SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS"

Árpád Varga
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS Időtő függeten Schrödinger-egyenet két dimenziós körmozgásra: h V E 8π m x y R V x ha x y R ha x y R Poárkoordináták: SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS x y rcos r sin r x x r x r y y r y r x y arctan y x 1

2 SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS x rcos arctan y r x y y r sin x Poárkoordináták: r 1 x r cos x cos x x y x y r y 1 y r sin sin x x y x y r r 1 x r 1 y r sin y sin y x y x y r 1 1 x rcos cos y x y x y r r 1 x Poárkoordináták: SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS x y rcos r sin r sin cos x x r x r r r cos sin y y r y r r

3 Poárkoordináták: SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS x y rcos r sin h 1 1 V E 8π m r r r r SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS h 1 1 V E 8π m r r r r Peremfetéteek: r ha r R R R π Tehát az egyenet vaójában egyvátozós: h 1 E 8π mr 3

Az impuzusmomentum z irányú komponenséve (L z ): Impuzussa:

4 SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS Megodás: E h 1 E 8π mr 1 i e m m 1 3 πr m h 8π mr m h 8π Az m energiaszintek degenerátak. Az impuzusmomentum z irányú komponenséve (L z ): Impuzussa: E p z m L z E SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS 1 i e m m 1 3 πr m h m h E 8πmR 8π 4

5 KERINGŐMOZGÁS GÖMBFELÜLETEN Időtő függeten Schrödinger-egyenet két dimenziós körmozgásra: h V E 8π m x y z V x ha x y z R ha x y z R KERINGŐMOZGÁS GÖMBFELÜLETEN Térbei poárkoordináták: x rcossin y r sinsin z rcos 5

Kvantummechanikai keringő mozgás Gömbfeüeten mozgó részecske Az időtő függeten Schrödinger-egyenet tejes háromdimenziós aakjábó ke kiinduni.

6 Kvantummechanikai keringő mozgás Gömbfeüeten mozgó részecske Az időtő függeten Schrödinger-egyenet tejes háromdimenziós aakjábó ke kiinduni. Két kvantumszám ( = 1 és m = -(-+1) (-1)) szerepe a megodásban: ( 1) h m im E és m N (cos )e m P 8π z = m = m = 1 m = ± m = m = -1 m = - Minden energiaértékhez ( + 1) huámfüggvény tartozik. m = ±1 m = Kvantummechanikai keringő mozgás Gömbfeüeten mozgó részecske Az időtő függeten Schrödinger-egyenet tejes háromdimenziós aakjábó ke kiinduni. Két kvantumszám ( = 1 és m = -(-+1) (-1)) szerepe a megodásban: ( 1) h m im E és m N (cos )e m P 8π asszociát Legendre-poinom z = m = 1 m m m d P ( )! 1 1 m m = 1 d m = m = -1 m = - Ha a rendszer adott energiaértékéhez egyné több huámfüggvény (áapot) tartozik degenerációró beszéünk. z-irányú impuzusmomentum Az m szerinti energiaértékek mindegyike kétszeresen degenerát. Mind a kasszikus- mind a kvantummechanikában igaz hogy: L z E mh Lz π 6

7 Kvantummechanikai keringő mozgás Gömbfeüeten mozgó részecske Az időtő függeten Schrödinger-egyenet tejes háromdimenziós aakjábó ke kiinduni. Két kvantumszám ( = 1 és m = -(-+1) (-1)) szerepe a megodásban: ( 1) h m im E és m N (cos )e m P 8π z = normát gömbfüggvények m = m Ψ m m = 1 (1/4π) m ½ = 1 1 (3/8 π) ½ sin exp(i) m = -1 1 (3/4π) ½ cos m = (3/8 π) ½ sin exp(-i) (5/3π) ½ sin exp(i) 1 (5/8π) ½ cos sin exp(i) (5/16π) ½ (3 cos -1) -1 (5/8π) ½ cosθ sin exp(i) - (5/3π) ½ sin exp(-i) Kvantummechanikai keringő mozgás Gömbfeüeten mozgó részecske Az időtő függeten Schrödinger-egyenet tejes háromdimenziós aakjábó ke kiinduni. Két kvantumszám ( = 1 és m = -(-+1) (-1)) szerepe a megodásban: ( 1) h m im E és m N (cos )e m P 8π 7

8 Sokrészecske-rendszerek Atomok és moekuák tárgyaása: sok részecskét ke kezeni egyszerre Az N db. részecskét tartamazó rendszerekben a részecskéknek nincs önáó áapotuk a rendszer egyeten huámfüggvénnye jeemezhető: Ψ(x 1 y 1 z 1 m s1 x y z m s x N y N z N m sn t) spinkoordináták vagy Ψ(1 Nt) Annak a vaószínűsége hogy az egyes részecskék egyidejűeg a koordinátáik köré írt dv = dv 1 dv dv N tartózkodnak: Sokrészecske-rendszerek térfogatban Ψ * (1 Nt)Ψ(1 Nt)dV A mozgásegyenet (Schrödinger-egyenet) aakja: N h h j V πi t 8π m j1 j Lapace-operátor: a j-edik részecske térkoordinátái szerinti differenciáás j x y z j j j a részecskék összes köcsönhatási energiája 8

9 Sokrészecske-rendszerek Annak a vaószínűsége hogy az egyes részecskék egyidejűeg a koordinátáik köré írt dv = dv 1 dv dv N tartózkodnak: térfogatban Ψ * (1 Nt)Ψ(1 Nt)dV Az mozgásegyenet (Schrödinger-egyenet) aakja: N h h j V πi t 8π m Az időtő függeten Schrödinger-egyenet: N h j V E j1 8π m j j1 j Variációs módszer Az időtő függeten Schrödinger-egyenet közeítő megodása Akkor hasznájuk ha vaamey kvantummechanikai feadat egzakt megodása nem adható meg csak korátozott pontosságú információra van szükség. Az aapáapot meghatározására szogá. Időtő függeten Schrödinger-egyenet: Ĥ E aho ˆ h H V ( x y z) 8 m (Hamiton-operátor) H E Az aapáapotban: Ezt átrendezve és integráva: Ha az aapáapot pontos huámfüggvénye ismereten a pontos energia sem határozható meg ezze a képette viszont váaszthatunk egy Ψ próbafüggvényt: Ha Ψ Ψ akkor várhatóan E E. Hˆ dv * * Ugyanakkor igazoható hogy a Ψ próbafüggvénnye eőáított E nem kisebb mint E. E E * dv * Hˆ dv dv 9

10 Sokrészecske-rendszerek Annak A sokrészecske-rendszerek a vaószínűsége hogy időtő az egyes függeten részecskék Schrödinger-egyenetének a megodása átaában bonyout egyidejűeg a koordinátáik köré írt dv = dv 1 dv dv N térfogatban * ˆ tartózkodnak: Közeítő megodások keenek Hd p. a variációs módszer Ψ * E (1 Nt)Ψ(1 Nt)dV * A megfeeő Hamiton-operátor: dv Az áapotegyenet (Schrödinger-egyenet) aakja: N N Hˆ j h j V j V 1 8π i t E j j1 Az időtő függeten Schrödinger-egyenet: N h j V E j1 8π m j j * dv V * Hˆ dv Az atomok szerkezete Az atomokat és ionokat feépítő eemi részecskék: proton neutron eektron tömeg (kg) tötés (C) (e) (-e) Atommag mérete: 1 15 m (magfizika magkémia) Eektronburok (kvantummechanika: az atommagot pontszerű pozitív tötésnek tekinti az atommag az atom tömegközéppontjához képest gyakoratiag mozduatan) 1

11 p.: H He + Li + Be 3+ U 91+ Ze tötésű mag egyeten eektron A mag és az eektron köcsönhatását a Couomb-potenciá írja e: 1 Ze V() r 4π r Az eektron áapotát eíró időtő függeten Schrödinger-egyenet: h Ze E 8π m 4π r a vákuum permittivitása ( J 1 C m 1 ) h Ze E 8π m x y z 4π r n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) Az eektron áapotát eíró időtő függeten Schrödinger-egyenet: h Ze E 8π m 4π r Gömbi poárkoordinátákka közeítés nékü megodható: E mz e 4 és 8 nh n m Rn r m 11

12 n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) Zr 1 Zr Rn r Nn r exp Ln radiáis huámfüggvény na na E mz e 4 és 8 nh n m Rn r m n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) N 3 ( n 1)! Z n( n )! na Zr 1 Zr Rn r Nn r exp Ln radiáis huámfüggvény na na n 3 1 E mz e 4 és 8 nh n m Rn r m 1

13 n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) asszociát Laguerre-poinom s q d d q ( ) e e d d s L q s q Zr 1 Zr Rn r Nn r exp Ln radiáis huámfüggvény na na E mz e 4 és 8 nh n m Rn r m n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) Bohr-sugár: a h me Zr 1 Zr Rn r Nn r exp Ln radiáis huámfüggvény na na E mz e 4 és 8 nh n m Rn r m 13

14 n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) ugyanaz mint a gömbfeüeten mozgó részecske huámfüggvénye 4 mz e E 8 nh és m m N m P (cos )e szögtő függő huámfüggvény R r n m n m im n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) P m d ( )! 1 1 d 1 m m m asszociát Legendre-poinom ugyanaz mint a gömbfeüeten mozgó részecske huámfüggvénye 4 mz e E 8 nh és N P (cos )e m im m m szögtő függő huámfüggvény R r n m n m 14

15 n = 13 = 1 (n 1) m = ( 1) ( 1) N m ( m )!( 1) 4π( m )! normáási tényező 1 ugyanaz mint a gömbfeüeten mozgó részecske huámfüggvénye 4 mz e E 8 nh és N P (cos )e m im m m szögtő függő huámfüggvény R r n m n m Konvenció a Ψ nm huámfüggvények jeöésére: n = 134 = 13 m = ( 1) ( 1) marad a szám spdf asó indexbe (ha ke) 4 mz e E 8 nh és R r n m n m 15

16 Konvenció a Ψ nm huámfüggvények jeöésére: n = 134 = 13 m = ( 1) ( 1) marad a szám spdf asó indexbe (ha ke) Ψ 1 Ψ Ψ 11 Ψ 1-1 Ψ 1 1s s p +1 p -1 p Hidrogénszerű részecskék páyáinak radiáis fuámfüggvénye: páya radiáis huámfüggvény 1s s p 3s 3p 3d Zr 1 Zr Rn ( r) Nn r exp Ln radiáis huámfüggvény na na R ( Z / a ) exp( Zr / a ) 3 1 R ( Z / a ) ( Zr / a )exp( Zr / a ) / R1 ( Z / a ) ( Zr / a )exp( Zr / a) /(6 ) 3 1 R 3 ( Z / a ) (7 18 Zr / a ( Zr / a) )exp( Zr /3 a) /(81 3 ) 3 1 R 31 4( Z / a ) (6 Zr / a ( Zr / a) )exp( Zr /3 a) /(81 6 ) 3 1 R 3 4( Z / a ) ( Zr / a) exp( Zr /3 a) /(81 3 ) 16

páya s p z p x p y szögtő függő (anguáris) huámfüggvény (1/ 4 ) 1 1 1 (3 / 4 ) cos 1 1cos (6 / 8 ) sin cos 1 1sin (6 / 8 ) sin sin Vaós atomi páyákhoz a kompex m

1 cos (3 / 3 ) sin cos 1 sin (3 / 3 ) sin sin páya szögtő függő (anguáris) huámfüggvény s p z (1/ 4 ) 1 1 1 (3 / 4 ) cos p x p y d z d xz d yz d x y d xy 1 1cos

17 páya s p z p x p y szögtő függő (anguáris) huámfüggvény (1/ 4 ) (3 / 4 ) cos 1 1cos (6 / 8 ) sin cos 1 1sin (6 / 8 ) sin sin Vaós atomi páyákhoz a kompex m függvények vaós kombinációit (azaz cosm és sinm -t) hasznájuk: d z d xz d yz d x y d xy 1 (5 /16 ) (3cos 1) 1 cos (3 / 8 ) cos sin cos 1 sin (3 / 8 ) cos sin sin 1 cos (3 / 3 ) sin cos 1 sin (3 / 3 ) sin sin páya szögtő függő (anguáris) huámfüggvény s p z (1/ 4 ) (3 / 4 ) cos p x p y d z d xz d yz d x y d xy 1 1cos (6 / 8 ) sin cos 1 1sin (6 / 8 ) sin sin 1 (5 /16 ) (3cos 1) 1 cos (3 / 8 ) cos sin cos 1 sin (3 / 8 ) cos sin sin 1 cos (3 / 3 ) sin cos 1 sin (3 / 3 ) sin sin 17

18 páya s p z p x p y szögtő függő (anguáris) huámfüggvény (1/ 4 ) (3 / 4 ) cos 1 1cos (6 / 8 ) sin cos 1 1sin (6 / 8 ) sin sin Egy energiaértékhez n1 (1) n huámfüggvény tartozik (iyen fokú a degeneráció) d z d xz d yz d x y d xy 1 (5 /16 ) (3cos 1) 1 cos (3 / 8 ) cos sin cos 1 sin (3 / 8 ) cos sin sin 1 cos (3 / 3 ) sin cos 1 sin (3 / 3 ) sin sin 18

Hasonló dokumentumok

Hidrogénszerű atomi részecskék. Hidrogénszerű atomi részecskék

Hidrogénszerű atomi részecskék. Hidrogénszerű atomi részecskék Hidrogénzerű rézeckék páyáinak radiái fuámfüggvénye: páya radiái uámfüggvény p 3 3p 3d Zr Zr Rn, ( r) Nn, r exp Ln radiái uámfüggvény na na R ( Z / a ) exp( Zr / a ) 3, R ( Z / a ) ( Zr / a )exp( Zr /