a) az O(0, 0) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait

Hasonló dokumentumok
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Többváltozós függvények Feladatok

Matematika M1 Gyakorlat

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

Műszaki matematika 1

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

Matematika példatár 4.

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

5. fejezet. Differenciálegyenletek

Fourier sorok február 19.

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Matematika A1a Analízis

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Monotonitas, konvexitas

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Határozatlan integrál

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? ? 4.8.?

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Speciális függvénysorok: Taylor-sorok

Határozatlan integrál, primitív függvény

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Határozatlan integrál

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a honlapon a

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.

Analízis házi feladatok

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Matematikai analízis II.

Matematika példatár 4.

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

A fontosabb definíciók

Differenciálegyenletek

Szélsőérték feladatok megoldása

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Hatványsorok, Fourier sorok

Feladatok Oktatási segédanyag

Matematika III előadás

Feladatok matematikából 3. rész

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

Matematika elméleti összefoglaló

7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y(0) =

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106

2014. november Dr. Vincze Szilvia

Széchenyi István Egyetem

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Dierenciálhányados, derivált

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

ANALÍZIS II. Példatár

Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.

Átírás:

06.05.7. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a xy da integrált, ahol H az A(, ), B(0, 0) és C(, ) ponto által megha- y + 3 tározott háromszög. H 0pt. Oldju meg: y y + 5y = e x, y(0) =, y (0) =. 0pt 3. Határozzu meg dx + xy dy értéet, ahol x a) az O(0, 0) özéppontú, r = sugarú, negatív irányítasú örvonal P(, ), Q(, ) pontjait összeötő örív. b) az A(, ), B(0, ) és C(, ) pontoat összeötő tört szaasz (A B C). 30pt 4. Határozzu meg az f(x, y) = x 3 3xy + y 3 függvény szélsőértéeit a (0, 0), (0, 3), és (3, 0) ponto által ijelölt zárt háromszögön. 0pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat!

x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π

06.05.4. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a da integrált, ahol H az A(, ), B(3, 0) és C(3, ) ponto által meghatározott háromszög. H xy y + 3 0pt. Oldju meg: xy + y + y = 0, y() = 3.. 0pt 3. Határozzu meg dx + xy dy értéet, ahol x a) az O(0, 0) özéppontú, r = sugarú, negatív irányítasú örvonal P(, 3), Q(, ) pontjait összeötő örív (P Q). b) az A(, ), B(, 3) és C(, ) pontoat összeötő tört szaasz (A B C). 30pt 4. Határozzu meg az f(x, y) = x 3 + 3xy + y 3 függvény szélsőértéeit a (0, 0), (0, 3), és ( 3, 0) ponto által ijelölt zárt háromszögön. 0pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 3

x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 4

06.05.3. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Ábrázolju az F(x) := n= n + 3 n (x ) n+ + n 3 n (x )n függvény értelmezési tartományát. 30pt. Oldju meg: y y = 3e x 5x +, y(0) =, y (0) =. 0pt 3. Oldju meg: xy y = x 4 x 3 sin x. 0pt x 3 xy + 4. Határozzu meg lim (x,y) A x y xy határértéet, ahol a) A = (0, 0), b) A = (, 3), c) A = (, ), d) A = (, ). 0pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 5

x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 6

06.06.07. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK 4. a) Határozzu meg a n sor összegét. + n n=3 b) Konvergens-e ( ) n+ 3 n n n + 5. n=. Oldju meg: (x + )y y x xex = 0, y() = e. 0pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzu meg az f(x, y) = x y y függvény f x(, 3), f y (/, 5) parciális deriváltjait. 0pt 4. Határozzu meg 3yx dx + (x y) dy értéet, ahol az O(, ) özéppontú, r = sugarú pozitív irányítású örvonal A(, 3) és B(0, ) pontjait összeötő örív. 5pt 5pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 7

x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 8

06.06.4. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK 3 n 3 5 n 5. a) Határozzu meg a 3 3n+ sor összegét. n= 3 n n + b) A tanult módon vizsgálju a n 5 (x + 3)n sort.. Oldju meg: ln(y + ) + y(x ) y + y = 0. 3. Definíció alapján és formálisan is határozzu meg az f(x, y) = yx y függvény iránymenti deriváltját 5pt 0pt a P(, 5) pontban, az U(, 3) irányban. 0pt 4. Határozzu meg az f(x, y) = x xy + y x függvény szélsőértéeit a (0, 0), (, 4), és (3, 0) ponto által ijelölt zárt háromszögön. 5pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 9

x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 0

06.06.. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Legyen f(x, y) = x 4 + y 4 x + 4xy y. Határozzu meg f szélsőértéeit. 0pt. Oldju meg: x y + xy = lnx, y() = 0, y () =. 0pt 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjána segítségével becsüljü meg x x dx értéét. 0pt 0 9 x + y 4. Határozzu meg dxdy értéét, ahol H a (, 0), (, ) és (0, 0) ponto által meghatáro- x + 3 zott zárt háromszög. H 30pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat!

x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π