Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó 997. Hlmzelmélet Irodlom: Cs. fejezet. El dás nyg vázltosn (témkörök, kulcsszvk):.. Hlmz foglm ismérv, { }, felsorolás.2. M veletek hlmzokkl,,,,. Példák Wenn digrmml és véges hlmzokkl. Hlmzlgebr, komplementer, De Morgn zonosságok..3. Vlós számhlmz IN ZZ IQ IR..4. Pár fontos m veleti zonosság () Törtek összedás, szorzás, (b) htványozási zonosságok, (c) ( + b) 2, 2 b 2 stb., (d) logritmikus zonosságok, (e) n! deníciój. Pár péld, törtek egyszer sítése. Mindezekre számszer példák.
.5. Descrtes szorzt. Koordinát rendszer Deníció. Példák IR 2 ponthlmzir..6. Intervllumok, kvntorok [, (,, (!),, =.7. Feldtok D./5,3. 2. Vlós függvények Irodlom: Cs 2. fejezet. El dás nyg vázltosn (témkörök, kulcsszvk): 2.. A függvény foglm Deníció, értelmezési trtomány, képhlmz, értékészlet. Példákkl. 2.2. Vlós függvények Deníció, grkon, x + b, x n, x, x, log x,. 2.3. Függvény trnszformációk f(x) + c, c f(x), f(x + ), f( x). Pl.: (x + ) 2 2, 2x 2 x + 2. 2.4. Polinom, rcionális törtfüggvény Deníció. Polinomosztás. Leglább 3 db. számszer péld. 2.5. Összetett függvény, inverz függvény Deníció. Pl.: e x 2, ln(x 2 + 5), (e x + ) 2. Pl.:x 2 x, e x ln x, x x 2.6. Feldtok D.3/-3 3. Számsoroztok Irodlom: Cs 3.-3.5 El dás nyg vázltosn (témkörök, kulcsszvk): 2
3.. Sorozt foglm Deníció. Képlettel megdás. Ábrázolás. Számszer példák, els pár elem kiszámítás. 3.2. Sorozt tuljdonsági (Szigorú) monotonitás. Korlátosság. Példákkl illusztrálv. 3.3. Htárérték Deníció. Példák. lim = 0 belátás deníció szerint. n2 3.. Tétel. Egy soroztnk legfeljebb egy htárértéke vn. 3.2. Tétel. Minden konvergens sorozt korlátos. 3.3. Tétel. Monotonitás + Korlátosság = Konvergenci. ( 3.4. Tétel. lim + ) n = e n ( lim + ) f(n) = e. Példákkl. f(n) f(n) 3.5. Tétel. +,, c,, htárértéke. Péld egy rcionális törtfüggvény htárértékére. 3.6. Tétel. Rend relv.( n c n b n ). Pl.:lim( ) n n. 3.7. Tétel. ln n n n n! n n 3.8. Tétel. lim n n = 3.4. Feldtok D 2./25-32, 34, 36, 39, 40, 43-50, 57, 58, 6, 63, 64 + z interneten szerepl példák. 3.5. A tnultk lklmzás pénzügyi számításokbn n éves járdék. Örökjárdék. 4. Függvények htárértéke, folytonosság Irodlom: Cs 4.-4.4 El dás nyg vázltosn (témkörök, kulcsszvk): 3
4.. Függvények htárértéke végesben Deníció (környezettel). Jobb- és bloldli htárérték. Példák folytonossági pontr és szkdási helyre. 4.. Tétel. +,, c,,, összetett függvény (megfelel környezetekkel) htárértéke. 4.2. Tétel. c, x, e x, ln x : lim f(x) = f(). 4.3. Tétel. lim 0 e x x 4.4. Tétel. Péld: lim x 2 x + = 0 =. lim f(x) > c = f(x) > c ( egy környezetében), lim f(x) c = f(x) c ( egy környezetében). 4.2. Függvények htárértéke végtelenben Deníció (lim, lim ). A soroztoknál szerepl 3.-3.6 Tételek itt is érvényesek (x n). 4.3. Tágbb értelemben vett htárérték Deníciók. Véges helyen pl.: 4.4. Folytonosság x 2, ± helyeken pl.: x2, e x, félodli htárértékek pl.: Deníció (htárértékkel), jobb- és bloldli is. Szkdási hely deníciój. Folytonos függvény (értelmezési trtományán/hlmzon) deníciój. 4.5. Tétel. Folytonosk +,, c,, -e, kompozíciój is folytonos. 4.6. Következmény. Polinom, rcionális törtfüggvény, x, log folytonos. 4.5. Feldtok Htárérték: D 2.2/2, 4, 5, 8-0, 2-22, 38-40 Folytonosság: D 2.2/45-50, 55-56 5. Dierenciálszámítás Irodlom: Cs 5. fejezet. El dás nyg vázltosn (témkörök, kulcsszvk): x. 4
5.. A dierenciálhánydos foglm Grkus jelentés (érint meredeksége). Deníció. Dierenciálhtóság. Pl.: f(x) = x 2, x 0 = 2. Érint egyenlete. 5.. Deníció. f(x) dierenciálhtó értelmezési trtományán/egy dott hlmzon. 5.. Tétel. f(x) deriválhtó x 0 -bn = folytonos x 0 -bn. 5.2. Deníció. Jobb/bloldli derivált. Pl.: x 3, x 0 =. 5.2. A derivált kiszámítás Néhány elemi függvény deriváltj: c, x, e x, x, ln x, log x. Dierenciálási szbályok: () cf, f ± g, fg, f g. Pl.:[ 2x 2 ( x 3 + 3x )] [ x 2 ] +,. ln x ( ). (b) [f (g (x))].pl.: 2x + x 2 Feldtok: deriváltk + néhány érint egyenlet. (x x ). 5.3. Mgsbb rend deriváltk 5.3. Deníció. f második deriváltj: f (x) = [f (x)]. Pl.: (x 3 ). 5.4. Deníció. f n-edik deriváltj: f (n) (x) = [f (n ) (x)]. 5.4. Tylor polinom 5.5. Deníció. T n (x), x 0 körül. Pl.: e x, 2x 3 2. Spec eset: T (x) z érint egyenlete Alklmzás: Miért szokták kmtot egyszer en csk összedni: ( + i) n + in. 5.5. Feldtok Deriválás: D 3./-4, 2, 22, 27-29 Mgsbb rend deriváltk: D 3.3/-4, 6, 7, 9- Tylor polinom: T 2 (x) kiszámítás vlmilyen x 0 körül mgsbb rend deriváltknál szerepl függvényekre. 6. Függvényvizsgált Irodlom: Cs 6. fejezet. El dás nyg vázltosn (témkörök, kulcsszvk): 5
6.. Monotonitás 6.. Deníció. Lokális növés/fogyás (szigorú is), x 0 pontbn, I intervllumbn, + ábr. 6.. Tétel. f(x) lok. növ x 0 -bn = f (x 0 ) 0 +u.e. fogyór. 6.2. Tétel. f(x 0 ) > 0 = f(x) szig. lok. növ +u.e. fogyór. 6.. Péld. f (x 0 ) = 0 esetén bármi lehet: x 2, x 3, x 0 = 0. 6.2. Széls érték 6.2. Deníció. Lokális minimum/mximum. 6.2. Péld. Lok. min/mx vs. globális min/mx ábrán egy [, b] intervllumon. 6.3. Tétel. f (deriválhtó) függvény lok. széls értéke x 0 = f (x 0 ) = 0 +ábr. 6.4. Tétel. f deriváltj el jelet vált x 0 -bn = x 0 lok. széls értékhely. 6.3. Konvexitás (görbület) 6.3. Deníció. f deriválhtó fv. (szig) konvex x 0 -bn, h f (x 0 ) (szig.) lok. növ + ábr. + u.e. konkávr. 6.5. Tétel. f (kétszer deriválhtó) függvény konvex = f 0 +u.e. konkávr. 6.6. Tétel. f > 0 = f szig. konvex. +u.e. konkávr. 6.3. Péld. f (x 0 ) = 0 esetén bármi lehet: x 3, x 4, x 0 = 0. 6.4. Deníció. f konvexitást vált x 0 -bn = x 0 inexiós pont. 6.4. Teljes függvényvizsgált () Értelmezési trtomány (2) Tengelymetszetek (3) Htárértékek (4) Monotonitás (5) Konvexitás (6) Ábrázolás (7) Értékészlet és egyéb tuljdonságok leolvsás. 6.4. Péld. x 2 x 2 2x + teljes vizsgált. 6
6.5. Feldtok D 3.4/33-42, 44 7. Integrálszámítás Irodlom: Cs 7. fejezet. El dás nyg vázltosn (témkörök, kulcsszvk): 7.. Htároztln integrál Def: htároztln integrál (primitív fv., ntiderivált): F (x) = f(x). Pl.: x 2 dx. 7.. Tétel. f(x) bármely két primitív fv.-e különbsége konstns. 7... Elemi függvények primitív függvényei c, x, x (!biz.), ex, x 7..2. Integrálási szbályok 7.2. Tétel. cf(x)dx = c f(x)dx f(x) ± g(x)dx = f(x)dx ± g(x)dx Pl.: x 5 6x 4 + 8x 2 dx. 7.3. Tétel. Pl.: (2x + 5) 6 dx. 3 db péld megoldás. f(x + b)dx = F (x + b) + C. 7.4. Tétel. Pl.: (6x 5 + 4) 6 30xdx. α = eset: 7.5. Tétel. f α (x)f (x)dx = f α+ + C, α. α + f (x) dx = ln f(x) + C. f(x) 7
Pl.: 6x dx. 3-3 péld megoldás (megfelel konstns szorzóvl). 3x 2 + 7.6. Tétel (Prciális integrálás). f (x)g(x)dx = f(x)g(x) Pl.: xe x dx. f(x)g (x)dx. 7..3. Feldtok D 4.2/-7,9,,3-5,2-25,4-43, 47-5, 57-60, 64. 7.2. Htározott integrál 7.. Deníció. b f(x)dx: A fv. ltti el jeles terület. +rjz. 7.7. Tétel (Newton-Leibniz). f(x) integrálhtó: 2 4 b f(x)dx = F (b) F () Pl.: x 2 dx xdx (ez utóbbi vlóbn háromszög területe.) Két függvény grkonj áltl bezárt síkidom 0 2 területe. Pl. f(x) = x 2, g(x) = x. 7.2.. Feldtok Ugynzok, mint htároztln integrál esetén, csk dott htárok mellett. 7.3. Improprius integrál 7.2. Deníció. Pl.: 7.3. Deníció. Pl. f(x)dx = lim F (x) F (), h htárérték véges. x x dx, de 2 dx már nem létezik. x x dx b 7.3.. Feldtok D 4.4/-4,-4,2-25,3,32,35 f(x)dx = lim F (x) F (), h htárérték véges. x b 8
Deriválási és integrálási segédlet Elemi függvények deriváltj: f(x) f (x) c 0 x e x x ln x log x x e x x ln x x ln Deriválási szbályok: [cf(x)] = cf (x) [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g 2 (x) [f[g(x)]] = f [g(x)]g (x) Elemi függvények primitív függvénye: Integrálási szbályok: cf(x)dx = c f(x)dx f(x) c x ( ) x e x x F (x) cx x + + ln x e x x ln f(x) ± g(x)dx = f(x)dx ± f(x + b)dx = F (x + b) + C g(x)dx f α (x)f (x)dx = f α+ + C, (α ) α + f (x) dx = ln f(x) + C f(x) f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx b f(x)dx = F (b) F () 9