9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó I-n, F (x) = f(x) (x I). Péld. H f(x) = sin x kkor F (x) = cos x + c.. Állítás. H F f függvény primitív függvénye I-n, kkor G(x) = F (x) + c (x I, c R konstns) is primitív függvénye f-nek, és fordítv, f minden primitív függvénye F (x) + c lkú. Bizonyítás. G primitív függvény mert G (x) = F (x) + c = F (x) = f(x). Fordítv, h F, G f függvény primitív függvényei, kkor miből G(x) F (x) = c =konstns, h x I. (G(x) F (x)) = f(x) f(x) = 0 (x I) 2. Definíció. Egy f függvény összes primitív függvényeinek hlmzát f htároztln integráljánk nevezzük, és f(x) dx vgy f-fel jelöljük. Azz f(x) dx = { F (x) + c : c R, F f egy primitív függvénye }, mit egyszerűen úgy irunk, hogy f(x) dx = F (x) + c (c R). A legfontosbb elemi függvények differenciálási szbályiból kpjuk z lpintegrálokt:
2 e x dx = e x + c (x R) x dx = x + c (x R, > 0) ln x α dx = xα+ + c (x > 0, α R) α + dx = ln x + c (x > 0 vgy x < 0) x x n dx = xn+ + c (x R, n = 0,,... ) n + sin x dx = cos x + c (x R) cos x dx = sin x + c (x R) cos 2 x dx = tg x + c (kπ π 2 < x < kπ + π 2, k Z) sin 2 dx = ctg x + c (kπ < x < (k + )π, k Z) x dx = rcsin x + c ( x < ) x 2 dx = rctg x + c (x R) + x2 Bizonyítás. Például z utolsó képlet igzolás: (rctg x + c) = + x 2, többi hsonlón, differenciálássl igzolhtó. 9.2 Integrálási szbályok H f, g-nek vn primitív függvénye, kkor f + g, cf (c R)-nek is vn, és (f + g) = f + g (cf) = c f.
A szorzt differenciálási szbályából kpjuk prciális integrálás szbályát: h f, g differenciálhtók és fg -nek vn primitív függvénye, kkor f g-nek is vn primitív függvénye, és f g = fg fg 3 ugynis ( fg fg ) = f g + fg fg = f g. Az összetett függvény differenciálási szbályából kpjuk helyettesítéses integrálás szbályát: h f-nek vn primitív függvénye I-n, g : J I differenciálhtó J intervllumon, kkor (f g) g -nek is vn primitív függvénye J-n és ( ) (f g) g = f g vgy f (g(x)) g (x) dx = f(u)du u=g(x). Ugynis, h f(u)du = F (u), kkor jobboldli függvény deriváltj ( f(u)du u=g(x) ) = (F (g(x))) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x), és ezt kellett igzolni. A szbály másik lkj: h f : I R, g : J I differenciálhtó J intervllumon, g (x) 0 (x J) és (f g) g -nek vn primitív függvénye, kkor f-nek is vn primitív függvénye I-n és ((f f = g) g ) g vgy f(x) dx = f(g(u))g (u) du u=g (x). Ugynis, h f(g(u))g (u) du = F (u), kkor jobboldli függvény deriváltj z inverz függvény differenciálási szbály lpján ( ) f(g(u))g (u) du u=g (x) = ( F ( g (x) )) = F ( g (x) ) ( g (x) ) és ezt kellett igzolni. f(x) = x α válsztássl kpjuk, hogy g α g g g = f(x)g ( g (x) ) g (g (x)) = f(x), = gα+ + c (α ) α + = ln g + c
4 Utóbbi képlet felhsználásávl kpjuk, hogy tg x dx (cos x) = dx = ln cos x + c cos x (sin x) ctg x dx = dx = ln sin x + c sin x Egy másik fontos speciális eset lineáris helyettesítés: h f primitív függvénye F, 0, b R kkor f(x + b) dx = f(u) du u=x+b = F (x + b) + c. Ennek felhsználásávl (vgy differenciálássl) lehet igzolni következő képleteket, melyek kiegészítik z lpintegrálok tábláztát: 2 x dx = rcsin x + c ( x < ) 2 x 2 ± 2 dx = ln x + x 2 ± 2 + c (x R vgy x > ) 2 + x 2 dx = rctg x + c (x R) x 2 2 dx = 2 ln x x + + c ( x < vgy x > ) hol > 0 konstns. 9.3 Elemien integrálhtó függvények osztályi. Definíció. Egy függvényt elemien integrálhtónk nevezünk, h primitív függvénye elemi. Nem minden elemi függvény ilyen: például ismeretes, hogy nem elemi függvények. e x2 dx,. Prciálisn integrálhtó függvények sin(x 2 ) dx, x sin x dx
5 H P (x) = n x n + n x n + + x + 0 ( 0,,..., n R) polinom, kkor P (x)e x prciálisn integrálhtó f (x) = e x, g(x) = P (x) válsztássl P (x) sin x prciálisn integrálhtó f (x) = sin x, g(x) = P (x) válsztássl P (x) cos x prciálisn integrálhtó f (x) = cos x, g(x) = P (x) válsztássl P (x) ln x prciálisn integrálhtó f (x) = P (x), g(x) = ln x válsztássl P (x) rcsin x prciálisn integrálhtó f (x) = P (x), g(x) = rcsin x válsztássl P (x) rctg x prciálisn integrálhtó f (x) = P (x), g(x) = rctg x válsztássl. Hsonlón prciálisn integráljuk z e x sin x, e x cos x, sin n x, cos n x függvényeket. Az integrálás eredménye elemi függvény. Péld. ln x dx = ln x dx miből f (x) =, g(x) = ln x válsztássl f(x) = x, g (x) = x így ln x dx = x ln x x dx = x ln x x + c. x 2. Rcionális törtfüggvények integrálás. A két polinom hánydosként előállíthtó függvényeket rcionális törtfüggvényeknek nevezzük. Ezek mindig elemien integrálhtók. Az integrálás lépései: ) H számláló fokszám ngyobb vgy egyenlő nevező fokszámánál, kkor osztás után tört egy polinom és egy olyn rcionális tört összege lesz, hol számláló fokszám kisebb nevező fokszámánál. Mivel egy polinomot könnyen integrálhtunk, így feltehetjük, hogy f(x) = P (x) Q(x) hol P, Q polinomok, és P fokszám kisebb mint Q fokszám. b) A nevezőt szorzttá lkítjuk, ezáltl Q nevező (x ) k és (x 2 + px + q) l lkú tényezők szorztként írhtó fel, hol másodfokú kifejezés diszkrimináns p 2 4q < 0, k, l N. c) f-et prciális törtek összegére bontjuk fel: nevező (x ) k fktoránk megfelelő prciális törtek: A x + A 2 (x ) 2 + + A k (x ) k hol A,..., A k ) lklms konstnsok. Az (x 2 + px + q) l fktornk megfelelő prciális törtek: B x + C x 2 + px + q + B 2x + C 2 (x 2 + px + q) 2 + + B lx + C l (x 2 + px + q) l
6 hol B, C,... B l, C l ) lklms konstnsok. Az A i, (i =,..., k), B j, C j (j =,..., l) konstnsokt z együtthtók összehsonlításávl, vgy lklms értékek helyettesítésével kpott lineáris egyenletrendszerből htározzuk meg. d) Integráljuk prciális törteket: A i (x ) i dx = A második típusú prciális törtek integrálás: felbontás lpján Bx + C x 2 + px + q = B 2 A i + c h i ( i)(x ) i (2x + p) x 2 + px + q + A i ln x + c h i = ( x + p 2 Bp C 2 ) 2 + ( q p2 4 Bx + C x 2 + px + q = B C Bp + 2 ln x2 + px + q + 2 rctg x p 2 q p2 q p2 4 4 H nevezőben (x 2 +px+q) k (k > ) szerepel kkor először számlálóból leválsztjuk lineáris tgot (e tg integrálását z g k g -re vontkozó képlet lpján végezzük el), mjd k tól függő I k = (x 2 + px + q) k dx integrált egy (prciális integrálássl kpott) rekurziós képlet segítségével htározzuk meg. 0. HATÁROZOTT INTEGRÁL ) 2 + c. 0. Az integrál definíciój és lptuljdonsági. Definíció. Legyen [, b] R egy zárt intervllum. A P = { x i : = x 0 < x < < x n = b } (n N) ponthlmzt z [, b] intervllum egy felosztásánk nevezzük. x i z i-edik osztópont, [x i, x i ] z i-edik intervllum, x i x i z i-edik intervllum hossz, számot P felosztás finomságánk nevezzük. P = mx i n (x i x i ) 2. Definíció. Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény, P z [, b] egy felosztás, t i [x i, x i ] (i =,..., n) közbenső értékek. A n σ(f, P, t) = f(t i )(x i x i ) i=
összeget z f függvény P felosztáshoz és t = (t,..., t n ) közbenső érték rendszerhez trtozó integrálközelítő összegének nevezzük. σ(f, P, t) geometrii jelentése : felosztás és közbenső értékek áltl meghtározott tégllpok területének (előjeles) összege, mi nnál jobbn közelíti görbe ltti (előjeles) területet minél finombb felosztás. 3. Definíció ( Riemnn integrálhtóság első definíciój). Az f : [, b] R korlátos függvényt Riemnn integrálhtónk nevezzük [, b]-n, h vn olyn I R szám, hogy bármely ɛ > 0-hoz létezik olyn δ(ɛ), hogy () σ(f, P, t) I < ɛ h P < δ(ɛ) 7 bármely t = (t,..., t n ) közbenső érték rendszer mellett teljesül. Az I számot z f függvény [, b]-n vett Riemnn integráljánk nevezzük és jelöljük. Az [, b]-n Riemnn integrálhtó függvények osztályát R[, b]-vel fogjuk jelölni. b f(x) dx vgy b f-fel ()-gyel egy (új típusú) htárértéket definiáltunk, így z integrál definícióját egyszerűen b f(x) dx := lim P 0 n f(t i )(x i x i ) i= lkbn is írhtjuk (hol természetesen meg kell mondni, hogy f,, b, P, t i mit jelentenek, és, hogy mi jelentése, utóbbit éppen () dj meg). Az lim P 0 b f(x) dx geometrii jelentése: z x =, x = b, y = 0 egyenesek és z y = f(x) függvény gráfj áltl meghtározott síkidom előjeles területe (z x tengely ltti részt z integrál negtív előjellel számolj). Péld. Legyen f(x) = c=konstns h x [, b]. Ekkor bármely P felosztás esetén σ(f, P, t) = n n c(x i x i ) = c (x i x i ) = c(b ) i= i= így I = b c dx = c(b ). Az integrál tuljdonsági.
8 H f, g : [, b] R, f, g R[, b], P z [, b] egy felosztás, t i [x i, x i ], t = (t,..., t n ) kkor könnyű ellenőrizni, hogy σ(f + g, P, t) = σ(f, P, t) + σ(g, P, t) σ(cf, P, t) = cσ(f, P, t) h c R σ(f, P, t) = σ(f [,d], P [,d], t [,d] ) + σ(f [d,b], P [d,b], t [d,b] ) h < d < b, d P osztópontj σ(f, P, t) σ(g, P, t) h f(x) g(x) (x [, b]) m(b ) σ(f, P, t) M(b ) h m = inf f(x), M = sup f(x) x [,b] x [,b] hol f [,d], P [,d], t [,d] z f függvény, P felosztás, t közbenső értékrendszer leszűkítése z [, d] intervllumr. E tuljdonságokból P 0 htárátmenettel dódik z. Tétel (z integrál lptuljdonsági). H f, g : [, b] R, f, g R[, b], kkor bármely c R és bármely < d < b mellett f + g R[, b] és b (f + g) = b b f + g, cf R[, b] és b (cf) b = c f, f R[, d], f R[d, b] és b f = d b f + d f, h f(x) g(x) (x [, b]) kkor b f b g, h m = b inf f(x), M = sup f(x) kkor m(b ) f M(b ). x [,b] x [,b] A fenti tuljdonságokt rendre, z integrál (függvény szerinti) dditivitásánk, homogenitásánk, (intervllum szerinti) dditivitásánk, monotonitásánk nevezzük, z utolsó állítás z integrálszámítás középértéktétele melyet egy másik lkbn is megfoglmzunk.
2. Tétel (z integrálszámítás középértéktétele). Legyen f : [, b] R, f R[, b], m = inf M = sup f(x), kkor x [,b] m(b ) H f folytonos [, b]-n kkor vn olyn ξ [, b] melyre b f M(b ). (2) f(ξ) = b f(x) dx. b Bizonyítás. Csk folytonos függvényekre vontkozó állítást kell igzolni. Mivel m b f(x) dx M b 9 x [,b] f(x), és folytonos függvény felvesz minden (közbenső) értéket [m, M]-ben így vn ξ [, b] melyre (2) teljesül. Az integrálhtóság nlitikus kritérium 3. Tétel (Lebesgue-féle integrálhtósági kritérium). Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és cskis kkor Riemnn integrálhtó [, b]-n, h f egy Lebesgue szerint nullmértékű hlmztól eltekintve folytonos. 4. Definíció. Egy E R hlmzt kkor nevezünk Lebesgue szerint nullmértékűnek, h bármely ɛ > 0-hoz vn olyn ] n, b n [ (n N) intervllumsorozt mely lefedi E-t és melynek összhosszúság kisebb mint ɛ zz E ] n, b n [ és (b n n ) < ɛ. n= n= Bizonyítás. Ld. pl. Szőkeflvi, Vlós függvények és függvénysorok, Tnkönyvkidó, Bp., 977. Minden E megszámlálhtó hlmz (Lebesgue szerint) nullmértékű. Ugynis, h E = { x i R : i =,..., n } véges hlmz, kkor mindegyik x i pontot egy ɛ/n-nél kisebb hosszúságú nyílt intervllumml lefedve z intervllumok uniój lefedi E-t és összhossz kisebb mint ɛ. H E = { x i R : i = N } megszámlálhtón végtelen hlmz, kkor minden i N mellett z x i pontot egy ɛ/2 n -nél kisebb hosszúságú nyílt intervllumml lefedve z intervllumok uniój lefedi E-t és összhossz kisebb mint ɛ ɛ 2 n = 2 = ɛ. 2 i= Így Lebesgue tételéből következik, hogy egy pontsorozttól eltekintve folytonos függvény integrálhtó.
0 Lebesgue tételével könnyű igzolni, hogy h f, g R[, b] kkor fg, f 2, f R[, b] és h vn olyn k > 0 hogy g(x) k h x [, b] kkor f/g R[, b] is teljesül. Továbbá fennáll b b (3) f(x) dx f(x) dx egyenlőtlenség. Ennek igzolás: egyenlőltlenséget integrálv b f(x) dx = f(x) f(x) f(x) b ( f(x) dx miből z bszolút érték tuljdonsági mitt (3) következik. b f(x) dx b f(x) dx 0.2 Kiegészítések z integrál definíciójához. Definíció. Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény, P legyen z [, b] egy felosztás. Legyen továbbá m i = inf f(x), M i = sup f(x). x [x i,x i ] x [x i,x i ] Az s(f, P ) = n m i (x i x i ), S(f, P ) O(f, P ) i= = n M i (x i x i ), i= = n (M i m i )(x i x i ) = S(f, P ) s(f, P ) i= számokt z f függvény P felosztáshoz trtozó lsó, felső, ill. oszcillációs összegének nevezzük.. Állítás. Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény, m = inf f(x), M = sup f(x) kkor x [,b] x [,b] ) bármely P és t-re m(b ) s(f, P ) σ(f, P, t) S(f, P ) M(b ), b) bármely P P 2 -re s(f, P ) s(f, P 2 ), S(f, P 2 ) S(f, P ), c) bármely P, P 2 -re s(f, P ) S(f, P 2 ) hol P, P, P 2 z [, b] lklms felosztási. Bizonyítás. Az ) állítás z m m i f(t i ) M i M (i =,..., n) egyenlőtlenség következménye. b) igzolásához csk zt kell meggondolni, hogy egy függvény infimum (supremum) egy részintervllumon nem lehet kisebb (ngyobb) mint z egész intervllumon. Megjegyezzük, hogy P P 2 teljesülése esetén P 2 felosztást P felosztás finomításánk nevezzük.
c) igzolás: ) és b) lpján mivel P P 2 mind P mind P 2 finomítás. s(f, P ) s(f, P P 2 ) S(f, P P 2 ) S(f, P 2 ) 2. Definíció. Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény. Az I = inf s(f, P ), és I = sup S(f, P ) P számokt z f függvény [, b] feletti Drboux-féle lsó és felső integráljánk nevezzük (z infimumot és supremumot z összes P felosztásr kell venni). Az. Állítás ) része mitt z s(f, P ), S(f, P ) számok korlátos hlmzt lkotnk, így I, I vlós számok, c) mitt s(f, P ) I I S(f, P ) P miből 0 I I S(f, P ) s(f, P ) = O(f, p). Péld. Legyen f(x) = { h x [0, ] rcionális 0 h x [0, ] irrcionális z un. Dirichlet féle függvény. Ekkor, mivel felosztás minden intervllumábn vn rcionális és irrcionális szám m i = 0, M i =, ezért s(f, P ) = 0, S(f, P ) =, így I = 0, I =. 3. Definíció ( Riemnn integrálhtóság második definiciój). Az f : [, b] R korlátos függvényt Riemnn integrálhtónk nevezzük [, b]-n, h I = I. Ezt közös értéket f [, b] -n vett Riemnn integráljánk nevezzük és b f vgy b f(x) dx-szel jelöljük. Később be fogjuk látni, hogy z integrálhtóság és z integrál első és második definíciój ekivivlens foglmk. A példából láthtó, hogy Dirichlet függvény nem integrálhtó [0, ]-en.. Tétel (Drboux tétele). Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény, kkor bármely ɛ > 0 számhoz létezik olyn δ(ɛ) > 0, hogy S(f, P ) I < ɛ és I s(f, P ) < ɛ h P olyn felosztás [, b]-nek, melyre P < δ(ɛ). Bizonyítás. Ld. pl. Ljkó K., Anlízis II.
2 Drboux tétele zt fejezi ki, hogy pl. z I lsó integrál nemcsk supremum, hnem limesz is, zz inf P s(f, P ) = I = lim P 0 s(f, P ) hol jobboldli limesz éppen zt jelenti, mi Drboux tételben vn, zz bármely ɛ > 0 számhoz létezik olyn δ(ɛ) > 0, hogy I s(f, P ) < ɛ h P < δ(ɛ). 2. Tétel (integrálhtósági kritérium oszcillációs összeggel). Az f : [, b] R korlátos függvényre I = I (zz f kkor és cskis kkor Riemnn integrálhtó [, b]-n, második definíció szerint) h bármely ɛ > 0-hoz létezik olyn P felosztás, hogy O(f, P ) = S(f, P ) s(f, P ) < ɛ. Bizonyítás. Ld. pl. Ljkó K., Klkulus II., vgy Anlízis II. 3. Tétel (z integrálhtóság első és második definiciójánk ekvivlenciáj). Legyen f : [, b] R egy korlátos függvény. I = I kkor és cskis kkor, h vn olyn I R szám, hogy bármely ɛ > 0-hoz létezik olyn δ(ɛ) > 0, hogy σ(f, P, t) I < ɛ h P < δ(ɛ) teljesül bármely t = (t,..., t n ) közbenső értékrendszer esetén. Ekkor I = I = I = b f(x) dx. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy I = I kkor s(f, P ) σ(f, P, t) S(f, P ) jobb és bloldl Drboux tétele mitt P 0 esetén I és I-hez trt, így köztük levő σ(f, P, t) z I = I = I közös értékhez trt. Fordítv, h σ(f, P, t) I < ɛ h P < δ(ɛ) teljesül, kkor bármely P felosztásnál válszthtunk olyn t közbenső értékrendszert,hogy S(f, P ) σ(f, P, t ) ɛ teljesüljön, ezért S(f, P ) I = S(f, P ) σ(f, P, t ) + σ(f, P, t ) I < 2ɛ h P < δ(ɛ) miből S(f, P ) I h P 0 így Drboux tétele mitt I = I. Hsonlón igzolhtó, hogy I = I így I = I.
3 0.3 Az integrál kiszámítás, Newton-Leibniz formul. Definíció. Legyen f R[, b], kkor T (x) = x függvényt f területmérő függvényének nevezzük. f(t) dt (x [, b]). Tétel ( területmérő függvény tuljdonsági). H f R[, b], és T z f területmérő függvénye,kkor () T folytonos [, b]-n, (b) h f folytonos x 0 [, b]-ben, kkor T differenciálhtó x 0 -bn, és T (x 0 ) = f(x 0 ). Bizonyítás. () Először kiegészítjük z integrál definícióját. Legyen f(x) dx := 0, b f(x) dx := b f(x) dx h < b. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy x > x 0 kkor x x0 x T (x)t (x 0 ) = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt M xx 0 < ɛ h xx 0 < δ(ɛ) = ɛ/m x 0 hol f(x) M (x [, b]), s ez éppen f folytonosságát jelenti. (b) Ismét legyen x > x 0 kkor T (x) T (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 = x x 0 x x 0 f(t) dt x x 0 f(x 0 ) dt = x 0 x x 0 x (f(t) f(x 0 )) dt x 0 x f(t) f(x 0 ) dt < ɛ(x x 0 ) = ɛ h x x 0 < δ(ɛ), x x 0 x 0 x x 0 mivel z x 0 -beli folytonosság mitt f(t) f(x 0 ) < ɛ h t [x 0, x] és x x 0 < δ(ɛ). Így T (x) T (x 0 ) f(x 0 ) h x x 0, miből T (x 0 ) = f(x 0 ). x x 0 A bizonyítás x < x 0 esetén hsonló.. Következmény. Minden folytonos függvénynek vn primitív függvénye, ti. területmérő függvénye. 2. Tétel (Newton-Leibniz formul). Tegyük fel, hogy f : [, b] R folytonos [, b]-n, és F : [, b] f egy primitív függvénye, kkor b f(x) dx = F (b) F () = [F (x)] b. Bizonyítás. Láttuk, hogy T (x) = x f(t) dt f primitív függvénye, így F felírhtó F (x) = T (x) + c lkbn, hol c R lklms konstns. Mivel f() = T () + c = c, így b f(x) dx = T (b) = F (b) c = F (b) F (). x
4 Megjegyzés. A Newton-Leibniz formul kkor is érvényes, h f R[, b], F : [, b] R folytonos [, b]-n, és F (x) = f(x) (x ], b[). Péld. 0 + x 2 dx = [rctg x] 0 = rctg rctg 0 = π/4. 3. Tétel (prciális integrálás htározott integrálr). H f, g : [, b] R folytonosn differenciálhtók [, b]-n, kkor b b f (x)g(x) dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x) dx hol [f(x)g(x)] b = f(b)g(b) f()g(). x x Bizonyítás. Legyen F (x) = f (t)g(t) dt f(x)g(x) + f()g() + f(t)g (t) dt (x [, b]), kkor F (x) = 0 (x [, b]), F () = 0 így F (x) = 0 (x [, b]) speciálisn F (b) = F () = 0 és ez éppen bizonyítndó állítás. 4. Tétel (helyettesítéses integrálás htározott integrálr). H g : [, b] [c, d] folytonosn differenciálhtók [, b]-n, f : [c, d] R folytonos [c, d]-n, kkor Bizonyítás. Legyen F (x) = b f (g(x)) g (x) dx = x f (g(t)) g (t) dt g(x) g() g(b) g() f(u) du. f(u) du (x [, b]), kkor F (x) = 0 (x [, b]), F () = 0 így F (x) = 0 (x [, b]) speciálisn F (b) = F () = 0 és ez éppen bizonyítndó állítás.