HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? I.

Átírás

1 bi eredmények aapján ezze együtt is egfejebb néhány ezred naptömeget kapnánk a por mennyiségére, ami továbbra is jóva kisebb az eméeti tanumányokban prognosztizát tömegekné Tanumányunk összességében azt sugaja, hogy a szupernóva-robbanások bár eméetieg a egmegaapozottabb jeötjei a kozmikus portermeésnek, a megfigyeések aapján nem a várt mértékben járunak hozzá az Univerzum portartamának gyarapításához Az eôttünk áó években mind a szupernóvák vizsgáatában, mind a precíziós infravörös csiagászat terüetén ugrásszerû fejôdés bekövetkezését várjuk, ami segíthet végeg edönteni a kérdést: vajon tényeg nem keetkezik sok por a szupernóvák környezetében, vagy csak eddig nem votunk rá képesek, hogy mindet megtaájuk Irodaom Vinkó J, Kiss L L, Sárneczky K, Fûrész G, Csák B, Szatmáry K: Szupernóvák eteor Csiagászati Évkönyv, 8 Vinkó J: Távoságmérés szupernóvákka: tények és taányok Fizikai Szeme 56/7 (6) Szaai T, Vinkó J, Baog Z, Gáspár A, Bock,, Kiss L L A&A () közésre beküdve 4 Vinkó J és mtsai, NRAS 69 (6) 78 5 Vinkó J és mtsai, ApJ, 695 (9) 69 6 Kotak, R és mtsai, ApJ 68 (5) L Lucy, L B, Danziger, I J, Gouiffes, C, Bouchet, P, in Structure and Dynamics of the Interstear edium (ed G Tenorio- Tage et a) Springer, Berin, 989, 64 9 eike, W P S és mtsai, ApJ 665 (7) 68 athis, J S, Rump, W, Nordsieck, K H, ApJ 7 (977) 45 Chugai, N N, Chevaier, R A, Utrobin, V P, ApJ 66 (7) 6 HOGYAN IS OZOG EGY TÖEGES RUGÓ? I Woynarovich Ferenc TA SZFKI A vianyvasutat gyerekjátéknak taáták ki, mégis sokan fenôtt fejje is szívesen játszanak vee Vaahogy így vagyok én a tömeges rugó probémájáva, ami egy tipikus tankönyvpéda ehetne, amennyiben a megodásához szükséges meggondoások és módszerek részei a standard mechanika- és anaíziskurzusoknak, mégis fenôtt fizikusként is örömme fogakozom a probémáva Eôször 976-ban játszottam vee: kidogoztam magamnak a normá módusokra aapozott megodást Ez annyira megtetszett, hogy Ortvay-pédát is gyártottam hozzá (amire egyébként nem jött tejes megodás) Ezze a doog e is ett vona intézve, ha tán két éve egy KöaL-péda kapcsán újra eô nem kerü Többekke beszégettünk róa, aminek eredménye jórészt Groma István (ELTE, TTK, Anyagfizikai Tanszék) ötete aapján egy újabb, a mozgó huámfrontokat eíró megodás ett ondanom sem ke, ehhez is szüetett egy Ortvay-péda (9-ben, amire sajnos megint nem érkezett tejes megodás) A jeen kézirat összeáítása közben tudtam meg, hogy a történet itt nem át meg, a feadat többnek bizonyut mint egy nívós rejtvény: egyes eemei beépütek a fizikusok kontinuummechanika kurzusának anyagába Nem tudom, hogy az érintett hagatók mennyire szeretik, de reméem, megátják szépségét, mint ahogy azok a koégák is, akik eovassák ezt a munkát Bevezetés Az évtizedek óta tartó tananyagcsökkentésnek szerencsére (még) nem esett ádozatu a harmonikus rezgômozgás oktatása E mozgás iskoapédája az egyik végéné rögzített, ehanyagoható tömegû rugó áta mozgatott, véges tömegû test rezgése Evárás, hogy a tanuók tudják, ha a test tömege, a rugóáandó pedig D, akkor a rezgésidô: T π D A jobb diákok azt is tudják, hogy ha a rugónak is van mondjuk m tömege (ami azért jóva kisebb mint ), azt úgy ehet figyeembe venni, hogy a rendszer effektív tömegének eff +m/-at veszünk A magyarázat nagyon szeméetes: fetéteezve, hogy a rugó megnyúása a mozgás során végig egyenetes, a rugó mentén a sebesség ineárisan nô, így ha az tömeg sebessége v, a rugó kinetikus energiája mv /6, ami oyan, mintha heyén +m/ tömeg mozogna Ugyanakkor az is nyivánvaó, hogy meggondoásunk aapfetevése, azaz a rugó egyenetes megnyúása csak közeítés ehet: az egyenetesen megnyújtott vagy összenyomott rugó bármey darabjára mindkét irányban ugyanakkora erô hat, így az, mive véges tömegû, nem gyorsuhatna Az eentmondás feodása természetesen az, hogy a tömeges rugó megnyúása a mozgás során nem egyenetes, és a rendszer mozgása átaában anná összetettebb, mint hogy egy paraméterre (az kitéréséve) jeemezhetô egyen Vaójában a pontos eíráshoz a rugót mint egy egy-dimenziós, végteen sok szabadsági fokú rugamas közeget ke kezenünk Jeen cikk céja ennek bemutatása Látni fogjuk, hogy a rendszer saját rezgései (normá módusai) áóhuámok, ameyek közü a egesô tényeg tág határok között jó közeíthetô a fenti effektív 44 FIZIKAI SZELE /

2 tömeges eírássa, de ez a közeítés az egész mozgásra csak akkor efogadható, ha a magasabb módusok csak kis súya gerjednek Ez azonban a kezdeti fetéteektô eég erôsen függ, ahogy azt két egyszerû pédán részetesebben is bemutatjuk A rendszer huámegyenette történô eírása ehetôvé teszi a tranziensek vizsgáatát is, nevezetesen annak nyomon követését, hogy egy adott kezdeti fetétebô idôben hogyan fejôdik a mozgás A vizsgát pédák egyikét ebbô a szempontbó is eemezzük A kétfée eírás, azaz a normá módusok megadása, ietve a mozgás idôfejôdésének követése, technikaiag nagymértékben küönbözik egymástó, ez természetes módon kínája az anyag terjedeme áta amúgy is indokot két részre bontását A mozgásegyenetek Tegyük fe, hogy a D direkciós erejû, m tömegû és hosszúságú rugó sima, vízszintes taajon fekszik, egyik vége egy fahoz van rögzítve, és a másik végén évô tömegû test a rugó tengeye irányában a rugóva együtt súródásmentesen mozoghat Paraméterezzük a rugó egyes pontjait a rögzített végtô mérhetô x egyensúyi távoságga, és jeöjük az egyes pontok (ongitudináis) emozduását a t idôpianatban s (x,t)-ve! A rugó egészére jeemzô m és D heyett az ezeknek megfeeô okáis mennyiségeket, azaz az egy dimenzióban értemezett ρ m / sûrûséget, és a Young-moduus egydimenziós anaogonjának megfeeô ε D mennyiséget ke hasznánunk Ez utóbbi jeentése: ha az x pontban a rugó reatív megnyúása s / x, akkor abban a pontban a rugóban F (x ) ε s / x erô hat, azaz a rugónak az x -ben taákozó két darabja ekkora erôve húzza egymást (ásd pédáu Widemann Lászó cikkét ebben a apszámban) Ennek segítségéve már feírható a rugó x és x +Δx közötti szakaszára vonatkozó Newton-egyenet: ami végüis a ábra A (8) egyenet grafikus reprezentációja k tgk F(x Δ x) F(x) ρδx s(x,t), c s(x,t) t huámegyenetet adja s(x,t) x () Ebben a hangsebesség c ε ρ D m () A peremfetéteek az erendezésbô adódnak: egyrészt az x vég rögzített, azaz s(x,t), () másrészt az tömeg mozgása követi Newton II törvényét, tehát ε s(x,t) x x s(,t) t Ez utóbbi az () huámegyenet miatt ekvivaens a egyenette ρ s(x, t) x ormá módusok A megodásokat x s(x, t) x s(x, t) sin(kx) sin(ω t φ) x (4) (5) (6) áóhuámaakban keressük Ez kieégíti az () huámegyenetet, ha ω c k (7) megfee a rögzített végre vonatkozó () peremfetétenek, és az -re vonatkozó (4) Newton-egyenet is tejesü, ha κ tgκ m, aho κ k (8) Ez a két egyenet (7) és (8) határozza meg a sajátfrekvenciákat Ahogy az az ábrán átható, a megodások az imeszbem megfeenek az egyik végén szabad rugamas rúd ongitudináis rezgéseinek (κ n [n +/]π), az határeset pedig oyan, mintha mindkét vég rögzített enne (κ n n π) Nyiván a közbüsô esetek az érdekesek, amikor < ξ n κ n nπ < π/ Ezekben a megodások akár numerikusan, akár m/ szerinti hatványsorok formájában megadhatók Küönösen jó kezehetô az m << eset, amikoris eég ezen hatványsorok esô néhány tagját meghatározni m / p/ p p/ p A ξ n (i ) arctg m/ rekurzió igen jó konvergá nπ ξ n (i) i Ha a ξ n -t m/ szerinti hatványsor aakjában keressük, (8) ξ n szerinti hatványsora segítségéve az együtthatók tagró tagra tetszôeges rendig meghatározhatók WOYNAROVICH FERENC: HOGYAN IS OZOG EGY TÖEGES RUGÓ? I 45

3 sink x n ábra A rugó (ongitudináis) deformációjának aakja az esô néhány normá módusban m/,6 esetén Ekkor x m /,6 κ m 4 45, (9) mópont van, de a rugó x vége sem nem csomópont, sem nem duzzadási hey ( ábra) Ezért a sin huám ampitúdója nem azonos az mozgásának ampitúdójáva: ha az eôbbi, az utóbbi sinκ n egjegyzendô, hogy miné kisebb az m/ hányados, ezek a módusok anná jobban hasonítanak a mindkét végén rögzített rugón ehetséges áóhuámokra Bár hasznáni fogom ezt a kifejezést, tisztázni ke, hogy az egyes módusok a szokásos érteemben nem feharmonikusai egyik aacsonyabbnak sem, hiszen a frekvenciák hányadosa (eseteges véetenektô etekintve) irracionáis szám Ebbô következôen több módus gerjesztése esetén a rugó mozgása csak közeítôeg ehet periodikus A kezdeti fetéteek iesztése κ n nπ nπ m (n,, ) (nπ) uadik módus A ampitúdóva : s (x,t) A sink x sin(ω t φ ) Itt (), (7) és (9) aapján és ω D m κ D O m/ () () () ormá módusok tejes rendszert akotnak, tehát a rendszer minden mozgása eírható ezek szuperpozíciójaként: s(x,t) n x sin( t φ n ) (7) Az -eket és a φ n -eket úgy ke meghatározni, hogy az s(x,t ) s (x), s(x,t) v t (x) t kezdeti fetéteek tejesüjenek, azaz (8) tehát sink x x sinκ O, x s (x,t) A sin(ω t φ), aho A A sinκ () (4) Ez vaóban oyan, mint egy +m/ tömeg A ampitúdójú rezgése egy D direkciós erejû ideáis rugón, tehát a nuadik módus közeíthetô az effektív tömeges eírássa (mégpedig anná pontosabban miné kisebb az m / tömegarány) A többi (n ) módus aakja aho k n n π s n (x,t) x sin( t φ n ), n π m O és ω n ck n (5) (6) Ezek oyan áóhuámok, ameyekben rendre n cso- s (x) v (x) n n sin φ n sin k n x, cos φ n x (9) () A x függvények az adott k n -ek meett az < x szakaszon önmagukban nem, de a tömegekke súyozva ortogonáisok Ez esetünkben azt jeenti, hogy ρ x sink m xdx sink m δ nm m sin κ n () Fontos megjegyezni, hogy ugyanakkor a rugóban évô feszütségeket eíró derivátak a tömegge vaó súyozás nékü ortogonáisok ényegében ugyanazza a normáva: cosk n x cosk m xdx δ nm m sin κ n () 46 FIZIKAI SZELE /

4 A () ortogonaitást kihasznáva (9) és () az sinφ n ρ s (x) xdx m sin κ n s () sinκ n () E n (6) Speciáisan a nuadik módusra (kis m / esetén) igaz: m ω m n sin κ n A n sin κ sin κ, (7) és cosφ n ρ egyeneteket adja v (x) xdx m sin κ n v () sinκ n (4) egjegyzések: Az s (x ) oyan foytonos függvény, ameyre tejesü, hogy x s (x) >y s (y), ha x > y, hiszen a rugó nem szakadt e, és az egyes részei nem is eôzhetik meg egymást v (x)-nek nem ke foytonosnak ennie, de minden x -re tejesünie ke, hogy v (x) < c, küönben ökéshuámok aakunak ki, ameyekre nem jó a huámegyenet Ezen fetéteek tejesüése ugyan szükséges, de nem eegendô ahhoz, hogy a mozgás során ne fordujon eô vaamiyen katasztrófa : ha pédáu v / > D /, akkor biztos, hogy a rugó úgy deformáódik, hogy arra a jeen eírás nem ehet érvényes (a rugó deformációja biztos nem írható e a ineáris erôtörvénnye, hisz azt fetéteezve még nua hosszúságúra összenyomva sem képes az tömeg energiáját enyeni) így annak az energiája (8) Fontos megjegyezni, hogy ( 4) és (8) egyenetek csak a nuadik módusra vonatkoznak, és azt jeentik, hogy ez a módus jó közeítésse (a küönbözô menynyiségek esetében O (m / ), ietve O((m / ) ) reatív hibáva) úgy írható e, mint egy +m/ tömeg A ampitúdójú rezgése egy D direkciós erejû ideáis rugón Viszont az, hogy a mozgás egésze mennyire jó közeítésse heyettesíthetô az aapmódussa, az attó függ, hogy az adott kezdeti fetéteek meett miyen súya vannak jeen a magasabb feharmonikusok Két péda E ω m A D A A kezdeti fetéteek jeentôségének a bemutatására két esetet részetesen is eemezünk: a) az tömegné fogva a rugót A-va kihúzzuk, majd magára hagyjuk, ietve, b) az tömegnek hirteen (pédáu ütközésse) a rugó irányába esô v sebességet adunk egodás az a) kezdeti fetéte meett Ebben az esetben s (x) A x, v (x) (9) Ennek megfeeôen () és (4) szerint minden φ n π/, és A módusok energiája m sinκ n A m sin κ n κ n () A tejes energia E ε s(x,t) x s(,t) t ρ s(x,t) t dx (5) inden módushoz megadható az tömeg rezgésének az adott módushoz tartozó ampitúdója A A sinκ n n n m sin κ n A m sin κ n κ n () Tekintette arra, hogy a t -ban ezek összege az tömeg aktuáis, azaz A kitérése, Beheyettesítve, és a ( ) ortogonaitásokat kihasznáva megkapjuk, hogy ez az egyes módusok energiájának az összege: n m sin κ n m sin κ n κ n () WOYNAROVICH FERENC: HOGYAN IS OZOG EGY TÖEGES RUGÓ? I 47

5 ke, hogy egyen Speciáisan kis m / esetén (egy eég fáradságos, éppen ezért itt nem részetezett sorfejtés szerint) V n sinκ n sin κ n m sin κ n v (4) ietve A A, 45 An A, han 4 (nπ) () (4) Érdemes megnézni az egyes módusokban tárot energiát! Ha az -eket beheyettesítjük az energiaképetbe ive a t -ban ezek összege az tömeg aktuáis v sebessége, most a n sin κ n m sin κ n összefüggésnek ke tejesünie Speciáisan kis m / esetén V m v, (4) (44) E n ω n m sin κ n m sin κ n κ 4 n adódik Ebbô, fehasznáva, hogy A (5) és V n m v, han > π n (45) ω n m D, (6) Ha az -eket beheyettesítjük az energiaképetbe, az κ n E n sin κ n m sin κ n v (46) E n m sin κ n m sin κ n κ n DA (7) összefüggést kapjuk, tehát az egyes módusokra esô energiahányad Figyeemre métó, hogy E m sin κ n m sin κ n κ n E An A (8) (9) (Fontos, hogy az -ekben nem csak a rezgô, hanem a rugón kiaakuó áóhuámok energiája is benne van, ezért ehetséges, hogy az -ek aránya azonos az -ekéve Iyen típusú azonosság csak speciáis kezdeti fetéteek meett várható) egodás a b) kezdeti fetéte meett Ez a kezdeti fetéte s (x), v (x), ha x <, v, ha x Ennek megfeeôen φ,és sinκ n m sin κ n v (4) (4) inden módushoz rendehetô egy sebesség, ami az tömeg rezgésének az adott módushoz tartozó sebességampitúdója: adódik, tehát a tejes energia az egyes módusokon E sin κ n m sin κ n arányban oszik e Ebben az esetben E V n v tábázat Néhány adat a tömegarány függvényében m/,,,6, κ,,58,75,86 (T T eff )/T,%,8%,9%,66% [(E E )/E] a,%,7%,6%,9% [(E E )/E] b,6% 9,4% 7,6% 7,% (47) (48) A két eset összehasonítására az tábázatban fogatuk össze néhány mennyiség értékét küönbözô tömegarányok meett A második sorban a κ értéke csak a tejesség kedvéért szerepe A harmadik sorban T az aapmódus rezgésideje, míg T eff az eff +m/ effektív tömegge számot érték [(E E )/E] a és [(E E )/E] b a rezgés tejes energiájábó a feharmonikusokra esô rész reatív súya az a), ietve b) kezdeti fetéte meett (A reatív etéréseket, ietve súyokat százaékban adtuk meg) Szembetûnô, hogy a nuadik módus rezgésidejének T eff -fe vaó közeítése egész nagy tömegarányig igen jó, még m meett is kisebb mint % reatív hibát okoz Hasonó módon tág határokig jó közeítésnek átszik az a) esetben a 48 FIZIKAI SZELE /

6 tejes mozgás heyett csak a nuadik módussa számoni: még azonos tömegek esetén is több mint 98% súya a nuadik módus gerjed Nem ez a heyzet a b) kezdeti fetétené, amikor már m, meett is több mint %, m, esetén pedig már köze % a feharmonikusok súya Annak, hogy egy adott tömegarány meett a b) esetben nagyobb súya gerjednek a feharmonikusok, mint az a)-ban, igen szeméetes oka van: az a) kezdeti fetéte hasonít a nuadik módusra, míg a b) nem uadik módushoz tartozó emozduás közeít az egyenetesen növekvôhöz, így az a) esetben a magasabb módusoknak csak azért ke megjeenniük, hogy a kettô közötti kis etérést kompenzáják Ugyanakkor az aapmódushoz egy köze egyenetesen növekvô sebességeoszás tartozik, így a b) esetben a feharmonikusoknak oyan súya ke gerjedniük, hogy az aapmódus sebességét a végpont kivéteéve mindenütt nuára egészítsék ki Ha itt is enne egy vx/ sebességeoszás a rugó mentén, az a) esethez hasonóan nagy súya gerjedne a nuadik módus Összefogaandó az eddigieket Emondhatjuk: az egyik végén rögzített, tökéetesen rugamas, de véges tömegû rugóbó és egy hozzá erôsített testbô áó rendszer mozgását egy egy-dimenziós rugamas közeg probémájaként tárgyatuk A rugót modeezô rugamas közeg mozgását egy szokásos huámegyenet írja e, ameyhez az egyik vég rögzítése, ietve a másik véghez csatakozó test mozgását eíró Newton egyenet peremfetéteként jeenik meg eghatároztuk a rendszer normá módusait és azt a szabáyt, ameye ezek a kezdeti fetéteekhez ieszthetôk Két egyszerû, de ényegesen küönbözô kezdeti fetétet jeentô feadatban az aapharmonikus és a feharmonikusok viszonyát részetesen eemeztük A mozgások eírása azza ett vona tejes, ha a normá módusokat feösszegezzük Ez az összegzés numerikusan bármikor, de anaitikusan, zárt aakban csak extrém kis rugótömeg határesetben végezhetô e Szerencsére a rugó és a test mozgásának részetei más módon is federíthetôk Ez esz munkánk második részének tárgya EGY REÉNYTELENNEK TÛNÔ VEZÉRLÉSI PROBLÉA A KLASSZIKUS ÉS ODERN FIZIKA HATÁRÁN Té András, BE, echatronika aapszak, III évfoyam Té Tamás, ELTE, Eméeti Fizikai Tanszék A modern mûszaki probémákban, így pédáu a robotok tervezésekor gyakran épnek fe irányítási, vezérési feadatok Ezek közü küönösen érdekesek azok, ameyek során egy eredendôen instabi áapotba ke ejuttatni a rendszert Az aábbiakban bemutatunk egy esô átásra reményteennek tûnô mechanikai feadatot, ameynek megodásához a modern fizika mára már kasszikussá vát eredményei adnak segítséget A vezérési feadat Tekintsünk egy egyenes mentén harmonikus rezgômozgást végzô m tömegû testet, ameynek rugóáandója egy eôírt D(t) függvény szerint vátozik idôben Az x(t ) kitérés-idô függvényt meghatározó mozgásegyenet [] csak a kitéréstô függ, hanem az idôfüggô rugóáandó pianatnyi értékétô is Az () egyenet jobb odaa expiciten is függ az idôtô, a differenciáegyenet nem autonóm, vagyis a mozgás foytatását nem csak a test pianatnyi heyzete és sebessége határozza meg, hanem egy küsô hatás is Az egyenet oyan típusú, mint a gerjesztett rezgéseket eíró egyenetek [], csak az idôfüggés nem egy küsô erôben, hanem a rugóáandóban jeenik meg A mechanikai összenergia a súródás hiányában sem áandó, hiszen a rugóáandó idôbei vátozása miatt a rendszer energiát nyerhet vagy veszíthet Tegyük fö ráadásu, hogy a rugóáandó idôben monoton módon csökken, egy idô után eôjeet vát, s attó kezdve végig negatív marad Az egyszerûség kedvéért egységnyi tömeget tekintve, s akamasan megváasztott idôegységet hasznáva, ezt kifejezhetjük úgy is, hogy a mozgásegyenetet az mẍ(t) D(t) x(t), () ẍ(t) d k(t) x(t) () aho a pont az idô szerinti deriváást jeöi Az ennek az egyenetnek eeget tevô rendszer manapság érzékeôk (szenzorok) és beavatkozó egységek (aktuátorok) segítségéve könnyen megépíthetô, bármiyen is a D(t ) függvény A rugóra ható erô most tehát nem aakba írjuk Itt d > a nua pianathoz tartozó kezdeti rugóáandó, és k (t) az idôbei vátozást eíró A rugóáandó szóhasznáat annyiban jogos, hogy D(t) továbbra is függeten a kitéréstô TÉL ANDRÁS, TÉL TAÁS: EGY REÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉA A KLASSZIKUS ÉS ODERN FIZIKA HATÁRÁN 49