1. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.)

Átírás

1 SZÉCHNYI ISTVÁN GYTM ALKALMAZOTT MCHANIKA TANSZÉK 1. MCHANIKA-VÉGSLM MÓDSZR LŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) Bevezető: A számítógépes mérnöki tervező rendszerek szinte mindegike tartamaz végeseem módszeren aapuó anaízis moduokat, ameek sziárdságtani, dinamikai, áramástani, hőtani, eektromágneses, stb. eadatok mérnöki szempontok szerinti megodását teszik ehetővé. zen programrendszerek hatékon ehasznáásához szükség van azonban a módszer evi aapjainak, numerikus technikáinak ismeretére. zen ismeretek hiána modeezési tévedésekhez vezet, vaamint gátoja az anaízis eredmének megértését. Végeseem módszer kiaakuása: Rugamasságtani eadat megodására közeítő megodási módszerek eőáítása (rugamas kontinuum visekedését eíró parciáis dierenciá-egenetrendszer megodása) Variációs evek: Raeigh, Ritz, Timoshenko géb evek: Kantorovics, Reissner Lehetséges megodási módszerek: Dierencia-módszer ineáris agebrai egenetrendszer megodása, Variációs módszerek. Probémák a két módszerné Újabb megodási mód: a két módszer egesítése: a variációs módszer és a dierencia módszer egüttes akamazása. Courant: St.-Venant-ée csavarási eadatot a potenciáis energia minimuma evve odotta meg ső mérnöki eadat megodása: Turner és társai 1960-as évek: ineáris eadatok megodása, emozduás módszeren aapuó végeseemes programrendszerek áta (NASTRAN, ASKA) es évektó: nemineáris visekedésű szerkezetekke kapcsoatos programok.

2 Feadat, mechanikai mode, ehetséges megodások: Szerkezet Anag,terheés, aak, megogás Aakvátozás (kis, nag), hőhatás Redukáás eg vag kétméretű eadatra Mechanikai mode eőáítása dierenciát egenetrendszer-egenőtenség integrát egenetrendszer-egenőtenség Pontos Közeítő Dierencia módszer nergetikai módszerek Ritz-ée módszer Reissner-ée módszer A végeseem programrendszerek átaános eépítése A végeseem anaízis a izikai szerkezet matematika modejét testesíti meg, me tartamaz minden oan jeemzőt (eemek, peremetéteek, anagminőségek, stb.), me a izikai vaóságot modeezi. A végeseem módszer eve a geometria véges eemekre vaó eosztása (úgnevezett végeseem háó készítése), az eemeket összekötő csomópontokra ható terheések és ezek áta étrejött kimenő menniségek közötti összeüggést meghatározó egenetrendszer megodása. A végeseem anaízis három können szétváasztható modura bontható, ezek az eőkészítés (preprocess), megodás (process), vaamint a kiértékeés (postprocess), meeket az 1. és. tábázat is bemutat. Azonban ezeket a épéseket a döntési szakasz eőzi meg. 1. Döntési szakasz: itt szükséges megáapítani a probéma típusát, majd ennek megeeően kijeöni a megodáshoz hasznáni kívánt módszert, ami az aább épéseket tartamazza: az adott izikai probéma típusa (mechanikai, hőtani, stb.), az eemzés ajtája (statikai, dinamikai, stb.), ineáris vag nemineáris közeítésse kívánjuk vizsgáni a vaóságot, az akamazni kívánt mode típusának megváasztása (3D-s testmode, héj, rúd, stb.), szimmetria követemének tejesüése (é, neged mode, tengeszimmetria, cikikusság, stb.), akamazott eemtípusok kiváasztása (háromszög, négszög, stb.), átagos eem-éhossz (háósűrűség), vaamint heenkénti háósűrítés (részetesség) meghatározása,

3 peremetéteek hees megadása (bizonos akatrészek kénszerekke vaó heettesítése).. őkészítés: a végeseem mode szimuációra vaó eőkészítése, ame az következő épésekbő á: Anagi tuajdonságok (anagjeemzők) deiniáása, aho meg ke adni a szerkezet vag a szerkezet eges részeinek (vona, eüet, vag akár véges eem) anagait, anagjeemzőit. Geometria étrehozása (ez történhet a szotver áta nújtott eszközökke, vag importáható CAD-ájokbó) pontok, vonaak, eüetek, térogatok segítségéve. Végeseem háó generáása (eemtípusok, eemméretek, eemkritériumok megadása), az aábbi szempontok igeembevéteéve: a háót sűríteni ke azokon a tartománokon, aho jeentősebb vátozás várható a mechanikai menniségeket tekintve (pédáu eszütség), a koncentrát erők vag nomatékok támadáspontjára egen csomópont evéve, a megtámasztási heekre is ke csomópontnak esnie. Peremetéteek és terheések (megogások, megtámasztások, akatrészkapcsoatok, kénszerek, erők, koncentrát vag megoszó erők, nomatékok) megadása. 1. tábázat: Végeseem szimuáció eőkészítése Geometria modeezése Anagjeemzők megadása

4 Végeseem eosztás generáása Kinematikai és dinamikai peremetéteek deiniáása 3. Megodás: a végeseem-számítási rész, aho a következő műveeteket ke evégezni: a merevségi mátriok és terheésvektorok eőáítását (eőször az eges eemekre, majd az egész szerkezetre), csomóponti terheések és kinematikai peremetéteek igeembe véteét, a szerkezet ineáris agebrai egenetrendszerének megodását, amenek segítségéve meghatározásra kerünek a szerkezet csomóponti emozduásai.. tábázat: Végeseem szimuáció és kiértékeése Megodás Merevségi mátriok, terheésvektorok eőáítása, egenetrendszer megodása, emozduásmező számítása Kiértékeés: eredmének megjeenítése, emozduások, reakcióerők, aakvátozások, eszütségek

5 4. Kiértékeés: a ehasznáó edönti, hog a szerkezet sziárdságtani áapotai közü mit vizsgá részetesen és mit szemétet. Íg ehetőség van pédáu: a szerkezet pontjainak emozduását (deormát aak) megtekinteni vag a eszütségeket (az eges eszütség-koordinátákat küön-küön, vag a redukát eszütségeket) kiértékeni. A mai ejett végeseem programok rengeteg segítséget nújtanak a munka ezen szakaszában (pédáu maimáis eszütség heének, értékének kijezése, aakvátozás animációként vaó megjeenítése): az eredmén modeen vaó szemétetésében (pédáu küönböző színek segítségéve), deormációk, aakvátozások megjeenítésében, animációként vaó ábrázoásában, maimum és minimum értékek, vaamint ezek heének bemutatásában. Végeseem módszer: numerikus ejárás mérnöki, izikai eadatok közeítő megodására. Az ejárás aapgondoata: A keresett (ismereten) mezőket résztartománonként közeítjük. Az egész tartománra (testre, akatrészre) érvénes mezőt résztartománokra evett mezők összekapcsoásáva áítjuk eő. A kitűzött rugamasságtani eadat megodását vaamien energiaev akamazásáva áítjuk eő. Leginkább a Lagrange-ée variációs ev akamazása eterjedt, aho az emozduás mező az esődeges ismereten. Az emozduás mezőn aapuó végeseem módszer eépítése: A testet (akatrészt) tetszőeges aakú, véges számú résztartománra, ún. véges eemre bontjuk. Az emozduás mezőt eemenként küön-küön közeítjük. A közeítő üggvének átaában poinomok. zt okáis közeítésnek nevezzük. Az eemeken nevezetes, kitüntetett pontokat, ún. csomópontokat veszünk e. Az eemenként evett közeítő üggvéneket a csomóponti (emozduás) paraméterek segítségéve összeiesztjük. A Lagrange-ée variációs ev akamazásáva a csomóponti paraméterekre ineáris agebrai egenetrendszert kapunk, A ineáris agebrai egenetrendszerbő meghatározzuk a csomóponti (emozduás) paramétereket. A csomóponti paraméterek ismeretében a test (akatrész) bárme pontjában meghatározhatók a sziárdságtani (emozduási, aakvátozási, eszütségi) áapotok.

6 1. gdimenziós, rugamas, peremérték eadat: gdimenziós: eg darab vátozó (üggvén) meghatározása a cé, azaz 1 darab koordinátátó vaó üggést jeent. Jeen esetben húzott-nomott rúd egensúi egenetének származtatása a eadat (rácsos tartóban csak ienek vannak). Rugamas: a test visszaneri áapotát, a terheés megszűntetése után. Peremérték eadat: dierenciá-egenet megodását jeenti, adott peremetéteek meett. Adott: hosszúságú, A keresztmetszetű, homogén, prizmatikus rúd. A rúd anaga homogén, izotróp és ineárisan rugamas, rugamassági moduusa. A u A p gv d A p 1. ábra: Húzott-nomott prizmatikus rúdeadat Prizmatikus rúd: minden keresztmetszete egorma. A rúd rúdiránú önsúáva és a végapján megoszó erőve terhet. A rúd térogatán egenetesen megoszó önsú sűrűségvektora: g. A rúd jobbodai végapján megoszó, rúdiránú erőrendszer sűrűségvektora: p pe További jeöések: Au - beogásná eheezkedő keresztmetszet, kinematikai perem, Ap - terheésné eheezkedő keresztmetszet, dinamikai perem, Rúd középvonaa: rúd S ponti száa, a keresztmetszetek S pontjai áta akotott vona. A középvona a rúd mechanikai modeje. u - emozduás vektor, jeen esetben üggvéne ( u üggvént ke meghatározni), p - eüeten megoszó terheés.

7 Ag F e. ábra: Húzott-nomott prizmatikus rúdeadat eg dimenziós modeje Terheések redukáása a rúd középvonaába: Térogaton megoszó terheés: gv ga ga /: Vona mentén megoszó terheés: g V ga gae kg N s m Végapot terheő megoszó erő eredője F p A e p Ae F e N p F Azaz összeogava, ismert a rúd terheése, geometriai adatai, anagáandói, terheése. 3 db egenetet ke eírni a rúd emozduásának megáapításához, ameek a következő ejezetben kerünek tárgaásra A rúd rugamas peremérték eadatának egenetei A húzott-nomott prizmatikus rúd rugamas peremérték eadatának egeneteit a statikában és sziárdságtanban tanut ismeretek aapján áítjuk eő. Az adott eadat esetén keressük az iránú, u emozduást, mint a he üggvénét. Az emozduás üggvén a rúd összes pontjának emozduását magában ogaja, ezért szokás emozduás mezőnek is nevezni. Kinematikai vag geometriai egenet: d du 3. ábra: emi hosszúságú rúdeem hosszvátozása

8 A rúd eg eemi hosszúságú szakaszát, d -t vizsgájuk. -sze jeöt távoságra heezkedik e az origótó. du Kapcsoatot teremt az emozduások és aakvátozások között. d Az aakvátozás azt ejezi ki, hog az eredeti hosszhoz képest mennive vátozik a rúd hossza (aránszámot jeent)., aho tuajdonképpen a du -k összessége megadja -t. (Kinematikai egenet származtatása: ', aho u u 4. ábra: emi rúdszakasz emozduása he ' u u u -t emozdu ' egenetbe beheettesítve, és határértékét véve: u u u u du im im 0 0 d ) gensúi egenet: a rúd egensúban van, ha F 0. d N d N d d 5. ábra: Az eemi hosszúságú rúdeem egensúa

9 d hosszúságú eemi rúdszakaszt vizsgájuk, ami az origótó egen távoságra. A rúdon beü a két evágott rúdszakaszt beső erők heettesítik. Mindkét rúderő pozitív, azaz húzásró beszéünk, középen hat d. Ha tehát a rúd egensúban van, az erők összegének nuának ke ennie. Azaz: 0 / / : N N N N / im 0 N N dn dn im Húzott-nomott rúd egensúi egenete, 0 d d ami kapcsoatot teremt a terheések és beső erők között, aho a kapcsoat eg derivát. 1. Megjegzés: Az üggvén derivátján az h : im h0 h határértéket értjük (etéteezve, hog étezik és véges).. Megjegzés: dm dt hz T,. d d Nomatéki egenet dierenciáis aakja. Rúdra merőeges terheés. Anagegenet: Hooke-törvén: ineárisan rugamas anagró van szó. (egdimenziós eset), aho N N A - normá eszütség, A - rugamassági moduus, - ajagos núás. / A A N A anag egenet: kapcsoatot teremt a beső erők és az aakvátozás között. Kinematikai peremetéte: az emozduásra vonatkozó etétet jeenti. (z ebben az esetben a beogásra vonatkozik, aho a rúd vízszintesen biztos, hog nem tud emozduni). Az 1. ábrán átható A u eüetné adott az emozduás értéke: u u

10 Dinamikai peremetéte: a terheésekre vonatkozó etétet jeenti. Jeen esetben csak a test eüetére, peremére vonatkozó terheéseket vesszük igeembe. A. ábrán átható eüetné adott a terheés értéke: N F.(Amenniben a rúderő beeé mutat, negatív eőjeet ke kitenni, mert nomásró van szó). A rugamas peremérték eadatban tehát az A p u emozduás, ajagos núás,, N rúderő három ismereten üggvén ordu eő. Összeogava: a rugamas peremérték eadat megodásához pedig rendekezésünkre á a rugamasságtan egenet-rendszere húzott-nomott rúdra, vaamint a kinematikai és dinamikai peremetéte. du Kinematikai egenet : d dn gensúi egenet : 3 db skaár egenet, 3 db skaár üggvént jeent d Anag egenet : N A Tehát ezen 3 egenette és a két peremetétee adott peremérték eadat anaitikus megodását szokás téneges megodásnak vag egzakt megodásnak nevezni.

11 1.. A rúd rugamas peremérték eadatának anaitikus megodása: du A kinematikai egenetet ( ) beheettesítjük az anag egenetbe: d N A N du A zen kiejezést pedig az egensúi egenetbe d heettesítjük: d du A d d d u dn d A A rúd homogén, prizmatikus, íg az A szorzat kiemehető a záróje d eé, íg a eadathoz megkapjuk az emozduásra vonatkozó aapegenetet. Vaamint A és konstansok, íg oszthatunk veük. d u A /: A d d u Másodrendű dierenciá egenet, amit kétszer ke integránunk. (Konstans d A integrája: konstans-szor +konstans, aho konstans megoszó terheés.) du / A d d du C1 / d d A u C1 C, aho a konstansok meghatározása a peremetéteek, mindig az A adott eadatra vonatkozó peremetéteek meghatározásáva történik. Tehát a peremetéteek ( N F, u u kapjuk: a dinamikai peremetéte szogátatja az eső konstanst: du du N A A d d, aho du C d A A C1 A 1, íg az egenet: N F ) ehasznáásáva a következőket du A A C1 F d A F AC1 F C1. A Vaamint a kinematikai peremetéte segítségéve kapjuk a második konstanst:

12 u C1 C A Azaz a peremetéte igeembevéteéve: u C1 0 C C 0. A zek után az anaitikus vag téneges megodás zárt aakban írható e: u C C A 1 (beheettesítve) F 0, A A u vaamint: du N A A C d A 1 (beheettesítve) du F N A A F d A A Az anaitikus megodás ábrázoása: a b b b a b u 6. ábra: Paraboa ábrázoása F 0 ábrázoása (nevezetes pontokná történő A A beheettesítésse): u 0 0 F u 0 A A u u 1. tábázat: mozduás üggvén ábrázoása du F N A A F ábrázoása (nevezetes d A A pontokná történő beheettesítésse): Megjegzés: a b genes egenete. meredekség tengee vett metszéspont

13 N F 0 N F N F. tábázat: Rúderő üggvén ábrázoása F g mechanikai peremérték eadat megodása többnire csak egszerű esetekben ismert, mint a ent vázot eadat is mutatja. Összetett térbei eadat esetén az anaitikus megodását nem tudjuk eőáítani, csak közeítő megodássa tudunk szogáni. A továbbiakban ezen egszerű egdimenziós eadat közeítő megodásának bemutatására kerü sor Pédák kinematikai és dinamikai peremetéteek megadására: F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F F F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N 0 F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N F 0 F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F

14 Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N F F F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N 0 F 1... Pédák perem érték eadat megodására: 1. péda: F Kinematikai peremetéte: u0 0 Dinamikai peremetéte: N F du Kinematikai egenet : dn gensúi egenet : d Anag egenet : N A d Megodás: du A kinematikai egenetet ( ) beheettesítjük az anag egenetbe: d N A

15 N du A zen kiejezést pedig az egensúi egenetbe d heettesítjük: d du A d d d u dn d A A rúd homogén, prizmatikus, íg az A szorzat kiemehető a záróje eé, d íg a eadathoz megkapjuk az emozduásra vonatkozó aapegenetet. Vaamint A és konstansok, íg oszthatunk veük. d u A /: A d d u Másodrendű dierenciá egenet, amit kétszer ke integránunk. (Konstans d A integrája: konstans-szor +konstans, aho konstans megoszó terheés.) du / A d d du C1 / d d A u C1 C, aho a konstansok meghatározása a peremetéteek, mindig az A adott eadatra vonatkozó peremetéteek meghatározásáva történik. Tehát a peremetéteek ( N F, a dinamikai peremetéte szogátatja az eső konstanst: du du N A A d d, aho du C d A A C1 F A 1, íg az egenet: N u 0 0) ehasznáásáva a következőket kapjuk: du A A C1 F d A F AC1 F C 1. A Vaamint a kinematikai peremetéte segítségéve kapjuk a második konstanst: u C1 C A Azaz a peremetéte igeembevéteéve: u C1 0 C C 0. A zek után az anaitikus vag téneges megodás zárt aakban írható e:

16 u C C A 1 (beheettesítve) F 0, A A u vaamint: du N A A C d A 1 (beheettesítve) du F N A A F d A A. péda: F Kinematikai peremetéte: u 0 Dinamikai peremetéte: N0 F du Kinematikai egenet : dn gensúi egenet : d Anag egenet : N A d Megodás: du A kinematikai egenetet ( ) beheettesítjük az anag egenetbe: d N A N du A zen kiejezést pedig az egensúi egenetbe d heettesítjük: d du A d d d u dn d A A rúd homogén, prizmatikus, íg az A szorzat kiemehető a záróje d eé, íg a eadathoz megkapjuk az emozduásra vonatkozó aapegenetet. Vaamint A és konstansok, íg oszthatunk veük. d u A /: A d d u Másodrendű dierenciá egenet, amit kétszer ke integránunk. (Konstans d A integrája: konstans-szor +konstans, aho konstans megoszó terheés.)

17 du / A d d du C1 / d d A u C1 C, aho a konstansok meghatározása a peremetéteek, mindig az A adott eadatra vonatkozó peremetéteek meghatározásáva történik. Tehát a peremetéteek ( N F, 0 a dinamikai peremetéte szogátatja az eső konstanst: du du N A A d, aho d 0 u 0) ehasznáásáva a következőket kapjuk: du C1, íg az egenet: d A du N 0 A A C1 F d A A C1 F A 0 F AC1 F C 1. A Vaamint a kinematikai peremetéte segítségéve kapjuk a második konstanst: u C1 C A Azaz a peremetéte igeembevéteéve: F F u 0 4 C C A A A A zek után az anaitikus vag téneges megodás zárt aakban írható e: 0 u C1 C (beheettesítve) A F F u, A A A A vaamint: du N A A C1 d A (beheettesítve) du F d A A A 1 N A A C A F