A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós számok hlmzák zoosításár lklms z láik felsorolt tuljdoságok összessége. Ezeket tuljdoságokt korá is hszált mideki tulmáyi sorá, legfelje em tudtosultk. A tuljdoságok (xiómák) 3 csoportj: test xiómák redezési xióm teljességi xióm A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 3 Test xiómák Értelmezve v egy :R R R művelet (összedás), mely kommuttív, zz mide, R eseté sszocitív, zz mide,,c R eseté ( ) c ( c ) Létezik dditív egység, zz létezik R elem, melyre mide R eseté Létezik dditív iverz, zz mide R eseté létezik oly (-) R elem, melyre (-) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 4 Értelmezve v egy :R R R művelet (szorzás), mely kommuttív, zz mide, R eseté sszocitív, zz mide,,c R eseté ( ) c ( c ) Létezik multipliktív egység, zz létezik R elem, melyre mide R eseté Az dditív egysége kívül mide elemek létezik multipliktív iverze, zz mide R eseté létezik oly - R elem, melyre ( - ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 5 Az összedás és szorzás műveleteket összekpcsolj disztriutvitás, zz mide,,c R eseté ( c) c Továi jelölések: Kivoás: (-) Osztás: / - A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 6 Redezési xióm Az R hlmzo értelmezve v egy oly redezési reláció, mely z összedás és szorzás műveletekkel következő kpcsolt v: ármely,,c R eseté h, kkor c c h és, kkor Továi jelölések: Azt, hogy és úgy jelöljük, hogy < A pozitív számok hlmz: R { x R <x } A egtív számok hlmz: R - { x R x< } A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 7 Az test xiómákt és redezési xiómát teljesítő hlmzokt redezett testekek evezzük. A vlós számok hlmz mellett például rcioális számok hlmz is redezett test. A vlós számok hlmzák itt leírt xiómredszerhez trtozó tuljdoságok közül egyedül teljességi xiómát em teljesíti rcioális számok hlmz. Redezett hlmz ármely két elem összehsolíthtó, így értelmezhető z lsó és felső korlát, vlmit korlátosság foglm. A teljességi xióm megfoglmzás előtt korlátosság foglmát kell defiiáluk. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 8 Defiíció: felülről korlátos hlmz Az A R hlmz felülről korlátos, h v oly K R, mely gyo vgy egyelő z A hlmz mide eleméél (mide A eseté K) Defiíció: lulról korlátos hlmz Az A R hlmz lulról korlátos, h v oly k R, mely kise vgy egyelő z A hlmz mide eleméél (mide A eseté k ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 9 Megjegyzések. Vegyük észre, hogy korlát em feltétleül eleme hlmzk!. H z A R hlmz felülről korlátos, kkor végtele sok felső korlátj v. Defiíció: szupremum A legkise felső korlátot (h v ilye) potos felső korlátk (vgy szupremumk) evezzük. Jelölése: sup A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA Megjegyzés H z A R hlmz lulról korlátos, kkor végtele sok lsó korlátj v. Defiíció: ifium A leggyo lsó korlátot (h v ilye) potos lsó korlátk (vgy ifiumk) evezzük. Jelölése: if A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA Teljességi xióm R ármely em üres, felülről korlátos részhlmzák v R- eli potos felső korlátj. Megjegyzések. A teljességi xiómáól z is következik, hogy R ármely em üres, lulról korlátos részhlmzák v R-eli potos lsó korlátj.. A teljességi xióm szemléletes trtlm: vlós számok hlmz kitölti számegyeest, míg rcioális számok hlmz lyukcsos hgyj. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA Péld Tekitsük rcioális számok hlmzát és eek részhlmzát! A { x Q x < π } Az A hlmz felülről korlátos (például 4 Q felső korlátj A- k), de A-k még sics potos felső korlátj rcioális számhlmzo elül. A potos felső korlát csk π szám lehete, de z em rcioális szám. A rcioális számhlmz tehát lyuks hgyj számegyeest π-él. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 3 Defiíció: mximum Legye A R. M A z A hlmz leggyo eleme (mximum), h mide A eseté M. Jelölés: M mx A Defiíció: miimum m A z A hlmz legkise eleme (miimum), h mide A eseté m. Jelölés: m mi A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 4 Megjegyzés: összefüggés potos korlátok és miimum, mximum között Nem üres, felülről korlátos vlós számhlmzk midig v potos felső korlátj ( teljességi xióm mitt), de em feltétleül v leggyo eleme. Nem üres, lulról korlátos vlós számhlmzk midig v potos lsó korlátj ( teljességi xióm mitt), de em feltétleül v legkise eleme. H viszot létezik leggyo (legkise) elem, kkor z egyelő potos felső (lsó) korláttl. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 5 Példák A[,] B],[ if A sup A mi A mx A if B sup B mi A em létezik mx A em létezik A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 6 Természetes számok hlmz, teljes idukció elve Defiíció: iduktív hlmz Az A R hlmz iduktív, h A A A Iduktív hlmz például: R, [, [ Defiíció: természetes számok hlmz A legszűke iduktív hlmzt (vgyis z összes iduktív hlmz metszetét) természetes számok hlmzák evezzük. Jelölés: N. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 7 Defiíció: sorozt Legye A. Egy f:n A függvéyt z A hlmz elemeiől képzett soroztk evezük. Az f:n A sorozt tömör jelölése: (f ) f() f() : f() : f f : f : f() f sorozt -edik eleme A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 8 A teljes idukció elve Tekitsük állítások egy (T ) soroztát. H T igz és T igz T igz ( N), kkor T igz mide N eseté. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A teljes idukció elvéek egy lklmzás: Biomiális tétel A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA 9 H pozitív egész szám, k pedig em egtív egész szám és k, kkor Jelölés: iomiális együtthtók k)! k!(! k hol! 3 (-), és!. A iomiális együtthtók két tuljdoság k k k k k A defiíció lpjá midkét egyelőség köye elleőrizhető.
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA H pozitív egész szám, és vlós számok, kkor Tétel: iomiális tétel k k k k ) ( Részletezve:... ) ( Péld 3 3 3 3 3 3 3 3 ) ( 3 3 3 3
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA eseté z állítás yilvávló feáll: () Tegyük fel, hogy z állítás igz vlmely pozitív egész számr, zz Bizoyítás... ) ( Ahhoz, hogy tétel állítását teljes idukció elve lpjá izoyítsuk zt kell megmutti, hogy z elői feltételezésől következik z állítás igzság z számr is, zz Eél logiki lépésél tehát zt próáljuk kimutti, hogy h z állítás igz lee -re, kkor igz lee ()-re is. Fotos megértei, hogy itt em zt igzoljuk, hogy z állítás igz ()-re, hem zt, hogy h feltételezésük feáll, kkor igz ()-re.... ) (
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA Az () kifejezésre votkozó feltételezésüket felhszálv számítsuk ki z () kifejezés értékét: ) ( ) ( ) ( ) ( ) (... 3... Az egyelőség jo oldlá lévő tgokt célszerűe csoportosítv, és felhszálv iomiális együtthtók tuljdoságit, éppe kívát formát kpjuk z () kifejezésre:... ) ( k k k
A vlós számok hlmz VA 3 Továi speciális hlmzok Egész számok hlmz: Z N {} { - N } Rcioális számok hlmz: Q { p / q p Z, q N } A vlós számok ővített hlmz: R R { - } { } A - és szimólumokkl em lehet úgy számoli, mit vlós számokkl. Vk zo oly esetek, mikor formális műveleteket végezhetük ezekkel is. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 4 Számolás - és szimólumokkl Bizoyos körülméyek között, például htárérték-számításál, - és szimólumokkl formális elvégezhetük műveleteket. Például: h x R, kkor - < x <, x ( ), x - ( ) -, x / ( ) x / (- ) h <x R, kkor x ( ), x (- ) - továá ( ) ( ) ( ), ( ) (- ) (- ), (- ) (- ) ( ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 5 Aszolút érték függvéy x x, x, h h x x < x R Tuljdoságok: x, ( x x) x -x λx λ x xy x y A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 6 Defiíció: vlós számok távolság A d(x,y) x y értéket z x és z y vlós számok távolságák evezzük. Tuljdoságok: mide x,y R eseté d(x,y) ( d(x,y) xy ) d(x,y) d(y,x) d(x,y) d(x,z) d(z,y) (háromszög egyelőtleség) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 7 Defiíció: vlós számok gyság Az x értéket z x vlós szám ormáják (gyságák) evezzük. Tuljdoságok: mide x,y R eseté x ( x x ) λx λ x xy x y A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 8 Defiíció: vlós számhlmz korlátosság Egy A R hlmz korlátos, h v oly K R melyre mide x A elem eseté x K (z A-eli elemek gyság em gyo, mit K) Megjegyzés Egy A R hlmz potos kkor korlátos, h v lsó és felső korlátj. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 9 Vlós számhlmz korlátosságák foglmávl köye defiiálhtó vlós értékű függvéyek korlátosság: Defiíció: vlós értékű függvéy korlátosság Az f:a R függvéy korlátos, h z R f hlmz (z f függvéy értékkészlete) korlátos. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 3 Defiíció: yílt köryezet Legye x R, <r R. Az x elem r sugrú (szimmetrikus) köryezete: Megjegyzés G(x,r) { h R x h < r} Ez em más, mit z ]x-r, xr[yílt itervllum. Defiíció: yílt köryezet A - köryezetei ]-,[ típusú yílt itervllumok ( R). A köryezetei z ], [ típusú yílt itervllumok ( R). A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 3 Defiíció: első pot Legye A R. x A z A hlmz első potj, h x-ek v oly G(x,r) yílt köryezete, melyre G(x,r) A (A pottl együtt k egy yílt köryezete is ee v hlmz.) Defiíció: htárpot Legye A R. x A z A hlmz htárpotj, h x ármely G(x,r) yílt köryezete trtlmz A-eli és R\A-eli potot egyrát A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 3 Defiíció: torlódási pot Legye A R. x R z A hlmz torlódási potj, h x ármely G(x,r) yílt köryezete trtlmz x-től külööző A-eli potot Megjegyzések. A torlódási pot em feltétleül eleme hlmzk.. A első potok egye torlódási potok is. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!
A vlós számok hlmz VA 33 Péld Az ],[ yílt itervllum mide potj első pot mide potj torlódási pot z és végpotok torlódási potok Péld Az [,] zárt itervllum eseté z és végpotok htárpotok végpotok kivételével mide pot első pot z itervllum mide potj torlódási pot A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel!