6. Nemleárs egyeletek megoldás I. Eddg léyegée leárs egyeletredszerek megoldásávl fogllkoztuk. De sokszor felvetődk z f( x ) = (6.) egyelet egy (vgy esetleg tö) gyökéek keresése, hol z f( x) C[, ] egyváltozós függvéy. Mde oly x érték, melyre f( x ) =, (6.) egyelet gyöke vgy f( x ) zérushelye. A gyök z x m helye m -edredű, h f( x) = ( x x ) g( x), g( x ) lk írhtó. Azzl z esettel fogllkozuk, mkor megoldás közelítése vlmlye umerkus módszer segítségével végezhető. 6.. A gyököt trtlmzó tervllum H függvéy előjelet vált: f( ) f( ) <, kkor folytoosság mtt leglá gyök tlálhtó [, ]-e. H létezk f( x ) első derváltj s, és előjeltrtó [, ] -e, kkor csk gyök v. H függvéy em mooto, kkor [, ] -t célszerű oly résztervllumokr ot, hol z tervllum két végpotj között előjelváltás v. Ílymódo f( x ) pártl gyöket el tudjuk külöíte. Derválhtó függvéy eseté páros gyököket kereshetjük f ( x) gyökekét, mert ekkor pároskt pártlá tettük, de kereshetjük f( x)/ f ( x) gyöket s, melyek md egyszeresek. 6.. Fxpot terácó Egy lehetséges eljárás, hogy megpróáljuk z f( x ) = egyeletet fxpot-egyeletté lkít: ( ) x= F x. (6.) Péld: legye megolddó egyelet: x s( x) =. Ekkor próálkozhtuk z x s( x ) k+ = terácóvl. Fxpot-egyeletet mdg tuduk készíte, hsze x= x+ cf( x) s lye, hol c emzérus álldó, de válszthtuk vlmely cx ( ) függvéyt s olymódo, hogy z terácó kovergec-tuljdoság jvuljk. A fxpot létezéséről szól 6.. Brouwer fxp ottétel H F( x ) folytoos [ -e, ] és F : [, ] [, ], kkor létezk fxpotj. Bzoyítás. Legye gx ( ) = x Fx ( ), ekkor g ( ) és g ( ), mől gg ( ) ( ). H tt egyelőségjel érvéyes, kkor már v egy gyök, h pedg < jel érvéyes, kkor folytoosság mtt kell léteze gyökek [ -e., ] 6.. Tétel, kotr kcó H F: S folytoos dfferecálhtó z S zárt tervllumo és F ( x) <, x S, kkor F kotrkcó. Bzoyítás. A Lgrge középérték tétel lpjá xy, S-re ζ : F( x) F( y) = F ( ζ)( x y). Térjük át z szolút értékre és hszáljuk fel, hogy F ( x) mxmum S -e: k A tétel tödmezós megfoglmzás: h folytoos ( ) F x függvéy gömöt ömgá képez le, kkor v fxpotj.
Hegedűs: Numerkus Alízs II. F( x) F( y) mx F ( x) x y, x, y S x S tehát F kotrkcó q= mx F ( x) < kotrkcós álldóvl. 6.. Következmé y x S H F( x ) kotrkcó, kkor Bch fxpottétel szert csk egy gyök v és kotrkcós álldó smeretée közelítés potosságát s ecsül tudjuk. Vssztérve fet példához: kpott terácó ztos koverges trtomáy, hol cos( x) ( s( x) ) = <. Látjuk, h x = vgy x = π, ezzel kfejezéssel j v, mert formul s( x) kértékelésekor -vl kée oszt. De például x = π /4 eseté kfejezés értéke / 8, m már jok tűk. H megrjzoljuk z x prolát és s( x ) függvéy képét, látjuk, hogy két emegtív gyök v, z egyk zérus, másk pedg közel x = π /4-hez, tehát remélhető, hogy z terácó π /4-gyel dítv koverges. De z s látszk, hogyh gyo kcs poztív értékkel dítjuk z terácót, kkor sem kpjuk meg zérus gyököt, mert z terácó mdg elvsz gyok gyök ráyá. H zo z x= rcs( x ) terácót készítjük, köye meggyőződhetük rról, hogy ks poztív x -re zérushoz trt. H zo x = -gyel dítuk, kkor először π / értéket kpjuk, mjd komplex számokt, mvel z rgumetum gyo -él. A tulság: ügyelük kell, kpott függvéy hov képez le, és leképezés trtomáyá megmrdk-e kovergec tuljdoságok, lletve zt gyököt kpjuk-e, mt szereték meghtároz. H megolddó egyelete tö helye s szerepel x, kkor tö x= F( x) kfejezés s készíthető. Például szerepelje két helye, ekkor meg lehet mutt: kpott két terácó egy dott helye egyszerre em lehet koverges. Legye ugys f( x, x ) = megolddó egyelet, hol két előfordulást x és x -vel zoosítjuk. Legye F ( x ) z z terácós függvéy, melyet x kfejezésével kptuk. Ez zt jelet, hogy f( F( x), x) = és f( x, F ( x)) =. (6.) Legye α egyszeres gyök: f ( αα, ) =. H (6.)-e szereplő kfejezéseket derváljuk x szert és helyettesítjük x = α -t, z eredméy: f ( αα, ) F ( α) + f ( α, ) =, f ( αα, ) + f ( αα, ) F ( α) =, hol f lsó dexe zt jelöl, melyk hely szert derváltuk. Ahhoz, hogy egyszeres gyök mellett emzérus megoldást kpjuk f ( αα, ) -r kell, hogy kpott redszer determás legye: ho F ( α) F ( α) = F ( α) F ( α) =, F ( α) = / F ( α). (6.4) Hcsk em szolút értékűek derváltk, gyök közelée z egyk terácós függvéy koverges, másk meg dverges lesz. Hsoló lehet vzsgál zt z esetet, mkor x -él
töször fordul elő. De ekkor helyzet rossz, z s lehetséges, hogy egyk terácós függvéy sem koverges. Emtt zt célszerű teük, hogy z x -ek előfordulását két csoport osztjuk és x -et z egyk csoportól teljese kfejezük. Például x x+ exp(. x) + = -él z terácós függvéyre kereshetjük másodfokú polom gyöket úgy, hogy kosts tg helyére exp(. x ) + -et íruk. 6.. A kovergec-seesség Legye z x sorozt koverges, lm x = x. Jelölje létezk c álldó és p szám úgy, hogy * * ε= x x z -edk hát. Ekkor, h kkor z x sorozt kovergecáj p -edredű. H p =, kkor kovergec leárs vgy elsőredű, < p <, kkor kovergec szuperleárs, p =, kkor kvdrtkus vgy másodredű, p =, kkor köös, vgy hrmdredű. p ε+ c ε, =,,, (6.5) A p szám jellemz z terácós módszer kovergecáják seességét. H például p =, kkor ez gyjáól zt jelet, hogy lépésekét z értékes jegyek szám megduplázódk. A fxpot terácó em redelkezk ezzel seességgel. Megmuttjuk, hogy p =, zz * kovergecáj elsőredű, meye F ( x ). Ugys ε * * * + x+ x F x F x q x x q ε = = ( ) ( ) =. (6.6) H * F ( x ) =, kkor kovergec mgs redű. Erre votkozk következő 6.. Tétel m Legye F vlós függvéy: FS ( ) S, S zárt. Tegyük fel, F C ( S) és ( k F ) ( x * ) =, k =,,, m. Ekkor z F áltl meghtározott terácó kovergec-seessége p = m -edredű. Bzoyítás. Az * x körül Tylor-polom m -edredű mrdéktggl ( m ) * ( m) * * * F ( x ) * m F ( ξx ) * m F( x) = F( x ) + F ( x )( x x ) + + ( x x ) + ( x x ) ( m )! m! hol feltevés szert z első, másodk,, m -edk dervált eltűk. Helyettesítsük * * vegyük fgyeleme, hogy x = F( x ) és x+ = F( x), ezzel x= x -et, ho ( m) * F ξx * ( ) ( ) m x+ x = x x m!, ( m) F ( ξx ) * m M m m ε ε + = x x,,, m! m! = hol ( k ) k = mx ( ). Ie láthtó, kovergec m -edredű. x S M F x
4 Hegedűs: Numerkus Alízs II. 6.4. Newto-terácó (Newto-Rphso módszer) és szelőmódszer H függvéy első derváltj létezk gyök köryezetée, kkor gyököt közelíthetjük úgy, hogy z x pot függvéyhez húzott értő metszéspotját vesszük z x tegellyel. Ez ugyz, mt mkor z x körül elsőfokú Tylor-polomot zérussá tesszük és -re megoldjuk: = f( x ) + f ( x )( x x ), + e Newto-Rphso módszer terácós formuláj: f ( x ) x + f( x ) x = x = F( x ). (6.7) + A szelőmódszert eől úgy yerjük, hogy dervált helyére z utolsó két potr felírt osztott dfferecát tesszük: f( x )( x x ) f( x ) x f( x ) x x = x = = F( x, x ), (6.8) + f( x) f( x ) f( x) f( x ) tehát ez z terácós függvéy két potr támszkodk. A módszer előye Newto-módszerrel szeme, hogy em kell hozzá dervált, mt éh eléggé körülméyes kszámít. Hátráy pedg kse kovergec-seesség. 6.4. Tétel, sze lőmódszer háj Legye f x C x x x, ekkor szelőmódszerél z + -edk terált hájár feáll ( ) [,, ] f ( ξ ),, [ ε+ = εε ξ η x, x, x ], (6.9) f ( η) hol x zérushely és [ x, x, x] z dott potok áltl lefedett tervllum. Bzoyítás. Az állítást (6.8)-ól osztott dfferecák segítségével szármzttjuk. Khszáljuk, hogy f( x ) = : ε f( x ) f( x ) f[ x, x ] = = = = [, ] [, ] + x+ x x x ( x x ) ε x x f x x f x x f[ x, x] f[ x, x] ε f[ x, x, x] = ε * = εε f[ x, x] x x f[ x, x] és e z osztott dfferecák és derváltk között érvéyes összefüggés (4.. Következméy) segítségével kpjuk z eredméyt. 6.4. Következmé y A Newto-módszerre votkozó eredméyt z x x htárátmeettel kpjuk: f ( ξ ), [ x, ε = ε ξ x ], (6.) + f ( x ) Látjuk, h v kovergec, kkor z másodredű, feltéve, hogy f ( x ).
5 6.4. Tétel, moo to kovergec Legye f C [, ], f( x ) =, x [, ], z f ( x), f ( x) derváltk e váltsk előjelet [, ]- e, továá z x [, ] kezdőpotr teljesüljö f( x) f ( x) >. Ekkor Newto-módszer koverges és z áltl készített x sorozt mooto módo trt z x zérushelyhez. Bzoyítás. A Newto-módszer (6.) formuláj szert z összes terált gyöktől vgy jor, vgy lr helyezkedk el, mert f / f előjele álldó. A (6.7) formuláól x -ot levov ε = ε f( x )/ f ( x ) (6.) következk. Az f( x) f ( x) > feltétel mtt f ( x)/ f ( x) és f( x)/ f ( x) előjele megegyezk. Emtt, h (6.)-e ε >, kkor f ( x)/ f ( x) poztív és (6.)-e ε ksseítve v és z összes tová lépése ε > kseedk. Hsoló kpjuk, hogy ε < eseté z összes tová ε < gyoodk, tehát z ε -ek vgy felülről vgy lulról mooto módo trtk -hoz. + Következméy. A (6.9) formul muttj, hogyh szelőmódszert úgy dítjuk, hogy x, x [, ], ε ε és f ( x)/ f ( x) előjele megegyezk, kkor tétel feltétele mellett szelőmódszer s mooto koverges soroztot állít elő, mert formulájá szereplő osztott dfferec mdg helyettesíthető egy tervllum-el derválttl, mek z előjele [, ] -e álldó. 6.4.4 Tétel, lokáls kovergec Legye f C [, ], f( x ) =, f ( x), x, x [, ], és z x [, ] kezdőpotr teljesüljö x x m f ( x) f x M * [, ] < = mx [, ] ( ). (6.) Ilye x -ól dítv Newto-Rphso módszer kovergál * x -hoz. A szelőmódszer kovergál, h x mellett x s kelégít (6.) feltételt. Bzoyítás. Az első lépéstől kezdve v kotrkcó, h (6.9) vgy (6.) lpjá f ( ξ ) mx [, ] f ( x) ε x x <. f ( η) m f ( x) Az állítás e átredezéssel dódk. A szelőmódszerél másodk lépéshez még ε -re s meg kell követelük ugyezt feltételt. A fetek lpjá Newto-Rphso módszerél megecsüljük z + -edk hát. Bevezetve d = M ε jelölést k k [, ] ( ) + ε+ ε + ε+ ε d = M M d d M. (6.) 6.4.5 Tétel, szelőm ódszer kovergec-seessége A 6.4.4 Tétel feltétele mellett z x, x kezdőpotokól dítv szelőmódszer p = ( + 5) /, 6 szmptotkus seességgel kovergál x -hoz. Bzoyítás. Most ε M ε ε + érvéyes (6.9) lpjá, hol M ugyz, mt (6.)-e. Ismét dk = M ε k jelöléssel
6 Hegedűs: Numerkus Alízs II. Az dításkor mellyel * x x < / M és 5,, 4 d,,, dd = * / d d d d d d, áltlá + x x < M, ezzel d, d <. Igz tehát, hogy d < : d, d d, d d, f = f =, f = f + f, =,, f + Itt f -ek jólsmert Focc-sorozt tgj, melyekek explct előállítás smert: 5 5 f = + + = + = 5,,. (6.4) Mvel <, övekvő htváy zérushoz fogk trt. Emtt létezk egy K szám, hogy mde -re s + + d K, s = / 5. Tehát írhtó + ( ) ( ) / 5 / 5 d K d = K d, d = d. Kptuk, hogy szelőmódszerhez trtozó hák mjorálhtók egy oly sorozttl, melyek + 5 kovergecredje =, 6, zz módszer szuperleárs. 6.5. Példák. Legye f C [, ]. Prol terpolácóvl készítsük három potr támszkodó terácós módszert f( x ) egy [, ] -el lokáls mmumák meghtározásár! Megoldás. Legye [, ] -e három pot ( x, f ),( x, f ),( x, f). Newto-terpolácóvl p ( x) = f + f[ x, x ]( x x ) + f[ x, x, x ]( x x )( x x ). A derváltják zérushelye: x x + x f[ x, x ] + =. (6.5) f[ x, x, x]. Egyeletes lépésközzel hldv hogy deríteék fel egy mmumhelyet? Megoldás. Legye lépésköz h és xj = + jh, j =,,. Az xj, xj, x lppot-hárms j+ megfelelő, h f[ xj, xj] < és f[ xj, x j + ] >. Ekkor lokáls mmumot következő egyszerűsített formulávl ecsülhetjük, h (6.5)-e x j -t vesszük középső potk: x m x + x f[ x, x ] h f f = j j + j j + j j x + j f[ xj, xj, xj+ ] f j+ f j + f j. (6.6). A kpott terácós módszerre foglmzzuk meg hhoz hsoló tételt, mt mt Newtomódszerél láttuk lokáls kovergecár! Megoldás. Az egyszerűség kedvéért tektsük (6.5)-e zt z esetet, mkor =. Az osztott dfferecák tuljdoságt khszálv hák terjedésére próáluk egy összefüggést szármztt. Vojuk le mdkét oldlól mmumhelyet dó x -ot és legye ε = x x, ezzel ε ε + ε f[ x, x ] =. f[ x, x, x]
7 A számláló lévő osztott dfferecát átlkítjuk, khszálv, hogy f[ x, x ] = és z lppotok sorredje z osztott dfferecák tetszőleges: f[ x, x] = f[ x, x] f[ x, x ] + f[ x, x ] f[ x, x ] = = ε f[ x, x, x ] + ε f[ x, x, x ]. Beírv fet formulá és közös evezőre hozv: ε ( f[ x, x, x ] f[ x, x, x ]) + ε ( f[ x, x, x ] f[ x, x, x ]) ε =. f[ x, x, x ] A számláló első két tgj továírv εε f[ x, x, x, x ]. A utolsó két tg átlkítás kcst hossz: ( ) ε f[ x, x, x ] f[ x, x, x ] + f[ x, x, x ] f[ x, x, x ] = ε ε f[ x, x, x, x ] + ε ε f[ x, x, x, x ]. Ezekkel Legye δ mx { ε, ε, ε} = és ε ( + ) ε ε εf[ x, x, x, x ] εε f[ x, x, x, x ] = +. f[ x, x, x ] f[ x, x, x ] M () mx f ( x) x [, ] = m f ( x) x [, ]. (6.7) Felhszálv, hogy z osztott dfferecák kfejezhetők ekk megfelelő redű derváltkkl, kpjuk: ε! δ! M = δ M. (6.8) Így ε ztos kse három megelőző ε szolút mxmumáál, h δ M <, vgy másképp δ < / M. Tehát kpott módszer ztos koverges, h három duló pot mmumhely / M -sugrú köryezetée v. 6.6. Gykorltok. Bzoyítsuk e, hogyh f C [, ], f( ) f( ) < és f ( x) em vált előjelet [, ] -e, kkor ott z f( x ) függvéyek csk egy gyöke v.. A fxpottétel lklmzásávl mutssuk meg, hogy cos x 4x+ =, x egyeletek egy zérushelye v és x -et 4x felől kfejezve fxpot terácó mde kezdőértékre koverges!. Az előző feldt gyök mlye köryezetéől kovergál ztos Newto-terácó? 4. Oldjuk meg z f( x) = / x = egyeletet Newto-terácóvl! Mlye kezdőértékekre v kovergec? A kpott formul érdekesége, hogy cs ee osztás, mek régee külö jeletősége volt z osztás műveletével em redelkező gép rtmetkák. 5. Oldjuk meg z kovergecát! f( x) = x =, > egyeletet Newto-terácóvl és tsztázzuk 6. Az előző feldt megoldás lpjá készítsük módszert /k meghtározásár, hol poztív vlós szám. 7. Mutsssuk meg, hogy 6.4. Tételt módosíthtjuk úgy, hogy z f( x) f ( x) > feltételt elhgyjuk és helyette zt követeljük meg, hogy z első lépés utá x [, ]. 8. Mutssuk meg, hogy z F( x ) = x ( f( x )) terácó kovergecáj másodredű! f( x ) f( x f( x ))
8 Hegedűs: Numerkus Alízs II. 9. Elleőrízzük, hogy Newto-módszer töszörös gyök eseté csk elsőrede kovergál.. Igzoljuk, hogy r -szeres multplctású gyökél kvdrtkus kovergec megmrd, h Newto-módszer formuláját következőre módosítjuk: x = x rf( x )/ f ( x ). +. Adott ε potosság elérése érdekée dolgozzuk k k feltételét, hogy mkor állítsuk le Newto-módszert.. M törték szelőmódszerél, h 6.4. Tétel feltételetől csk y külöség, hogy ε >, de ε <?. Mkor állítsuk le szelőmódszert, hogy megoldás előírt potosságú legye? Néháy specáls esettel folyttjuk. 7. Nemleárs egyeletek megoldás II. 7.. Az tervllumfelezés módszere Tegyük fel, z [, ] tervllum trtlmz d gyököt: f( ) f( ) < és függvéy folytoos [, ] - e. Az tervllumfelezés módszere szert ekkor megfelezzük z tervllumot és két tervllum közül megtrtjuk zt, hol z előjelváltás megmrd. Így z lgortmus:. f C[, ], f( ) f( ) < és dott előírt potosság.. Idulás: [, ] = [, ], x = ( + )/.. [, x], h f( ) f( x) <, [, ] = [ x, ], egyékét, x = ( + )/. + 4. Megállás: h f( x ) =, vgy <. Ez em túl gyors, de ztos módszer. Az előjelváltásól em mdg következk gyök léte. Godoljuk z / x függvéyre, mkor z lgortmust és között dítjuk. 7.. Tétel Az tervllumfelezéssel kpott x, =,, sorozt elsőrede koverges és ε, =,, (7.) Bzoyítás. A kovergec ól következk, hogy mdg gyököt trtlmzó tervllumot trtjuk meg. A hár mde lépése teljesül: ez pedg elsőredű kovergecát jelet. ε + ε,
9 7.. A húrmódszer (regul fls) Itt csk y z eltérés z tervllumfelezés módszerétől, hogy em z tervllum közepét vesszük, hem z (, f( ) ) és (, f( ) ) potokr llesztett egyees, más évvel: húr zérushelye következő közlítés: x+ = f( ). (7.) f( ) f( ) Megfelelő feltételek mellett zoyíthtó, hogy húrmódszer kovergecáj leárs, így em gyors, mt z tervllumfelezés. Még z s megeshet, hogy ál lssú. Ez törték például oly esete, mkor függvéy értéke z x -tegelyhez közel vk és z egyk végpothoz ( vgy ) gyo közel gyök. 7.. A Newto-terácó töváltozós esete Legye f : egy -változós leképezés, melyek keressük zt vektorát, melyre f( x ) =. Tételezzük fel dfferecálhtóságot, ekkor z x körül sorfejtésől közelítve k f( x ) + f ( x )( x x ) =, (7.) k k k hol most f ( x) = f( x)/ x j mátrx redszer u. Jco-mátrx -, melyről feltesszük, hogy vertálhtó. (7.)-et x -re megoldv következő terácót kpjuk: [ ] xk = xk f ( xk) f( xk). (7.4) + H v megoldás és elég közel vgyuk hozzá, kkor remélhetjük, hogy töváltozós Newtoterácó koverges lesz. A módszer zt követel meg, hogy mde lépése elkészítsük derváltk mátrxát és megoldjuk vele egy leárs egyeletredszert. Mvel ez gyo mukgéyes lehet, szokás lklmz következő egyszerűsítést: Elkészítjük z f ( x ) = LU fktorzácót és utá z egyszerű k ( ) x = k x + k LU f( xk) (7.5) terácót lklmzzuk. Ez -dmezó k felel meg, hogy lépésekét dervált értékét em változttjuk. Az lye módszereket kváz-newto módszerekek evezzük. 7.4. Polomok gyöke A polomok gyökeek meghtározás tlá leggykr mátrxok sjátértékeek keresésekor jö elő, de ekkor em érdemes htváyösszeg lkot hszál, mert leárs lgr lgortmusok umerkus előyöse megoldásokt kíálk. Vló mgsfokú polomok eseté htváyösszeg reprezetácó px ( ) = x (7.6) = em előyös, mert gép számkét árázolv z együtthtók övekedésével egyre zoytl formácót yújtk gyökök potos értékéről. Példák álljo tt Wlkso ksérlete, k z,,...,9, gyökökkel redelkező huszdfokú polomot (7.6) lk előállított, mjd vsszszámolt gyököket. Az eredméy yr más volt, hogy tö komplex gyökpárt s kpott. A jeleséget mgyrázz gyökök és együtthtók összefüggése: például ulldfokú tg gyökök szorzt:!, mek potos árázolásár messz em elegedő 5 decmáls jegy. Így gép számárázolás folytá sok fotos formácó elvész.
Hegedűs: Numerkus Alízs II. A (7.6) lk összefüggése hozhtó z u. Froeus-féle ksérő mátrx-szl, mellyel már tlálkoztuk 7. szksz: / / F =. (7.7) / / Az utolsó oszlop meté kfejtve köye gzolhtó, hogy det ( λi F) = λ. Eek = mátrxk smerete két szempotól s hszos. Egyrészt muttj, hogy polom x k gyöke leárs lger módszerekkel kereshetők, melyek legstlk tekthető módszerek közé trtozk. Másrészt rögtö lehetőségük v egy oly körlemez megdásár komplex síko, melye polom összes gyöke ee v: < ( δ ) F = mx + / = R x, k hol δ j Kroecker delt. R gyo vgy egyelő F spektrál sugráál, m most polom gyökök szolút értékeek mxmum. Megdhtuk egy másk kse körlemezt s, melye kívül v z összes gyök. Vezessük e z x= / y trszformácót és írjuk át polomot y szert. Eredméyül egy oly polomot kpuk, hol z együtthtók fordított sorrede vk és eek polomk gyöke z eredet gyökök recprok. Az új polomhoz trtozó Froeus-féle mátrx sorormáját véve kpjuk: / xk mx( δ + / ) = / r, hol természetese feltételeztük, hogy. A két eredméyt < egyevetve látjuk, hogy polom gyöke z r x R, k =,,, (7.8) k körgyűrű trtomáy eseek. A (7.6)-tl dott polomokál előyöse lklmzhtó Newto-módszer, mert polom értéke és derváltj egy lépése egyszerűe számolhtó. H például ξ helye szereték ezeket kszámol, em kell mást teük, mt polomot mrdékos osztássl eloszt ( x ξ ) -tel: px ( ) qx ( )( x ) x = ξ + α + β. (7.9) Köye meggyőződhetük ról, hogy helyettesítés érték αξ + β, dervált pedg α lesz ξ helye. A töszörös gyökök kszűrésére lklmzhtjuk z Eukldész lgortmust. Ekkor két duló polom p( x) = p( x), p( x) = p ( x), z + -edk polomot pedg úgy készítjük, hogy p ( ) x -et osztjuk p ( x) -szel és mrdékot képezzük: p ( x) = q ( x) p ( x) c p ( x), =,, (7.) + A sorozt polomok fokszám csökkeő, c >, egyékét tetszőleges. Az lgortmus m lépés utá efejeződk: pm ( x) = qm( x) pm( x), pm( x). Az utolsó polom két kezdő polom leggyo közös osztój. Mvel dervált polom z -él gyo multplctású gyököket trtlmzz, így ezek gyökök megjeleek p ( x) -e. m
A z esete, mkor mde gyök vlós és egyszeres, kkor z Euldész lgortmus oly polomsoroztot készít, mely Sturm-sorozt tuljdoságú. Legye z helye sorozt előjelváltásk szám V( ), helye pedg V, ( ) ekkor megmutthtó, hogy z [, ] tervllum gyökök szám V ( ) V ( ). 7.5. Gykorltok. Készítsük el (7.9) osztás lgortmusát!. Adjuk meg 5 4 4x x 6x 5x 8x + + polom gyöket trtlmzó körgyűrűt!
Hegedűs: Numerkus Alízs II. 8. Numerkus tegrálás (kvdrtúr) I. Az tegrálok kszámításkor em mdg smert prmtív függvéy, vgy h ge, émely esete gyo oyolult, eheze számíthtó. Ilyekor umerkus módszerek kívát potosságú eredméy előállításár egyszerű ltertívát kíálk. A továk z terpolácóól yerhető kvdrtúr-formulákkl foguk fogllkoz. Láttuk, függvéy z [, ] tervllum következő módo állíthtó elő: f = L + r, (8.) hol L Lgrge-terpolácós polom és r htg. (Feltesszük, z lppotok gyság szert redezettek: x < x és x =, x =.) A kvdrtúr-formulák szármz-ttás elve: hol z f = L + r = f( x ) + R, (8.) = = l ( x) dx (8.) súlyok Lgrge lppolomok tegrálásáól dódk. Következméy. Az így yert formulák legfelje -edredű polomg potosk. Ekvdsztás lppotok eseté yerjük Newto-Cotes formulákt. 8.. Zárt és ylt Newto-Cotes kvdrtúr formulák 8.. Defcó Az lppotok hlmz legye Ω = { x,, x}. Zárt kvdrtúr-formul, h Ω,, h= ( )/, xk = + k h, k =,,,. Nylt formul, h, Ω, h= ( )/( + ), xk = + ( k + ) h, k =,,,, x =, x+ =. A továk rátérük zárt Newto-Cotes formulák együtthtók előállításár. ω ( x) k = lk( x) dx= dx. ( x x ) ω ( x ) k k Vegyük észre: xk xj = ( k j) h és vezessük e új változót: t = ( x ) / h, ho x= + th és x x = ( t j) h, s ezzel j k ( t k) háyzk tt ( ) ( t h ) = hdt = kk ( ) ( )( ) ( + kh ) k ( ) tt ( ) ( t ) zárt = ( ) dt = ( ) Bk,, k!( k)! t k (8.4) hol zárt k, B együtthtók z tervllumtól függetleül egyszer s mdekorr kszámíthtók. Hsoló módo yerhetjük ylt Newto-Cotes formulák együtthtót:
k + ( ) ( t )( t ) ( t ) y k = ( ) dt = ( ) Bk,, ( + ) k!( k)! t k Az első éháy Newto-Cotes együtthtó: (8.5) Zárt Nyílt Trpéz Értő formul 4 Smpso - 7 7 A tálázt mde sort oszt kell z együtthtók összegével, mert z együtthtók összegéek - ek kell le. Például z 4 súlyok z /6 4/6 /6 vlód súlyokr utlk. 8.. Tétel.,.. Bk, = Bk, = B k, (8.6) k = Bzoyítás. Az első állítás z f( x) függvéy tegrálásáól dódk, khszálv, hogy z tegrál -dfokú polomr potos. A másodk állítást z y = t új változór vló áttéréssel yerjük. 8.. Néháy egyszerű tegráló formul. Az értőformul (yílt Newto-Cotes): =, B y, = dt, tehát ( ) ( ) + I f = f. (8.7) Az értőformul úgy s értelmezhtő, hogy függvéyt [, ] -e középpothoz húzott értő egyeessel közelítjük, és z egyees ltt területet vesszük. Ez muttj, hogy legfelje elsőfokú polomg potos. 8.. Tétel, értő formul háj Legye c= ( + )/, f C [, ], ekkor z értő formulávl Bzoyítás. A c körül sorfejtésől ( ) f( x) dx= ( ) f( c) + f ( η), η [, ]. 4 (8.8) ( x c) f() x = f() c + ( x c) f () c + f ( ξx ). Itegráláskor z első tg dj közelítő formulát, másodk tg eredméye zérus, így elegedő htgot vzsgál: R ( f) = ( x c) f ( ξx ) dx.
4 Hegedűs: Numerkus Alízs II. Az tegrálszámítás középértéktétele szert f ( η) f ( η) ( x c) ( ) R ( f) = ( x c) dx f ( η). = = 4 A gykorlt ezt formulát em z egész [, ] tervllumr lklmzzuk, hem zt m részre osztjuk, és z egyes résztervllumok z értőformulávl tegráluk. Például, h m = : h= ( )/ és három résztervllumr lklmzzuk (8.7) szályt. A résztervllumo yert eredméyek felösszegzésével jutuk z értőszályhoz: m ( ) f = f( h/ + h) + f ( η), m 4m = (8.9) hol most f ( η) = ( f ( η) + f ( η) + + f ( ηm )), mert Droux-tuljdoság mtt f ezt z m átlgértéket s felvesz vlhol teljes tervllum.. A trpézformul. Elsőfokú polom terpolácóól yert zárt formul: =, B = B = / : ( ) I f = ( f ( ) + f ( )). (8.) 8.. Tétel, trpéz formul háj z z Legye f C [, ], ekkor ( ) f = ( f( ) + f( )) f ( η), η [, ]. (8.) Bzoyítás. Az terpolácó htgják tegrálj z tegrálszámítás középérték tételéek felhszálásávl: f ( ξx) f ( ξx) f ( η) R ( f) = ( x )( x ) dx= ( x )( x) dx ( ). = A teljes tervllumot m részre osztv, résztervllumok eredméyét felösszegezve yerjük trpéz szályt: 8.. Defcó ( ) m m f = [ f( x ) + f( x ) + + f( x ) + f( x )] f ( η). (8.) m m Egy kvdrtúr formulát kkor moduk k -dredűek, h k -dfokú z legkse fokszámú polom, melyre formul már em potos. Eszert z értő- és trpézformul másodredű.. A Smpso formul: másodfokú polom terpolácóól yert zárt formul, =, B = /6, z z B = 4/6, B = /6 és ( ) 6 ( ( ) 4 ( + I f = f + f ) + f ( )). z
5 + Az terpolácó mrdéktgjá ω ( x) = ( x )( x )( x ) szerepel, eek z tegrálj [, ] - e zérus. Ezt legegyszerűe úgy tudjuk elát, hogy [, ] -t [,] tervllum trszformáljuk. Ekkor ω ( x) pártl függvéy, melyek z tegrálj zérus. Emtt htételt z Hermte-terpolácóól szármzttjuk, (4) f ( ξ x ) + f( x) = H( x) + ( x )( x ) ( x ), (8.) 4! hol z ( + ) / középpot z első derváltt s terpoláljuk. Az áltláosított osztott dfferecák táláztár godolv tudjuk, hogy z terpoláló polom következő lkú: + H( x) = L( x) + C( x )( x )( x ). A másodk tg együtthtóják értéke em fotos, mert z tegrálj z előek lpjá zérus, s ezzel H = L 8..4 Tétel, Smps o-formul háj. Legye f C 4 [, ]. Ekkor létezk η [, ], melyre hol h= ( )/. + f ( η) f = f( ) + 4 f( ) + f( ) = 6 9 (4) f ( η) 5 = I( f) h, 9 (4) 5 (8.4) Bzoyítás. Kduluk z Hermte-terpolácó (8.) lkjáól, ho tegrálássl kpjuk: (4) f ( ξ x ) + I( f) I( f) = ( x )( x ) ( x ) dx. 4! Ahhoz, hogy z tegrálszámítás középértéktételét lklmzhssuk, z f mellett álló téyező em lehet egtív. Ezt úgy ztosíthtjuk, hogy ( x ) helyett ( x) -et íruk, s így 5 (4) (4) f ( η) + f ( η) = 4! = 9 I( f) I ( f) ( x )( x ) ( x) dx. Smpso-szály. A teljes tervllumot páros számú m résztervllumr osztv és Smpsoformulát szomszédos tervllumpárokr lklmzv kpjuk Smpso-szályt, mt összetett formulát. Ekkor három potokét fogjuk össze formulákt és z összetett formul: (4) (4) h f ( η ) ( ( 5 ) 4 ( ) ( )) k f = f xk + f xk + f xk+ h = k =,, 6 9 5 h h (4) = f( x ) + f( xk) + 4 f( xk) + f( xm) f ( ηk). k páros k ptl 9 k ptl első pot A htg még tová írhtó: (8.5)
6 Hegedűs: Numerkus Alízs II. 5 5 (4) 5 h (4) ( ) f ( η ) k ( ) (4) f ( ηk ) = = f ( η), 4 4 9 k ptl 8m m / 8m mvel Droux-tuljdoság mtt v egy η, melyre egyedk dervált z átlgértéket felvesz. 8.. Példák (8.6) dx ) Az tegrált z értőszállyl közelítjük. Háy osztópotot kell válsztuk, hogy z + x tegrált -él kse hávl kpjuk? ( ) Megoldás. Azt kell ztosít, hogy M 4m M = mx ( + x) =. A számokt helyettesítve: x [,] teljesüljö, hol = és / m, így m = 9 megfelel. ) Htározzuk meg z A, A, A prmétereket úgy, hogy xf( x) dx I ( f) = A f() + A f() + A f() kvdrtúr legfelje másodfokú polomokr potos legye! Megoldás. Két megoldás s létezk. Az egyk, hogy kszámítjuk kjelölt tegrálokt Lgrgelppolomokkl: A = l ( x) xdx, hol x -et súlyfüggvéyek tektjük. A másk módszer szert felírjuk zt leárs egyeletredszert, m potosság követeléseket trtlmzz. A következő egyeletredszer első sor zt fejez k, hogy kvdrtúr z polomr potos, másodk sor szert z x polomr potos, hrmdk sor szert pedg z x polomr potos: 4 / 8 /5. 6 / 7 x / dx= A / A = x x dx = 4 A / xx dx= Eek megoldás: A = 8, A =, A =. 5 5 5
7 9. Numerkus tegrálás, Guss-kvdrtúrák II. Az eddg, terpolácóól szármzttott kvdrtúr-formulák leglá yd fokú polomr potosk, háyd fokú polomól szármztttuk őket. A Guss-kvdrtúrák ól z észrevételől szármzk, hogy z lppotok specáls megválsztásávl kvdrtúr-formul redje övelhető. Ismét szükségük lesz z ortogoáls polomokr. 9.. Tétel, ortogoáls polom gyöke Legye { pk ( x )} egy ortogoáls polom redszer. Ekkor ármely -re p+ ( x ) gyöke vlósk, egyszeresek és z [, ] tervllum vk, hol [, ] sklárszorzt tegrálás trtomáy. Bzoyítás. Legyeek x, x,, xk p+ ( x) pártl multplctású gyöke [, ] -e, zz ott p+ ( x ) előjelet vált. H k =, kkor tétel állítás rede v. H em, kkor drekt úto feltesszük: k < és megmuttjuk, hogy z állítás elletmodásr vezet. Ehhez tektsük q( x) = ( x x)( x x) ( x x k ) k + -edfokú polomot. Mvel k + < +, z ortogoltás mtt ( p+, q) =. De ezzel elletmodásr jutuk, mert p+ ( x ) q ( x ) em vált előjelet [, ] -e, mvel p + mde előjelválátását qx ( ) megszütet és így p+ qα vol. Vegyük észre, godoltmeet kkor s jó, h egyetle pártl multplctású gyök scs, mert ekkor qx ( ) -dfokú. Az + -potos Guss-kvdrtúrát úgy kpjuk, hogy p+ ( x ) ortogoáls polom gyök-helye készítjük z terpolácóól szármzttott kvdrtúr-formulát. A sém következő: fα = L α + rα = f( x ) + R, = l ( x) α( x) dx. (9.) = 9.. Tétel, Guss-kvdrtúr potosság Legyeek p+ ( x ) ortogoáls polom gyöke x, x,, x, = lα, hol l z -edk Lgrge lppolom fet lppotoko. Ekkor Guss-kvdrtúr G ( f) = f( x ) = potos mde legfelje + -edfokú polomr: f P fα = G ( f). Bzoyítás. Az terpolácóól vló szármzttás mtt G ( f ) ztos potos legfelje -edfokú polomokr. Tegyük fel, f P, f = p q+ r, q, r P, így + + + G ( f) = f( x ) = [ p ( x ) q( x ) + r( x )] = + = = = mde re = r x = G r = rα = = ( ) ( ) (mert -edfokg potos) = ( p q+ r) α = (mert q P, így ortogoáls p -re) = f α. + +
8 Hegedűs: Numerkus Alízs II. 9.. Következmé y Az együtthtók poztívk. ( j) ( j) j Bzoyítás. Tudjuk, l x = l x = δ, hol δ j Kroecker-delt, l ( x) és l ( x) P, következésképp Guss-kvdrtúr potos : α j j= < l = G ( l ) = l ( x ) =. Az f( x ) = függvéy tegrálásávl most következőt kpjuk z együtthtók összegére: = = = = α µ, µ xα, hol µ ulldk mometum. Vegyük észre, ez egyelő -vl, h súlyfüggvéy. 9.. Tétel, Gus s-kvdrtúr hformuláj Legye + f C [, ] és G ( f) f( x ) =, hol z lppotok p+ ( x ) gyöke. Akkor k k k = (+ ) f ( η) I( f) G( f) = ( p+, p+ ), ( + )! (9.) tt p+ ( x ) -főegyütthtós ortogoáls polom. Bzoyítás. Hermte-Fejér terpolácóól (mkor z terpolácó függvéyértékek és z első derváltk veszek részt) kpjuk következő h-előállítást: (+ ) f ( ξx ) + ( + )! = p ( x) f( x) = H ( x) + ( x x ) ( x x ) ( x x ). Ie z tegrálás középérték-tételéek lklmzásávl (+ ) + + f ( ξx ) I( f) G( f) = p ( x) α( x) dx ( + )! yerjük z állítást, mert H ( ) + x -re Guss-kvdrtúr potos. Megduk éháy -főegyütthtós ortogoáls polomot: Név [, ] ( x) α µ α + Legedre [,] Csesev [,] Lguerre [, ] Hermte [, ] x π β p p p /(4 ) x x / /4, de β = / x x / x e + x x 4x+ x e π / x x /
9 9.. Példák. Három-potos Guss-Csesev kvdrtúrávl közelítjük ( ) meg hát! / x x e dx tegrált. Becsüljük Megoldás. A három-potos kvdrtúráál =, ezt lklmzzuk (9.) formuláál: M6 = e és mvel -főegyütthtós polomokk kell szerepel, emtt p( x) = T( x)/4. Így h kse, mt e ( T, T) /(6 6!) = eπ /( 7), mert ( T, T) = π /, (lásd 7.4 feldtot).. Készítsük el két-potos Guss-Hermte kvdrtúr súlyt! Elleőrízzük, hogy z így kpott kvdrtúr legfelje hrmdfokú polomokr potos! Megoldás. A két-potos kvdrtúráál másodfokú Hermte-polom gyöke x = x =. Így ( x x ) xµ = exp( x ) dx= = µ /, mert z elsőfokú tg tegrálj zérus, lévé z ( x x) x tegrdus pártl függvéy. Hsoló dódk, hogy =. A kpott kvdrtúr potos z függvéyre, mert z eredméy µ. Az x és x függvéyre s potos, mert két tg gyökhelyeke pártlság mtt kejt egymást. Így már csk zt kell gzoluk, hogy potosság másodfokú x polomr s teljesül. Eek z tegrálj (9.8) formul lpjá em más mt ( p, p) = β( p, p), m z előző oldlo láthtó tálázt szert egyelő µ / -vel. A Guss-Hermte kvdrtúr µ eredméye pedg ( + ), tehát gz z egyezés.. Htározzuk meg következő tegrál értékét: / ( x + x) dx. x Megoldás. A számláló szereplő polomot előállítjuk z első három Csesev polom leárs komácójkét: x + x= ct+ ct + ct. Ezt felhszálv z tegráluk így s írhtó: ( T, ct + ct + ct) = c( T, T) = cπ. Az első három Csesev polom együtthtóvl következő leárs egyeletredszert írhtjuk fel (9.5) lpjá: c c =, c mől c =, tehát z tegrál értéke π.
Hegedűs: Numerkus Alízs II... Alpfoglmk Az. Közöséges dfferecálegyeletek ( m) F( x, y, y, y,, y ) = (.) lkú egyeletet közöséges dfferecálegyeletek evezzük, hol keresedő z y = y( x) függvéy, mely fet kfejezése derváltjvl együtt szerepel. H y m -szer dfferecálhtó [,] -e és kelégít (.)-et, kkor y egy megoldás. Ismeretes, dfferecálegyeletekek sok megoldásuk v. A megoldást úgy tudjuk egyértelművé te, hogy pereme még feltételeket teszük függvéy vgy derváltjk értékére. H eze feltételek mdegyke kezdőpot (áltláos foglmzv: csk egy pot) v megdv, kkor kezdetérték feldtról eszélük, h pedg tö pothoz kpcsolódk feltételek, kkor peremérték feldtuk v. A dfferecálegyelet leárs, h y és derváltjk leárs komácój szerepel (.)-e és dfferecálegyelet explct lkú, h legmgs dervált explct módo kfejezhető: ( m) y = f( x, y, y, ). (.) Vlágos, mde leárs dfferecálegyelet ee ktegórá trtozk, és gykorlt előforduló emleárs dfferecálegyeletek zöme s lye. A továk explct elsőredű dfferecálegyeletek megoldásák umerkus közelítésevel foguk fogllkoz, mkor kezdetérték feldtról v szó. Ekkor kezdetérték feldt y() = y, y = f( x, y), x [,], (.) hol f :, x és y dottk, és keressük zt z y :[,] függvéyt, mely felvesz x - z y értéket és z egyeletet kelégít. Az egyszerűség kedvéért szortkozuk [,] tervllumr, hsze tudjuk, z [, ] tervllum leárs trszformácóvl de átvhető. A megoldás létezésére és egyértelműségére votkozk következő tétel, melyet zoyítás élkül dézük... Tétel, kez detérték feldt egyértelműsége H f folytoos egy ( xy, ) [,] [ cd, ] téglá és f másodk változój szert eleget tesz Lpschtz-feltételek, zz létezk L : f( x, y ) f( x, y ) L y y, x [,], y, y [ c, d], (.4) kkor kezdetérték feldtk egyértelmű megoldás v. A umerkus eljárás sorá megoldást z x = h osztópotok közelítjük, hol h= / N és umerkus közelítést x -e y -el jelöljük. Természetese zt szereték, hogy y mél közele legye potos értékhez, yx ( )-hez... Az Euler-mó dszer Ez legegyszerű módszer, mt dfferec-háydosól szármzttuk következő közelítő érték előállításár: y + y h = f( x, y ) y = y + hf( x, y ). (.5) +
x Péld: y() =, y = y. Eek megoldás y = e és (.5)-ől y ( ) = + h. H, kkor z x lízsől tudjuk, hogy y = ( + h) = ( + x / ) e... Defícó, ko vergec Egy umerkus módszer lokáls koverges z x [,] pot, h h= x/, x= x mellett lm y = y( x) teljesül. H módszer koverges x [,] -re, kkor zt modjuk, módszer koverges...4 Defícó, ko vergec-seesség Egy koverges umerkus módszer seessége p -edredű, ( p), h h= x/, x= x mellett M úgy, hogy z hecslés teljesül, hol M függetle h -tól és -től...5 Defícó, lo káls h v. képleth p yx ( ) y Mh (.6) Ez k képletek háj, mellyel következő függvéyértéket közelítjük. Ilyekor képlete mdeütt potos értéket írjuk. Például z Euler-módszerél meységek lokáls hák vgy képlethák...6 Defícó, ko zsztec H p és M kosts úgy, hogy kkor módszer p -edrede kozsztes. g = y( x ) y( x ) hf( x, y( x )), =,,, N (.7) p+ g Mh, =,,, N (.8) A defcó lpjá vlágos, gyo p -re potos megoldás várhtó...7 Defcó, gl oáls h Jelölje potos és umerkus megoldás eltérését e = y( x ) y, =,,, N, h= / N, x = h. (.9) Az e meységeket gloáls hák evezzük...8 Defcó, st ltás A umerkus módszer stl, h v oly K kosts, mellyel e K e + g j, =,., N (.) j= teljesül, vgys gloáls h felülről ecsülhető lokáls hák szolút összegével.
Hegedűs: Numerkus Alízs II...9 Tétel, ume rkus módszer kovergecáj H egy umerkus módszer stl és p -edrede kozsztes, kkor p -edrede koverges. Bzoyítás. H x =, kkor tétel gz. H x (,], legye h= x/, x = x -re. Először stltás, mjd kozsztec defcóját felhszálv p+ e K e + g j K ch j= j= p+ p p Kch Kc( h) h ( Kc) h, hol e = y( x) y =. Ezzel p -edredű kovergec-seességre jutottuk... Az Euler-módszer vzsgált Látjuk, z Euler-módszerre kozsztecát és stltást kée megmutt hhoz, hogy kovergecát gzoljuk... Tétel, kozs ztec Az Euler-módszer elsőrede kozsztes, vgys g = O( h ) teljesül, h megoldás kétszer folytoos dfferecálhtó. Bzoyítás. Tektsük lokáls hát z -edk pot és yx ( + ) -et fejtsük sor z x hely körül: emtt g = y( x+ ) y( x) hf( x, y( x)) = h = yx ( ) + hy ( x) + y ( ξ) yx ( ) hy ( x),! h h g = y ( ξ) y,!! tehát p + =, p =, elsőredű kozsztec... Tétel Az Euler-módszer stl, h f eleget tesz másodk változój szert Lpschtz-feltételek. Bzoyítás. Vegyük z -edk pot lokáls h képletét, módszer képletét és vojuk k őket egymásól: yx ( + ) = yx ( ) + hf( x, yx ( )) + g /( + ) y+ = y + hf( x, y) /( ) e = e + h[ f( x, y( x )) f( x, y )] + g Mvel f eleget tesz Lpschtz-feltételek: Fejtsük vssz rekurzót e -g: + ( ) e+ e + h f( x, y( x)) f( x, y) + g e + hl + g.
( ) ( ( ) )( ) e e + hl + g e + hl + g + hl + g + + k ( + hl) e + ( + hl) g + g ( + hl) e + ( + hl) gk k =, eől megkpjuk kívát ecslést, h felhszáljuk z ( ) j jhl xl j + hl e = e e relácót: L L L e+ e e + e gk = e e + gk. k= k= A továk rátérük éháy fotos módszercslád rövd smertetésére... Tylor-polomos módszerek Az Euler-módszer em egyé, mthogy vesszük függvéy elsőfokú Tylor-polomját x körül és k segítségével lépük következő pot. Eől z ötletől kdulv készíthetük mgsredű módszereket s. A következő módszert m -edredű Tylor-polomos módszerek evezzük: ( m) + m y = y + y ( x ) + + y ( x ) h / m!, =,,, N. (.) Fotos kérdés, egyáltlá kszámíthtók-e ezek derváltk. H f elegedőe sokszor dfferecálhtó, eek elv kdály cs. Sokszor zo súlyos gykorlt ehézség, hogy derváltk gyo hosszú, eheze kezelhető formulákt eredméyezek. A kostrukcóól láthtó, m - edrede kozsztes módszerre vezet fet eljárás..4. Ruge-Kutt módszerek Ezek Tylor-polomos módszerek fet ehézségét küszöölk k: em kell mgsredű derváltkt számol, mgs kozsztec-red rekurzív függvéyhívásokkl s elérhető. Az áltláos lk: k = f( x, y), k = f( x + h, y + hk), j j j jl l l= s + = + j j. j= k = f( x + h, y + h k ), j =,,, s, y y h c k L (.) Az előre kszámolt, j, c prméterek htározzák meg kokrét módszert. Az s szám rekurzó mélysége, más szóvl: z egy lépés megtételéhez szükséges függvéyhívások szám. A következő, ú. módosított Euler-módszer Ruge-től szármzk: k = f( x, y), k = f( x + h/, y + ( h/) k), (.) y = y + hk. + Derválássl megmutthtó, hogy másodrede kozsztes. Hsolóképp másodredű következő Ruge-Kutt módszer, melyet z egyszerűsége mtt egy sor íruk fel: h y+ = y + [ f( x, y) + f( x+, y + hf( x, y))]. (.4)
4 Hegedűs: Numerkus Alízs II. Az ge épszerű egyedredű Ruge-Kutt módszer egyedrede kozsztes és stl, vgys egyedredű koverges módszer: A Ruge-Kutt módszerek lokáls háj: k = f( x, y), k = f( x + h/, y + hk/), k = f( x + h/, y + hk/), k4 = f( x + h, y + hk), h y+ = y + ( k+ k + k + k4). 6 s g = y( x ) y( x ) h c k ( x, y( x ), h), =,, N, j j j= (.5) (.6) hol kj( x, y( x ), h) zt jelet, hogy k j soroztot potos yx ( ) értékkel dítv számoljuk végg. Egy dott red eléréséhez lokáls hát sorfejtjük és prmétereket úgy válsztjuk, hogy tgok mél mgs redg eltűjeek..5. Leárs tölépéses módszerek Ezek s z Euler-módszer áltláosításák tekthetők. Az s -lépéses módszer áltláos lkj: s s α y = h β f, f = f( x, y ) (.7) k + k k + k + k + k + k k= k= hol αk, β k, k =,,, s dottk, α s = vlmt α + β teljesül. Például z Euler-módszerre s =, α =, α =, β =, β =. A módszer dításához z y értéké túl kelleek még z y, y,, ys értékek. H β s =, kkor módszer explct és köye számolhtó. H βs, kkor módszer mplct és következő y + sérték z dódó emleárs egyeletől számítdó. Vegyük észre, z explct módszerél mde lépése egy új f( x, y ) típusú függvéy-kértékelés kell, (mvel tö már koráról megv), ugykkor z mplct módszerél még ügyes esete s leglá - kértékelésre szükség v. A modottkt két egyszerű példá szemléltejük. Középpotszály. Explct, -lépéses módszer, cetráls dfferecháydosól szármztthtó: y+ = y + hf, =,,, N (.8) tehát α =, α =, α =, β =, β =, β =. Bezoyíthtó, hogy módszer másodrede kozsztes és stl, h f másodk változójá eleget tesz Lpschtz-feltételek. A középpotszály dításához leglá másodredűe potos y értéket kell előállít, mt megtehetük vlmely Ruge-Kutt vgy Tylor-polomos módszerrel, külöe másodredű kovergec em lesz gz. Trpézszály. Ez mplct módszer. Úgy szármztthtó, hogy dfferecálegyeletet átírjuk tegrál lk és jo oldlo keletkező tegrált trpézmódszerrel közelítjük: h y+ = y + ( f + f+ ), =,,, N. (.9) s =, α =, α =, β = β = /. Itt következő pot előállításához meg kell olduk y -r így z h y = y + ( f + f( x + h, y) ) = F( y)
5 fxpot egyeletet. F( y ) z áltláos feltételük lpjá eleget tesz Lpschtz-feltételek hl / álldóvl, így F( y ) kotrkcó, h h< / L. Célszerű formáj z terácók: + = + y y hf k+ k Leállás: h y y ε ( q) + +, kezdőérték z Euler-módszeről k ( ) k+ h y+ = y + f + f( x+, y+, k. <, hol q kovergec-téyező és ε kívát hkorlát. (.) A trpézmódszer másodrede kozsztes és stl, h f C ([,] ) és h< / L, tehát ekkor másodredű kovergecár számíthtuk. Tová tölépéses módszereket zárt vgy joról ylt kvdrtúr-formulák segítségével lehet szármztt..6. Aszmptotkus stltás A gykorlt számítások szempotjáól em elegedő, h egy módszer kozsztes és stl. A kezdet h ( - h y s hávl terhelt, -) továterjedése szempotjáól fotos egy tová stltás tuljdoság. Egy dfferecálegyelet-megoldó umerkus módszer szmptotkus stl, h z y() =, y ( x) = qy( x), q< (.) tesztfeldtr lklmzv kpott umerkus közelítések soroztár mde h > lépésköz eseté feáll y, h. Ezt stltás foglmt szkrodlom gykr A -stltásk evez. qx A tesztfeldt megoldás x övekedésével zérushoz trt: yx ( ) = e, x, mvel q egtív. Így defcó zt követel módszertől, hogy lépésköztől függetleül umerkus megoldás s trts meg ezt lecsegő jelleget. Kmutthtó, z Euler-módszer em szmptotkus stl, de trpézmódszer z.