A. függelék Laplace-traszformáció és alkalmazásai Tételezzük fel hogy az f(t),t [, ) egy olya függvéy, amely az alábbi tulajdoságokkal redelkezik: f(t) dt <, A,α R, lim t f(t)ae αt =. Jelölje L azt az itegrál traszformációt, amely az f(t) függvéyhez egy F(s),s C függvéyt redel, azaz L : f(t) F(s), ahol F(s) = f(t)e st dt, s C. (A.) Az F(s) komplex változós függvéy pozitív valós, azaz F(s) = F(s). A Laplace-traszformáció iverzét a következőképp defiiáljuk : L : F(s) f(t), f(t) = 2π σ+i Z σ i F(s)e st ds, t [, ). (A.2) A (A.) és (A.2) összefüggésekkel defiiált traszformációpárt Laplaceés iverz Laplace-traszformációak evezzük, és az L{ f(t)} = F(s), illetve L {F(s)} = f(t) szimbólumokkal jelöljük. A Laplace-traszformáció lieáris, azaz időfüggvéyek lieáris kombiációját Laplace-traszformáltjaik lieáris kombiációjába képezi le. Legye
256 A. Laplace-traszformáció és alkalmazásai α,α 2 R, ekkor L{ f (t)} = F (s),l{ f 2 (t)} = F 2 (s) L{α f (t)+α 2 f 2 (t)} = = α F (s)+α 2 F 2 (s). További fotos tulajdoságok, amelyeket a lieáris álladó együtthatós differeciálegyeletek megoldásáál (az LTI-redszerek időbeli viselkedéséek aalízisébe) haszáluk fel, a következők:. Egy f(t) függvéy idő szeriti deriváltját Laplace-traszformáltja s-el való szorzatába képezi le: L{ d dt f(t)} = sf(s) f(o). 2. Egy f(t) függvéy idő szeriti itegrálját Laplace-traszformáltja s -el R való szorzatába képezi le: L{ f(t)dt} = s F(s). 3. Az f(t) és g(t) függvéyek kovolúcióját Laplace-traszformáltjuk szorzatába képezi le: L{ g(t τ) f(τ)dτ} = G(s)F(s). Az alábbiakba éháy példák mutatuk a Laplace-traszformáció közvetle kiszámítására. A.4. PÉLDA. Legye f(t) = δ(t) a Dirac-deltafüggvéy. Ekkor L{δ(t)} = δ(t)e st dt = e st =. A.5. PÉLDA. Legye f(t) = (t) az egységugrás függvéy. Ekkor L{(t)} = e st dt = [ e st s ] e st = lim t s lim t A.6. PÉLDA. Legye f(t) = e at. A Laplace-traszformált: L{e at (t)} = e at e st dt = e (s a)t dt = [ e (s a)t (s a) e st s = s. ] = s a.
A. Laplace-traszformáció és alkalmazásai 257 A.7. PÉLDA. Vizsgáljuk a f(t) = e iωt függvéyt. [ L{e iωt } = e iωt e st dt = e (s iω)t e (s iω)t dt = (s iω) = s+iω s 2 + ω 2 = ] = s iω s s 2 + ω 2 + i ω s 2 + ω 2 = L{cosωt}+iL{siωt}. A.8. PÉLDA. A deriválásra voatkozó szabályok alkalmazásával kapjuk az alábbi függvéyek Laplace-traszformáltjait: Legye f(t) = t(t) az egységsebességugrás-függvéy. Ha f(t) = t, t >, akkor dt dt =, t >, és mivel L{ d dt f(t)} = sf(s) f(), f( ) =, következik, hogy s = sl{t(t)}, amiből kapjuk, hogy Hasolóképp kapjuk, hogy L{t(t)} = s 2. L{t 2 (t)} = 2 s 3. Általába pedig L{t (t)} =! s +. Eltolási tételek Legye F(s) = f(t)e st dt, s C Re{s} > α. Legye a C, amelyre Re{s a} > α. Ekkor F(s a) = = f(t)e (s a)t dt f(t)e st e at dt = L{e at f(t)}. Ez azt jeleti, hogy ha egy f(t) függvéyt e at -vel szorzuk, akkor a Laplacetraszformáltjá a-val való eltolást kell elvégezi.
258 A. Laplace-traszformáció és alkalmazásai A.9. PÉLDA. Vizsgáljuk a f(t) = (t τ) függvéy Laplace-traszformáltját: L{(t)} = e st dt = A.2. PÉLDA. L{e αt cosωt} = τ = = [ e st s ] τ e st = lim t e αt e st cosωtdt = 2 e (α+s iω)t dt + [ ] 2 e (α+s iω)t (α+s iω) s lim t τ + e st s = s e sτ. e αt e st eiωt + e iωt dt 2 2 e (α+s+iω)t dt [ ] 2 e (α+s+iω)t (α+s+iω) 2 = α+s iω + 2 α+s+iω = s+α (s+α) 2 + ω 2 Ha egy f(t) függvéye végzük eltolást az időtegely meté τ idővel jobbra, akkor hasolóa belátható, hogy Laplace-traszformáltját az e sτ függvéyel kell szorozi: Kezdetiérték- és végértéktételek L{ f(t τ)} = e sτ F(s). Belátható, hogy az idő- és operátorfüggvéyek s tartomáybeli kezdeti és ú. végértékei között feállak az alábbi összefüggések: lim f(t) = lim sf(s), t s lim t f(t) = lim s sf(s) Ezek a tételek ige haszosak a Laplace iverz Laplace-traszformációk számításáál az eredméyek elleőrzése szempotjából.
A. Laplace-traszformáció és alkalmazásai 259 Az iverz Laplace-traszformáció kiszámítása Az iverz Laplace-traszformációt az alábbi improprius itegrállal defiiáltuk: f(t) = 2π σ+i Z σ i F(s)e st ds, t [, ). Legyeek az F(s) függvéyek egyszeres pólusai: P = {p,..., p }, és legye σ > Re{p i },i =,...,. Ekkor a feti improprius itegrált helyettesíthetjük egy olya zárt görbe meti itegrállal, amelyet a képzetes tegellyel párhuzamos, attól balra σ távolságra haladó egyees és egy R sugarú félkör alkot. Az F(s) pólusai eze a zárt görbé belül helyezkedek el. Belátható, hogy az e st függvéy pólusai mid a jobb félsíkra esek. Ha R, akkor az itegrált az ú. rezidumtétellel számíthatjuk ki: f(t) = p i P Res pi F(s)e st = Ha az F(s) racioális törtfüggvéy, azaz i= F(s) = b(s) a(s) = Πm j= (s z i) Π i= (s p i), lim(s p i )F(s)e st. s p i ahol Z = {z,...,z m } a zérusok, P = {p,..., p } pedig a pólusok, akkor az előző összefüggés alapjá ahol az f(t) = i= lim(s p i )F(s)e st = s p i a a(s) (s) = lim s pi (s p i ) lim s p i= i b(s) e st, a(s) (s p i ) határérték az a(s) poliom deriváltja az s = p i helye. Ezzel megkaptuk az ú. kifejtési tételt, amely szerit egyszeres pólusokra az F(s) függvéy iverz Laplace-traszformáltja : f(t) = L {F(s)} = i= ahol a (s) az a(s) poliom s szeriti deriváltja. b(s) a (s) est s=pi,
26 A. Laplace-traszformáció és alkalmazásai A.2. PÉLDA. Legye F(s) = s a. Az F(s) pólusa p = a, b(s) =, a(s) = s a, a (s) =. A kifejtési tétellel: f(t) = lim s a e st = e at. Az iverz Laplace-traszformált kiszámítása parciális törtekre botással Egyszeres pólusok eseté az F(s) függvéyt parciális törtekre bothatjuk: F(s) = i= R i s p i, ahol R i,i =,..., az F(s) rezidumai a p i,i =,..., helyeke. Ekkor az iverz Laplace-traszformált egyszerű összeg alakba írható: f(t) = i= R i lim(s p i ) e st = s p i s p i A.22. PÉLDA. F(s) = 5 s+2, f(t) = 5e 2t A.23. PÉLDA. F(s) = s+3 (s+)(s+5), A.24. PÉLDA. F(s) = s+3 (s+ 5i)(s++5i) i= f(t) = 2 e t + 2 e 5t R i e p it. f(t) = lim (s+ 5i) s+3 s +5i (s+ 5i)(s++5i) est + lim (s++5i) s+3 s 5i (s+ 5i)(s++5i) est =.2ie t (e 5it e 5it )+.5e t (e 5it + e 5it ) =.4e t si(5t)+e t cos(5t). A gyakra haszált Laplace-traszformációs összefüggések az A.. táblázatba találhatók.
A. Laplace-traszformáció és alkalmazásai 26 A.. táblázat. Gyakra haszált Laplace-traszformációs összefüggések Laplace-traszformált, L(s) Időfüggvéy, f(t), t [, ) δ(t) e sτ δ(t τ) s (t) t s 2 t s ( )! s πt s+α s +βs (s+α) 2 e αt β δ(t) e β 2 β t te αt α s(s+α) e αt α s(s α) α + α eαt (s+α)(s+β) β α (e αt e βt ) (+αt)e αt s(s+α) 2 α 2 α 2 s α (s+α)(s+β) α β e αt + β β α e βt s+a A α (s+α)(s+β) β α e αt + A β α β e βt s ( αt)e αt (s+α) 2 + s 2 (s+α) α 2 α t + e αt α 2 s(s+α) 2 α 2 α te αt e αt α 2 e αt + (s+α) 2 (s+β) (β α) 2 β α te αt + e βt (β α) 2 s β e αt + α (s+α) 2 (s+β) (β α) 2 α β te αt β e βt (α β) 2 s(s+α)(s+β) α(α β) e αt + β(β α) e βt + (αβ) e αt (s+α)(s+β)(s+γ) (β α)(γ α) + e βt (γ α)(α β) + e γt (α γ)(β γ) s+a (A α)e αt (s+α)(s+β)(s+γ) (β α)(γ α) + (A β)e βt (γ α)(α β) + (A γ)e γt (α γ)(β γ) s 2 +ω s 2 s 2 +ω 2 s(s 2 +ω 2 ) s 2 (s 2 +ω 2 ) (s+α) 2 +ω 2 s+α (s+α) 2 +ω 2 ω siωt cosωt ω 2 ( cosωt) (ωt siωt) ω 3 ω e αt siωt e αt cosωt
B. függelék Fourier-traszformáció és alkalmazásai Tételezzük fel, hogy az f(t),t [, ) olya függvéy, amely mid abszolút, mid égyzetese itegrálható: f(t) dt <, f(t) 2 dt <. Ekkor azt az F itegráltraszformációt, amely az f(t) függvéyhez egy F(iω),ω R függvéyt redeli, azaz F : f(t) F(iω), ahol F(iω) = f(t)e iωt dt, ω R, Fourier-traszformációak evezzük. Az F(iω) komplex változós függvéy pozitív valós, azaz F(iω) = F( iω). Az iverz Fourier-traszformációt a következőképp defiiáljuk: F : F(iω) f(t), f(t) = 2π F(iω)e iωt dω, t [, ). Az időfüggvéyek és Fourier-traszformáltjaik között a Parseval-tétel (a szakirodalomba Placherel-tételkét is szerepel) teremt kapcsolatot, amely kimodja, hogy ha a f(t), g(t) függvéyekek létezik Fourier-traszformált
264 B. Fourier-traszformáció és alkalmazásai juk, akkor f(t)g(t)dt = 2π Ebből a tételből következik, hogy f(t) 2 dt = 2π F(iω)G( iω)dω. F(iω)F( iω)dω, ami azt fejezi ki, hogy a F Fourier- és az F iverz Fourier-traszformáció kölcsööse egyértelmű megfeleltetést hoz létre a feti tulajdoságú függvéyek tere és a komplex változós függvéyek tere között. A redszer- és iráyításelméletbe azt modjuk, hogy a Fourier-traszformációval áttérük az időtartomáyból a frekveciatartomáyba, mivel az ω változó fizikai értelmezése az ω = 2π f[rad] körfrekvecia. A Fourier traszformációval kapcsolatos ismeretayag további bővítéséhez javasoljuk a [62] taköyv feldolgozását. Azo függvéyek terét, amelyekre f(t) 2 dt = f L2 <, L 2 Lebesque-térek, az f L2 számot pedig az f függvéy ormájáak evezzük. Komplex változós függvéyek eseté azo függvéyek terét, amelyekre F(iω) 2 dω = F H2 <, Hardy-térek, a F H2 számot pedig az F függvéy ormájáak evezzük. A Fouriertraszformáció izomorfia a két tér között, a Parseval-tétel pedig azt modja ki, hogy. f L2 = F H2.
C. függelék Mátrixszámítás és lieáris algebra A v,...,v, v i R, i számokból alkotott alábbi formába összeredezett szám -eseket: v T = [v,...,v ] sorvektorokak, a v oszlopba redezett elemeket oszlopvektorokak evezzük, jelölésük v R R = R. A v,w R vektorok között értelmezzük az ú. skalárszorzást: v T w = i= v i w i, amiek geometriai jeletése a v vektor vetülete a w vektorra, azaz v T w = v w cosα, ahol v, w a vektorok abszolút értéke, az α pedig a közöttük lévő szög. Az a,...,a m, a i j R i, j számokat egy m méretű táblázatba redezve egy A R m mátrixot kapuk: a... a a 2... a 2 A =. a m... a m Egy A mátrix A T traszpoáltját úgy kapjuk meg, hogy felcseréljük a sorait és az oszlopait.
266 C. Mátrixszámítás és lieáris algebra Mátrixok közötti műveletekre voatkozó szabályok: Összeadás, kivoás. Legyeek A,B R m azoos méretű mátrixok. Ekkor C = A ± B = B ± A és a C összeg mátrixelemei a megfelelő mátrix elemek összegével (külöbségével) azoosak. Szorzás (em kommutatív). Legyeek A R m, B R m p mátrixok. A szorzatmátrix C = AB R p, elemei c i j = m l= a ilb l j, azaz a c i j elem az A mátrix i-edik soráak és a B mátrix j-edik oszlopáak skalárszorzata. Mátrixivertálás, determiás: Az A R mátrix A iverzét az AA = A A = I azoossággal defiiáljuk, az eek eleget tevő iverz pedig A = adja deta, ahol deta az A matrix determiása, az adja pedig az adjugáltja. Az adjugált mátrixot úgy képezzük, hogy mide eleméhez hozzáredeljük a eki megfelelő előjeles aldetermiást. Látható, hogy az iverz akkor létezik, ha a mátrix determiása em zérus. Az olya mátrixokat, amelyekek em zérus a determiása, emsziguláris mátrixokak evezzük. C.25. PÉLDA. Ha A R 2 2, azaz 2 2-es méretű mátrix eseté deta = a a 22 a 2 a 2, [ ] a22 a adja = 2 a 2 a. C.26. PÉLDA. Lieáris egyetletredszerek megoldása ha A emsziguláris Ax = x =, Ax = b x = A b. Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Belátható, hogy a det[λi A] egy -edfokú poliom. A det[λi A] = egyelet gyökeit az A mátrix sajátértékeiek evezzük. Az algebra alaptétele szerit eek a poliomak számú (általába valós és komplex) gyöke
C. Mátrixszámítás és lieáris algebra 267 va, amiket λ i C,i =,..., jelölük. A [λ i I A]v i =,i =,..., egyeletbe a v i vektorokat az A mátrix λ i sajátértékéhez tartozó sajátvektoráak evezzük. C.27. PÉLDA. Határozzuk meg az A = 2 mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. A mátrixak három sajátértéke va, mivel λ det(λi A) = det λ 2 = λ(λ 2)(λ+) = λ alapjá: λ = 2, λ 2 =, λ 3 =. A három sajátértékhez tartozó sajátvektorokat az (A λi)v = egyelet alapjá határozzuk meg. A λ sajátértékhez tartozó v sajátvektor számítása a következő: 2 v (A λ I)v = 2 2 v 2 = v 3 = [ 2v v 2v 2 + 2v 3 v 2 v 3 ] T A [ ] [ ] 2v v 2v 2 + 2v 3 v 2 v 3 = mátrixegyelet megoldása: v =, v 2 = α és v 3 = α tetszőleges α-val. A v -hez tartozó egyik sajátvektor a következő: v = [ ] T. A másik két sajátértékhez is kiszámíthatjuk a sajátvektorokat. A v 2 -höz tartozó egyik sajátvektor: v 2 = [ 2 ] T. A v3 -hoz tartozó egyik sajátvektor a következő: v 3 = [ 2 ] T. Azaz sajátvektorokat tartalmazó mátrix: V = [ ] 2 v v 2 v 3 = 2
268 C. Mátrixszámítás és lieáris algebra A lieáris algebra alapjai Az -elemű vektorokat úgy értelmezhetjük, mit az -dimeziós euklideszi tér elemeit. 2 A v,v 2,...,v vektorok lieárisa függetleek, ha α i R skalárszámra α v +...α v =, azaz ha valameyi α l =,l [,...,]. Azt modjuk, hogy az lieárisa függetle v i vektor kifeszíti az R teret. A v i vektorok lieárisa függetleek, ha a belőlük alkotott vektorok V = [v,...,v ] mátrixa teljes ragú, azaz ragv =. Az m méretű mátrixokat úgy tekithetjük, mit az m-dimeziós euklideszi térről az -dimeziós euklideszi térre leképező lieáris operátorokat: A : R m R, azaz ha v R m, akkor Av R. Ha A mátrix ragja raga = r, akkor A az R vektorokat az r-dimeziós R m térre képezi le, és azt modjuk, hogy ImA = R r, azaz R r az A lieáris operátor képtere. Azokat a v R vektorokat, melyeket az A mátrix zérus vektorba képezi le, azaz Av =, az A lieáris operátor magteréek evezzük, és KerA-val jelöljük. Tehát ha v KerA R Av =. Belátható, hogy a KerA altér dimeziója dimkera = r és r = raga. Az eredméyeket lieáris egyeletredszer megoldásáál haszáljuk. A lieáris algebra további taulmáyozására javasoljuk a [6] taköyvet. 2 Az -dimeziós euklideszi tér egy lieáris vektortér, ahol értelmezve va skalárral vett szorzás és vektor összeadás. Azaz, ha α,α 2 R és v,v 2 R, akkor α v + α 2 v 2 R