Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B = {, 5, 6}, C = {5, 6, }, D = {6}. ( Melyik igaz az alábbi állítások közül: 4 C, A B, D C, B = C, A = B. (b) Határozzuk meg az A B, A B, A \ B, (A B) \ (A B), A B C halmazokat! () ( A költők között a legnagyobb festő és a festők között a legnagyobb költő vajon ugyanaz a személy-e? (b) A költők között a legöregebb festő és a festők között a legöregebb költő vajon egy és ugyanaz a személy? (3) Legyen X a DE hallgatóinak összessége, L a hallgatólányok halmaza, K a közgazdászhallgatók halmaza, C az egyetemi kórus tagjainak halmaza, B a biológia tárgyat felvett hallgatók halmaza, T pedig a teniszezőké. Fogalmazzuk meg az alábbi állításokat a halmazelmélet nyelvén: ( Minden biológiát tanuló hallgató közgazdász. (b) Az egyetem kórusában van biológiát felvett hallgató. (c) Azon hallgatólányok, akik se nem teniszeznek, se nem énekkarosok mind tanulnak biológiát. (4) Egy társaságban végzett felmérés szerint a társaságból ötvenen kávéznak és negyvenen teáznak. Harmincöt olyan személy van, aki kávézni és teázni is szokott, valamint tíz olyan személy van, aki egyiket sem. Hány tagú a társaság? (5) Tekintsük a következő leképezéseket: F : N N, F (n) = n (n N) G : Q Q, G() = ( Q) H : R R, H() = ( R) L : N N, L(n) = n (n N). Állapítsuk meg közülük melyik injektív, szürjektív, ill. bijektív. (6) Legyen A és B, véges halmaz. Mit mondhatunk A és B elemeinek a számáról, ha tudjuk, hogy létezik olyan F : A B leképzés, amely: ( injektív, (b) szürjektív, (c) bijektív. Indukció (7) Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy minden n N re, vagy a megadott n ekre n(n + ) ( + + 3 + + n =, (b) + + 3 + + n n(n + )(n + ) =, 6 [ ] n(n + ) (c) 3 + 3 + 3 3 + + n 3 =, n(n + )(n + ) (d) + 3 + + n(n + ) =, 3 (e)! +! + + n n! = (n + )!, (f) + 3 +... n (n + ) = n n +,

(g) 3 + 3 5 +... (n ) (n + ) = n n +, (h) + 3 + 4 3 + + n n = (n ) n. (8) Mutassuk meg, hogy ahol ( ) n n! = k k!(n k)!. (9) Bizonyítsuk be a binomiális tételt: ( ) n (a + b) n = a n + ( ) n + = k + ( n ( ) ( ) n n +, k k + ) a n b + + ( ) n ab n + n ( ) n b n, n ahol n tetszőleges természetes szám, a, b tetszőleges valós számok. A fenti egyenlőség tömörebb formája: n ( ) n (a + b) n = a n k b k. k k= Sorozatok () Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából. Határozzuk meg a sorozatok határértékét is. ( a n = + + + n (n + )(n + ), (b) a n = + + + n n + 4 n, (c) a n = 5n+. n! () Határozzuk meg, hogy hányadik tagtól kezdve esnek az a n = n + sorozat elemei a határérték 3n 8 ε > sugarú környezetébe! () Határozzuk meg az alábbi a n (n N) sorozatok határértékét, amennyiben az létezik. ( a n = + 8n 3 + 9n, (b) a n = + 8n 3n + 9n 3, (c) a n = n+ n n 3 n (d) a n = n + 5 n + n + 5, 3 4n + 3n (e) a n =, n + (f) a n = n + n, (g) a n = n + n n +, n + 3 n + 4 n + 5 n (h) a n =, 5n + (i) a n =, 3n + 5n + 3n + 7n, ( ) 5 n 3 (j) a n =, n 5 ( n ) n + +5 (k) a n = n, + 3

3 (l) a n = ( + ) ( ( ) ( + ) + 3... + n). (3) Tegyük fel hogy a n +, b n. Lehetséges-e, hogy a n b n, a n b n,, 3, a n b n, a n b n? (4) Tegyük fel, hogy egy sorozatnak végtelen sok pozitív, és végtelen sok negatív eleme van. Lehet-e ez a sorozat konvergens? Sorok (5) Határozzuk meg, hogy az alábbiak közül melyik geometriai sor, és a konvergenseknek számítsuk ki az összegét! ( 8 + + 8 + 64 +... (b) + 3 4... (c) (e) p + p + p 3 +... (d) + + + ( + ) +... n+ (f) + + + +... (6) Határozzuk meg a sor összegét. k= ( b + p ) k (7) 6-ban a világ teljes vasfelhasználása kb. 894 millió tonna volt. Ha a világ teljes vas-készlete milliárd tonna, és a felhasználás évi 5%-kal nő, akkor mennyi ideig lesz elég a készlet? (8) Számítsuk ki a következő végtelen sorok összegét: ( 5 n+, (b) + ( ) n n. n= n= (9) Mutassuk meg, hogy az alábbi sorok divergensek! n ( + n, (b) ( ) n, (c) n= n= ( ) + n. n n= () Konvergensek-e a következő sorok: (alkalmazzuk a majoráns, hányados vagy gyök tesztet) n + ( n(n + ), (b) n, (c) + 3n, n= n= n= (d), ( ) n n + (e) 3n n= k= k, (f) k! n= n (n)!. Függvények határértéke és folytonossága () Határozzuk meg a következő határértékeket: 3 ( lim 3, (b) lim 5 + 6 5 5, (c) (e) ( lim + 5 ), (d) lim, ( lim 3 ) 3, (f) lim +.

4 () Ábrázoljuk a következő függvényeket és döntsük el, monotonok-e: ( f() = ( < ), (b) f() = + ( ), (c) f() = 4 ( < < ), (d) f() = ( > ). (3) Ábrázoljuk a következő függvényeket, és vizsgáljuk meg, hogy viselkednek szakadási helyeik környezetében és a végtelenben: ( f() = 3, (b) f() = ( ) ( )( 3), (c) f() = 3 +, (d) f() =,, ha,, ha, (e) f() = (f) f() = ( ), ha <,, ha >, 4, ha >. (4) Állapítsuk meg, hogy vannak-e olyan pontok, melyben az 4, ha racionális, f() = 4 +, ha irracionális függvény folytonos. (5) Hol vannak értelmezve a következő függvények? Folytonosak-e értelmezési tartományuk pontjaiban? ( f() = 5 + 4 (b) f() = (c) f() = (d) f() = + (e) f() = + (f) f() = + ( + ) 3/. (6) Melyek azok a függvények, amelyek valószinűleg az időnek folytonos függvényei? ( Egy uncia arany ára a zürichi arany piacon. (b) Egy növekedő gyermek magassága. (c) Egy repülőgép föld feletti magassága. (d) Egy autó által megtett út. Differenciálszámítás Deriváltak kiszámítása (7) Ábrázoljuk az ha < f() = ha függvényeket. Differenciálható-e f és g az = -ban? ha < és a g() = ha

5 (8) Deriváljuk a következő függvényeket: f() = ; g() = + 4 5 ; h() = + ; i() = sin ; j() = sin cos ; k() = sin 3 ; l() = sin(cos ); m() = ln(sin ); n() = ; o() = tg ; p() = ( tg + cos ) 3 ; q() = tg / cos. (9) Adjuk meg a következő függvények deriváltját: ( ) + cos sin() f() = ln ; g() = ln sin 3 + (3 ) ; h() = cos ; i() = + (sin ) sin ; j() = (ln ) 3 ; k() = (3 ) 3 4 ; (( ) ) 3 4 l() = lg{5 3 + 3 sin 7 ( )}; m() = ( 4) 6. (3) Hol nem differenciálhatók az alábbi függvények? Számítsuk ki a differenciálhányadosukat ott, ahol differenciálhatók! f() = ; g() = ln ; h() = 3. (3) Határozzuk meg a következő függvények magasabbrendű deriváltjait: ( f() = 8 4 + 4 5 + 3 + 5 f (5) () = (b) f() = e f () () = (c) f() = e cos f (3) () = (d) f() = ln f () () = (e) f() = arc tg f (3) () = Középértéktételek, Taylor tétel (3) Legyen f() =. Lagrange tétele szerint létezik egy olyan ξ (, ) szám, hogy = 3 = f (ξ). Keressük meg ξ-t. (33) Határozzuk meg az y = e függvény Taylor-sorát az = pont körül. Függvényvizsgálat, monotonitás, konveitás, szélsőérték (34) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket. (Határozzuk meg a zérushelyeket, határértékeket, azokat az intervallumokat, ahol monoton növekvő, illetve csökkenő, konve illetve konkáv, végül ábrázoljuk a függvényt.) (f () = 8( 3 9); (b)f () = ( ) ( + 3) ; (c) f 3 () = + ; (e) f 5 () = (g) f 7 () = sin cos (d)f 4() = + 3 ; ( )e ; (f) f 6() = sin + cos ; < < π.

6 (35) Határozzuk meg a következő függvények lokális szélsőértékeit, és azokat az intervallumokat, amelyekben a függvény monoton, konve/konkáv. (f() = 4 ; (b) f() = ; (c)f() = ; (d) f() = sin + cos ; + (e) f() = ; (f)f() = ln. (36) A következő függvényeknél vizsgáljuk meg, hogy a függvény görbéje mely intervallumban konve, illetve konkáv. Határozzuk meg a függvény infleiós helyeit is. (f() = 3 3 9 + 9; (b)g() = ( ) 5; (c) h() = 4 ; (d) i() = + + (e)j() = + ln ; (f) k() = arc tg ; ( ) + ; (g) l() = (e e ); (h) m() = (ln ) ; (k) n() = 3 + ; o() = 5 5. (37) Ha f differenciálható az belső pontban, és f-nek ott helyi szélső értéke van, akkor f ( ) =. Adjunk meg egy olyan konkrét függvényt, hogy f ( ) =, de f-nek nincs helyi szélsőértéke -ban. (38) L Hospital szabály alkalmazásával határozzuk meg az alábbi határértékeket: cos k ( lim ; (b) lim cos m (d) lim π (g) lim (j) ln tg sin ( ) ; (e) lim ; (h) lim ln( + ) ln a ln ; (f) lim π e ; (c) lim sin ; tg tg 5 ; arc tg 7 5 ; (i) lim + ; lim ln ; (k) lim + + sin ; (l) lim ctg 3. (39) A K = cm kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe? (4) Az m területű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a kerülete? (4) Az r = m sugarú körbe írható téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe? És a kerülete? (4) Egy d átmérőjű kör alakú fatörzsből gerendát faragnak, melynek keresztmetszete b alapú és h magasságú téglalap. Mikor lesz a gerenda (bh -tel arányos) szilárdsága a maimális? (43) Az R sugarú gömbbe írjunk maimális térfogatú hengert! (44) Határozzuk meg azt a legnagyobb térfogatú kúpot, amelynek alkotója adott l hosszúságú! (45) Egy személy Ft bruttó jövedelme utáni A() Ft adóját az A() = a(b + c) p + k képlettel számolhatjuk, ahol a, b, c pozitív állandók, p >, k R. Milyen jövedelem mellett lesz az átlagos adóhányad Ā() = A() minimális?

7 (46) Adott n darab szám, a, a,..., a n. Keressük meg azt az számot amely ezeket legjobban közelíti abban az értelemben, hogy a a lehető legkisebb legyen! d() := ( a ) + ( a ) + + ( a n ) (47) Keressük meg az f() = 3 3 + 8 függvény (globális) maimumát és minimumát a [, ] intervallumon. (48) Egy cég egyféle terméket gyárt. Egy adott időszakban termelt és eladott mennyiségű termékből B() bevétele van, míg költségei K()-t tesznek ki (valamilyen pénzegységben). Az mennyiségű termék eladásából származó P () profit P () = B() K(). Technikai korlátok miatt a cég egy adott időszakban legfeljebb mennyiségű terméket tud előállítani, így [, ]. Milyen [, 5] mellett lesz a profit maimális, ha ( B() = 84, K() = + 4 + 5, (b) B() = 4, K() = + 4 + 5, (c) B() = 84, K() = + 94 + 5. (49) Az előző feladatban legyen K() = a 3 +b +c+d ahol a >, b, c, d > adott konstansok. Igazolja, hogy az A() := K() átlagos költségfüggvénynek van minimuma a ], [ intervallumban. Keressük meg ezt a minimumhelyet, ha b =. Határozatlan integrál (5) Az alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk ki a következő integrálokat! d b) + d + c) d d) ( + e )d e) ( 4 + 3 + 5 + ) d f) ( ) d g) ( )( ) d h) ( + + 3 ) d + i) d + j) d k) (t + 6t 5)dt l) d ( m) e + 5 + ) cos d n) + 5 d o) ( 3) d p) 3 3 d q) d 5 r) 5 + d s) + 3 d t) d 3 (5) Az f α f = f α+ α + (α ) és f = ln f f

8 formulák segítségével határozzuk meg a következő integrálokat! b) c) d) e) f) + + d ( 4) d ln d tg d sin + sin d 8 7 4 7 + d g) h) i) j) k) l) e + e + d + 3 d 5 d + 5 + 3 d + + 3 d d (5) Alkalmas helyettesítésekkel határozzuk meg a következő határozatlan integrálokat! b) c) e d (t = ) 3 ( + 3 ) 3 d (t = + 3 ) ( + ) d (t = + ) d) e) f) sin 3 cos d (t = sin ) 3 + 5 d (t = 5 ) sin cos3 d (t = cos ) (53) Számítsuk ki (parciális integrálással) a következő határozatlan integrálokat! e d e) e cos d b) ( + )e d f) arc tg d c) sin d g) e sin d d) ln d h) ln d (54) Integráljuk a következő racionális törtfüggvényeket! 3 + d b) 3 d c) d) 5 ( )( + 5) d + 3 ( )( + 5) d Határozott integrál (55) Számítsuk ki a következő határozott integrálokat! 3 d ; π sin d ; cos d ; π d ; d.

9 (56) Számítsuk ki a következő integrálokat! 3 e d ; ( ) 7 d ; π/ π/3 ctg () d. (57) Számítsuk ki a következő határozott integrálokat! 3 e d ; 4 d ; e e 4 + e d ; 4 3 d. Improprius integrálok (58) Léteznek-e a következő improprius integrálok? Ha igen, számítsuk ki őket! e d ; ln d ; e d ; ln d ; d ; ln d ; 3 d ; d ; 3 d + e d ; d +. Az integrál alkalmazásai (59) Egy munkás bére egy adott év n-edik napján b(n) = 5 + n, 5 + n, forint. Mennyit keres így egy év alatt? Helyes-e az integrálszámítást használni a feladat megoldásához? (6) Legyen A = {(, y) y } és B = {(, y) y + }. Mennyi A B területe? (6) Mennyi az a + y = ellipszis területe? b (6) Mennnyi az f() = 4 függvény görbéjének a hossza =, 5 és = között? (63) Ha egy [a, b]-n értelmezett f() függvény görbéjét megforgatjuk az -tengely körül, akkor az általa határolt forgástest térfogata V = b a f () π d. Ezt felhasználva számítsuk ki egy gömb és egy kúp térfogatát!