06.05.7. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a xy da integrált, ahol H az A(, ), B(0, 0) és C(, ) ponto által megha- y + 3 tározott háromszög. H 0pt. Oldju meg: y y + 5y = e x, y(0) =, y (0) =. 0pt 3. Határozzu meg dx + xy dy értéet, ahol x a) az O(0, 0) özéppontú, r = sugarú, negatív irányítasú örvonal P(, ), Q(, ) pontjait összeötő örív. b) az A(, ), B(0, ) és C(, ) pontoat összeötő tört szaasz (A B C). 30pt 4. Határozzu meg az f(x, y) = x 3 3xy + y 3 függvény szélsőértéeit a (0, 0), (0, 3), és (3, 0) ponto által ijelölt zárt háromszögön. 0pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat!
x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π
06.05.4. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a da integrált, ahol H az A(, ), B(3, 0) és C(3, ) ponto által meghatározott háromszög. H xy y + 3 0pt. Oldju meg: xy + y + y = 0, y() = 3.. 0pt 3. Határozzu meg dx + xy dy értéet, ahol x a) az O(0, 0) özéppontú, r = sugarú, negatív irányítasú örvonal P(, 3), Q(, ) pontjait összeötő örív (P Q). b) az A(, ), B(, 3) és C(, ) pontoat összeötő tört szaasz (A B C). 30pt 4. Határozzu meg az f(x, y) = x 3 + 3xy + y 3 függvény szélsőértéeit a (0, 0), (0, 3), és ( 3, 0) ponto által ijelölt zárt háromszögön. 0pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 3
x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 4
06.05.3. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Ábrázolju az F(x) := n= n + 3 n (x ) n+ + n 3 n (x )n függvény értelmezési tartományát. 30pt. Oldju meg: y y = 3e x 5x +, y(0) =, y (0) =. 0pt 3. Oldju meg: xy y = x 4 x 3 sin x. 0pt x 3 xy + 4. Határozzu meg lim (x,y) A x y xy határértéet, ahol a) A = (0, 0), b) A = (, 3), c) A = (, ), d) A = (, ). 0pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 5
x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 6
06.06.07. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK 4. a) Határozzu meg a n sor összegét. + n n=3 b) Konvergens-e ( ) n+ 3 n n n + 5. n=. Oldju meg: (x + )y y x xex = 0, y() = e. 0pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzu meg az f(x, y) = x y y függvény f x(, 3), f y (/, 5) parciális deriváltjait. 0pt 4. Határozzu meg 3yx dx + (x y) dy értéet, ahol az O(, ) özéppontú, r = sugarú pozitív irányítású örvonal A(, 3) és B(0, ) pontjait összeötő örív. 5pt 5pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 7
x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 8
06.06.4. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK 3 n 3 5 n 5. a) Határozzu meg a 3 3n+ sor összegét. n= 3 n n + b) A tanult módon vizsgálju a n 5 (x + 3)n sort.. Oldju meg: ln(y + ) + y(x ) y + y = 0. 3. Definíció alapján és formálisan is határozzu meg az f(x, y) = yx y függvény iránymenti deriváltját 5pt 0pt a P(, 5) pontban, az U(, 3) irányban. 0pt 4. Határozzu meg az f(x, y) = x xy + y x függvény szélsőértéeit a (0, 0), (, 4), és (3, 0) ponto által ijelölt zárt háromszögön. 5pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat! 9
x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π 0
06.06.. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Legyen f(x, y) = x 4 + y 4 x + 4xy y. Határozzu meg f szélsőértéeit. 0pt. Oldju meg: x y + xy = lnx, y() = 0, y () =. 0pt 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjána segítségével becsüljü meg x x dx értéét. 0pt 0 9 x + y 4. Határozzu meg dxdy értéét, ahol H a (, 0), (, ) és (0, 0) ponto által meghatáro- x + 3 zott zárt háromszög. H 30pt Az elégséges érdemjegyhez legalább 40 pontot el ell érni. Tiltott eszözö használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt övetően a hallgató már csa szóban vizsgázhat!
x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x x dx = arctg x + C, + sin dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, (0 < a ), x lna x x + a dx = ln tg + x + a + C, sin x dx = ln x + C. L[f](p) : = L[cos ax](p) = 0 f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p + a, L[sinax](p) = a p + a, L[y ] = pl[y] y(0), L[y ] = p L[y] py(0) y (0), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= f(x)dx < a n < a + f(x)dx. n= c n = f(n) (z 0 ) n! f(x) = a 0 + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a 0 := π n= π f(x)cos nxdx, b n := π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = 0 L f(z)dz = β = f(z) πi (z z 0 ) n+ dz, c = πi α f(z(t))z (t)dt f(z) dz, f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c := π f(x)e ix dx, ˆf(x) := c e ix, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx π = π