IFFK 2014 Budapest, augusztus Véletlen gráfok és logisztikai alkalmazásai. Dr. Péter Tamás*, Dömötörfi Ákos**

Átírás

1 IFF 4 Budaest, 4. augusztus 5-7. Véletle gráfok és logisztikai alkalmazásai Dr. Péter Tamás*, Dömötörfi Ákos** *BME özlekedés- és Járműiráyítási Taszék, Budaest, Stoczek u.. ( eter.tamas@mail.bme.hu) **Szécheyi Istá Egyetem, Multidiszciliáris Műszaki Tudomáyi Doktori Iskola H 96 Győr, Egyetem tér. (Tel: ; cekaah@fre .hu) Absztrakt: A logisztikai hálózatok aalízise sorá óhatatlaul előtérbe kerülek azok a saátosságok, ill. seciális tuladoságok, amelyek az ellátási lác ellegéből adóda aak ele. Ilyeek azok a életle eleségek, sztochasztikus folyamatok, amelyek szorosa kacsolódhatak a logisztikai lác aalíziséhez aszerit, hogy a folyamatokat milye mélységébe izsgáluk. Az ilye eleségek leírásáak egyik eszköze a életle gráfok alkalmazása és a taulmáy arra tesz kísérletet, hogy az egyszerű logisztikai alamodellt ezekkel az eszközökkel íra le, illete bemutassa a életle gráfok alkalmazási lehetőségeit a logisztikai modellezések toábbi területei.. BEVEZETÉS Az IFF kofereciá bemutatott (Dömötörfi, ) kutatási téma folytatásakét - melybe megfogalmazásra kerültek a moder kori logiszikát ellemző főbb tuladoságok - ele kutatás arra tesz kísérletet hogy eze ismérekre alaoza alkalmazzo olya gráfelméleti módszereket, amelyek a logisztikai lácba relő kacsolatok modellezését toábbi matematikai összefüggésekkel egészítik ki. Egyre ikább megerősítést yert, hogy a logisztikai modelleke elégzett toábbfelesztések és az átfutási idő csökketésére oatkozó törekések helyes iráyt szabak és rámutatak a kutatás multidiszciliáris ellegére. Ezek a célok sok területe maguk utá oák a közlekedéstudomáyhoz szorosa kacsolódó tudomáyos módszereket is. Nagyo sok árhuzamosság állaítható meg és eek kacsá ól össze lehet hagoli a logisztikai folyamatok aalízisét a közlekedési redszerek folyamataalíziséel. A ozití diamikus redszerek elméletéből kiidula és a agyméretű közúti hálózatok elméletére támaszkoda, toábbi fotos kutatási terület ez utóbbiak és a logisztikai hálózatok elméletéek kacsolata és eek feltárása. Miel a logisztika ma már em élkülözheti a moder iráyításelmélet eszközeit sem, a modellezés mellett fotos az iráyítási kérdések izsgálata is! A kutatás, szállítási, logisztikai, elosztási-terhelési roblémák izsgálatára, otimálására szimulációs modellek készítésére, toábbá kokrét feladatok körébe törtéő alkalmazására iráyul.. ELMÉLETI HÁTTÉR A életle gráf olya gráf, amely alamilye életle folyamat sorá ö létre. A életle gráfok elmélete a gráfelmélet és a alószíűségelmélet határterületét fedi le és a életle gráfok tuladoságait izsgála (Barabási, ). A életle gráfokat először Erdős Pál és Réyi Alfréd határozta meg (Erdős- Réyi, 959) közös cikkükbe. Egy csúcsból és M élből álló G(,M)-el elölt életle gráfot létrehozhatuk úgy, hogy egy elemű csúcshalmazhoz az éleket életleszerűe aduk hozzá. A külöböző életlegráf-modellek külöböző alószíűséggel hozzák létre az egyes gráfokat. Az Erdős Réyi modell két roko életle gráfok előállítására szolgáló modell ee.. I. Változata Egyelő alószíűséggel álaszt az összes adott élszámú gráf közül. Ez a modell olya G(,M) gráfokat tartalmaz, melyekek otosa M élük a és mide egyes ilye gráf otosa egyforma alószíűséggel fordul elő.. II. Változata Mide él egymástól függetleül, egy adott alószíűséggel a behúza. A legtöbbet taulmáyozott modell az Erdős Réyi modell, ele G(,), melybe mide élt a többitől függetleül alószíűséggel hozuk létre. Az utóbbi modell felfogható, mit a G elű életlegráf-folyamat illaatkée egy adott illaatba. Ez a folyamat egy sztochasztikus folyamat, amely csúccsal idul, melyet em kötek össze élek és mide egyes léésbe egy ú élet hoz létre egyforma alószíűséggel álaszta a hiáyzó élek halmazából. A életle gráfok elmélete a matematikai kutatások körébe yitott meg egy telese ú területet, amelyről hamar bebizoyosodott, hogy eek kiemelkedőe fotos gyakorlati eletősége is a. Az elmélet a életle gráfok olya tuladoságait tárgyala, melyek agy alószíűséggel fordulak elő a gráfok bizoyos eloszlása eseté. Megizsgálható egy meghatározott és érték eseté, hogy mekkora a alószíűsége aak, hogy G(,) összefüggő? A kérdések taulmáyozásakor a kutatás gyakra a életle gráfok aszimtotikus iselkedésére összotosul, azokra a kérdésekre, amelyeket akkor taasztalak, ha az értéke ige IFF 4 Budaest Olie: ISBN CD: ISBN Paer 5 Coyright 4 Budaest, MMA

2 Véletle gráfok és logisztikai alkalmazásai agyra öekszik. A erkolációelmélet l. a életle gráfok összefüggőségéel foglalkozik abba az esetbe, ha a életle gráf életle agy. (Bollobás, ). GYAORLATI ALALMAZÁS Az ellátási és logisztikai lácok tiizálhatók a beük megeleő termék(ek) szerit. (Dömötörfi, ) Ugyaakkor közös hasolóság, hogy a külöböző tíusú ellátási lácokat és azok megfelelő modellezhetőségét a beágyazottság szite határozza meg. Szité együttese éréyes megállaítás, hogy a hálózatba relő kacsolatokat bizoyos fokú determitáltság ellemzi (l. beszállító-eő kacsolat előre meghatározott szerződés alaá). A determiáltság szitét az határozza meg, hogy az ellátási lácot milye mélységébe izsgáluk, miel az egyes sziteke és azoko belül létreöő kacsolatredszerek is részbe életleszerűe kialakuló gráfokak tekithetők. Eélfoga a életle gráfok szeree a sztochasztikus modellezésbe elméleti és gyakorlati szemotból is egyarát eletős. Vegyük ehhez a legegyszerűbb logisztikai iszoylatot az A-ból B otba törtéő elutást.. Hoa-Hoá (Origi-Destiatio) mátrix A logisztikai hálózati gráfo a otos forgalmi helyzet felméréséhez az egyik legfotosabb iformáció az, hogy ismerük, hogy az egyes árműek hoa-hoá és milye útoalo közlekedek? A közúto közlekedő árműek egy része dedikált ármű. Helyzetük, mozgási ályáuk köye meghatározható a korszerű eszközökkel. A árműek többsége azoba a terezők számára életle mozgást égez a hálózati gráfo, általába em tuduk, hogy ée hol helyezkedik el és azt sem tuduk, hogy hoa hoá tart? A közúti hálózatoko a forgalmi folyamatok aalíziséél a eheze, agy egyáltalá em mérhető forgalmi araméterek meghatározására a szakirodalomba eletős szereet kaak a külöböző becslési elárások. Eze a területe egy ige fotos kérdés az Hoa-Hoá mátrix meghatározása, amely a forgalmi folyamatok iráyultságáak ismereté keresztül szolgála az otimális terezését. Ebbe az esetbe az szakirodalomból ismert becslési módszerek arra oatkozak, hogy ha egy adott közúti hálózatál (részredszerél), alamely időkeresztmetszet eseté ismert az iutok esetébe a több iráyból behaladó és az oututok eseté a több iráy felé kihaladó árműek száma, akkor kéesek agyuk becsüli azt, hogy a behaladó árműek milye iráyokba táoztak. Ez a becslés természetese egy kokrét egyedi ármű esetébe em tud iformációt szolgáltati. A becslés azt az iformációt tuda yútai, hogy az egyes iutokat tekite, tőlük árhatóa, mekkora árműaráy haladt ki az egyes oututok iráyába. A szakirodalomba a Hoa-Hoá mátrix a becsült aráyokat foglala össze egy mátrixba. Az első oszloba aak az iutok (beható ágak) és az első sorba az oututok (kiható ágak). A mátrix egyes elemei az adott iut-iráyból az egyes oututiráyokba kiható géárműek százalékos eloszlását mutaták. A becslési elárásokál eletős segítséget yútaak a moder iráyításelméleti eredméyeiek is. Ebbe a oatkozásba l. külööse alkalmas a álmá szűrés felhaszálása.. Elutás alószíűsége a hálózat (gráf) tetszőleges másik szektorára A ármű-és szállítási folyamatok iráyultsága köetkeztébe a izsgálat tárgyát kéező hálózati gráf iráyított gráf. Eze az iráyított hálózati gráfo egy tetszőleges élről alamelyik hozzá csatlakozó élre életle álasztással léük át, az iráyításokat és a égotá léő csúcsra defiiált diszkrét alószíűség-eloszlást figyelembe ée. Ilyekor a hálózati terhelés és forgalomelosztás otimálása szemotából fotos kérdés, hogy mekkora aak a alószíűsége, hogy a hálózati gráf egy tetszőleges i élére érkezük (i, =,,,)? A életle gráfok körébe ez esetbe élből iduló és i élbe égződő életle iráyított részgráfokat izsgáluk, amelyek a gyakorlati szemotból, alamilye alószíűséggel beköetkező útoalak. A gyakorlati roblémákál figyelembe eedő az idő és sebesség is, miel a külöböző időotokba áltozhat a csúcsokba a disztribúció is (tér, idő robléma). A Hoa- Hoa roblémáál izsgálhatuk, csak -ből iduló homogé folyamatokat és ezekre meghatározott disztribúciókat, de izsgálhatuk mide lehetséges csúcsból kiiduló ihomogé folyamatokat is. (több iut robléma). Mikroszkóikus modell Az ú izsgálat életlegráf-elméleti aalíziseket alkalmaz, amely támaszkodik a agyméretű hálózati modellre, aak ayagáram disztribúcióára, amely mide hálózati él égotába egy diszkrét alószíűségi eloszlást köet. A modell a emlieáris ozití redszerek osztályába tartozik. A ozití redszerek első defiícióát Lueberger adta meg: A ozití redszer egy olya redszer, amelybe az állaotáltozók em egatíak. (Lueberger, 979) A izsgált közúti közlekedési folyamatok többségébe az állaotok eredeti fizikai eletése alaá megfelelek eek. Az ú hálózati modellt téylegese más gráf íra le. A hálózati forgalom leboyolítása alóába elemek (szakaszok) sokaságáak a diamikus kooerációa. A kooeráció az átadás és befolyásolás, amely állaottól és időtől függő. Az egész hálózatot tekite, téylegese szakaszok kooerálak szakaszokkal és ezek a szakaszok (elemek) alkoták az iráyított hálózati gráf csúcsait. Az élek diamikus relációk. Ezek a diamikus relációk egyszerre szabályozak átadási sebességet és ayagáram meyiséget is! A diamikus kacsolati gráf általáos feléítésű, ily módo térké-hálózat iariás, bármely áros, közúti hálózat leírható ezzel a módszerrel. (A diamikus kacsolati gráf em duálisa a térké-hálózati gráfak.) Ha egy szektor esetébe, alamely időtartamo az átadott árműszámot izsgáluk, automatikusa IFF 4 Budaest Olie: ISBN CD: ISBN Paer 5 Coyright 4 Budaest, MMA

3 Véletle gráfok és logisztikai alkalmazásai elutuk a térbeli lefedettséget alkalmazó árműsűrűség fogalmához, amely egy egzakt geometriai defiíció és belátható, hogy bármely arkoló is ellemezhető ezzel a sűrűséggel! Összefoglala, fotos kiemeli az alábbi eredméyeket: A arkolók általáosított szakaszokkét kezelhetők és ugyaolya diamikus elemei a hálózatak, mit a sáok. Eek köetkezébe, mide állaotellemző értékkészlete a [,] iterallumba helyezkedik el és egyazo elemek sokaságából éül fel a közúti hálózat diamikus modelle. (Péter-Bokor, 7), (Péter, 7a,b) A agyméretű közúti közlekedési hálózati folyamatok matematikai modellezésére seciális hiermátrix struktúrát adtuk meg, amely egy (em feltétleül egyszerese összefüggő) tartomáyba elhelyezkedő hálózat eseté leíra a hálózati elemek közötti belső-belső, külső-belső, belső-külső és a külső-külső kacsolatokat. (Péter, 5), (Péter-Bokor, 6), (Péter, 7a,b) és (Péter, 8)... Az uierzális és a szűkített hálózati forgalmi modellt A B belső kacsolatokat leíró hiermátrixál mideféle kacsolat fellé, kiée a külső-külső kacsolatokat. A külső kacsolatokat leíró hiermátrixál edig mideféle kacsolat fellé, kiée a belső-belső kacsolatokat. A külsőbelső ill., belső-külső kacsolatokat a B és egyarát tartalmazza. A két hiermátrix halmazelméleti uióa határozza meg a teles kacsolati redszert leíró kacsolati hiermátrixot. = U B = Ahol:, B R (+m)x(+m), R x, R xm, R mx, R mxm és x R, s R m. A belső és külső hálózat működését egyszerre leíró általáos hálózati modell a köetkező: x& L = s& P x s () () x& R a belső szektorok állaotellemző ektoráak idő szeriti deriálta, m s& R a külső szektorok állaotellemző ektoráak idő szeriti deriálta, Összefoglala: a kacsolati hiermátrix felhaszálásáal egy egységes matematikai modellt állítottuk fel. Ugyaakkor, a forgalmat leíró térké-gráf, mide kezdeti kiidulás alaa és ez a alóságot kéisele, midig ele a a modellbe, de el a fede a modellezés sorá. Ez eredméyezi azt, hogy a felírt matematikai modell formailag egy egységes, uierzális hálózati forgalmi modell, amelybe az egy-egy térkére utaló saátosságok csuá a kacsolati mátrix elemeiél eleek meg. Fetiek alaá, az egyes kacsolatokat befolyásoló, l. a domborzati, éghalati, látási, útiszoyok stb., mide esetbe figyelembe aak ée a kacsolati mátrixok azo elemeiél, amelyekre ezek hatak, így l. az ott felírt sebesség-árműsűrűség függéyekél is. Fotos tehát kiemeli az alábbi eredméyt: tetszőleges zárt görbe által körülhatárolt tartomáy esetébe megadtuk a belső és külső hálózat működését egyszerre leíró uierzális hálózati forgalmi modellt és a belső és külső hálózati folyamatok működését leíró emlieáris ozití differeciálegyeletredszert. (Péter, 8).. Globális hálózati modell felírása A hálózat mérete tetszőleges, a mátrixok mérete két iráyba módosítható, agy midaddig, amíg el em tűik, agy addig, amíg a mátrix el em tűik. Midkét eset ekiales, megkauk az autoóm globális modellt. A globális hálózat egyelete az alábbi differeciálegyeletredszer, amely ozití emlieáris redszer, a mátrix és a fetiek alaá Metzler mátrix. Az ilye redszerek matematikai izsgálata redkíül izgalmas és moder terület. & (4) x = L x) x Ahol: L = diag{l,...,l }, l i a főátlóba a belső szakaszok hossza ( l i>, i=,,,), R x x R, x& R, részleteze: ( L a belső szektorok és P a külső szektorok hosszát Ahol: tartalmazó diagoális mátrixok: L = l l,...,, l, P =,,..., A és fődiagoálisába agy egatí értékek léek fel, mide más elemük emegatí értéket esz fel. A és mide eleme emegatí értéket esz fel. Tehát ezek a mátrixok Metzler matrixok, köetkezéskée az általuk meghatározott teles kacsolati redszert leíró kacsolati hiermátrix is Metzler matrix. Ahol: m x R a belső szektorok állaotellemző ektora, s R m a külső szektorok állaotellemző ektora, () IFF 4 Budaest Olie: ISBN CD: ISBN Ahol: Paer 5 Coyright 4 Budaest, MMA. x ( x& ( x ( x& (.. x = x& =.... x( x& ( ii = ri ;( r i) (5) (6)

4 Véletle gráfok és logisztikai alkalmazásai α α 4 α α α 6 = α 65 = 6. ábra. Elemei Részleteze: = ;( r r ) (7) = r ;( r ) = r ;( r ) = r ;( r ) (8) (9) () A sebesség és ayagmeyiség szabályozása egyszerre eleik meg a kacsolati mátrix elemébe, miel a mátrix és x állaotellemző ektor szorzatába szerelő, a forgalmat leíró szorzatokak téyleges sebességeket és sűrűségeket kell figyelembe ei: ˆ xˆ = S( xi ( ) V( xi (, x(, ei, e) E( x( ) u ( β ( x(, α ( x(, γ( x(, x () Így adódik, hogy a kacsolati mátrixba az alábbi kacsolati sebesség eleik meg: S( x ( ) V( x (, x (, e, e ) E( x ( ) u ( β ( x(, α ( x(, γ ( x(, = () i i i.4 A diamikus modellből származtatott alószíűségi mátrix. A.. feezetbe ismertetett diamikus modell tartalmazza az α disztribúciókat. Ebből származtatható a -ből törtéő kiidulást köetőe, bármely lehetséges útoal-ter megalósulásáak alószíűsége, amely kokrét esetekbe aszaki, ai, szezoalitástól és meteorológiai eseméyektől is függő lehet. A számítás meetére mutatuk be mitaéldákat, soros és árhuzamos útoalak szereét is szemléltete (.,. ábrák), az útoal szakaszí törtéő tartózkodások alószíűségéek meghatározására. A mitaéldákba = és eze alószíűséggel tartózkodik kiiduláskor a ármű.. ábra Átmeetalószíűségek:. léés: :=. léés: X:=ealm(&*X) () (4) (5). léés, itt már mide átadás megalósult, ez a égleges eredméy: X:=ealm(&*X) (6) IFF 4 Budaest Olie: ISBN CD: ISBN Paer 5 Coyright 4 Budaest, MMA

5 . ábra Átmeetalószíűségek:. léés: α 6( α ( α = α 6( α 7=. léés: X:=ealm(&*X). léés: X:=ealm(&*X) 6 7 α 4( α 5( α, α, 6 7 := α, α, + α, α, 4 5 IFF 4 Budaest Olie: ISBN CD: ISBN Véletle gráfok és logisztikai alkalmazásai (7) (8) (9) () léés: X:=ealm(&*X) α, + α, ( α, + α, ) α, α, 4. léés: X:=ealm(&*X) α, + α, ( α, + α, ) ( α, + α, ) ( α, + α, ) Paer 5 Coyright 4 Budaest, MMA () () 5. léés: ie már mide átadás megalósult, ez a égleges eredméy: X:=ealm(&*X) α, + α, ( α, + α, ) ( α, + α, ) ( α, + α, ) 4. ONLÚZIÓ () A modellezés sorá belső uierzális hálózatot izsgáluk, melybe csak az α diszkrét alószíűségi eloszlást köető áltozókat aduk meg. A izsgált kiidulási szakaszo (agy ) alószíűséggel a a ármű. mátrix műeletet midaddig folytatuk, amíg a izsgált hálózat mide i ik szakaszá (szektorába) már em áltozik (azaz stabil) a i alószíűség (i=,,,). Ily módo határoztuk meg a alószíűségi ektort, amely az i-ik szakaszra érkezés alószíűsége a tetszőleges méretű hálózato. Tehát: izsgálhatuk tetszőleges -ről iduló egyedi árműet, amely a ezető ai szokásai szerit égez mozgást a hálózato. Vizsgálhatuk folyamot, amely -ről idul, és a szétosztások szerit uthat el i-be. Itt időbeliséget is izsgálhatuk. A módszer direkt, gyors, iráyítási alkalmazhatósága a, a szétosztási otoko a disztribúció midig sokaság átlag, amely külöböző odaérkező szerelők

6 Véletle gráfok és logisztikai alkalmazásai külöböző életle utazási tereiből adódik. Ifokommuikációs techológiák (l. GPS-ből származtatható adatok) alaá ma már tuduk rögzítei az egyes szállítóárműek alószíűségelméleti alaú utazási szokásait is. Ezzel em csak a tömegeleségek, de egyes szerelők, ill. szerelő szerelői tíusok tartózkodási szokásai is aalizálhatók, közlekedésbiztoság, bű és terrorizmus megelőzés, stb. területek kiemelt fotosságúak! Itt abba a szerecsés helyzetbe agyuk, hogy a tetszőleges méretű hálózatok árműforgalmi modellezése sorá izsgáltuk a feti roblémát. A geometriai hálózat em életle gráf, iszot, a csúcsokál éréyesülő disztribúciók, mide csúcsál alamely idő és állaotfüggő diszkrét alószíűségeloszlást köetek. Ezért, a csúcsok közötti kacsolatok izsgálatáál (l., mekkora aak a alószíűsége, hogy tetszőleges -ből tetszőleges i-be törtéik szállítási/utazás ill., azt érite), már a életle gráfok elméletéek alkalmazása törtéik. 5. A UTATÁS TOVÁBBI IRÁNYAI Az előzőekbe láthattuk, hogy aszerit hogy az ellátási lácba determiisztikus agy sztochasztikus folyamatokról beszélük ezt a izsgálat mélysége mutata meg. Jól látható, hogy modellezési szemotból a életle gráfok kéesek yomoköeti, illete leíri az egyeses logisztikai hálózatok keletkezését illete azok formálódását. Esetükbe a életle gráf fix csomóotokból, csúcsotokból áll, és az ezek között létreöő kacsolatok alakulása kéezi a folyamat diamikáát. Úabb megközelítés, a kis-ilág hálózatok elemzése (Barabási, ), (Buchaa, ) amely szité a diamikus gráfokkal dolgozik, ahol em csak az élek, haem a csomóotok száma is áltozik. Cél, hogy miél otosabb modellt aduk, miel a logisztikába megterezett szállítási útoalak aak (korábba tárgyalt determiáltság kérdése), amelyek ha mide redbe aak akkor ter szerit törtéek. Amikor iszot szállítás törtéik a közlekedés bekacsolódik a lácba, ami iszot sztochasztikus lefolyású folyamat. Ebből adódóa maga a logisztikai folyamat egy boyolult redszerré álik melybe a szállításokál lehetek zaarok. Ezszerit a traektória lehet, hogy megalósul, de az is lehet, hogy torlódások, balesetek, elterelések miatt em, ezért a életleek szereéek izsgálatát, költség, idő és biztosítási oldalról is figyelembe kell ei! (Extrém esetekbe l. háborúba felrobbaták azt a hidat mely az utáótlást biztosíta). Toábbi fotos kérdés, hogy hogya függ a hálózat össztelesítméye a kiiktatott útoal(ak) számától? (ez esetbe átlagos elutási idő, átlagos úthossz, átlagos árakozási idő stb.) Ezeket lehet agy alószíűséggel kalkuláli és matematikai, sztochasztikai, és oerációkutatási modellekkel leíri. A gyakorlatba eze a területe ezt eezzük diamikus gráf szerezések melyek a szerezése folyamatosa, célfüggéyek figyelembe ételéel törtéik, (miőség, költség idő téyezők szereelek ebbe). Ezt az ellátási lác tíusától függőe össze kell állítai, és lehet szimuláli is, ha megaduk az egyes célfüggéyek tuladoságait. Milye termék (agy szolgáltatá a a lácba, milye beéülési szitei létezek, milye alkooerációs csúcsaik aak, és kikkel alkotak egységet a termékösszeállításáál. A redszer méretét tekite szité em utolsó szemot a rugalmasági téyezők figyelembe étele és azok modellbe törtéő itegrálása. IRODALOMJEGYZÉ Barabási, Albert-László (). Behálóza. A hálózatok ú tudomáya, Magyar öyklub, Budaest. Bollobás, Béla (). Radom Grahs, Secod Editio, Cambridge Studies i Adaced Mathematics, Cambridge Uiersity Press, Cambridge. Buchaa, Mark (). Nexus, aagy kicsi a ilág. A hálózatok úttörő tudomáya, Tyotex, Budaest. Dömötörfi, Ákos (). Az AETR-szabályozás hatása az autóiari készletek alakulására, özlekedéstudomáyi Szemle, 4. szám,.9-4. Dömötörfi, Ákos (). Paradigmaáltás a logisztikába. Ioáció és Fetartható Felszíi özlekedés oferecia Budaest, ofereciakötet, Paer 7, Erdős, P., Réyi, A. (959). O radom grahs. I. Publicatioes Mathematicae (Debrece). 6, Lueberger, Daid G. (979). Itroductio to Dyamics Systems: Theory, Models ad Alicatios, Joh Wiley ad Sos, New York Péter, Tamás (5). özúti közlekedési hálózat geerálása és a modell szimulációs izsgálata. Itelliges közlekedési redszerek és ármû-cotroll. Előírások a közlekedés biztoságáak öelésére. Magyar Mérökakadémia Symosium Budaest, Péter, T., Bokor, J. (6). Járműforgalmi redszerek modellezése és iráyításáak kutatása, A Jöő Járműe Járműiari Ioáció, -. szám,.9-. Péter, Tamás (7,a). Nagyméretű emlieáris közlekedési hálózatok modellezése, özlekedéstudomáyi Szemle, 9. szám,.-. Péter, Tamás (7,b). Nagyméretű közúti közlekedési hálózatok aalízise. Ioáció és Fetartható Felszíi özlekedés oferecia 7 Budaest, ofereciakötet Péter, T., Bokor, J. (7). Nagy méretű közlekedési hálózatok emlieáris modelléek kacsolati hiermátrixa, A Jöő Járműe Járműiari Ioáció, -. szám,.6-. Péter, Tamás (8). Tetszőleges méretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok modellezése seciális hálózati gráffal, amelybe a gráf csúcsai általáosított szakaszok, a gráf élei a csúcsok közötti kooerálót leíró diamikus relációk. A Jöő Járműe Járműiari Ioáció, -4. szám,.6-9. IFF 4 Budaest Olie: ISBN CD: ISBN Paer 5 Coyright 4 Budaest, MMA