Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor összegére. Az első egy olya mértai sor, melye vóciese, q = 5 >, tehát ez a sor diverges, összege végtele. Sorredbe a másodi egy olya 4 mértai sor, melye a vócies, q = ], [, tehát ez a sor overges. Összege 4 4 4... ; 4 4 4 4 7 7 4 4 véges érté. Ebből a ét eredméyből övetezi, hogy a vizsgált sor diverges és összege 5.Példa: Némileg általáosabb példaét vizsgálju meg a q umerius sor overgeciáját. Elsőét felírju az -edi részletösszeget, majd egy egyszerű ötlettel a problémát visszavezetjü mértai sor vizsgálatára. 4 S q q q q 4 q... q q ; Szorozzu meg ezt az összeget q-val 4 5 qs q q q q 4 q... q q ; majd épezzü a feti ét összeg ülöbségét. Eor összevoáso utá azt apju, hogy
4...... 4 4 S qs q q q q q q q q q q 4 q q q q... q q ; Itt az első tag egy mértai sorozat, melye összege azoal felírható. q q q q q S q q q q q ; q q q q Ebből már adódi az -edi részletösszeg zárt alaba S q q q q q q Ee határértée szolgáltatja a sor összegét. A másodi és harmadi tört számlálójába egy-egy mértai sorozat áll. Ha feltesszü, hogy < q < aor eze overgese és ullához tartaa. Ez még aor is igaz, ha alalmazu egy szorzót, ugyais a L'Hospital szabály szerit lim q 0 lim lim lim q 0; q, q q q l q Ebből övetezi, hogy a vizsgált sor összege l q q q q S q lim S lim ; q q q q Egyszerű alalmazásét adódi, hogy például ; 4.Példa: Vizsgálju meg a umerius sor overgeciáját. A parciális törtere 4 4 botás módszerét alalmazzu. Elsőét a evezőt szorzattá botju ; 4 4 4 4 4 Ee ismeretébe a sorozat általáos tagját megadó racioális törtet már összeggé alaíthatju. Köye elleőrizhető, hogy a felbotás a övetező 4 4 4 Ebből már zárt alaba előállítható az -edi részletösszeg
S 4 4 4... 4 5 7 5 9 7 4 4 Ee határértée szolgáltatja a sor összegét lim S lim 4 4 4 S umerius 4.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a sort. Mideféle átalaítás élül máris meghatározhatju a sor -edi részletösszegét. Ha elegedőe so tagot veszü figyelembe az összeg meghatározásához, aor öye látható, hogy az -edi részletösszeg az alábbi S 4 5 4 6 5 4 7 6 5 8 7 6...... A sor összege az alábbi határértéel egyezi meg lim lim S S lim lim lim lim 0 ; 5.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a umerius sort. Sorozato eseté eredméyes eljárás a evező gyöteleítése. Alalmazzu itt is a módszert
Ee segítségével öye meghatározhatju a sor -edi részletösszegét Tehát a sor összege S... 4 5 6 4 7 5 8 6... ; S ; S lim S lim azaz a sor diverges. 6.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a Alalmazzu az alábbi becslést pozitív tagú umerius sort. 0 9 9 9 9 9 A felső becslésből övetezi, hogy a vizsgált sora a 9 0 mértai sor majorása. Mivel a vócies q,, ezért ez a mértai sor overges, tehát a apott sor egy overges majorás, ami azt jeleti, hogy a példába itűzött umerius sor overges. 7.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú umerius sort. Mivel a sorozat általáos tagja egy elsőfoú és egy másodfoú poliom háyadosa, jellegébe 4
típusú. A harmoius sorról pedig tudju, hogy diverges, ezért az a sejtésü, hogy a sor diverges. Az összehasolító ritérium alalmazása sorá így alulról ell becsüljü egy diverges sorral. Alulról tudju becsüli tehát a sort léyegébe a harmoius sorral. Éppe most idéztü ee divergeciáját. Ez azt jeleti, hogy a umerius sor diverges miorás, tehát a vizsgált sor valóba diverges, ahogya sejtettü. 8. Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú 4 umerius sort. Az általáos tagot vizsgálva az látható, hogy a számláló és evező foszáma megegyezi, ee határértée a végtelebe egy pozitív ostas, amiből azt sejtjü, hogy a sor diverges. Elsőét alalmazzu a miorás ritériumot, azaz becsüljü alulról egy diverges sorral. 4 4 4 4 Mivel a 4 yilvá diverges sor, ami azt jeleti, hogy egyúttal diverges miorás, adódi, hogy a vizsgált sor valóba diverges. Más módszerrel is igazolhatju a divergeciát. Hivatozhatu a szüséges feltételre is, amihez a sorozat határértéét ell iszámítau. lim lim 0 4 4 4 amiből övetezi, hogy a sor em lehet overges. 9.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú umerius sort. A biomiális együttható ifejtésével jeletőse átteithetőbbé tehetjü a sor általáos tagját. 5
!!!!!! ;!!!!!! Ami azt jeleti, hogy a vizsgált sor em más, mit a harmoius sor -szorosa, tehát diverges. 0.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú umerius sort, 4 4 amely az előző példabeli sor issé módosított változata. A biomiális együttható ifejtésével a övetezőt apju.!!!! 4! 4! ;!! 4 4 4!! 4 4 4! 4! Azoos átalaításoal ismét egy olya sorhoz jutottu, amely orábbról már ismert, overges sor. Ez azt jeleti, hogy a vizsgált sor overges, és ebbe az esetbe még az összegét is tudju, a hivatozott sor összegée ismeretébe az összeg =..Példa: Vizsgálju meg, hogy overges-e a arctg 5 umerius sor? A éplet alapjá úgy tűi, hogy célszerű alalmazi a gyö-ritériumot arctg arctg lim lim. 5 6 5 9 Itt felhaszáltu a evezetes lim a ha a 0 és lim határérté relációat. Ez utóbbi is módosításával apju, hogy 5 5 5 5 lim 5 lim 5 lim 5 lim 5 ugyais világos, hogy a zárójeles része a sorozata az -hez tart de a itevő is -hez tart. Kaptu tehát, hogy lim a, tehát a ritérium szerit a sor overges. 6
.Példa: Vizsgálju meg hogy overges-e a!! 5 57!!...... 47... 4 47 470 47... umerius sor! Az általáos tagba alalmazott ettős feliáltójel a fatoriális fogalom általáosítása. Azt jeleti, hogy csa az egymást övető páratla egész számo szorzatát ell épezi -től + -ig. Ismét a háyados ritériumot alalmazzu. a!! 4 7... lim lim a 4 7... 4!! 57... 4 lim lim 4 57... 4 A apott határértéből övetezőe a sor overges..példa: Vizsgálju meg hogy overges-e a 0,7! umerius sor! Ismét a háyados ritériumot fogju haszáli a vizsgálathoz. Felidézve az Eulerféle sorozattal apcsolatos ismereteet apju, hogy,7!,7! lim a lim lim lim, 7 a 4! 4 4 4,7!,7 4 4 4, 7 lim,7 lim,7,7 e 4 4 4 4 e Mivel a határérté isebb mit, a sor overges. 4.Példa: Vizsgálju meg, hogy overges-e a e umerius sor! Defiiálju az f függvéyt a övetező módo: f e. Az világos, hogy a függvéy a pozitív valós számo halmazá pozitív. A függvéy mootoitása azoba ismét em yilvávaló, hisze egy szigorúa öveedő és egy szigorúa csöeő függvéy szorzata. Ee eldötéséhez épezzü a derivált függvéyt 4 f ' e e e e 7
Nyilvávaló, hogy ha legalább aor ez a derivált függvéy egatív, ami azt jeleti, hogy ha aor a függvéy szigorúa mooto csöeő, tehát az itegrál ritérium ismét alalmazható 0 = választással. e d e d e lim e e 0 e e Az improprius itegrál overges, amiből a ritérium szerit az övetezi, hogy a umerius sor overges, az összege véges. 5.Példa: Vizsgálju meg abszolút és feltételes overgecia szempotjából a umerius sort, ahol!!!! 46.... Elsőét az abszolút overgeciát vizsgálju. Vizsgálju tehát az abszolút értéeből épezett a!! pozitív tagú sor overgeciáját. Erre alalmazható a pozitív tagú sorora voatozó ritériumo. Ebbe az esetbe célszerűe mutatozi a háyados ritérium. a!! 46... lim lim lim a!! 46... lim lim e e ami azt jeleti, hogy az abszolút értéeből épezett sor overges, tehát az eredeti váltaozó előjelű sor abszolút overges, ami a legutóbbi tétel szerit egybe azt is jeleti, hogy a váltaozó előjelű sor overges. 6.Példa: Vizsgálju meg abszolút és feltételes overgecia szempotjából a umerius sort. A sor váltaozó előjelű. Az abszolút értée a 8
pozitív tagú sorát vizsgálva, a számláló és a evező foát figyelembe véve az a sejtésü, hogy a sor diverges. Igazolju ezt az összehasolító ritériummal. Alulról ell becsülü egy diverges sorral 6 6 6 ; ha 5 Azt állítju, hogy az alsó becslését apott tagoból épezett sor diverges pozitív tagú sor. Ezt öye beláthatju például az itegrál ritérium segítségével. Az világos, hogy az 6 ; 5 f függvéy pozitív, és az is világos, hogy szigorúa mooto csöeő. Már csa az improprius itegrál értéét ell iszámítau. 56 6 6 5 5 5 6 5 6 5 6 5 6 6 d d lim 5 5 6 5 5 amiből övetezi, hogy a miorás sor diverges, ami tehát azt jeleti, hogy az abszolút értéeből épezett sor diverges. E pillaatba ijelethetjü tehát, hogy a sor em abszolút overges. Kérdés még azoba, hogy mit váltaozó előjelű sor, overges-e. Ezt a érdést a Leibiz-ritériummal dötjü el. Az előbbi számításo alapjá egyrészt világos az alábbi egyelőtleséglác 5 4 6 6 4 6 6 amiből a 6 lim lim 4 0 6 6 yilvávaló határértée és a özrefogási elv alapjá övetezi, hogy lim 0 Az idézett ritériumhoz már csa azt ell megvizsgáli, hogy az abszolút értée sorozata mooto csöeő-e. Ezt a legegyszerűbbe az f tudju eldötei. függvéy deriváltjáa előjelvizsgálatával f 9
4 4 6 4 4 6 6 A apott tört evezője yilvá pozitív. A számláló pedig látszi, hogy ha > 9 aor egatív. Ez potosa azt jeleti, hogy va olya üszöbszám, ahoa az abszolút értée sorozata szigorúa mooto csöeő. Eze az eredméye együttese azt jeleti, hogy a váltaozó előjelű sor Leibiz-típusú tehát overges. Összefoglalva eredméyeiet ijelethetjü, hogy a váltaozó előjelű sor tehát em abszolút overges, de overges, ami értelmezés szerit egyeértéű azzal, hogy a sor feltételese overges. 7.Példa: Határozzu meg a hatváysor összegfüggvéyét. Tegyü fel, hogy a sor overges egy itervallumo ee igazolását az alábbiaba elvégezzü, jelölje az összegfüggvéyt F(), azaz legye F ; I Feladatu tehát F() meghatározása. Köye észrevehetjü, hogy tagoéti deriválással egy mértai sorhoz jutu. Az előző tétel szerit a tagoéti deriválással apott sor összegfüggvéye az F() összegfüggvéy deriváltja. Azaz írhatju, hogy 4 F...... amely valóba egy q vóciesű mértai sor. Tudju, hogy ez overges a ], [ itervallumo. Az összegfüggvéy a övetező F 4...... ;, Az eredeti hatváysor összegfüggvéyét itegrálásával apju. Ezt például parciális törtere botással apju l l l F d d C C 0
A logaritmus argumetumába em szüséges az abszolút érté, mert a ], [ itervallumo midét argumetum pozitív. Ezzel léyegébe megaptu az összegfüggvéyt, már csa a C álladó értée a érdés. Ehhez helyettesítsü a sorba az = 0 értéet, ahol a sor overges. 0 0 F 0 0 l C l 0 C C 0 ahoa C = 0 adódi. Már csa aa a vizsgálata va hátra, hogy a ], [ itervallum ét végpotjába overges-e a hatváysor. Azt igazoltu fet, hogy a deriválásál a overgecia sugár em változi, de a ét végpotba mide előfordulhat. Ha az eredeti sorba helyettesítjü az = illetve = értéeet, aor redre a övetező umerius soroat apju : ; : ; Midét apott sor diverges, ugyais ha az összehasolító ritériumot alalmazzu, aor az egyszerű alsó becslés azt mutatja, hogy a harmoius sor diverges miorása a feti soroa, azaz valóba divergese. Kaptu tehát, hogy az összegfüggvéy és a overgecia halmaz a övetező l ;, F 8.Példa: Határozzu meg a hatváysor összegfüggvéyét. Tegyü fel, hogy a sor overges egy itervallumo ee igazolását az alábbiaba elvégezzü, jelölje az összegfüggvéyt F(), azaz legye F ; I Feladatu tehát F() meghatározása. Az előző példa megoldása alapjá öye észrevehetjü, hogy étszeri tagoéti deriválással egy mértai sorhoz jutu. Az előző tétel szerit a étszeri tagoéti deriválással apott sor összegfüggvéye az F() összegfüggvéy másodi deriváltja. Az első és a másodi derivált redre a övetező F ;
F......; A étszeri deriválással apott sor egy q = vóciesű mértai sor. Ee a ], [ itervallum a overgecia halmaza, és összegfüggvéye F...... ;, Ie az eredeti összegfüggvéyt yilvá étszeri itegrálással apju. Ha egyszer itegrálu, aor azt apju, hogy F d l C; Ee a függvéye a primitív függvéye szolgáltatja léyegébe az eredeti sor összegfüggvéyét. Parciális itegrálással apju, hogy F l d C C l C C; Már csa a C és C álladóat ell meghatározu. Helyettesítsü a sorba ismét 0-t. Adódi, hogy 0 F 0 0 0l 0 0 C 0 C C; Ez azt jeleti, hogy C = 0. Most pedig helyettesítsü az első deriváltba ugyacsa 0-t. Eor apju, hogy 0 F0 0 l 0 C C; Tehát a C álladó is zérus. Az összegfüggvéyt tehát előállítottu, már csa aa vizsgálata va hátra, hogy a ], [ itervallum ét végpotjába overges-e a sor. Ha helyettesítjü az = illetve = értéeet, aor redre a övetező soroat apju : ; : ; Az = eseté apott sorról tudju, hogy overges. Ezt megvizsgáltu a parciális törtere botás módszerée bemutatásáál, de a majorás ritériummal is azoal belátható a overgecia. Az = eseté apott sor pedig egy váltaozó előjelű sor, amely öye láthatóa Leibiz-típusú, tehát itt is feáll a overgecia. A vizsgált hatváysor összegfüggvéye és overgecia halmaza eze szerit a övetező
F l ;, Hagsúlyozzu, hogy a étszeri deriválással apott mértai sorral elletétbe ez a hatváysor overges az itervallum midét végpotjába. 9.Példa: Határozzu meg a hatváysor összegfüggvéyét. Tegyü fel, hogy a sor 0 overges egy itervallumo ee igazolását az alábbiaba ugyacsa elvégezzü, jelölje az összegfüggvéyt F(), azaz legye F ; I 0 Feladatu ismét F() meghatározása. Az előző példá megoldása ötletet adhat, öye látható, hogy ebbe az esetbe em a tagoéti deriválás haem a tagoéti itegrálás vezet célhoz, oréta egy mértai sorhoz, amelyet összegezi tudu. A tagoéti itegrálással apott sor összegfüggvéye az F() összegfüggvéy egy primitív függvéye. F d d C 0 0 5 C C...... 0 Ez egy q = vóciesű mértai sor, melye overgecia halmaza a ], [ itervallum és összegfüggvéye F d C C C 5...... ;, 0 Az eredeti hatváysor összegfüggvéyét a tétel szerit eze összegfüggvéy deriválásával apju. Azaz F C ; A hatváysor összegfüggvéyée aalitius alaját meghatároztu. Utolsó érdés ismét a overgecia az itervallum végpotjaiba. Az = illetve = helyee redre a övetező umerius soroat apju : ; : ; 0 0 0 0
Midét potba ugyaazt a sort aptu. Eze a soro yilvávalóa divergese, hisze a páratla számo összege em véges. Így összegzését apju a hatváysor összegfüggvéyét és overgecia halmazát 0.Példa: Írju fel az sort F ;, 0 f függvéy 0-örüli Taylor-sorát, azaz írju fel a biomiális eseté. Ee a sora a övetező példa szerit iemeledő jeletősége va....! 0 0 ;, szemléletesebb a sorfejtés eredméye, ha felírju a Taylor-sor első éháy tagját:!! 4 4 5... 4! 5! Az előző példával elletétbe, ebbe az esetbe szereté a hatváysor -edi tagját zárt alaba, átteithetőbb formába megadi. Ehhez a feti összegbe a szorzato téyezőit összevova írju fel azaz 5 5 7 5 9 4 5...!! 4! 5! 4 5 4 5 4 5 5 57 579...!! 4! 5! Ha most alalmazzu a "dupla fatoriális" jelölést, tehát páros illetve páratla egészere a jelöléseet, aor a apott biomiális sor az!! 46... ;!! 5... ; 4
!!!! 5!! 7!! 4 9!! 5... 4 5!! 4! 5! egyszerűbb alaot ölti, ahoa az általáos felíráshoz szüséges általáos alaú együttható már öye leolvasható. Kaptu tehát a eresett Taylor-sort!! ;,!.Példa: Írju fel az f arcsi függvéy 0-örüli Taylor-sorát. Vegyü észre, hogy ha deriválju a függvéyt, aor egy olya függvéyt apu, amelye a Taylor-sora egy olya biomiális sor, melyet a.9 példa számításaia eredméye alapjá azoal felírhatu. Valóba, mivel a derivált f ezért a sorfejtéshez ics más dolgu, mit a 0. példabeli biomiális sorba helyére -et ell helyettesíteü. Így a derivált függvéy sora máris előáll!!!!!! ;!!! Ez a sor yilvá aor overges, ha a, feltétel teljesül. Ez pedig yilvá aor igaz, ha,. Ezzel megaptu a derivált függvéy soráa a overgecia halmazát is. Az arusz sziusz függvéy sora ebből a sorból yilvá tagoéti itegrálással adódi.!!!!!! arcsi d d d C;!!! Tudju, hogy itegrálásál a overgecia sugár em változi meg, és az itervallum végpotjaiba a overgeciát em vizsgálju, így megelégszü azzal, hogy overgecia halmazét elfogadju a, itervallumot. A C ostas értée például = 0 helyettesítéssel adódi, teitettel arra, hogy arcsi0 = 0, apju, hogy C = 0. Így az arusz sziusz függvéy 0 örüli Taylor-sora a övetező!!!!!! 5 5!! 7 7!! 9 arcsi... 4! 5! 7! 9 4! 5 5 7 57 9... 45 467 4689 5
.Példa: Határozzu meg ch özelítő értéét úgy, hogy a hatodfoú Taylor-poliommal özelítü és becsüljü meg a özelítés hibáját. A osziusz hiperboliusz függvéy Taylor-sora a övetező (javasolju az olvasóa hogy vagy a defiíció szerit vagy az epoeciális függvéy Taylor-sorára való visszavezetéssel állítsa elő) 0 ch ;! R Ie a hatodfoú Taylor-poliom 4 6 6 0 ch T! 4! 6! Ee az = helye vett helyettesítési értée adja ch ívát özelítését. 4 6 6 4 6 64 ch T0 ch, 75, 75555! 4! 6! 4 70 Most övetezi a számítás fotosabb és érdeesebb része, a hibabecslés. Ebbe a példába ét elvileg ülöböző módszert is mutatu a hiba becslésére. Az első módszer legye a stadard eljárás, hibabecslés a Lagrage-féle maradétaggal. Teitettel arra, hogy hatod foú poliommal özelítettü, a maradétag a övetező (7) f () R6 7! 7 ; 0, ugyais a Taylor-sor 0-pot örüli és az = helye számítju a özelítő értéet. Teitettel arra, hogy a ch függvéy hetedi deriváltja a sh függvéy, írhatju, hogy R 6 f (7) ( ) sh 8 7! 7! 5040 7 7 sh ; 0, A hiba becsléséhez már csa a sziusz hiperboliusz függvéy értéét ell felülről becsülü a ]0, [ itervallumo. Az epoeciális függvéy mootoitási tulajdoságait felhaszálva apju, hogy Ebből adódóa apju a hibabecslést sh e e e 5 e Tehát ch értée a övetező itervallumba va 8 R6 < 5 0,698; 5040 ch,75555 0,698;,75555 0,698,6875;,885 6
A Lagrage-féle maradétaggal törtéő becslés szerit tehát a özelítő értée egyetle tizedes jegye sem potos. Alalmazzu most a hiba becslésére egy mási módszert, amely figyelembe veszi a sor speciális szerezetét, em ayira uiverzális, mit az előbbi, ezért potosabb eredméyt is szolgáltat. A módszer léyege, hogy megbecsüljü a Taylor-sorból elhagyott tago összegét özvetleül. 8 0 4 8 4 6 6 ch T0 ch...... 8! 0!! 4! 8! 90 90 904 8 4 6 8 4 6...... 4 6 8! 99 9999 999999 8! 9 9 9 8 4 6 56 56 9 56 8... 0,00667 8! 9 9 9 400 400 9 400 77 9 A becslés sorá adódott egy overges mértai sor, amelye összege szerepel a felső becslésbe. Eszerit a számítás szerit a hiba ét agyságreddel isebb, mit amit a Lagrage-féle maradétag vizsgálatáál aptu. Ez utóbbi eredméyt felhaszálva azt apju, hogy a eresett függvéyérté a ch,75555 0,00667;,75555 0,00667,74888;,76 itervallumba esi. Ami azt mutatja, hogy a apott özelítő értée első tizedes jegye értées jegy, tehát egy tizedes potossággal azt írhatju, hogy ch,7..példa: Követező példaét válasszu egy villamosságtai problémát. Tegyü fel, hogy a hálózati váltóáramot egyeiráyított, tehát a váltaozó feszültség érté félperiódusoét zérus, a többi fél periódusba pedig a ormál sziuszjel. Állítsu elő ee az egyeiráyított jele a trigoometrius sorát. 0,ha 0 f ( ) si,ha 0 f( ), ülöbe a0 f ( ) d si d cos cos 0 cos 0 ; 0 A továbbiaba fel ell haszálu az alábbi trigoometrius azoosságoat. si cos si si ; si si cos cos ; 7
Amit az itegrálás sorá a továbbiaba iderül, mid az a mid a b együttható iszámításáál ülö ell ezelü az = esetet. Ha tehát = aor Ha pedig > aor apju, hogy a f ( ) cos d si cos d si d 0 0 cos cos cos0 0; 0 4 a f ( ) cos d si cos d si si d 0 0 cos cos cos cos cos0 cos0 0 0, ha ; cos cos, ha ; Világos, hogy ez utóbbi számítása ics értelme = eseté. Most öveteze a b együttható ugyacsa esetszétválasztással. Ha = aor cos b f ( ) si d si si d si d d 0 0 0 si si si 0 ; 0 0 Végül az > esetbe adódi, hogy b f ( ) si d si si d cos cos d 0 0 si si 0 0 ugyais az = π helye a si függvéy zérushelyei. Ismét világos, hogy ee a számítása ics értelme = eseté. Összefoglalva az eredméyeet, az együttható a övetező: a 0 ; a 0; a ; b ; b 0 ha ; Ahoa a trigoometrius Fourier-sor a övetező 8
f si cos ; 4 Mivel a függvéy folytoos és eleget tesz a Dirichlet-tétel feltételeie, a sor előállítja a függvéyt. 4.Példa: Állítsu elő az alábbi páros függvéy Fourier-sorát. f si, ha 0 f ülöbe Mivel a függvéy páros, tudju, hogy b = 0, =,,, ezért csa a 0 és a együtthatóat ell iszámítau. a0 f ( ) d si d cos cos cos 0 0 0 0 Az a együttható iszámításához fel ell haszálu a trigoometrius azoosságot. Ee alapjá si cos si si ; a f ( ) cos d si cos d si si d 0 0 0 si si d cos cos 0 0 co s cos cos 0 cos 0 cos cos 4 ; 4 meghatároztu tehát az összes Fourier-együtthatót. Mivel a függvéy folytoos, a Dirichlet-tétel alapjá tudju, hogy a sor előállítja a függvéyt, tehát a függvéy trigoometrius Fourier-sora a övetező: 4 f cos ; 4 9
Ha a overgecia téyét felhaszálva helyettesítjü a sorba és a függvéybe az = 0 értéet, egy umerius sor összegéhez jutu. Mivel f(0) = 0, ezért a sor összege is zérus az = 0 helye, tehát 4 4 0 cos0 ; ; 4 4 4 Ez utóbbi eredméyt természetese soal egyszerűbb módo is megaphatju. Ha a umerius soro fejezetébe bemutatott parciális törtere botás módszerét alalmazzu, özvetleül eljuthatu ehhez az összeghez. 5. Példa: Határozzu meg a övetező függvéy trigoometrius sorát f cos 4si, f ülöbe Ez a függvéy már az értelmezés szerit a trigoometrius redszer tagjaia lieáris ombiációja, azaz cos és si függvéye ostas szorosai összege, potosa olya, mit egy Fourier-sor. Mutassu meg, hogy ez a "ifejtés" egybeesi a függvéy trigoometrius Fouriersorával. Ehhez számítsu i az együtthatóat. 4 a0 f ( ) d cos 4si d cos d si d 0 Itt felhaszáltu, hogy a cos és si függvéye bármely π hosszúságú itervallumra voatozó határozott itegrálja zérus. Az a együtthatóat evezetes trigoometrius azoosságoal tudju iszámítai. a f ( ) cos d cos 4si cos d cos cos 4si cos d 4 cos cos d si si d; A apott összegbe az első tag zérus ha, a másodi tag pedig aor zérus, ha. Ezt a ét esetet vizsgálju a továbbiaba. Ha most =, aor azt apju, hogy a cos cos d cos 4 d 0 ; ha pedig = aor 0
4 4 a si si d si 6 0d 0; Kaptu tehát hogy a csa = eseté ülöbözi 0-tól, és a =. Térjü rá a b együttható iszámítására. b f ( ) si d cos 4si si d cos si 4si si d 4 si si d cos cos d; Az előzőehez hasolóa adódi, hogy ha, aor az első tag zérus, ha pedig, aor a másodi tag zérus. Ismét ülö foglalozu ezzel a ét esettel. Ha = aor az adódi, hogy ha pedig = aor b si si d si 4 0d 0; 4 4 4 b cos cos d cos 6 d 0 4; Azt aptu tehát, hogy = ivételével az összes b együttható zérus, és b = 4. Ez az eredméy pedig azt jeleti, hogy a függvéy Fourier-sora cos 4si ; f ami a váraozása megfelelőe valóba egybeesi f() értelmezésével. 6. Példa: A most övetező, "triviális"-a modható példába meghatározzu az f f cos, ; ülöbe függvéy omple Fourier-sorát. Miért írtu azt, hogy a feladat "triviális"? Azért mert a fetiebe többször felhaszáltu a cos függvéy omple epoeciális függvéyeel törtéő i i e e i i cos e e ; előállítását. Ez az előállítás potosa úgy fest, mit egy omple Fourier-sor. Mutassu meg, a omple együttható iszámításával, hogy ez az egyelőség valóba azoos a omple Fourier-
sorral. Az alábbiaba iderül, hogy = és = eseté ülö ell számítai az együtthatóat. Ha tehát elsőét, aor írhatju, hogy i i c f e d cos e d cos cos i sid i cos cos d cos si d cos cos d 0 si si 0; Az itegrál épzetes része azért zérus, mert az itegradus egy páros és egy páratla függvéy szorzata, tehát páratla függvéy, és egy origóra szimmetrius itervallumo itegrálu. A valós rész pedig azért adódi zérusa, mert az utolsó lépésbe látszi, hogy a si függvéy π helyee vett értéei adjá az eredméyt, amelye a si függvéy zérushelyei. Világos az is, hogy a feti számítása valóba ics értelme, ha = vagy =. Kaptu tehát, hogy ha és aor a c együttható zérus. Követezzé most az = eset. i i c f e d cos e d cos cos isid i i cos d cos si d cos d si d 4 4 si cos i ; 4 4 Hasoló számításoal adódi az is, hogy c, a ülöbség a feti számításohoz épest csa ayi, hogy a feti itegráloa em a ülöbségét haem az összegét ell épezi, de mivel a épzetes rész zérus, az eredméy = eseté em változi. A cos függvéy omple Fourier-sora tehát valóba Adódi tehát a várt eredméy. i i cos e e ; 7. Példa: Határozzu meg az alábbi függvéy ( egyeiráyított harmoius jel ) Fourier-sorát: f cos, ha f ülöbe
A függvéy páros, tehát az egyszerűség edvéért alalmazzu a sorfejtéshez a páros függvéyere levezetett együttható formulát. c cos cos cos f d d 0 0 Az itegrál iszámításához ismét haszálju a cos cos cos cos trigoometrius azoosságot. si 0,5 si 0,5 c cos cos d 0,5 0,5 0 0 si 0,5 si 0,5 si si 0 0 0,5 0,5 4 Az együttható birtoába írhatju az epoeciális függvéye szerit haladó Fourier-sort: f e 4 Az általáos megállapításoa megfelelőe valós együtthatójú sort aptu. Ismét a Dirichlet- Jorda tételre hivatozva írható az egyelőség, a sor előállítja a függvéyt mideütt, mert a függvéy mideütt folytoos. 8.Példa: Határozzu meg a övetező π-szerit periodius függvéy ( fűrészfogrezgés ) omple Fourier-sorát:,ha f ( ) 0,ha f( ), ülöbe Ee a függvéye a trigoometrius Fourier-sorát már előállítottu orábba a jegyzetbe. Ittei eredméyeiet majd összevetjü az idézett példabeli eredméyeel. A függvéy páratla, így az együtthatóa tisztá imagiárius számoa ell leiü. Ha 0 aor parciális itegrálással apju, hogy i
f i i i g e c f e d e d f i g e i i i i i i e e e e e d i i i i i i e e i i e e i i cos cos i si cos i si i i i 0 i 0 i Ha viszot = 0 azoal adódi, hogy c0 d 0 hisze páratla függvéyt itegrálu origóra szimmetrius itervallumra. Kaptu tehát, hogy a omple Fourier együttható a övetező c0 0; c i; Z \ 0 ; valóba tisztá imagiárius számo. Eze eredméye alapjá a omple Fourier-sor az alábbi. f i e 0 9.Példa: Határozzu meg a 7. példába szereplő függvéy trigoometrius Fourier-sorát a omple Fourier-sor együtthatóia felhaszálásával. A valós és omple együttható özötti összefüggés alapjá 0 i a0 c 0 40 4 a c c 4 4 4 4 4 ; 4
b ic c i i 0 4 4 4 4 A legutóbbi eredméy a váraozása megfelelőe azt jeleti, hogy egy páros függvéy Fourier sorába icsee sziuszos tago. Mit látju ez természetese a omple iráyból megözelítve is adódi. A számításo eredméyeire támaszodva adódi a trigoometrius Fourier-sor 4 f ( ) cos 4 Az ábrázolás érdeébe felírju a sor éháy tagját: f ( ) cos cos cos... 5 5 Mit már említettü, a Fourier-sor mideütt előállítja a függvéyt, tehát valóba írhatu egyelőséget. 0. Példa: Írju fel a orábba már vizsgált, egyeiráyított sziuszjel omple Fourier-sorát. 0,ha 0 f ( ) si,ha 0 f( ), ülöbe Ee a periodius függvéye a trigoometrius sorát már meghatároztu a. példába. Az ottai eredméye szerit a trigoometrius Fourier-együttható a övetező a 0 ; a 0; a ; b ; b 0 ha ; Eze együttható ismeretébe a omple együttható a 0 0 ; a ib ; és a ib c a c c formulá alapjá már adóda. Eszerit a eresett Fourier-együttható c0 a0 ; 0i 0i a ib i a ib i c ; c ; 4 4 a ib 0 i0 a ib 0 i0 c 0; c 0; ha 5
c c a ib a i0 a a ib a i0 a Ahoa a omple Fourier-sor az alábbi alaot ölti i i i i i i 4 4 0 i i i i f e e e e e e 4 4 4 4.Példa: A 8. példa eredméyei alapjá határozzu meg a példába szereplő függvéy valós Fourier együtthatóit. Idézzü a omple együtthatóat. c0 0; c i; Z \ 0 ; A valós és omple együttható özötti apcsolatot felírva azt apju, hogy a0 c0 0; a c c i i i i 0; b ic c i i i i ; amely eredméy teljes mértébe összhagba va a valós eredméyeel..példa: Határozzu meg a övetező T = p = periódusú függvéy omple Fourier-sorát. f f Ebbe a példába sh, ülöbe T p ; p ; i, tehát a sor alaja ; ; f c e ;. A függvéy páratla. Továbbra is igaz, hogy ebbe az esetbe az együttható tisztá imagiárius számo. Állítsu elő az együtthatóat. A hiperbolius függvéy defiíciója szerit írhatju, hogy P i i i c f e d e d e e e d P 4 sh P i i i i i i e e e e e e d 4 4 i i 4 i i i i i i i i i i e e e e e e e e e e 4 i i i i 4 i e i e i i 6
cos i si cos i si cos i si cos i si e e 4 i e i e i i i 0 i 0 i 0 i 0 e e 4 i e i e i i e e e e sh 4 i i i i i i sh sh i i Ezzel az együtthatóat előállítottu. A váraozása megfelelőe imagiárius számo. A omple Fourier-sor eze alapjá a övetező sh f i e Írju most fel a omple együttható ismeretébe a valós Fourier-sort is. Mivel páratla a függvéy, eredméyét azt ell apu, hogy az a 0 és a együttható mid zéruso. Elleőrizzü. Az együttható özti összefüggése az alábbia. Eze alapjá adódi, hogy sh0 a0 c0 i 0; 0 0 i a0 c0 ; a c c ; és b i c c ; sh sh sh a c c i i i 0; sh sh sh sh b i c c i i i sh sh ; Az a 0 és a együttható a váraozása megfelelőe valóba zéruso. A számításo eredméye alapjá a trigoometrius Fourier-sor a övetező sh f si sh si sh si si si... 4 9 7