A szimmetrikus, külpontosan aláfeszített gerendatartóról

Átírás

1 A szimmetrikus, küpontosan aáfeszített gerendatartóró Bevezetés Koráan már tö, hasonó témájú dogozatunk szüetett, meyek az aáiak: ~ Az egyszeres feszítőmű erőjátékáró KD / ; ~ Az egyszeresen aufeszített gerendatartóró KD / ; ~ Az egyszeres függesztőmű erőjátékáró KD /. Ezek küönöző mértéken, méységen fogakoztak e rokon szerkezetekke. Ezek mindegyikére jeemző, hogy egy foytatóagos gerenda közenső támaszát egy töet de nem csak egy oszop! szerkezet képezi. Ha fáó készünek, akkor az anyagok jeemzőinek izonytaanságai, az ekészítési pontatanságok, st. miatt a pontos számítás szinte már iuzórikus. Fém anyagú szerkezetekné van eginká érteme a pontosa számításukka fogakozni. A KD / és KD / dogozatokan egaá annyit megtettünk, hogy feodottuk a statikai határozatanságot, hogy azután már a kéttámaszú gerendákka kapcsoatos ismeretek aapján az Ovasó e tudja végezni a szükséges statikai számításokat. Ezt azért tettük, mert ~ érdekes, vaamint ~ nemigen taáhatók meg magyar nyevű könyveken a szükséges képetek, a keően részetesen emagyarázott evezetésükke együtt. Az építési szakirodaom ismert művei közü p. [ ] - en az aáiakat taájuk errő a témáró. ára.. ára

2 E küönfée erendezésű tartók szerkezete sztatikai szempontó ényegéen azonos. E tartók számítása arányag egyszerű Tekintette arra, hogy e tartók megodása csupán már ismertetett ejárások érteemszerű akamazásáó á, veük töet nem fogakozunk. Ezze kapcsoatan itt annyit érdemes megjegyezni, hogy azidőtájt de manapság is ez a heyzet nem vot oyan átfogó és gyakoratias szerkezet - számító kézikönyv, amey a fente mondott fetéteeknek megfeet vona. Ez azért is érdekes, mert [ ] az eősza - váan ezt írja magáró: Emeett azonan kézikönyv is azon a terüeten, aho a magyar műszaki irodaoman hiányt ke pótonia. Tapasztaati tény, hogy nagyon nehéz kézikönyvként hasznáni egy oyan könyvet, aho k. a függőhíd számítása a közepesen nehéz feadat. Ugyanez a heyzet a tényeg kézikönyvnek szánt [ ] műné is. A proéma itt is az, hogy az az ovasó, aki nem kíván emerüni a merevítőgerendás ívtartók átaános eméetéen, hogy aó speciaizációva megkapja a feszítő - és függesztőművek számítási formuáit, ajan van. Ekkor ép éete a Magad uram, ha szogád nincsen! - típusú megközeítés, amey nyiván már nem szárnyahat oy magasan, ámde működik. Fontos megjegyezni, hogy a németek kicsit másképpen viszonyutak e témához; p. [ ] éppen oyan, amiyennek ennie ke; csak az a aj vee, hogy nincs magyar megfeeője. Idevágó éményem, hogy ezt a könyvet eőször egy ipari szerkezet - tervező cég irodájá - an áttam eőször, egy könyvespocon; gyakran forgathatták, mert egészen eö vot Emítettük, hogy a fémszerkezetek között gyakraan taákozni pontos / pontosa számítássa, e témakören. Persze, ez sem vot mindig így: vessünk egy piantást a. árára [ 4 ]! Itt egy tehervagont árázotak, meynek részét képezi a címei szerkezet. Kicsit zavaró, hogy errő is csak szöveges eírás taáható.. ára

3 Nem ennyire csupasz kiviteű az [ 5 ] munka, aho az erőtani kérdéseket is részetezik, még ha egyszerűsítve is. Vannak más eőheyek is, aho a siker reményéen keresgéhetünk; iyenek tipikusan a pédatárak, mint p. [ ] is. Persze, itt is fenná az a veszéy, hogy a nem az eejétő a végéig haadó, hanem csak egy - egy feadat megodása kedvéért eekukkantó ovasó számára eseteg nem egészen nyivánvaóak a számítások. A KD / dogozat sem igazán egy konkrétan fehasznáható, hanem inká csak ötet - adó, történeti érdekességeket emutató írás. Az onnan hiányzó részeket pótojuk most. Kifejtés Az aái számítások vezérfonaát a [ 7 ] munkáan taátuk meg. Ennek jeegzetessége, hogy a hozzávaók szinte minden sziárdságtanna fogakozó tankönyven [ 8 ] fe - ehetők. A [ 7 ] - ei és az itteni feadat átaáan nem egyezik, csak speciáis eseten. Most tekintsük a. árát!. ára Itt tüntettük fe a fő mértani és merevség - jeemző adatokat. Látható, hogy a szerke - zet szimmetrikus kiaakítású. Ez nagyan megkönnyíti a számítást. A szerkezet asó övét jeentő BD feszítőrudak ekötése történhet a feső D pontan fagerenda, csavarra, vagy az asó D pontan acégerenda, hegesztésse. Ennek megfeeően mindkét esetet úgy kezejük, mintha a ekötés a D pontan történt vona. A nyomott BC oszop esetén nem így járunk e, ár kis ehanyagoássa tekinthetnénk az oszop - és a gerendatengey metszéspontját is C pontnak.

4 4 A mechanikai jeemzőket is érdemes a három tartóeemné jó megküönöztetni, hiszen megehet, hogy a gerenda fáó, a feszítőrudak acéó, az oszop pedig öntöttvasó készü. Most fordítsuk figyemünket a tartó terheéseire! Itt csak szimmetrikus erendezésse fogakozunk: két koncentrát P erőve és végig egyenetesen megoszó q terheésse. Ehhez tekintsük a 4. árát is! 4. ára Itt már csak a tejes ára egyik feét rajzotuk meg, mive a másik fee ennek tükörképe. A szerkezet esőeg statikaiag egyszeresen határozatan. Ennek feodása, vagyis egy dara ismereten meghatározása a közveten feadat. Ehhez tekintsük az 5. árát is! 5. ára

5 5 Errő eovasható, hogy a feszítőrudak és a gerenda az S és S nagyságú erőket önmagá - an kiegyensúyozzák, terv szerint. Ezért is mondható, hogy ez is egy önmagáa ehor - gonyzott szerkezet. Ez azt is jeenti, hogy esetünken az R A és R A reakcióerőknek csak a küső P és a q nagyságú erőket ke kiegyensúyozniuk, szimmetrikusan. Az 5. árán azt is fetüntettük, hogy érdemes a ~ szakaszt két részre, a I. és. szaka - szokra feosztani, a késői számítások szempontjáó. Ugyanis az S feszítőerők X nagyságú vízszintes összetevője a szakaszhatártó kezdve hat egy nyomóerőként a gerendára: az I. szakaszon még nincs nyomás, a. szakaszon pedig már van. A statikaiag határozatan ismereten mennyiségnek éppen X - et váasztjuk; innen a jeöés is. Meghatározása aá az aakvátoztató munka minimumának eve aapján tör - ténik [ 8 ]. Az aakvátozási munka közeítő kifejezése: Ux,X Ugerenda Urudak UM UNUS U S, ( ) majd a minimaizáás fetétee: Ux, X. ( ) X Megjegyezzük, hogy ( ) - en az a közeítés, hogy a nyíróerők és az eseteges egyé, pédáu küpontosságok miatt feépő hajító - és csavarónyomatékok aakvátoztató munkáját ehanyagotuk a gerendáan terv szerint éredő hajítónyomaték és normáerő, vaamint a rudakan éredő húzó - és nyomóerők munkája meett. Az egyes részkifeje - zések ( ) - en [ 7, 8 ] : M U M dx, ( ) EI N U N dx, EA ( 4 ) S s U S, E A S s U S. E A Most az ( ), ( ), ( 4 ), ( 5 ) és ( ) képetekke: M N S s S s U x,x dx dx ; EI EA E A E A majd ( ) és ( 7 ) - te: ( 5 ) ( ) ( 7 )

6 U x, X M M N N S s S S s S dx dx. X EI X EA X E A X E A X A ( 8 ) kifejezés hasznáatához fe ke írni az igényevéteek kifejezéseit. Az 5. ára aapján: X S cos, Y S sin. Most ( 9 ) - ő: X S, cos vaamint: ( 8 ) ( 9 ) ( ) Y X tg. ( ) Ismét az 5. áráó, a B csomópont egyensúya aapján, figyeemme az eőjere is: S S sin, ( ) majd ( 9 ), ( ) és ( ) - ve: S X tg. ( ) Most ( ) - ő: S, ( 4 ) X cos majd ( ) - ó: S tg. ( 5 ) X Ismét az 5. áráó a rúdhosszak: s, cos ( ) s tg e. Most a ( ), ( ), ( 4 ), ( 5 ) és ( ) képetekke ( 8 ) a odaának utosó két tagja: S s S S s S E A X E A X X X tg tg e tg cos E A cos cos E A 4 tg E A cos E A 4 tg E A cos E A, X X tg e X tg e

7 7 tehát: S s S S s S 4tg X tg e. E A X E A X E A cos E A ( 7 ) A 4. és 5. ára szerint a gerendáan éredő normáerő kifejezései: NxI, ( 8 ) Nx X. Majd ( 8 ) - ó: NxI, X Nx. X ( 9 ) A ( 8 ) - ei összeadandó, ( 8 ) és ( 9 ) - ce, tekintette a szimmetriára is: N N N N dx dx EA X EA X NxI NxI Nx Nx dx I dx EA X EA X N x N x X dx dx X, EA X EA EA tehát: N N dx X. ( ) EA X EA A gerenda hajítónyomatékának függvényei az I. és a. szakaszon: Mx I M x I, Mx M x Yx. ( ) Itt M - va a közönséges tehát aáfeszítés néküi kéttámaszú gerendatartó hajító - nyomaték ~ függvényét jeötük. Most ( ) és ( ) - gye:

8 8 I I M x M x, M x M x X tg x. ( ) - ve: Mx I, X Mx tg x. X ( ) ( ) Ezután a megfeeő ( 8 ) - ei összeadandó, ( ) és ( ) - ma, tekintette a szimmet - riára is: M M M M dx dx EI X EI X MxI Mx Mx I dxi Mx dx E I X X M x Mx dx E I X M x Xtg x tgx dx E I M x tgx dx X tg x dx, E I tehát: M M dx M x tg x dx X tg x dx. EI X EI ( 4 ) Bevezetjük az JM M x tgx dx ( 5 ) rövidítő jeöést, majd evégezzük ( 4 ) jo odaa második tagjáan az integráást:

9 9 x dx x dx d ; ( ) ezután ( 4 ), ( 5 ) és ( ) - ta: M M dx JM X tg. EI X EI ( 7 ) Most ( 8 ), ( 7 ), ( ) és ( 7 ) - te: 4tg J M Xtg X X tg e ; EI E A E A cos E A rendezve: 4tg X tg tg e JM, E I E A E A cos E A EI innen: JM X EI. tg tg tg e EI EA E A cos E A ( 8 ) Tová aakítva ( 8 ) - at: J M X ; EI EI EI tg tg tg e EA E A cos E A ( 9 ) ( 9 ) nevezőjéen kiemeésse és egyszerűsítésse: JM X ; I EI EI e tg tg A E A cos E A tg ( ) a 4. ára szerint: h tg, ( ) így ( ) és ( ) - gye:

10 J M X ; h I EI EI e tg A E A cos E A h ( ) ismét a nevezően vaó kiemeésse ( ) - ő: JM X h I EI EI e tg h A E A cos E A h JM h I EA EA e tg h A E A cos E A h JM, h tehát v. ö. [ 7 ]! : J M X, aho: h I EA EA e tg. Ah E A cos E A h ( ) A ( ) képet akamazásához meg ke határoznunk a ( 5 ) szerinti J( M ) mennyi - séget. Ezt a munkát az 5. árán fetüntetett terheésekre végezzük e. Eőször a P terheési esette fogakozunk. ára. Fetesszük, hogy a >. Most ( 5 ) - ő: JM M x x dx. tg ( 4 ) Vezessük e a x ( 5 ) új vátozót! Ekkor

11 x, dx d, a x,a, f x,f ; ( ). ára Majd ( 4 ), ( 5 ), ( ) - ta: JM,P M d tg a M d M d. a ( 7 ) Az. szakaszon integráva: a a a a M d P d P d d a a a a P P P a a P a a,

12 tehát: a M d a a. ( 8 ) P A. szakaszon integráva: a M d Pa Pa d Pa a. a a ( 9 ) Most ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - ce: JM,P P Pa a a a, tg ( 4 ) majd ( 4 ) - ő: P JM, P tg a a a a P tg a a a a, a a a tehát: P tg JM,P a a a. a a a ( 4 ) Aan az eseten, ha, ( 4 ) - ő: P tg Ptg JM,P a a a a a Pa tg a, tehát: Pa tg JM, P a. ( 4 ) Most ( ) és ( 4 ) - gye: JM, P P tg XP a a a ; h h a a a ( 4 )

13 majd ( ) - ő: h tg, ( 44 ) így ( 4 ) és ( 44 ) - gye: Pa XP a a. a a a h ( 45 ) Ezután ( 45 ) - ő: Pa XP a. h ( 4 ) ( 4 ) egyezik [ 7 ] - ei megfeeőjéve. Most rátérünk a q terheési eset számítására. Ehhez tekintsük a 7. árát! 7. ára Most ( 5 ) szerint a J M,q tg x,f,a M x x dx ( 47 ) x kifejezést ke eőáítanunk.

14 4 A hajítónyomaték függvénye: x q M x q x q x q. ( 48 ) Most ( 47 ) és a koráiak szerint: JM,q q d, tg majd innen: JM,q d d d ; q tg ( 49 ) evégezzük az integráásokat: d d d ; ( 5 ) d d d d d ; ( 5 ) most ( 49 ), ( 5 ), ( 5 ) - gye: J M,q 8 qtg tová aakítva: 4 8 ; 4

15 5 J M,q q tg ; 4 4 ( 5 ) majd ( 5 ) - ő: q tg JM,q 5. 4 ( 5 ) Most ( 44 ) és ( 5 ) - ma: qh JM,q 5. 4 ( 54 ) Ezután ( ) és ( 45 ) - te: qh Xq 5 h 4 q 5q 5, 8h 8h 5 tehát: 5q Xq. 8h 5 Aan az eseten, ha, ( 55 ) - ő: 5q Xq. 8 h ( 55 ) ( 5 ) ( 5 ) egyezik [ 7 ] - ei megfeeőjéve.

16 Ha pedig az 5. ára szerinti a terheés, akkor szuperpozícióva: XP q XP Xq ; ( 57 ) most ( 45 ), ( 5 ) és ( 57 ) - te: X P q Pa a a a a a h 5q. 8h 5 ( 58 ) A statikai határozatanságot ezze feodottuk, innen a számítás a kéttámaszú tartóná tanutak szerint foytatódik. Ezt már az Ovasóra ízzuk. Zárszó Láthattuk, hogy az egyszerűnek számító fenti szimmetrikus tartó - kiaakítás és teher - erendezés esetén is hosszadamas számítás után kaptuk meg eredményeinket a - va jeemezhető küpontosan ekötött feszítőrudas aáfeszített szerkezet esetéen. A részetezésse azt is szemétetni kívántuk, hogy az iskoai tanumányok aapján az emer kis küfödi szakirodami segítségge akár saját maga is eőáíthatja a szüksé - ges képeteket, ha már a hazai szakirodaom nem tette meg ezt heyette. A evezetéseket azért is részeteztük, hogy a sokfée közenső képet - aakó mindenki kiváaszthassa a számára rokonszenveseet, vaamint hogy speciaizáció esetén ne egyen vee gond. Iyen eset ehet pédáu az, amikor a gerenda nyomó - merevségét e kívánjuk hanyagoni. Hasonó aapon történhet más igényevéteek figyeeme vétee is, amikor még össze - tette képet - aakokra számíthatunk. Megemítjük, hogy az itt nem tárgyat aszimmetrikus teher - erendezés esetén jó szogá - atot tehet az az ötet, hogy az aszimmetrikus terhet feontjuk két összetevőre: ~ egy tengeyesen szimmetrikus és ~ egy középpontosan szimmetrikus / antimetrikus teher - részre. Persze, itt is hosszadamas számítások várhatók, meyek hozadéka aapján késő taán már egyszerűen is odoguhatunk. Reméjük, a fentiek aapján mások is kedvet kapnak a feadataikhoz szükséges önáó számításokhoz. Ja, és ne feedjük: vot éet a számítógépek eőtt is! Sok sikert!

17 7 Irodaom: [ ] Korányi Imre: Tartók sztatikája. /. kötet Sztatikaiag határozatan tartók. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 9. [ ] Szerk. Paotás Lászó: Mérnöki kézikönyv. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 959. [ ] Rudof Saiger: Praktische Statik Franz Deuticke, Wien, 949. [ 4 ] Szondy György: Vasuti kocsik Kézirat, Közoktatásügyi Jegyzeteátó Váaat, Budapest, 95. [ 5 ] Ernst Kreissig: Berechnung des Eisenahnwagens Ernst Stauf Verag, Kön - Lindentha, 9. [ ] Kőrössi Tior ~ Laki Tamás ~ Rusznák György: Sziárdságtani pédatár Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 98. [ 7 ] Heinrich Müer - Bresau: Die neueren Methoden der Festigkeitsehre und der Statik der Baukonstruktionen, 4. Aufage Afred Kröner Verag in Leipzig, 9. [ 8 ] Muttnyánszky Ádám: Sziárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98. Sződiget,. ápriis 5. Összeáította: Gagóczi Gyua mérnöktanár