuk, hgy a j i sájátáaptk nrmátak és rtgnáisak. E ja j 2 E E 0 ja j 2 E 0 Itt kihasznátuk, hgy E E 0 tetsz½eges sajátértékre, vaamint hgy P ja j 2 Az egyen½ség akkr á fenn, ha a és a i 0; i 2; 3; A mst kaptt össszefüggés ehet½vé teszi, hgy a küönböz½ próbafüggvényeket rangsrjuk, hiszen ha egy próbafüggvény méyebb energiát ad, akkr jbban megközeíti az aapáaptt mint az, amihez tartzó energia várhatóérték nagybb. Fnts megjegyezni, hgy az hgy egy áapt jbb energiát ad mint egy másik még nem jeenti azt, hgy ugyanez fenná más zikai mennyiségekre is. Ritz-fée (ineáris) variációs módszer A variációs módszer egyik gyakran e½frduó akamazása az, amikr a próbafüggvényt egy ismert bázis f i g i eemeinek ineáris kmbinációjaként keressük j i i a i i A bázisró nem tesszük fe sem az rtgnaitást sem a nrmátságt. Azaz i j j Sij ; ah S ij az úgynevezett átfedési integrá. Beírva az energia várhatóértékbe E h jhj i Pi;j a i a j h i j H P j i;j P i;j a i a a i a jh ij j i j j Pi;j a i a ; js ij ah H ij h i j H j a Hamitn perátr mátrixeeme a bázisn. Írjuk át ezt a kifejezést a E i;j a i a j S ij i;j a i a j H ij aakba és derivájuk mindkét dat a k i;j a i a j S ij + E j a j S kj j a j H kj 4

5 A egméyebb energiáhz k 0 k ; 2; ; amib½ a a j (H kj ES kj ) 0 k ; 2; j hmgén egyenetrendszert kapjuk az együtthatókra. A triviáistó küönböz½ megdás étezésének fetétee, hgy det (H ES) 0; tejesüjön, ah H a H perátr mártixa a f i g i bázisn S pedig az átfedési integrákbó feépített mátrix. Ebb½ az egyenetb½ rendszerint több energia értéket kapunk, amit egyenként visszaheyettesítve az egyenetrendszerbe kapjuk az adtt energiáhz tartzó együtthatókat. 5

Hasonló dokumentumok

2. Közelítő megoldások, energiaelvek:

2. Közelítő megoldások, energiaelvek: SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 3. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, egy. ts.) III. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.. A tejes otenciáis energia