2002. október 29. normalizáltjai eloszlásban a normális eloszláshoz konvergálnak, hanem azt is, hogy a
|
|
- Zsófia Jónásné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A Vaószínűségszámítás II. eőadássorozat hetedik eőadása október 29. Határeoszástéteek függeten vektor értékű vaószínűségi vátozókra. Hangsúyoztuk, hogy a Lindeberg fée centráis határeoszástéte nemcsak azt áította, hogy függeten vaószínűségi vátozóknak a Lindeberg fetétet tejesítő sorozatának normaizátjai eoszásban a normáis eoszáshoz konvergának, hanem azt is, hogy a normáis határeoszástéte a,,heyes szórássa rendekezik. Tanuságos ehet átni oyan pédát, meyben a Lindeberg fetétet nem tejesítő, de egyenetesen kicsi függeten vaószínűségi vátozók normaizát részetösszegei a normáis eoszáshoz konvergának, de a határeoszás szórásnégyzete kisebb, mint a szabáyos esetekben. A péda heyességének bizonyítása érdekében eőször beátunk egy önmagában is érdekes és hasznos emmát, meyet az irodaomban Sutsky emmának is szokás hívni. Sutsky emma. Legyen adva vaószínűségi vátozók két S n és T n, n =, 2,..., sorozata, meyekre az S n, n =, 2,..., sorozat eoszásban konvergá vaamiyen F eoszáshoz, és a T n, n =, 2,..., sorozat sztochasztikusan konvergá nuához, azaz P ( T n > ε) 0 minden ε > 0 számra, ha n. Ekkor az S n + T n, n =, 2,..., sorozat szintén konvergá eoszásban az F eoszáshoz. A Sutsky emma szeméetes tartama viágos. Azt mondja ki, hogy ha egy eoszásban konvergens sorozat eemeit nagyon kicsit vátozatatjuk meg, akkor a konvergencia továbbra is érvényben marad. A Sutsky emma bizonyítása: Tekintsük az F ( ) határeoszásfüggvény egy x foytonossági pontját. Azt ke beátnuk, hogy a im P (S n + T n < x) = F (x) reáció is tejesü. Ennek érdekében vegyünk tetszőes ε > 0 számhoz oyan δ = δ(ε, x) > 0 számot, meyre F (x) ε 2 < F (x δ) < F (x) < F (x + δ) < F (x + δ) + ε 2. Mive az F ( ) monoton függvénynek csak megszámáhatóan sok szakadási pontja van, az átaánosság megszorítása nékü azt is fetehetjük, hogy az x±δ pontok foytonossági pontjai az F ( ) függvénynek. A fetéteek tejesüése esetén étezik oyan n 0 = n 0 (x, δ, ε) index, meyre P (S n < x + δ) < F (x + δ) + ε 4, P (S n > x δ) < F (x δ) + ε 4, és P ( T n δ) < ε 4, ha n n 0. Ekkor P (S n + T n < x) P (S n < x + δ) + P ( T n δ) < F (x + δ) + ε 2 < F (x) + ε, ha n n 0 (ε, δ), mert {ω : S n (ω)+t n (ω) < x} {ω : S n (ω) < x+δ} {ω : T n (ω) δ}. Hasonóan kapjuk, hogy P (S n + T n x) < P (S n x δ) + P ( T n δ) < F (x) + ε, ha n n 0 (ε, δ), mert {ω : S n (ω) x} {ω : S n (ω)+t n (ω) x δ} {ω : T n (ω) δ}. Az eső egyenőteségbő következik, hogy im sup P (S n + T n < x) < F (x) + ε, a második egyenőtenségbő pedig az, hogy im inf P (S n + T n < x) > F (x) ε. Mive
2 ezek az egyenőtenségek tetszőeges ε > 0 számra igazak, innen következik a Sutsky emma. Most rátérünk a kívánt tuajdonságú péda ismertetésére.. Péda: Legyen ξ n, n =, 2,..., függeten vaószínűségi vátozókbó áó sorozatot, meyek eemeinek eoszása a következő: P (ξ n = n) = P (ξ n = n) = 4n 2, P (ξ n = ) = P (ξ n = ) = 4, és P (ξ n = 0) = 2, n =, 2,.... 2n2 Ekkor Eξ n = 0, Eξ 2 n =. Azt áítjuk, hogy az S n = ξ k, n =, 2,..., részetösszegek n S n, n =, 2,..., normaizátjai eoszásban konvergának egy nua várható értékű, 2 szórásnégyzetű normáis vaószínűségi vátozóhoz. Az. Péda igazoása: Vezessük be az X n = ξ n I( ξ n 2), és Y n = ξ n I( ξ n > 2) vaószínűségi vátozókat, aho I(A) jeöi az A hamaz indikátorfüggvényét, és vezessük be az S n = X k és T n = eoszásban konvergá a nua várható értékű és 2 mert EX n = 0, EX 2 n = 2, s2 n = Y k, n =, 2,..., részetösszegeket. Ekkor n Sn sorozat vátozók tejesítik a Lindeberg fetétet, hiszen szórásnégyzetű normáis eoszáshoz, EX 2 k = n 2, és az X n, n =, 2,..., vaószínűségi EX 2 k I( X k εs n ) = 0, ha n n 0 (ε). Másrészt a n T n kifejezések sztochasztikusan konvergának nuához, ha n. Ez átható, ha észrevesszük, hogy P (Y k 0) <, ezért a Bore Cantei emma aapján egy vaószínűségge csak véges sok Y k (ω) nem egyenő nuáva, és ezért Y k (ω) K(ω). Innen következik, hogy majdnem minden ω Ω pontban T n (ω) K(ω) minden n =, 2,... számra, aho a jobbodaon szerepő becsés függhet az ω eemi eseménytő, de nem függ az n indextő. A Sutsky emmábó, az n S n = Sn n + n T n azonosságbó és a következik, hogy az n S n és a n T n sorozat sztochasztikus konvergeniájábó nuához következik, hogy a n S n és n Sn sorozatoknak ugyanaz a határeoszásuk, ezért igaz a pédában megfogamazott áítás. Jegyezzük meg azt is, hogy a pédában szerepő ξ k vaószínűségi vátozók tejesítik az egyenetes kicsiség fetéteét, de nem tejesítik a Lindeberg fetétet. Vaóban, Eξk 2 =, s 2 n = n = n, ezért im sup = 0, azaz az egyenetes kicsiség fetétee Eξk 2 tejesü. Másrészt im k n fetéte ebben a pédában nem tejesü. Eξ 2 k s 2 n Eξk 2I( ξ k > εs n ) = im n EY 2 k = 2, tehát a Lindeberg Az egyforma eoszású függeten vaószínűségi vátozók normáizát összegeirő szóó centráis határeoszástéteben fetettük, hogy az összeadandóknak van véges második 2
3 momentumuk. Ez természetes fetéte, mégis érdekes ehet megmutatni, hogy ehetséges oyan eset is, amikor végteen szórásnégyzetű függeten, egyforma eoszású vaószínűségi váttozók akamasan normaizát részetösszegei is konvergának eoszásban a normáis eoszáshoz. Ennek ehetőségét mutatjuk meg a következő pédában, ameyik mögött hasonó gondoat van, mint az eső pédában. 2. Péda: Legyen ξ, ξ 2,... függeten egyforma eoszású vaószínűségi vátozók sorozata, mey sorozat tagjainak étezik sűrűségfüggvénye, és azt az f(x) = x, ha x, 3 f(x) = 0, ha < x < képet adja meg. Ekkor Eξ = 0, Eξ 2 = x : x x2 x dx = 3. Továbbá az S n = n ξ k, n =, 2,..., részetösszegek S n normaizátjai n og n eoszásban konvergának a standard normáis eoszáshoz. Az 2. Péda igazoása: Definiájuk minden n =, 2,... számra az η k,n = ξ k I( ξ k n og og n) és az ζk,n = ξ k I( ξ k > n og og n), k n vaószínűségi vátozókat, vamint ezek S n = η k,n és T n = n og n S n = ζ k,n összegeit. Ekkor n og n Sn + n og n T n ezért a Sutsky emma aapján eegendő beátni, hogy a Sn vaószínűségi vátozók n og n eoszásban konvergának a standard normáis eoszáshoz, és a T n vaószínűsé- n og n gi vátózók sztochasztikusan konvergának nuához. Az eső áítás igazoásához azt ke megmutatni, hogy a ξ k,n = ξ k,n, k n, szériasorozatra akamazhatjuk a n og n centráis határeoszástétet. Ehhez vegyük észre, hogy E ξ k,n = 0, E ξ k,n 2 = ahonnan x : x n og og n E ξ 2 k,n = og n+og og og n og n x 2 2 og (n og og n) dx = n og n x 3 n og n = og(n og og n), n og n, ha n. Ezért eég eenőrizni, hogy a ξ k,n vaószínűségi vátozók tejesítik a Lindeberg fetétet, azaz minden ε > 0 számra E ξ k,ni( ξ 2 k,n > ε) = n x : ε n og n< x < n og og n x 2 dx 0 ha x. n og n x 3 Ez az áítás viszont igaz, mive eég nagy n-re az {x: ε n og n < x < n og og n} integráási tartomány az üres hamaz, ezért a tekintett integrá nua. Be ke még átnunk, hogy a T n vaószínűségi vátozók sorozata sztochasztikusan nuához tart, azaz im P n ( og n ) T n > ε = 0 minden ε > 0 számra. n og n 3
4 Beátjuk, hogy az erősebb im P (T n 0) = 0 reáció is tejesü. Vaóban, P (T n 0) k=0 P (ζ k,n 0) = n x : x > n og og n dx x 3 = og og n 0 ha n. Láttuk, hogy a határeoszás szórásnégyzete ehet kisebb, mint az eoszások szórásnégyzetének a imesze. Femerü a kérdés, hogy ehet-e nagyobb. A váasz erre a kérdésre nemeges, és ezt mondja ki az aábbi emma. Lemma. Konvergájon F n eoszásfüggvények egy sorozata egy F eoszásfüggvényhez. Ekkor im inf x 2 F n ( dx) x 2 F ( dx). Átaánosabban, ha g(x) tetszőeges foytonos, nem negatív (de nem fetétenü korátos függvény), akkor im inf g(x)f n ( dx) g(x)f ( dx). A emma bizonyítása. Eőször tekintsük azt az esetet, amikor g(x)f ( dx) <. Ekkor tetszőeges ε > 0 számhoz étezik oyan K = K(ε) > 0 szám, meyre a g K (x) = min(k, g(x)) korátos és foytonos függvény tejesíti az g K (x)f ( dx) g(x)f ( dx) ε reációt. Ezért az F n eoszásfüggvények gyenge konvergenciájábó az F eoszásfüggvényhez következik, hogy im inf g(x)f n ( dx) im g K (x)f n ( dx) = g K (x)f ( dx) g(x)f ( dx) ε, és mive ez az egyenőtenség minden ε > 0 számra érvényes, innen következik a Lemma áítása ebben az esetben. Ha g(x)f ( dx) = akkor tetszőeges L > 0 számhoz étezik oyan K = K(L) > 0 szám, meyre a g K (x) = min(k, g(x)) korátos és foytonos függvény tejesíti az gk (x)f ( dx) L reációt. Ezért az F n eoszásfüggvények gyenge konvergenciájábó az F eoszásfügggvényhez következik, hogy im inf g(x)f n ( dx) im g K (x)f n ( dx) = g K (x)f ( dx) L, és mive ez az áítás minden L > 0 számra érvényes, a Lemma áítása ebben az esetben is érvényes. Megjegyzés: Az eőző Lemma mutat némi hasonóságot a mértékeméetben tanut Fatou emmáva, meyet ismertettem az ötödik eőadás kiegészítésében. A két áítás bizonyítása is nagyon hasonó. A fenti pédák mutatják, hogy a centráis határeoszástéte megfogamazásában szerepő fetéteek fontosak. Ezek nem tejesüése esetén másfajta jeenségek is feéphetnek. Természetes módon femerüt az az igény az eméetben, hogy adjunk tejes képet 4
5 arró, hogy mikor ehetséges az, hogy függeten vaószínűségi vátozók normaizát részetösszegei eoszásban normáis eoszáshoz konvergának, de a normáás ehet szokatan is. Errő a probémáró sok érdekes és tartamas eredményt bizonyítottak, de ezze mi nem fogunk fogakozni. Gyakorati szempontbó ugyanis csak a korábban tárgyat eredmények fontosak, az itt tárgyat eredmények csak nagyon speciáis esetekben jeennek meg. Érdemes megemíteni, hogy az emített pédákban a váratan jeenségek oka az vot, hogy egy kis hamazon a vaószínűségi vátozók nagyon nagy értéket vettek fe, ami aig befoyásota összegeik eoszását. Ezt a tényt a Sutsky emma segítségéve tudtuk megmutatni. Viszont egy kis hamazon fevett nagy értékek nagyon megvátoztatták a momentumokat. Minden szokatan normáássa érvényes határeoszástéte hátterében iyen jeenség van. Sőt, mint átni fogjuk a vaószínűségszámítás egyéb probémáiban, mint pédáu a később tárgyaandó nagy számok törvényének probémájában is hasonó probémák jeennek meg. Határeoszástéteek vizsgáata vektorértékű függeten vaószínűségi vátozók normaizát összegeire. Tekintsük a következő két probémát a.) Egy pénzdarabró e akarjuk dönteni, hogy szabáyos-e. Ennek érdekében a pénzdarabot sokszor egymástó függetenü fedobjuk, és fejegyezzük a kiséretek eredményét. Miyen eredménysorozat esetén tekinthetjük a pénzdarabot szabáyosnak? b.) Egy dobókockáró e akarjuk dönteni, hogy szabáyos-e. Ennek érdekében a dobókockát sokszor egymástó függetenü fedobjuk, és fejegyezzük a kiséretek eredményét. Miyen eredménysorozat esetén tekinthetjük a dobókockát szabáyosnak? Természetes úgy dönteni, hogy a pénzdarabot akkor tekintjük szabáyosnak, ha a dobások körübeü fee feje körübeü fee pedig írásdobás. Hasonóan, a dobókockát akkor tekintjük szabáyosnak, ha mindegyik dobáseredmény az összes dobás körübeü egyhatodában következik be. De mit jeent a,,körübeü szó ezekben az áításokban? Az a) probéma esetében a centráis határeoszástéte segítségéve adhatunk pontosabb váaszt erre a kérdésre. Végezzünk összesen n kiséretet, és egyen S n a fedobások számát, akkor S n n 2 n 2 a centráis határeoszástéte következtében köze normáis vaószínűségi vátozó. Vaóban vezessük be a következő ξ k, k n, vaószínűségi vátozókat: ξ k =, ha a k-ik dobás eredménye fej, ξ k = 0, ha a k-ik dobás eredménye írás. Ekkor S n = ξ k, Eξ k = 2, Var ξ k = 4, továbbá a ξ k vaószínűségi vátozók függetenek. Ezért a centráis határeoszástétebő következik a megfogamazott eredmény. Ennek segítségéve kidogozhatunk egy természetes stratégiát. Természetesen nem adhatunk oyan ejárást, ameyik biztosan heyes döntést ad. Próbájunk oyan döntést hozni, ameyik egy szabáyos pénzdarabot 0.9 vaószínűségge szabáyosnak minősít. Természetes ejárás a következő: Keressük ki egy nomáis eoszástábázat 5
6 segítségéve azt az x számot, meyre Φ(x) Φ( x) = 0.9, aho Φ(x) jeöi a standard normáis eoszást. Ezután tekintsük a pénzdarabot szabáyosnak, ha 2 nx S n n 2 2 nx, eenkező esetben pedig tekintsük a pénzdarabot szabáytaannak. Lehet-e hasonó módszet megadni a b) feadat megodására? A váasz erre a kérdésre igenő, de ennek kidogozásához be ke bizonyítani a centráis határeoszástéte több-dimenziós vátozatát. Legyen ugyanis S n = (S n (), S n (2), S n (3), S n (4), S n (5), S n (6) ) az - es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os eredményű dobások száma, akkor ha n dobást hajtunk végre. A később tárgyaandó több-dimenziós centráis határeoszástéteben ezen véeten vektor akamas normaizátjának az aszimptotikus eoszására kivánunk eredményt kapni. Vezessük be ξ (k) = (ξ (k), ξ(k) 2, ξ(k) 3, ξ(k) 4, ξ(k) 5, ξ(k) 6 ) vaószínűségi vátozót, ameyiknek a j-ik koordinátája, ha a k-ik dobás eredménye j, és ebben az esetben az összes többi koordináta nua. A ξ (k) vektor azt méri, hogy a k-ik dobásnak mennyi a hozadéka küönböző dobáseredmények számához, ezért S n = ξ (k). Ez azt jeenti, hogy a vizsgáandó S n véeten vektor eőáítható, mint függeten véeten vektorok összege. Ezért természetes azt vizsgáni, hogy a kasszikus centráis határeoszástétet hogyan ehet átaánosítani véeten vektorokra. Mint a b) péda mutatja, egy iyen eredmény hasznos ehet természetes gyakorati probémák megodásában is. Megjegyezzük, hogy a b) probémához hasonóan tárgyaható az aábbi c) probéma: c) Legyen adva k urna, és ezekbe egymástó függetenü bedobunk n goyót egymástó függetenü, ameyek ugyanoyan vaószínűségge esnek az egyes urnákba. Próbájuk meg eenőrízni azt, hogy igaz-e, hogy a goyók az egyes urnákba p,..., p k vaószínűségge esnek. (Fetesszük, hogy az evégzett kiséretek n száma nagyon nagy.) Annak érdekében, hogy a több-dimenziós centráis határeoszástétet bebizonyítsuk bizonyos eredményeknek és fogamaknak ki ke dogozni a több-dimenziós megfeeőjét, így definiánunk ke több-dimenziós eoszások konvergenciáját es a karakterisztikus függvények több-dimenziós megfeeőjét. Ezután be ehet bizonyítani azt, hogy a többdimenziós eoszásokat is meghatározza azok karakterisztikus függvénye, és igaz az eoszások konvergenciájank eaptéteeként enevezett eredmény több-dimenziós vátozata. Ezeket az eredményeket meg fogjuk fogamazni, de a bizonyítások részeteit, meyek ényegében az egy-dimenziós esetben tárgyat bizonyítások természetes módosításábó ának, ehagyjuk. Ezek az eredméyek ehetővé teszik, hogy a több-dimenziós centráis határeoszástétet annak egy-dimenziós vátozatához hasonóan bizonyítsuk be. Sőt, vaójában a heyzet még enné is egyszerúbb. Meg ehet mutatni, hogy a több-dimenziós centráis-határeoszástéte közveten módon visszavezethető az egy-dimenziós esetre. A fenti áítások részetesebb megtárgyaása esz a következő programunk. De mieőtt ehhez hozzákezdenénk, megtárgyajuk az egy-dimenziós vaószínűségi vátozók vizsgáatában fontos szerepet játszó várható érték és szórásnégyzet fogamának a többdimenziós megfeeőit, a több-dimenziós várható érték és a kovarianciamátrix fogamát. Ez utóbbi vizsgáatában fontos szerepet játszanak bizonyos aapvető ineáris agebrai ismeretek, mindenekeőtt a szimmetrikus mátrixok tuajdonságai, és azok úgynevezett főtengey transzformációja. 6
7 Több-dimenziós vaószínűségi vátozók várható értéke és kovariancia mátrixa vaamint azok egfontosabb tuajdonságai. Eőszöris ismertetem a tárgyaandó fogamak definicióját. Több-dimenziós vaószínűségi vátozó várható értékének és kovariancia mátrixának a definiciója. Legyen Z = (Z,..., Z k ) k-dimenziós véeten vektor. E véeten vektor várható értéke az EZ = (EZ,..., EZ k ) k-dimenziós vektor, fetéve, hogy mindegyik EZ j, j k várható érték étezik. Tegyük fe továbbá, hogy a Z = (Z,..., Z k ) véeten vektor minden koordinátája tejesíti az EZj 2 <, j k, fetétet. Ekkor definiájuk e véeten vektor kovariancia mátrixát is, és az a D = (d j, ), j, k, k k méretű mátrix, mey mátrix j-ik sorában és -ik oszopában évő eem a d j, = Cov (Z j, Z ) = EZ j Z EZ j EZ szám. Megfogamazom meg a vektorértékű vaószínűségi vátozók várható értékének és kovariancia mátrixának néhány fontos tuajdonságát. ( ). Téte. Legyenek Z (j) = Z (j),..., Z(j) k, j n, véeten k-dimenziós vektorok ugyanazon az (Ω, A, P ) vaószínűségi mezőn. Ekkor a Z () + + Z (n) összeg várható értéke megegyezik a Z (j) vektorok várható értékeinek az összegéve, azaz E ( Z () + + Z (n)) = EZ () + + EZ (n). Ha egy Z = (Z,..., Z k ), véeten vektor várható értéke M = (M,..., M k ), a tetszőeges vaós szám, x = (x,..., x k ) tetszőeges k-dimenziós vektor, akkor E(Z + x) = EZ + x, a Z + x akkor az = (az,..., az k ), véeten vektor várható értéke am, és E(Z + x) = EZ + x. Ez az áítás következménye az egy-dimenziós vaószínűségi vátozók várható értékérő tanut eredményeknek. 2. Téte. Ha az. Téteben szerepő Z (j), j n, véeten vektorok függetenek, vagy átaánosabban a küönböző vektorok koordinátái korreáatanok, ami azt jeenti, hogy Cov (Z (i) Z (i ) ) = 0, ha i i, j, k, akkor a kovariancia mátrix is additív. Részetesebben megfogamazva: Ha a Z (j) mátrix kovariancia mátrixa a D j mátrix, j n, akkor a Z () + + Z (n) véeten összeg kovariancia mátrixa a D + + D n mátrix. Ha egy Z = (Z,..., Z k ), véeten vektor kovariancia mátrixa a D k k méretű mátrix, a tetszőeges vaós szám, akkor az az = (az,..., az k ), kovariancia mátrixa az a 2 D kovariancia mátrix. Továbbá, ha x = (x,..., x k ) tetszőeges k-dimenziós vektor, akkor a Z +x vektor kovariancia mátrixa megegyezik a Z vektor kovariancia mátrixáva. A 2. Téte is egyszerű következménye az egy-dimenziós vaószínűségi vátozók várható értékének számításaró szóó áításoknak. Lássuk pédáu azt, hogyan ehet 7
8 kiszámítanai az összeg kovarianciamátrixának egy eemét Cov (Z () j = i= + + Z (n) j, Z () + + Z (n) ) = Cov (Z (i) j Z (i) ) + i= i = Cov (Z (i) j Z (i ) ). i,i n, i i EZ (i) j Z (i ) i= i = EZ (i) j EZ (i ) Viszont a jobbodaon szerepő második tag nua a Cov (Z (i) Z (i ) ) = 0, ha i i, j, k, fetéte miatt, az eső tag pedig megegyezik a D + + D n mátrix j- ik sorában és -ik oszopában szerepő tagga. A Téte többi áításának a bizonyítása egyszerűbb. Meg akarjuk adni, hogy miyen mátrixok jeenhetnek meg, mint akamas véeten vektor kovariancia mátrixa. Ennek a kérdésnek a vizsgáatában fe ke hasznánunk a ineáris agebra néhány aapvető fogamát és eredményét. Eőször idézzük fe a következő ineáris agebrai fogamat. Szimmetrikus és pozitív (szemi)definit mátrixok definiciója. Legyen D = (d j, ) egy k k méretű mátrix. Azt mondjuk, hogy a D mátrix szimmetrikus, ha minden j, k indexre d j, = d,j. (Pontosabban azt követejük meg, ha nemcsak vaós, hanem átaános kompex értékű eemekke rendekező mátrixokat is tekintünk, ami ebben az eőadásban nem fog eőforduni), hogy d j, = d,j, aho z a z kompex szám konjugátja, azaz, ha z = a + ib, akkor z = a ib.) Egy k k méretű szimmetrikus D = (d j, ) mátrix pozitív szemidefinit, ha minden x = (x,..., x k ) k-dimenziós vektorra xdx = x j d j, x 0 és (szigorúan) pozitív definit, ha a xdx = k x j d j, x > 0 j= = j= = szigorú egyenőtenség is tejesü minden (x,..., x k ) (0,..., 0) vektorra. (Ebben a formuában x jeöi az x vektor transzponátját, azaz azt az oszopvektort, meynek föürő számíva -ik eeme megegyezik az x vektor baró számított -ik eeméve. Ekkor xdx a szokásos vektor és mátrix szorzást jeöi.) Szükséges esz a szimmetrikus mátrixok egyszerű reprezentációját és a pozitív szemidefinit mátrixok jeemzését. Ez az eredmény mártixok úgynevezett főtengeytranszformációinak megadása. Ennek az enevezésnek az okáró a téte után egy megjegyzésben írok. A téte kimondása eőtt idézzük fe az unitér mátrixok definicióját és egfontosabb fogamait. Egy U k k méretű négyzetes mátrixot unitérnek nevezünk, ha tejesü az UU = I azonosság, aho I az identitás mátrix. Ez az azonosság akkor és csak akkor tejesü, ha érvényes az U U = I azonosság. Az unitér mátrixok más ekviveens jeemzése az, hogy sorai (és egyben az oszopai is) ortonormát vektorok. Érdemes feidézni az unitér mátrixok geometriai tartamát is. Egy U mátrix akkor és csak akkor unitér, ha az átaa meghatározott transzformáció távoság (és ezért egyben szögtartó) transzformáció. Szimmetrikus mátrixok főtengeytranszformációjáró szóó téte. Egy A szimmetrikus mátrix feírható A = UΛU aakban, aho U unitér, Λ pedig diagonáis mátrix. 8
9 Egy k k méretű szimmetrikus A mátrix A = UΛU eőáítását meg ehet adni a következő módon: Létezik az A mátrixnak k ortonormát u,..., u k sajátvektora λ,..., λ k sajátértékekke, azaz oyan vektorok és számok meyekre tejesü az u j A = λ j u j, j k, azonosság. Ekkor az U mátrixot megadhatjuk, mint azt a mátrixot, meynek j-ik oszopa az u j oszopvektor, a Λ mátrix pedig ebben az esetben az a diagonáis mátrix, meynek j-ik sorában és j-ik oszopában a λ j szám á. Egy A mátrix akkor és csak akkor pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nem negatív, és akkor (szigorúan) pozitív definit, ha összes sajátértéke pozitív. Megjegyzés: A főtengeytranszformációnak szeméetes tartama a következő. Egy A mátrixnak (egy rögzített ortonormát bázis esetén) megfee egy ineáris transzformáció. Ha a mátrix szimmetrikus, (ameyik tuajdonság megfogamazható a neki megfeeő A ineáris transzformáció segítségéve is, mint az (xa, y) = (ya, x) azonosság), akkor étezik oyan ortonormát bázis, meyben az A mátrixnak megfeeő transzfomáció diagonáis. Az erre a koordinátarendszerre vaó áttérést nevezik főtengeytranszformációnak. A téteben megfogamazott eredmény tuajdonképpen azt írja e, hogy a transzformációnak ez a,,szép koordinátarendszerben megadott diagonáis aakja hogyan átszik az eredeti koordinátarendszerben. Ezután a ineáris agebrai eőkészíts után meg tudjuk fogamazni és be tudjuk bizonyítani a kovarianciamátrixok jeemzését kimondó tétet. Téte a kovariancia mátrixok jeemzésérő. Legyen Z = (Z,..., Z k ) egy k- dimenziós véeten vektor. Ekkor a Z vektor kovariancia mátrixa szimmetrikus és pozitív szemidefinit mátrix. Megfordítva, tetszőeges D szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrixhoz étezik oyan Z = (Z,..., Z k ) véeten vektor, meynek ez a D mátrix a kovariancia mátrixa. Sőt igaz a következő tartamasabb áítás is: Legyen Y = (Y,..., Y k ) oyan véeten vektor, meynek a kovariancia mátrixa az identitás mátrix, azaz Var Y j =, j k, Cov (Y j, Y ) = 0, ha j, k, és j. (Ez a heyzet pédáu akkor, ha az Y j, j k vaószínűségi vátozók függetenek, és Var Y j =.) Ekkor étezik oyan ( A = (a j, ) k k méretű mátrix, ) meyre igaz, hogy a Z = (Z,..., Z k ) = (Y,..., Y k )A = a,p Y p,..., a k,p Y p véeten vektor kovariancia mátrixa a D mátrix. p= p= A bizonyítás fehasznája a következő ineáris agebrai eredményt. Téte a ineáris agebrábó. Legyen D pozitív szemidefinit mátrix. Ekkor étezik oyan A mátrix, meyre érvényes a D = A A azonosság, aho A az A mátrix transzponátját jeöi. Sőt, azt is fetehetjük, hogy az A mátrix önadjungát és pozitív szemidefinit. A téte bizonyítása a ineáris agebráró kimondott téte segítségéve. Tekintsünk eőször egy Z = (Z,..., Z k ) egy k-dimenziós véeten vektort és annak D = (d j, ), d j, = Cov (Z j, Z ), j, k, kovariancia mátrixát. Ekkor D szimmetrikus mátrix, mert d j, = d,j, azaz Cov (Z j, Z ) = Cov (Z, Z j ). Másrészt tetszőeges x = (x,..., x k ) 9
10 k-dimenziós vektorra Var Var x j Z j = j= = ( ) x j Z j 0. Ezenkívü j= j= = j= = E (x j x (Z j Z EZ j EZ )) = x j x d j, = xdx. j= = x j x Cov (Z j, Z ) Innen következik, hogy xdx 0 tetszőeges x = (x,..., x k ) k-dimenziós vektorra, azaz D szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix. Megfordítva, egyen D pozitív szemidefinit mátrix, és Y = (Y,..., Y k ) oyan véeten vektor, meynek a kovariancia mátrixa az identitás mátrix, azaz Var Y j =, j k, Cov (Y j, Y ) = 0, ha j, k, és j. A kimondott ineáris agebrai eredmény szerint étezik oyan A = (a j, ), j, k k k méretű mátrix, meyre D = A A. Azt áítom, hogy a Z = (Z,..., Z k ) = Y A, azaz a Z = (Z,..., Z k ), Z j = a p,j Y p, j k, véeten vektor kovariancia mátrixa a D mátrix. Innen következik p= a feadat második áítása is. Ennek az azonosságnak a bizonyítása érdekében számojuk ki a ( Cov (Z j, Z ), j, ) k, kovarianciákat. Azt kapjuk, hogy Cov (Z j, Z ) = Cov a p,j Y p, a q, Y q, ezért Cov (Z j, Z ) = k a p,j a q, Cov (Y p, Y q ), ahonnan p= q= p= q= mive Cov (Y p, Y q ) = 0, ha p q, és Cov (Y p, Y p ) =, Cov (Z j, Z ) = k p= a p,j a p, = d j,, aho d j, a D = A A mátrix j-ik sorában és -ik oszopában szerepő konstans. keett bebizonyítanunk A fehasznát ineáris agebrai téte bizonyítása. Írjuk fe az D mátrixot D = UΛU aakban, aho U unitér, Λ pedig diagonáis mátrix. Az, hogy az D mátrix pozitív szemidefinit azt jeenti, hogy a Λ diagonáis mátrix λ j, j k, eemei nem negatívak. Ezért étezik az Λ diagonáis mátrix, meynek j-ik sorának j-ik oszopában a λ j eem á. Definiájuk az A = U ΛU mátrixot. Ekkor A szimmetrikus mátrix, mert A = (U ΛU ) = U ΛU = A, vaamint A A = A 2 = U ΛU U ΛU = UΛU = D. Az A mátrix pozitív szemidefinit is egyben, ha a λ j számok pozitív négyzetgyökeit vesszük.) Megjegyzés a ineáris agebrai tétehez: A nem negatív számoknak a pozitív szemidefinit mátrixok feenek meg magasabb dimenzióban. A megfogamazott eredmény azt mondja ki, hogy pozitív szemidefinit mátrixokbó, hasonóan a nem negatív számokhoz ehet négyzetgyököt vonni. Ez a négyzetgyökvonás nem egyértemű. Pédáu egy megodás ismeretében a következő módon ehet új megodásokat kapnin. Ha D = A A és U unitér transzformáció, akkor az Ā = UA mátrixra is tejesü, hogy Ā Ā = A U UA = A A = D, tehát A is megodása a tekintett egyenetnek. Jegyezzük meg, hogy vaós számok között is csak akkor egyértemű a gyökvonás, ha csak a pozitív gyököt tekintjük. 0 Ezt
11 Ennek az áításnak érvényes a következő több-dimenziós átaánosítása: A D = A A egyenetnek pontosan egy szimmetrikus pozitív szemidefinit megodása van. Ennek bizonyítása nem nehéz, de mive erre nem esz szükségünk, ezért a bizonyítást ehagyon. Vaós értékű vaószínűségi vátozók szórásnégyzete nem-negatív, tehát nem zártuk ki annnak a ehtőségét sem, hogy nua. De ez csak abban az efajut esetben ehetséges, ha a tekintett vaószínűségi vátozó konstans, azaz vaószínűségge ugyanazt az értéket veszi fe. Hasonóan, a több-dimenziós esetben csak azt követetük meg, hogy a véeten vektor kovarianciamátrixa pozitív szemidefefinit egyen, de megendedtük, hogy ne egyen (szigorúan) pozitív definit. De ha a kovarianciamátrix nem pozitív definit az bizonyos efajutságot jeent, és akkor a véeten vektozoknak van oyan nem triviáis ineáris kombinációja, ameyik egy vaószínűségge konstans. Ezt a tényt fogamazzuk meg az aábbi Lemmában. Lemma. Egy ξ = (ξ,..., ξ k ) véeten vektor D = (d i,j ) kovariancimátrixa akkor és csak akkor nem (szigorúan) pozitív definit, ha éteznak oyan a j, j k, számok, meyek nem mindegyike nua, és a j ξ j = K vaamiyen K (determinisztikus) konstanssa egy vaószínűségge. j= Bizonyítás: Ha éteznek oyan a,..., a k számok, meyek nem mindegyike nua, és a j ξ j = K egy vaószínűségge, akkor j= 0 = Var a j ξ j = j= i= j= a i a j Cov (ξ i, ξ j ) = i= j= a i a j d i,j, ami azt jeenti, hogy a D = (d i,j ) mátrix nem (szigorúan) pozitív definit. Megfordítva, ha a D = (d i,j ) mátrix nem (szigorúan) pozitív definit, akkor éteznek oyan a,..., a k számok, meyek nem mindegyike nua és a i a j d i,j = 0. Ekkor a a i ξ k vaószínűségi vátozóra i= Var a j ξ j = j= i= j= a i a j Cov (ξ i, ξ j ) = i= j= i= j= a i a j d i,j = 0, ahonnan k i= a i ξ k = K vaamiyen K konstansra egy vaószínűségge.
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Részletesebben2. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) II. előadás
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kiogozta: Szüe Veronika egy. ts.) II. eőaás. Közeítő megoások energiaevek: Összetett rugamas peremérték feaat
Részletesebben2. Közelítő megoldások, energiaelvek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 3. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, egy. ts.) III. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.. A tejes otenciáis energia
Részletesebben2. Közelítő megoldások, energiaelvek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 4. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) IV. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.4. Ritz-módszer,.4.. Lineáris
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebben+ 6 P( E l BAL)+ 6 P( E l K ZEJ>);
\ Lássátok be, hogy a következő két összefüggés is heyes! ~ 2 P(EIJOBB) = 6P(EIKEZDO)+ 6P(EIJOBB)+ 6 0 + ö, + 6 P( E BAL)+ 6 P( E K ZEJ>);.., P( E KOZEP) = 6 + 6 P( E BAL)+ 6 P( E JOBB) + 6 O+ + ~P( E
RészletesebbenNagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év
XI. Erdéyi Tudományos Diákköri Konferencia Matematika szekció Ponceet záródási tétee Szerző Nagy Örs, BBTE, MIK Matematika-informatika szak, IV. év Témavezető Dr. András Sziárd, adjunktus BBTE, MIK, Differenciáegyenetek
RészletesebbenA befogott tartóvég erőtani vizsgálatához III. rész
A befogott tartóvég erőtani vizsgáatához III. rész Az I. részben a befogott gerendavéget merevnek, a tehereoszást ineáris függvény szerintinek vettük. A II. részben a befogott gerendavéget rugamasan deformáhatónak,
RészletesebbenCastigliano- és Betti-tételek összefoglalása, kidolgozott példa
Castigiano- és Betti-téteek összefogaása, kidogozott péda Készítette: Dr. Kossa Attia kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék Frissítve: 15. január 8. Az aakvátozási energiasűrűség számítása egy
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebben+ magasabb rend½u tagok. x=x0
Variációs módszer Ebben a fejezetben a kvantummechanikában már megismert variációs mószert eevenítjük fe. Ez az ejárás küönösen fnts szerepet töt be a mekua zikában, mive több aapvet½ közeítés ezen aapu
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 5 III. Trigonometrius egyenete Azoat az egyeneteet és egyentenségeet, ameyeben az ismereten vaamiyen szögfüggvénye szerepe, trigonometrius
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége:
ELLENŐRZŐ ÉRDÉSE LENGÉSNBÓL: Átaáno kérdéek: Mik a engőrendzer eemei?: engőrendzer eemei: a tömeg(ek), a rugó(k), ietve a ciapítá(ok). Mi a rugóáandó?: rugóáandó a rugó egyégnyi terheé aatti aakvátozáát
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenKét példa lineárisan változó keresztmetszetű rúd húzása
Két péda ineárisan vátozó keresztmetszetű rúd húzása Eőző dogozatnkban meynek címe: Hámos rúd húzása szintén egy vátozó keresztmetszetű, egyenes tengeyű, végein P nagyságú erőve húzott rúd esetét vizs
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenWiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol
Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. A valószínűségszámítás egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brownmozgásnak is hívnak. Az első elnevezés e fogalom
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenI n n o v a t i v e M e t r o l o g y AXIOMTOO. Fejlődés a KMG technológiában. Axiom too manuális és CNC koordináta mérőgépek bemutatása
I n n o v a t i v e M e t r o o g y AXIOMTOO Fejődés a KMG technoógiában Axiom too manuáis és CNC koordináta mérőgépek bemutatása Aberink Ltd Est. 1993 Egy kompett eenőrző központ Axiom too... a következő
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenKábel-membrán szerkezetek
Kábe-membrán szerkezetek Szereési aak meghatározása Definíció: Egy geometriai aak meghatározása adott peremfetéte és eőfeszítés esetén ameyné a beső erők egyensúyban vannak. Numerikus módszerek: Geometriai
RészletesebbenM M b tg c tg, Mókuslesen
Mókusesen A két egyforma magas fiú Ottó és András a sík terepen áó fenyőfa törzsén fefeé mászó mókust figyei oyan messzirő ahonnan nézve a mókus már csak egy pontnak átszik ára ára Amikor a mókus az M
RészletesebbenMágneses jelenségek. 1. A mágneses tér fogalma, jellemzői
. mágneses tér fogama, jeemző Mágneses jeenségek mágneses tér jeenségenek vzsgáatakor a mozgó vamos tötések okozta jeenségekke fogakozunk mozgó vamos tötések (áram) a körüöttük évő teret küöneges áapotba
RészletesebbenHárom erő egyensúlya kéttámaszú tartó
dott: z 1. ábr szerinti kéttámszú trtó. Három erő egyensúy kéttámszú trtó 1. ábr Keresett: ~ rekcióerők vektor, szerkesztésse és számításs, z ábbi dtok esetén ; ~ speciáis esetek tgás. dtok: F = 10,0 kn;
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenELMIB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMIÜZLETSZABÁLYZATA. l l I I BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1.
ELMB ZRT. FÖLDGÁZKERESKEDELMÜZLETSZABÁLYZATA BUDAPEST, 2009. SZEPTEMBER 1. i r L L ELMB Zrt. Födgáz- kereskedemi Üzetszabáyzata TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS.................................. 3 1. ÁLTALÁNOS
RészletesebbenValószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenTevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a teljes potenciális energia értelmezését! Írja fel és tanulja meg a külső erőrendszer potenciálját!
tejes potenciáis energia minimuma ev Ovassa e a bekedést! Jegyee meg a tejes potenciáis energia értemeését! Írja fe és tanuja meg a küső erőrendser potenciáját! tejes potenciáis energia minimuma ev konervatív
Részletesebbenhogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.
A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi
RészletesebbenHOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? I.
bi eredmények aapján ezze együtt is egfejebb néhány ezred naptömeget kapnánk a por mennyiségére, ami továbbra is jóva kisebb az eméeti tanumányokban prognosztizát tömegekné Tanumányunk összességében azt
RészletesebbenSZERKEZETEK INDIFFERENS EGYENSÚLYI ÁLLAPOTBAN
SZERKEZETEK INDIFFERENS EGYENSÚLYI ÁLLAOTBAN Tarnai Tibor * RÖVID KIVONAT A dogozat pédákat ismertet a rugamas stabiitáseméetben ritkán eoforduó indifferens egyensúyi áapotokra, aho a szerkezet egyensúyát
RészletesebbenSÍKBELI KERINGŐMOZGÁS SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS
SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS Időtő függeten Schrödinger-egyenet két dimenziós körmozgásra: h V E 8π m x y R V x ha x y R ha x y R Poárkoordináták: SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS x y rcos r sin r x x r x r y y r y r x
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenMechanikailag deformált grafén optikai vezetőképessége
Tudományos Diákköri Dogozat Mechanikaiag deformát grafén optikai vezetőképessége Könye Viktor Témavezetők: Dr. Cserti József Széchenyi Gábor Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kompex
RészletesebbenGerendák lehajlása: hibás-e a szilárdságtanon tanult összefüggés? Tudományos Diákköri Konferencia. Készítette: Miklós Zita Trombitás Dóra
Gerendák ehajása: hibás-e a sziárdságtanon tanut összefüggés? Tudományos Diákköri Konferenia Készítette: Mikós Zita Trombitás Dóra Konzuensek: Dr. Puzsik Anikó Dr. Koár Lászó Péter Budapesti Műszaki és
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenBarczy Mátyás és Pap Gyula
Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Iván Barczy Mátyás és Pap Gyula Debreceni Egyetem Oktatási segédanyag mobidiák könyvtár
Részletesebben1. Mérési példafeladat A matematikai inga vizsgálata
Hoyan készítsünk jeyzőkönyvet? Az aábbiakban ey pédamérést, a hozzá tartozó kiértékeést és rafikus módszerre történő hibaszámítást, vaamint a mérésrő készüt jeyzőkönyv vázatát szeretnénk bemutatni. A jeyzőkönyvben
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenA késdobálásról. Bevezetés
A késdobáásró Beezetés Már sok ée annak, hogy kést dobátunk, több - keesebb sikerre. Ez tisztán tapasztaati úton működött. Femerütek bizonyos kérdések, ameyekre nem kaptunk áaszt sehon - nan. Ezek pédáu
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait.
modu: Kinematika Kinetika 4 ecke: Forgó tömegek kiegensúoása ecke céja: tananag fehasnáója megismerje a forgó tömegek kiegensúoásának eméeti aapjait Követemének: Ön akkor sajátította e megfeeően a tananagot
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenJ ~15-. számú előterjesztés
Budapest Főváros X. kerüet Kőbányai Önkormányzat Apogármestere J ~15-. számú eőterjesztés Eőterjesztés a Képviseő-testüet részére a Magyar Labdarúgó Szövetség Országos abdarúgó páyaépítési programján történő
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
RészletesebbenBÉKÉSCSABA MEGYE1 JOGÚ VÁROS. Békéscsaba, Szent István tér 7.
BÉKÉSCSABA MEGYE1 JOGÚ VÁROS ALPOLGÁRMESTERÉTŐL Békéscsaba, Szent István tér 7. Ik!. sz.: V.449120fO. Eőadó: Túriné Kovács Márta Tarné dr. Maatyinszki Anita, Nagy Árpád Me.: f Hiv. sz: Postacím: 5601 Pf
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenMILTON ROY VEGYSZERADAGOLÓ SZIVATTYÚK
MILTON ROY VEGYSZERADAGOLÓ SZIVATTYÚK X I. kiadás TARTALOMJEGYZÉK Odaszám LMI sorozat átaános eírás 4 LMI vegyszeráósági tábázat - kivonat 6 LMI gyorskiváasztási tábázat 7 LMI szivattyúk nyomóodai speciáis
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenMakromolekulák fizikája
Makomoekuák fizikája Bevezetés Az egyedi ánc moekuaméet, áncmode a konfomációt befoyásoó tényezők eoszások Poime odatok köcsönhatások eegyedés fázisegyensúy Moekuatömeg meghatáozás fagyáspontcsökkenés
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenSZERVEZETI KULTÚRA TÍPUSOK A MAGYAR VÁLLALATOK KÖRÉBEN
KARÁCSONYI András SZERVEZETI KULTÚRA TÍPUSOK A MAGYAR VÁLLALATOK KÖRÉBEN A kutatás megkísérei fetárni, hogy a magyar szervezetek besorohatók-e oyan kisebb csoportokba, ameyek jó megragadható, homogén szervezeti
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenHatározatlansági relációk származtatása az
az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben1. Egydimenziós, rugalmas, peremérték feladat:
SZÉCHNYI ISTVÁN GYTM ALKALMAZOTT MCHANIKA TANSZÉK 1. MCHANIKA-VÉGSLM MÓDSZR LŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) Bevezető: A számítógépes mérnöki tervező rendszerek szinte mindegike tartamaz végeseem
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenMITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben