VASBETON LEMEZEK KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSA

Átírás

1 BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK KÉPLÉKENY TEHEBÍÁSA Oktatási segédet v1.0 Összeáította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György Budapest, május hó

2 8. VASBETON LEMEZEK KÉPLÉKENY TEHEBÍÁSA A rugamas emezeméet akamas a szerkezet visekedésének eírására a gyakran eőforduó terhek hatására, hasznáati határáapotokban. A terheések növekedése következtében, a szerkezet teherbírásának kimerüéséhez közeedve, a eginkább igénybevett keresztmetszetekben egyre több heyen éri e az igénybevéte a keresztmetszet vasaása, geometriai és anyagjeemzői aapján meghatározott törőigénybevétet. Ezek a keresztmetszetek a teher további növeésébő keetkező többet- igénybevéteeket már nem képesek fevenni, ezért itt, (a hajító igénybevéteek szempontjábó) ún. képékeny csukók aakunak ki. A szerkezet statikai határozatanságátó függően, megfeeő számú képékeny csukó kiaakuása után a rendszer abiissá váik és ekkor bekövetkezik a tönkremenete. Egy vasbeton emez jeegzetes teher ehajás diagrammját mutatja a K1. ábra a teher növekedésének függvényében. K1. ábra A vasbeton emez visekedésének egyes fázisai a következők: a) ugamas visekedés Ebben a fázisban a emez úgy visekedik, mint egy homogén, izotróp, rugamas anyagú szerkezet, repedések nem aakunak ki, I. feszütségi áapotban van minden keresztmetszete. b) Berepedt áapot A terhek növekedése következtében a húzott zónákban repedések aakunak ki, a berepedt keresztmetszetek merevsége jeentősen csökken. A hajítónyomatékok emiatt átrendeződnek, a terhek további növeésébő származó nyomatékok gyakrabban nőnek a még be nem repedt zónákban, mint a már berepedt metszetekben. A húzott acébetétek még rugamas áapotban vannak, ezért a repedések megnyíása korátozott. A emez II. feszütségi áapotban van.

3 c) Képékeny áapot kiaakuása További tehernövekedésné a eginkább igénybevett keresztmetszetekben a húzott acébetétekben keetkező feszütség egyre több heyen éri e a foyási határfeszütséget. Ezek a keresztmetszetek ettő kezdve többet-nyomatékot már nem képesek fevenni, de tovább aakvátoznak, ezért a nyomatékok átrendeződése a teher növeése esetén még nagyobb mértékű esz, mint az eőző fázisban vot. A képékeny áapot fokozatosan terjed tovább azokban a sávokban, aho a repedések tágassága a egnagyobb. Az iyen sávokat a jeenség modeezésének eegyszerűsítése érdekében csukósoroknak tekinthetjük. Ezek a csukósorok a emez aakjátó, megtámasztási viszonyaitó és terheésétő függően aakunak ki, többékevésbé egyenesnek tekinthető vonaak mentén. d) Törési áapot Ha a kiaakuó képékeny csukósorok, vagy törésvonaak háózata következtében a szerkezet abiissá váik, akkor a emez aakvátozásai további tehernövekedés nékü is növekszik egészen addig, míg a képékeny zónákban a nyomott odaon a beton összemorzsoódik és a szerkezet teherbírása ezze kimerü. Az ezen áapotot eőidéző terhet nevezzük a emez képékeny teherbírásának, a emez törőterhének. A fenti áapoteírásban eőforduó fontosabb fogamak: A képékeny csukó Ha egy gerenda vaamey keresztmetszetében feépő hajítónyomaték eéri az M képékeny törőnyomatékot, akkor ott, azon a heyen a görbüet a végteenhez tart. Ez a keresztmetszet gyakoratiag csukóként működik, mive a metszethez csatakozó két rúdszakasz között θ reatív eforduás jön étre. Mive ez az eforduás csak a képékeny nyomatéki teherbírásnak megfeeő irányú és nagyságú nyomaték hatására jöhet étre, ezért ezeket - a hagyományos csukóktó vaó megküönböztetés érdekében - képékeny csukóknak nevezzük. K2. ábra. Képékeny csukó kiaakuása. Vasbeton keresztmetszetek esetében a képékeny csukó kiaakuásához szükséges egyrészt, hogy a keresztmetszet vasaásának mennyisége eegendően nagy egyen a repedések kiaakuásának pianatában bekövetkező betonacé szakadás ekerüésére, másrészt a keresztmetszet vasaásának mennyisége ne egyen túzottan nagy, hogy biztosítva egyen a képékeny eforduási képesség és a keresztmetszet ne a nyomott betonöv összemorzsoódása következtében menjen tönkre a húzott acéok megfoyása eőtt. Derékszögű négyszög aakú

4 keresztmetszetek esetén ez a fetéte átaában tejesü ha a húzott vasaás fajagos keresztmetszeti terüete a betonkeresztmetszet 0,15-1,5 % - a között van. A törési mechanizmus Statikaiag határozatan (rúd)szerkezetek esetén egy képékeny csukó kiaakuásakor a szerkezet statikai határozatanságának foka eggye csökken. Egy kezdetben statikaiag határozott szerkezet ezért egyeten képékeny csukó kiaakuásakor statikaiag instabiá váik. Ezt az instabi szerkezetet törési mechanizmusnak nevezzük. Egy iyen mechanizmus képékeny csukókka egymáshoz kapcsoódó rúdeemekbő, vagy emez esetén képékeny csukósorokka kapcsoódó emeztábákbó á. Azt a terhet, ameynek hatására a törési mechanizmus étrejön a szerkezet törőterhének nevezzük. Néhány törési mechanizmust mutat rúdszerkezetek esetén a K3. ábra. 8.1 SZÁMÍTÁSI MÓDSZEEK K3. ábra. Törési mechanizmusok A rugamas számítási módszerekke eentétben a képékeny aakvátozások és feszütségek között nincs egyértemű összefüggés és a képékeny aakvátozások nem reverzibiisek. A szerkezetek képékeny teherbírás vizsgáatáná a következő fetéteeket ke kieégíteni: Egyensúy, mey szerint a szerkezetre működő összes erőnek (ide értve a reakcióerőket is) egyensúyban ke ennie. Teherbírás, meynek értemében a szerkezet összes keresztmetszetében a küső terhekbő keetkező igénybevéteek nem haadhatják meg az adott keresztmetszet törőteherbírását, mey a keresztmetszetben évő acébetétek és beton teherbírásának kimerüésekor jön étre. Mechanizmus, mey a szerkezet törési mechanizmusának kiaakuásához eegendő számú képékeny csukónak ke étrejönnie a törési áapot bekövetkezéséhez. (Meg ke jegyezni, hogy a rugamasságtanban az eső két fetéte azonos, a harmadik fetétet pedig a szerkezet kompabiitásáva ke heyettesíteni.) A képékenységtan eőző három aapfetevésének kieégítéséhez a következő két számítási módszer akamazható:

5 Statikai módszer A statikai módszer oyan statikaiag megengedett nyomatékmezők meghatározásán aapu, ameyek kieégítik az egyensúyi és a törési fetéteeket. A statikai téte kimondja, hogy minden oyan Q i terheés, ameynek egy M i statikaiag megengedett nyomatékmező fee meg kisebb, vagy egfejebb azonos a szerkezet Q teherbírásáva. Statikaiag megengedett nyomatékmezőket mutat az K4. ábra háromnyíású, megoszó teherre terhet gerenda esetén. K4. ábra Statikaiag megengedett nyomatékmezők Kinematikai módszer A kinematikai módszer az egyensúyi és a mechanizmus kiaakuására vonatkozó fetéteek kieégítésén aapu; oyan kinematikaiag ehetséges törési mechanizmusok fevétee aapján, ameyekné a fevett képékeny csukóban a törőnyomaték ép fe, a csukók közötti tartószakaszok pedig egyensúyban vannak. A kinematikai téte szerint minden oyan Q i terheés amey megfee egy kinematikaiag ehetséges törési mechanizmusnak, nagyobb a Q tényeges teherbírásná, vagy egfejebb egyenő azza. A statikai téte aapján: Q i stat < Q vaamint, a kinematikai téte aapján: Q i kin > Q, figyeembevéteéve kimondható az unicitási téte, amey szerint: ha egy kinematikaiag ehetséges törési mechanizmushoz hozzárendehető egy statikaiag megengedett nyomatékmező, akkor a hozzájuk tartozó Q i közös terheés a szerkezet tényeges teherbírásáva azonos. K5. ábra. Az unicitási téte

6 Pédaképpen határozzuk meg a következő, egyik végén megtámasztott, másik végén befogott, két koncentrát erőve terhet gerenda törőterhét a statikai és a kinematikai módszer aapján. Egy ehetséges statikaiag megengedett nyomatékmezőt és kinematikaiag ehetséges törési mechanizmust mutat az K6. ábra. K6. ábra A statikai módszer aapján (K6/a. ábra ) A B Q a fevett nyomatékmezőbő, ezze M Q és innen 3 Q 3M A kinematikai módszerre (K6/b. ábra ) a fevett kinematikaiag ehetséges mechanizmus aapján a képékeny csukók közötti szakaszok egyensúya a szerkezetre működő terhek és igénybevéteek áta végzett L K küső és L B beső munkák egyenősége aapján biztosítható: L K Q Θ M Θ + M 2Θ L 3 B innen Q 9M A kétfée módszerre meghatározott törőteher tehát nem azonos, a kinematikaiag ehetséges teher a statikaiag megengedettnek háromszorosa!

7 Vizsgájuk most az K7. ábrán fetüntetett statikaiag megengedett nyomatékmezőt és kinematikaiag ehetséges mechanizmust: A statikai módszer szerint (K7/a ábra ) : K7. ábra M A Q + és ezze B Q M M M B Q ebbő Q 4M Az K7/b ábrán fevett mechanizmusbó a kinematikai módszer aapján a küső és beső erők virtuáis munkájának egyenőségébő: 2 L K Q Θ + Q Θ M Θ + M 3Θ L 3 3 B ebbő Q 4M A statikai és a kinematikai módszer tehát ebben az esetben azonos eredményre vezetett, amey evieg az adott erendezésű teher esetén a tényeges törőterhet határozta meg ALKALMAZÁS VASBETON LEMEZEK ESETÉN Vasbeton emezek méretezése evieg a statikai és a kinematikai módszerre is evégezhető. A továbbiakban itt csak a Johansen áta kidogozott törésvona eméette fogakozunk, mey a kinematikai módszeren aapu. A módszer ényege, hogy a emezt képékeny csukósorok, vagy másképpen törésvonaak ehetséges konfigurációinak fevéteéve oyan törési mechanizmussá aakítjuk, ameyhez - pédáu a virtuáis munkák egyenőségének biztosításáva - meghatározható a szerkezet törőterhének feső korátja. A módszer eőnye, hogy akamazásáva bonyoutabb aaprajzú és megtámasztási viszonyú emezek teherbírása is viszonyag egyszerűen megbecsühető.

8 A törésvona-eméet akamazásakor a következő aapfetevéseket tesszük: - a törésvonaak mentén a nyomaték áandó és az acébetétek megfoyásához tartozó törőnyomatékka azonos, - a törésvonaak áta határot emeztábák merev test szerűen fordunak e az egyszerűen megtámasztott, vagy befogott peremek körü, - oszoppa megtámasztott emez esetén az eforduási tengey átmegy az oszop tengeyén Ezen aapfetevésekbő az aábbi következmények származtathatók: - egy befogott peremen mindig törésvonaat ke fetéteeznünk a mechanizmus kiaakuásához. - a törés pianatában a rugamas aakvátozások a képékeny deformációkhoz képest kicsik, a méretezésné ezért ehanyagohatók. Ebbő következik, hogy a törésvonaak egyenesek. - minden törésvona átmegy annak a két emeztábának az eforduási tengeyének a metszéspontján, ameyeket eváaszt. - ha a törésvonaak a emez feüetét n emeztábára osztják fe és ha minden eforduási tengey ismert, akkor n-1 geometriai paraméterre ehet tejesen eírni a törési mechanizmust. - átaános esetben nem minden emeztába eforduási tengeye ismert. Ha ξ a nem-ismert eforduási tengeyek számát jeenti, akkor a törési mechanizmus in-1+ξ geometriai paraméterekke jeemezhető egyérteműen

9 A virtuáis munkatéte akamazása A törési mechanizmus kiaakuása után egy a törésvonaak, ietve a emez szée áta határot emeztábára a következő terhek hatnak: a küső terhek (önsúy és hasznos terheés) a feüeten megoszó q, vagy vona mentén megoszó q_, vagy koncentrát Q erők formájában, a törésvonaak mentén feépő m hajító és m T csavarónyomatékok és a törésvonaak mentén, a két csatakozó emeztába között keetkező nyíróerők. Legyen a emez egy végteenü kicsi eeme d x d y feüette jeemezve, ha ennek a virtuáis emozduása δ(x,y) akkor a tejes emezre a küső erők virtuáis munkája: (, ) q () L K qδ x y d x d y + δ d A + Q δ i Legyen θ i a törési mechanizmus egy emezeemének virtuáis eforduása, s i egy az eemet határoó törésvona szakasz hossza, és m i az s i törésvonaon működő fajagos nyomaték. Ekkor a nyomatékok beső virtuáis munkája a tejes emezre: ( ) Θ ( Θ ) L m s B i i i i aho az m iθ i i s i m i i m Θ m Θ cosm, Θ. skaárszorzat ( ) A csavarónyomatékok és a nyíróerők munkája tejes emezre zérus ( mive a törésvona két odaán ezek azonos értékűek, de eenkező eőjeűek). A küső és beső munkák egyenősége aapján ( L K L B ), az m nyomatékok meghatározhatók a q törőteher és a törésképet jeemző λ i paraméterek függvényében: a) A feadat megodása az mm(λ 1,λ 2...λ n, q ) függvény maximáásábó á és a következő egyenetrendszer megodására vezet: m 1 0 ; m 2 0 ;... m n Az egyenetrendszert megodva λ i értékei és az m nyomaték, a q függvényében meghatározhatók (i 1, 2, n). 0 b) Egy másik ehetséges megodás: a q törőteheret határozzuk meg a emez ismert vasaásábó számítható törőnyomatékok és a töréskép jeemző λ i paramétereinek függvényében. Ekkor a q(λ 1,λ 2...λ n, m ) függvény minimumát ke kiszámítani a következő egyenetrendszerbő: q 1 0 ; q 2 0 ;... q n 0 (i 1, 2, n). Ez a megodás az adott vasaású emez törőterhének feső korátját adja.