SZERKEZETEK INDIFFERENS EGYENSÚLYI ÁLLAPOTBAN

Átírás

1 SZERKEZETEK INDIFFERENS EGYENSÚLYI ÁLLAOTBAN Tarnai Tibor * RÖVID KIVONAT A dogozat pédákat ismertet a rugamas stabiitáseméetben ritkán eoforduó indifferens egyensúyi áapotokra, aho a szerkezet egyensúyát biztosító teher értéke nem vátozik nagy emozduások meett sem. A szerkezetek további küso erok nékü tudják vátoztatni aakjukat, úgy visekednek akár a mechanizmusok. Az eso péda az egyensúyi út eágazásáva, a másik péda a terheeten, sajátfeszütségek aatti szerkezet átpattanásos stabiitásvesztéséve kapcsoatos.. BEVEZETÉS A stabiitáseméetbo ismert, hogy egy konzervatív erokke terhet, rugamas anyagú, véges szabadságfokú szerkezet egyensúyi heyzete stabi, ha a szerkezet tejes potenciáis energiafüggvényének Hesse-mátrixa ebben a heyzetben pozitív definit (minden sajátértéke pozitív); instabi, ha a Hesse-mátrixnak van negatív sajátértéke; és kritikus, ha a Hesse-mátrix szinguáris []. A kritikus egyensúyi heyzet infinitezimáisan kicsi emozduások fetéteezése esetén azt is jeenti, hogy a vizsgát egyensúyi heyzet infinitezimáisan kicsi környezetében vannak szomszédos heyzetek, ameyekben az adott erokre az egyensúy fenná. Eoforduhatnak oyan esetek is, hogy nemcsak infinitezimáis, hanem véges emozduások meett is végteen sok szomszédos egyensúyi heyzet étezik. Iyenkor az egyensúyi heyzet indifferens (semeges). Ezt a küöneges egyensúyi heyzetet a stabiitáseméeti szerzok, mint p. Haász [4], a vízszintes síkra heyezett goyó anaógiájáva szemétetik. A goyót a síkon bárhová emozdítva az egyensúyban esz. Indifferens egyensúyi heyzetben, a kritikus pontbó eágazó másodagos egyensúyi út a teherparaméter és a jeemzo emozduás koordinátarendszerében egy, az emozduási tengeye párhuzamos egyenesként jeenik meg. A kritikus teher hatására a szerkezet úgy visekedik, mint egy véges mechanizmus. További küso erok nékü is véges emozduásokat tud végezni. A normá mechanizmusokka eentétben azonban a szerkezetben beso erok vannak jeen, ameyek a mozgás során foytonosan átrendezodnek. Eoforduhat az is, hogy e visekedés nem küso erok, hanem a szerkezet sajátfeszütségeinek a hatására aaku ki [5], [3]. A rugamas szerkezetek indifferens egyensúyi heyzetének étezésére több mint húsz évve ezeott figyetem fe. Az ehhez kapcsoódó eredményt azonban egy konferencia eoadás [0] kivéteéve nem pubikátam. Idoközben azonban e téma több * ok. építomérnök, az MTA rendes tagja, egyetemi tanár, BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék

2 küfödi muheyben is kutatás tárgya ett [6], [9], ezért úgy gondoom, hogy taán a hazai kutatók számára is érdekes ehet az a régi megfigyeés, és érdemes esz azt bemutatnom ebben a dogozatban néhány újabb eredmény kíséretében... Küso teher hatására. INDIFFERENS EGYENSÚLY Tekintsük az. ábrán fetüntetett, hosszúságú súytaan merev rudakbó és c, c, c merevségu súytaan ineáris rugókbó áó csukós szerkezetet, meyet a feso csukóján egy függoeges ero terhe. E két-szabadságfokú rúdszerkezet kihajásakor a feso csukó függoegesen u etoódást szenved, a rudak pedig f szögge efordunak. Ekkor a szerkezet tejes potenciáis energiája: Π cu + c ( u + cosϕ ) + c( sin ϕ ) u. () c c c. ábra: A vizsgát rúdszerkezet és emozduásai. Az egyensúy szükséges fetétee, hogy a? tejes potenciá eso variációja, és ebbo következoen mindkét eso parciáis derivátja nua egyen, azaz Π u Π ϕ c ( u + cos ) 0 u + c ϕ, () [ ( u + cosϕ ) + c cosϕ] sin ϕ 0 c. (3) A () és (3) összefüggés az egyensúyi utakat definiája a, u, f koordinátarendszerben. A (3) egyenet kieégü, ha sinf 0. Ebbo kapjuk az esodeges egyensúyi út koordinátasíkokra vett vetüeti egyeneteit:

3 ϕ 0, ( c + c )u. (4) A (3) egyenoség akkor is tejesü, ha (3)-ban a szögetes zárójeben szerepo kifejezés nua. Ebbo kapjuk a másodagos egyensúyi út koordinátasíkokra vett vetüeti egyeneteit: c u cosϕ + cosϕ, (5) 4c cc cc 4cc + cc u, (6) 4c c 4c c c + ( cc 4cc + cc) cosϕ. (7) c Az egyensúyi utak pontjaiban az egyensúy stabiitásáró a tejes potenciá második derivátjait tartamazó H Hesse-mátrix ad feviágosítást. A Hesse-mátrix determinánsa: ( c c 4c c c c) sin ϕ det H. (8) + Az eágazás a másodagos egyensúyi út f 0 -hoz tartozó pontjában van. Itt (8) szerint deth 0, azaz H szinguáris, vagyis az eágazási pont kritikus, aho a kritikus ero (7) aapján c c + kr. (9) c A (9) kifejezés megmutatja a szerkezetnek azt a szokatan, küöneges tuajdonságát, mey szerint a többetkényszernek destabiizáó hatása ehet. A c rugómerevség növeéséve ugyanis a kritikus ero csökken. A szerkezet másik küönegessége, hogy ha a rugómerevségekre fenná, hogy c c c c + c c 0, (0) 4 akkor (6), (7)-bo következoen, a másodagos egyensúyi út mentén a ero áandó, függetenü az u, i. f emozduások értékeito (. ábra): c, () és (8) következtében minthogy deth 0 a másodagos út minden pontjában az egyensúy kritikus. Azt kaptuk tehát, hogy a szerkezet indifferens egyensúyi áapotban van. A tejes potenciá ekkor áandó: Π ( c/ c). A szerkezet visekedése hasonít azokhoz a rugós asztai ámpákéhoz, ameyeket bármey heyzetbe kimozdítva

4 a ámpa a kimozdított heyzetben marad. E ámpákná azonban a heyzet megtartása a súródásnak is köszönheto.. ábra: Az egyensúyi út vetüetei a, f és a, u síkon. A vastag foytonos vona stabi, a szaggatott vona instabi, az eredményvona indifferens egyensúyi áapotot jeez. Ezt, az eredetieg [0]-ben bemutatott pédát késobb Gáspár [3], [7] a destabiizáó hatás kizárása meett egyszerusítette... Sajátfeszütség hatására A bemutatandó szerkezet ötetét a ótusz receptákuumok egy ehetséges mechanikai modejébo merítettük []. Tekintsük a síkban a 3(a) ábrán fetüntetett n egybevágó r sugarú merev korongot, meyeknek középpontjai egy szigorúan konvex n- szöget határoznak meg úgy, hogy vaamennyi oda hossza r. Ez azt jeenti, hogy a szomszédos korongok érintik egymást, és a koronghamaz konvex burkának kerüeti hossza r(n + p). Heyezzünk e korongrendszer köré egy L < r(n + p) hosszúságú EA keresztmetszeti merevségu zárt, ineárisan rugamas kötégyurut, mey a korongokat összefeszíti. Téteezzük fe, hogy a korongok egymáshoz és a kötéhez súródás nékü csatakoznak. Ekkor, mive a korongok merevek, energia csak a kötégyuru aakvátozásaibó származik. A rendszer tejes potenciáis energiája tehát: EA Π [ r( n + π ) L]. () L Minthogy a konvex burok peremhossza nem vátozik, ha a korongrendszer aakját deformájuk, miközben a korong középpontok továbbra is egy r odahosszú konvex n- szöget határoznak meg, a () tejes potenciá is vátozatan marad. Ez azt jeenti, hogy a perem mentén megfeszített koronghamaz indifferens egyensúyi (sajátfeszütségi) áapotban van. Ez az áapot fennmarad mindaddig, amíg három szomszédos korong középpontja nem kerü egy egyenesbe. Ekkor ugyanis a koronghamaz egyensúya eveszti stabiitását, és a középso korong a korongok áta meghatározott poigon besejébe bepattan. Az itt eírt rendszer emékeztet az eoregyártott vasbetonhéjak utófeszítésének arra a módjára, aho a feszítohuzaokat gyuruirányban a fa küso konvex feüetén heyezik e [].

5 (a) (b) (c) 3. ábra: Feszített koronggyuru. (a) Konvex gyuru kívüro érinto feszítokötée. (b) Korongokat egyszer körütekero feszítoköté. (c) Konkáv gyuru (b) szerinti feszítokötée. A feszített korongrendszer stabiitásvesztése ekerüheto, ha a rugamas köteet minden korong körü, ugyanoyan irányban egyszer körütekerjük (3(b) ábra). Hasonít ez ahhoz, ahogy az eukarióta DNS a sejtmagban fetekeredik a hiszton fehérjékre []. Ekkor a megnyút köté hossza: r[n + (n + )p], a rendszer tejes potenciája pedig EA Π π L [ r( n + ( n + ) ) L] áandó, azaz a rendszer egyensúya indifferens. A sajátfeszütség aatt áó korongrendszer küso erok nékü, szabadon deformáható. A 3(c) ábrán fetüntetett konkáv aakzat fevéteének sincs akadáya. Ez egyútta magyarázatu is szogá arra, hogy hogyan ehet végrehajtani utófeszítést konkáv héjakon a fa küso feüetén futó gyuruirányú feszíto huzaokka [8]. 3. KÖVETKEZTETÉSEK A bemutatott pédák evi jeentoségge bírnak. A vaóságban egy szerkezet egyensúya vagy stabi, vagy instabi. Harmadik ehetoség nincs. Ennek az az oka, hogy a vaóságban mindig vannak a rendszerben kis kezdeti tökéetenségek, zavarások, ameyek hatássa ehetnek az egyensúy stabiitására. Az indifferens (semeges) egyensúyi áapothoz is mindig taáható oyan kis zavarás, amey azt instabiá teszi. A rugamas indifferens egyensúyi áapot evi étezése azonban mindenképpen érdekes, és több eméeti és gyakorati következtetésre nyújt módot. Iyen szerkezetekné mint ismeretes kezdeti zavarásokka tetszoeges katasztrófa típusok is eoáíthatók [3], [7]. A sajátfeszütségek aatt mechanizmusként visekedo vékony héjaknak az urkutatásban ehet akamazásuk [6]. A. pontban ismertetett péda az utófeszítésre adhat öteteket.

6 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A kutatás az OTKA támogatásáva, a T0393 és T számú projektek keretében történt. HIVATKOZÁSOK [] Böcskei E., Orosz Á.: Vasbeton szerkezetek: Héjak, Tankönyvkiadó, Budapest, 973. [] Caadine, C.R. and Drew, H.R.: Understanding DNA: The Moecue & How It Works, Academic ress, London, 99. [3] Gáspár, Zs.: Bucking mode for a degenerated case, News Letter, Technica University of Budapest,, No. 4 (984), pp [4] Haász O.: Acészerkezetek III/. Stabiitáseméet, Tankönyvkiadó, Budapest, 980. [5] Hegedus I.: Contribution to Gáspár's paper: Bucking mode for a degenerated case, News Letter, Technica University of Budapest, 4, No. (986), pp [6] Kebadze, E., Guest, S.D. and eegrino, S.: A zero stiffness she structure. Manuscript, Department of Engineering, University of Cambridge, 00. [7] Koár L. (szerk.): A mérnöki stabiitáseméet küöneges probémái, Akadémiai Kiadó, Budapest, 99, pp., és [8] Lee, H.H. and Kawaguchi, K.: An appication of precast prestress she structure system, IASS Symposium, Nagoya, 00, CD-ROM, T 39. [9] Mang, H.A. and Schranz, C.: Modes of transition from imperfection sensitivity to insensitivity of thin, eastic structures, reprint, Institute for Strength of Materias, Vienna University of Technoogy, 00. [0] Tarnai, T.: Destabiizing effect of additiona restraint on eastic structures. Lecture at EUROMECH Cooquium No. 8. on "Stabiity, bucking and postbucking behaviour; foundations and anaysis". Deft, The Netherands, March 3 Apri, 980. [] Tarnai, T.: Mechanica mode of the pattern formation of otus receptaces, Int. J. Soids Structures 38 (00), pp [] Thompson, J.M.T. and Hunt, G.W.: A Genera Theory of Eastic Stabiity, Wiey, London, 973. [3] Thomson, W. and Tait,.G.: Treatise on Natura hiosophy, Vo. I., art II., University ress, Cambridge, 883, pp