Htározott integrál, terület és térogt számítás XI. ejezet Htározott integrál, terület és térogt számítás Elméleti áttekintés A htározott integrál deinícióját ld. jegzeten. Newton-Leiniz tétel: ( ) d [ F ( ) ] F ( ) F ( ) Tuljdonságok:.,, c c, c R, ± g ± g, c +, c [, ] c. Területszámítás: - H ( ) > eg dott intervllumon, kkor göre ltti területet üggvén dott intervllumon vett htározott integrálj dj. T ( ) d () T () 6
Htározott integrál, terület és térogt számítás - H ( ) < eg dott intervllumon, kkor göre ltti területet üggvén dott intervllumon vett htározott integráljánk (-)-szerese dj. T ( ) d () T () - H üggvén eg dott intervllumon elül pozitív és negtív értéket is elvesz, kkor z dott intervllum megelelő részintervllumokr ontásávl számítjuk ki területet. Térogtszámítás H z üggvén nemnegtív eg dott intervllumon, kkor üggvén () tengel körüli megorgtásáól szármzó test térogt: V ( ) π d. () () V (). Minteldt Mekkor z és + egenletű görék áltl htárolt síkidom területe? Megoldás 7
Htározott integrál, terület és térogt számítás T T ( ( ) g ( ) ) d + ± ( + ) d 5 5 + 3 3 5 () 6 () - -,5 - -,5-,5,5 - +. Minteldt Htározzuk meg z + és + egenletű görék áltl htárolt síkidom tengel körüli megorgtásávl keletkező test térogtát! Megoldás,5 (),5,5 - -,5,5,5 () + +,. 3 ( + ) d π + π V π. 3 3 3 ( + ) d π + π V π. π V V V. 6 Feldtok 8
Htározott integrál, terület és térogt számítás A/ Területszámítás +. Htározzuk meg z ( ) : és g ( ), R közrezárt területet! 3. Htározzuk meg z ( ) : és ( ) : területet! : üggvének göréi áltl o g üggvének göréi áltl közrezárt.3 Htározzuk meg z és z + egenletű görék közötti területet!. Htározzuk meg z sin és z cos egenletű görék közötti területet π 5π, intervllumn!.5 Htározzuk meg z sin és z cos egenletű görék, vlmint z () π tengel áltl htárolt síkidom területét,π intervllum ölött!.6 Htározzuk meg z + 7 és z egenletû görék áltl htárolt síkidom területét!.7 Htározzuk meg z síkidom területét! és z + egenletű görék áltl közrezárt.8 Htározzuk meg z ( ) : + sin egenes közötti területet [, π ].9 Htározzuk meg z ( ) üggvén göréje és z egenletű intervllumn! () tengel áltl közrezárt síkidom területét!. Htározzuk meg z ( ) sin egenes közötti területet [, π ] : üggvén göréjének megelelő drj és z : üggvén göréje és z π egenletű intervllumn!. Htározzuk meg z ( ) : sin, [, π ] üggvén göréje és z egenletű egenes közötti síkidom területét z dott intervllumn! 9
. Htározzuk meg z ( ) : ln, [ e, ] Htározott integrál, terület és térogt számítás üggvén göréje és z egenletű egenes közötti síkidom területét z dott intervllumn! B/ Térogtszámítás.3 Htározzuk meg z + egenletű kör, z egenletű göre pozitív -ekhez trtozó része, vlmint z () tengel áltl htárolt síkidomnk z () tengel körüli megorgtásávl keletkező orgástest térogtát!. Htározzuk meg z és z egenletű görék áltl htárolt síkidom tengel körüli megorgtásávl keletkező orgástest térogtát!.5 Forgss meg z tengel körül z, z egenletű egenes áltl közrezárt véges trtománt! Mekkor keletkezett orgástest térogt?.6 Tekintse z e, e és z egenletű prolák és z egenletű görék áltl htárolt véges trtománt és orgss meg z tengel körül! Mekkor keletkezett orgástest térogt?.7 Az egenletű göre és z + egenletű egenes áltl htárolt véges trtománt orgss meg z tengel körül! Mekkor keletkezett orgástest térogt?.8 Az és z 9 egenletű görék áltl htárolt első síknegedeli véges trtománt orgss meg z tengel körül! Mekkor keletkezett orgástest térogt?.9 Az + + egenletű kör és z ( ) :, R üggvén, vlmint z () tengel áltl htárolt síkidomot orgssuk meg z () tengel körül, és htározzuk meg keletkezett orgástest térogtát!. Htározzuk meg z egenletű görének z () tengel körüli megorgtásávl keletkező göm térogtát! 5
Htározott integrál, terület és térogt számítás. Htározzuk meg z + és z + 3 egenletű görék, vlmint koordináttengelek áltl htárolt síkidom tengel körüli megorgtásávl keletkező orgástest térogtát!. Az és z egenletű görék, vlmint z () tengel áltl htárolt síkidomot orgssuk meg z () tengel körül, és htározzuk meg keletkezett orgástest térogtát!.3 Htározzuk meg z + és z egenletű görék áltl htárolt síkidom tengel körüli megorgtásávl keletkező orgástest térogtát!. Mekkor koordináttengelek, z egenes, vlmint z ( ) ( ) 3 : üggvén áltl htárolt síkidom területe? Forgssuk meg síkidomot z () tengel körül és htározzuk meg keletkezett orgástest térogtát!.5 Htározzuk meg koordináttengelek, vlmint z ( ) ( ) 3 : üggvén áltl htárolt háromszög szerű síkidom területét! Forgssuk meg síkidomot z () tengel körül és htározzuk meg keletkezett orgástest térogtát! 5