2. Közelítő megoldások, energiaelvek:

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. Közelítő megoldások, energiaelvek:"

Nándor Illés
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 3. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, egy. ts.) III. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.. A tejes otenciáis energia minimm eve A tejes otenciáis energia az aakvátozási energia és a küső erők otenciájának összege. A küső erők otenciája heyett szokás a küső erők virtáis mnkájának mínsz egyszeresének fogamát is hasznáni. Így a tejes otenciáis energia: U W, aho U - az aakvátozási energia, Húzott-nyomott rúd aakvátozási energiája emozdás mező függvényében a következő 1 N 1 AE 1 1 d aakú: U d d AE d AE d AE AE d W - a küső erők virtáis mnkája. Ez a kifejezés tajdonkéen egy fnkcioná. Fnkcioná: matematikában azokat az ekéezéseket, ameyek értékkészete vaós számhamaz, fnkcionáoknak nevezzük. d Kinematikai egyenet : d dn Egyensúyi egyenet : f d Anyag egyenet : N A E A korábban megfogamazott eremérték Kinematikai eremfetéte: Dinamikai eremfetéte: N F feadathoz rendet fnkcioná, azaz a tejes otenciáis energia aakja: 1 d AE d fd F d aakvátozási energia küső erők virtáis mnkája Amennyiben az így kaott kifejezésre úgy tekintünk, mint az tényeges megodásra feírt tejes otenciáis energiára, akkor fetehető a kérdés, hogy ehhez kéest miyen

2 nagyságú tejes otenciáis energia értéket szogátat az kinematikaiag ehetséges közeítő emozdás mező? A közeítő emozdásra vonatkozó tejes otenciáis energia hasonóan határozható meg: 1 d AE d fd F d A korábban tárgyatak szerint a közeítő mező feírható a tényeges emozdás mező és variációja összegeként: Emékeztető: Emozdás mező variációja: a tényeges emozdásmező és annak eég kis környezetében evő kinematikaiag ehetséges emozdásmező küönbsége. A virtáis emozdássa megegyező módon -va jeöjük. Röviden: Tajdonságai: foytonos, eegendően sokszor differenciáható, kinematikai eremen értéke na. Ezen összefüggést a otenciáis energiába heyettesítve: 1 d AE d fd F d 1 d AE d fd F d aho, d d d d a b a ab b d d d ab a b így az egyenet 1 d 1 d d 1 d AE d AE d AE d f d f d F F d d d d Majd az egyenetet átrendezve: 1 d AE d f d F d egzakt/tényeges megodás d d AE d f d F d d

3 1 d AE d d Emékeztető: a fnkcioná minimmának fetéteei:, minimm esetén. A virtáis mnkaev variációs aakjának nára rendezett aakját szogátatja. Az emozdás variációja ineárisan szeree, ami egyben a tejes otenciáis energia eső variációja és -ve jeöendő. Ez egy kvadratiks kifejezés integrája, ami biztos, hogy nagyobb, mint na. Azaz a tejes otenciáis energia minimmma rendekezik a tényeges megodásná. Azaz ez a sor az emozdás variációját kvadratiksan tartamazza és a tejes otenciáis energia második variációját szogátatja, amit -ve jeöünk. A tejes otenciáis energia második variációja az közeítő megodás és a tényeges megodás etérésébő származó aakvátozási energia. Ha,. Azaz a otenciáis energia minimma ev azt jeenti, hogy a otenciáis energiának egzakt megodás esetén minimma van. Megjegyzés: Az tényeges vagy egzakt megodás esetén mind az eső mind a második variáció d d na, hiszen tejesü, mive az etérés F f d A E d d d. Az megodás esetén eőírjk, hogy az eső variáció egyen na, de a második variáció kiadódik. A tejes otenciáis energia Gatea-fée derivátja: Egy fnkcioná eső variációja eőáítható a fnkcioná irányába vett deriváásáva is azaz a Gatea-fée derivátta. emozdás variációjának 1 d AE d f d F d d d Eső éésben végezzük e a deriváást araméter szerint d d AE d fd F d d, majd a heyettesítést, és visszakajk az eső variációt:

4 d d AE d f d F d d A variáció számítás eméete szerint egy fnkcioná minimma étezésének szükséges fetétee, hogy az eső variációja egyen zérs, azaz d d AE d f d F, d d ami megegyezik a virtáis mnka eve variációs aakjáva. ez azt jeenti, hogy konzervatív küső terheés esetén a két ev rgamas eremérték feadatokra nézve egyenértékű. A tejes otenciáis energia minimm evére aaozott közeítő megodás tajdonságai: az emozdás mezőnek kinematikaiag ehetségesnek ke ennie, a kaott megodás integrá érteemben kieégíti az egyensúyi egyenetet és a dinamikai eremfetétet..3. Péda tejes otenciáis energia minimm evére Egy k merevségű rgót F erő terhei. Határozzk meg a rgó végontjainak irányú emozdását a tejes otenciáis energia minimm evének fehasznáásáva! k 1. ábra: Rgó terheése koncentrát erőve A rgamas rendszer otenciáis energiája: 1 k F A tejes otenciáis energia kifejezése nem fnkcioná, hanem vaós függvény. A otenciáis energia minimm ev értemében a függvénynek keressük a minimmát. A étezésének szükséges fetétee, hogy eső derivátja zérs egyen d k F d ezen egyenet átaakításáva a már jó ismert összefüggést kajk az emozdásra: F. k A bemtatott éda megodási módszere a egegyszerűbb ineárisan rgamas végeseemes feadat, a mey evét tekintve megegyezik a kome geometriájú és terheésű rgamas eremérték feadat megodásáva. F

5 .4. Ritz-módszer Az ev akamazását húzott-nyomott rúdfeadat közeítő megodásának eőáítására mtatjk be., aho fnkcionát a, 1,,... C C C araméterek C, C, C,... 1 többvátozós függvényévé aakítjk. Azaz egyen vaamey egydimenziós rgamas eremérték feadat kinematikaiag ehetséges emozdása az aábbi aakban adott (a megodást hatványsorra közeítjük): 3 n C C1 C C3... Cn..., aho C, C1, C,... ismereten araméterek. Ha ezen közeítő megodást a 1 d AE d f d F d aakvátozási energia küső erők virtáis mnkája fnkcionába heyettesítjük, akkor a tejes otenciáis energia a C, C1, C,... araméterek többvátozós függvényévé váik C, C, C, A tejes otenciáis energia minimm ev akamazása ebben az esetben azt jeenti, hogy egy többvátozós függvény szésőértékét keressük a szükséges fetéte akamazásáva min C, C1, C,..., i,1,,.... C A Ritz-módszer akamazása az ismereten araméterek számáva megegyező ineáris agebrai egyenetrendszert eredményez azok meghatározásához..4. Ritz-módszer, Lineáris aroimáció (esőfokú közeítés) Tekintsük ismét a húzott-nyomott rúd feadatot, és keressük a feadat közeítő megodását az aábbi aakban: 1. Eenőrizzük, hogy ezen 1 C C kinematikaiag ehetséges-e. Emékeztető: Kinematikaiag ehetséges emozdás mező: az az i C C fetéteezett megodás emozdás mező, amey foytonos, eegendően sokszor differenciáható és kieégíti a kinematikai eremfetétet. Ezen definíció aaján az eső feadatra tejesünie ke az aábbi egyenetnek. A kinematikai eremfetéte: 1, azaz C C1 C. Azaz az C C egyenet csak akkor tejesü, ha C, azaz a kinematikaiag ehetséges emozdás a következő aakú 1 C.

6 A deriváhatóság fetétee 1 1 d C is tejesü, tehát megáaíthatjk, hogy az d C aakú közeítő emozdás kinematikaiag ehetséges. Az C 1 d kéeteket beheyettesítve az C1 d 1 d AE d fd F d aakvátozási energia küső erők virtáis mnkája fnkcionába, 1 C AE C d C f d F C a kifejezést kajk. Egyvátozós függvény szésőértéke: Szükséges fetéte: a függvény eső derivátja az adott heyen na egyen. Eégséges fetéte: a függvény második derivátjának eőjee nem vátozhat (ez mindig tejesüni fog). Azaz akkor esz a otenciáis energiának szésőértéke, ha min C d 1 AEC1d fd F dc 1 A kijeöt integráást evégezve és az ismereten aramétert kifejezve: AEC d f d F 1 AEC1 f F / : / : AE f F f F C1 AE AE AE f F C1 AE f F f f F AE AE AE C AE AE AE f F f F 1. ábra: Emozdás függvény ábrázoása egzakt és közeítő megodás esetén

7 N F f N F N F f d F f f N N AE F F f d N F N F f N F Ha összevetjük a közeítő megodásokat a megfeeő egzakt megodásokka akkor vaóban mind a két esetben ényeges etérés mtatkozik. A közeítő megodás minősítéséhez definiánnk ke a hiba fogamát. A megodás hibája: az egzakt és a közeítő megodás közötti küönbség. def e, egzakt aho e a hiba, amey -nek a függvénye. Gyakorati számításokhoz a hiba energia normáját szokás akamazni, amey tajdonkéen a hibafüggvénybő számot aakvátozási energia ( ) második variáció négyzetgyöke. 1 d 1 de e : AE d AE E d d aho, a norma jee, és a norma je E indee az energia fogaomra ta. A hiba ineáris aroimáció esetén: def e = egzakt f F f F f f f e AE AE AE AE AE Ezen hiba függvényt megvizsgáva átható, hogy a hiba zérstó küönböző f megoszó erő esetén jeentkezik, de a rúd végén heyettesítésné az emozdás hibája zérs. Megáaítható, hogy a rúd végei az emozdás kiértékeése szemontjábó otimáis ontok. A hiba függvény derivátja az aakvátozás hibáját adja: de f f f d AE AE AE A rúd közeén az heyettesítésné az aakvátozás hibája zérs, azaz az aakvátozásbó számot rúderő ebben a ontban ontos. A feadatban a rúderő otimáis kiértékeési heye a rúd feező ontja. Az energia norma szerint értemezett hiba:

8 f f f f e : AE E A E AE 3 AE 4 4 4AE A végeseem rogramok a megodás hibáját szintén energia normában adják meg. Fevetődik a kérdés, hogy hogyan vátozik a megodás ontossága az aroimáció fokszámának növeésekor? A következő édában az emozdást kvadratiks függvénnye közeítjük.

Hasonló dokumentumok

2. Közelítő megoldások, energiaelvek:

2. Közelítő megoldások, energiaelvek: SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 4. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kidogozta: Szüe Veronika, eg. ts.) IV. eőadás. Közeítő megodások, energiaevek:.4. Ritz-módszer,.4.. Lineáris