A k -adik leghosszabb rekord határeloszlása véletlen bolyongásokban

Átírás

1 A -adi leghosszabb reord határeloszlása véletle bolyogásoba TDK dolgozat 204 Név: Neptu ód: Képzés: Témavezet : Szabó Réa I25ZNU alalmazott matematius MSc. Dr. Vet Bálit

2 Tartalomjegyzé. Bevezetés 2. Korábbi eredméye 3 3. Saját eredméye A modell I. eset II. eset Összefoglalás Függelé 40 Irodalomjegyzé 44 i

3 . fejezet Bevezetés A véletle bolyogáso számtala területe alalmazható ülöféle folyamato modellezésére, mit például a természettudomáyo vagy a pézügye. Az utóbbi évebe egyre több utatás foglalozott a reordo vizsgálatával, statisztiai jellemzésével, melyee ülööse agy jelet sége va a statisztius zia területé. Egy véletle bolyogás sorá a -adi lépésbe reord eseméy törtéi, ha a bolyogás értée -ba meghaladja a bolyogás által összes el z leg felvett értéet.) A fet említett utatáso szimmetrius és aszimmetrius bolyogáso eseté eresi a választ a övetez érdésere: Háy reord eseméy törtéi lépés alatt? Meyi ideig áll fe egy reord? Meora a leghosszabb reord élettartama? A dolgozatomba véletle bolyogáso reord statisztiáit vizsgálom tetsz leges szimmetrius és folytoos lépéseloszlás eseté. A reordo élettartamát teitem; azt az id t, ameddig egy reord feáll. Ez egy függetle azoos eloszlású valószí ségi változó sorozatot határoz meg: τ, τ 2, τ 3,.... Az utolsó reord élettartama az -edi lépésor még ismeretle, többféleéppe lehet deiáli, és mide eset más-más eredméyhez vezet. A -el jelölöm az utolsó reord éppe atuális élettartamát, τ m -mel pedig az utolsó reord -be még ismeretle teljes élettartamát. A számításo sorá ezt a ét esetet fogom vizsgáli.

4 Szimmetrius véletle bolyogás eseté a leghosszabb ideig feálló reord statisztiáit vizsgáltá [4]-be: meora valószí séggel d l meg a reord az -edi lépésbe, illetve meyi ideig áll fe ez a reord. É ezeet az eredméyeet terjesztem i a -adi leghosszabb élettartamú reordra, azaz a -adi leghosszabb elemre a τ, τ 2, τ 3,... valószí ségi változó özül. A muám sorá a ci jelöléseit haszálom, illetve az ott leírt godolatmeetet övetem. A -adi leghosszabb reord statisztiát = 2, 3,... ) ét meyiséggel jellemzem: meghatározom a -adi leghosszabb reord várható értéét El ))), illetve aa a valószí ségét, hogy a -adi leghosszabb reord éppe lépés utá d l meg Q )). A geerátorfüggvéyei segítségével megvizsgálom a ét meyiség aszimptotius viseledését, továbbá az els esetbe megmutatom, hogy a = -él megállapított összefüggés feáll átaláos esetbe is El )) és Q ) özött. Számításaim sorá azt az eredméyt apom, hogy Q ) értée függetle a bolyogás lépéseloszlásától, mide -ra egy uiverzális ostas segítségével jellemezhetem. Ezzel a ostassal az els esetbe El )) öveedési ütemét is jellemezhetem, míg a másodi esetbe El )) öveedési üteme egy új, az irodalomba eddig még em látott sorozatot deiál. Belátom továbbá, hogy Q ) midét esetbe egy valószí ségi eloszláshoz tart, ahogy. 2

5 2. fejezet Korábbi eredméye Az utóbbi id be egyre agyobb épszer sége örved a reordo statisztiáia vizsgálata véletle bolyogáso eseté. A dologzatomba szimmetrius bolyogásoal foglalozom, az eze a tére elért legfotosabb orábbi eredméye a övetez : [6]-ba megmutattá, hogy egy véletle bolyogás sorá a reordo sorozatáa statisztiái függetlee a lépéseloszlástól feltéve, hogy a lépéseloszlás folytoos és szimmetrius. Ezzel a meggyeléssel már []-be is találozhattu, ahol azt bizoyítottá be, hogy a reordid eloszlását a P > 0) valószí sége meghatározzá. [5]-be jelet meg el ször a Q ) ostas, mit a leghosszabb élettartamú reord l ma t)) várható érétée öveedési üteme. Ez a ostas és bb több más cibe is el fordult, mit például [3]-ba, ahol fracioális Brow mozgás eseté vizsgáltá l ma t)-t. [5]-be továbbá egy egyszer összefüggést is megállapította l ma t) és Qt) özött, ahol Qt) aa a valószí sége, hogy a leghosszabb reord élettartama t-be d l meg. [4]-be véletle bolyogásoba vizgsáltá a reordo élettartamát lépés alatt tetsz leges szimmetrius lépéseloszlás eseté. Háromféleéppe de- iáltá az utolsó reord élettartamát az utolsó reord atuális hossza; az utolsó reord -be még ismeretle teljes hossza; illetve az utolsó ismert reord hossza -ig). Megmutattá, hogy az élettartamo sorozatáa sta- 3

6 tisztiai viseledése eltér a függetle azoos eloszlású valószí ségi változó sorozatáétól; az élettartamo em teithet e teljese függetlee, hisze midhárom esetbe egy bizoyos orlát írható el az összegüre lépés miatt). Meggyelté továbbá, hogy az utolsó reord megválasztása agy mértébe befolyásolja a sorozat viseledését: a leghosszabb reord várható értée El ma ))), illetve aa a valószí sége, hogy az utolsó reord a leghosszabb -ig Q)) midhárom esetbe más-más eredméyre vezetett. Az els esetbe Q I ) Q I ) egy már orábba [5]-be megjelet) ostashoz tart, El I ma)) pedig a lépésszámmal aráyosa, a öveedés ütemét Q I ) határozza meg. Ebbe az esetbe az [5]-be bemutatott egyszer összefüggés is feáll a ét meyiség özött. A másodi esetbe Q II ) szité overgál, azoba egy mási ostashoz. A harmadi esetbe Q III ) 0-hoz, ElIII ma )) pedig egy ostashoz tart. Megmutattá továbbá, hogy a apott ostaso uiverzálisa, azaz függetlee a lépéseloszlástól, tetsz leges szimmetrius véletle bolyogás eseté feálla. A dolgozatba ee a cie az eredméyeit terjesztem i az els ét vizsgált esetbe a -adi leghosszabb itervallum statisztiáira. [2]-be azt vizsgáltá, hogy egy stadard Brow-mozgás sorá meora a valószí sége, hogy az utolsó irádulás hossza a -adi leghosszabb. Az utolsó irádulást étféleéppe deiáltá: az utolsó irádulás atuális hossza t-be, illetve az utolsó irádulás teljes t-be még ismeretle) hossza. Megmutattá, hogy eze a valószí sége mide -ra egy ostassal jellemezhet. A dolgozat sorá ugyaezeet a ostasoat apom meg Q I ) és QII ) értéeire. A másodi esetbe apott ostaso azoba soal el bb, [7]-be jelete meg el ször. Itt azt vizsgáltá, hogy egy felújítási folyamat sorá meora aa a valószí sége, hogy az utolsó irádulás a -adi leghosszabb. A dolgozatomba azoba egy soal egyszer bb módszert mutato be az eredméye iszámítására. 4

7 3. fejezet Saját eredméye A muám sorá véletle bolyogáso reord statisztiáit jellemzem tetsz leges szimmetrius és folytoos lépéseloszlás eseté. A reordo élettartamát vizsgálom lépés utá. Az utolsó reord élettartamát többféleéppe lehet deiáli, és mide eset más-más eredméyhez vezet. A dolgozatba az utolsó reordot étféleéppe deiálom α = I, II eset): az utolsó reord élettartamáa atuális hossza A ), illetve az utolsó reord -be még ismeretle, valós hossza τ m ). A -adi > ) leghosszabb reord statisztiáit jellemzem ét meyiség segítségével: lépés utá a -adi leghosszabb reord várható értée E α l ))), illetve aa a valószí sége, hogy lépés utá az utolsó reord a -adi leghosszabb Q α )). Az utóbbi meyiség megegyezi aa a valószí ségével, hogy a -adi leghosszabb reord az -edi lépésbe d l meg. Q α ) aszimptotius vizsgálata sorá midét esetbe azt az eredméyt apom, hogy e meyiség értée függetle a bolyogás lépéseloszlásától, mide -ra egy uiverzális ostas segítségével jellemezhet. Q α ) Q α ) 3.) Q α ) uiverzális ostas midét esetbe tetsz leges -ra ifejezhet, a övetez tételeet modom i rólu: 5

8 . Tétel. Tetsz leges > egész szám eseté Q I ) geerátorfüggvéyére feáll 0 QI )e s s QI ), amit s 0, ahol Q I ) = 2 0 e ) e y dy y 3/2 e + πerf ) ) d Követezéséppe Q I ) Q I ) 2. Tétel. Tetsz leges > egész szám eseté Q II ) geerátorfüggvéyére feáll 0 QII )e s s QII ), amit s 0, ahol Követezéséppe Q II ) = 2 0 ) e y dy y 3/2 e + πerf ) d ) 3/2 e ) Q II ) Q II ) erf) = 2 π 0 e t2 dt a Gauss-féle hibafüggvéy: ) értéeit midét esetbe 2 6-ra a 3. táblázat tartalmazza. Q α Eze a ostaso orábba már megjelete [2]-be, ahol egy speciális esetbe, a stadard Brow-mozgás sorá vizsgáltá aa a valószí ségét, hogy az utolsó irádulás hossza a -adi leghosszabb. Ez az eredméy összhagba áll az itt bemutatott eredméyeel, mivel egy véletle bolyogásba ölcsööse egyértelm megfeleltetés va a iráduláso hossza és a reordo élettartama özött. A dolgozatomba azoba más esetre, tetsz leges folytoos és szimmetrius lépéseloszlású véletle bolyogásra igazolom ezt az összefüggést. A másodi estbe apott ostaso egy orábbi cibe [7] is megjelete már, ahol egy felújítási folyamat sorá vizsgáltá aa a valószí ségét, hogy az utolsó irádulás a -adi leghosszabb. A dolgozatomba azoba egy soal egyszer bb módszert mutato be az eredméye iszámítására, geerátorfüggvéye segítségével. Belátom továbbá Q α )-r l, hogy midét esetbe egy valószí ségi eloszlást deiál, azaz >0 Qα ) =. 6

9 Q I ) QII ) 2 0, , , , , , , , , , táblázat. Q α ) értéei ülöböz -ra Az els esetbe E I l )) aszimptotius vizsgálata sorá azt az eredméyt apom, hogy értée lieárisa a lépésszámmal, a öveedés ütemét pedig a Q I )-él apott ostassal jellemezhetem. 3. Tétel. Tetsz leges > egész számra El I )) geerátorfüggvéyére feáll 0 ElI ))es s 2 C I amit s 0, ahol C I = C I y 3/2 e y dy ) 2 y /2 e y dy /2 e + πerf d )) y 3/2 e y dy ) πerf ) 2 0 /2 e + πerf d )) és C I = Q I ). Követezéséppe El I )) C I Ezeívül ebbe az esetbe csaúgy, mit = eseté [4] a övetez összefüggés áll fe E I l )) és Q I ) özött: E I l + )) = E I l )) + Q I ) 3.2) A másodi esetbe E II l )) aszimptotius vizsgálata sorár szité azt az eredméyt apom, hogy értée lieárisa a lépésszámmal, azoba a öveedés ütemét egy új, eddig em látott ostaso sorozatával jellemezhetem: 7

10 C II 2 0, , , , , táblázat. C II értéei ülöböz -ra 4. Tétel. Tetsz leges > egész számra El II )) geerátorfüggvéyére feáll 0 ElII ))es C II s 2 amit s 0, ahol C II = C II C II 2 = 4 2 Követezéséppe C II 0 y 3/2 e y )dy 0 2 /2 e + πerf ) y 3/2 e y dy ) 0 y 3/2 e y )dy /2 e + πerf )) 2 d y 3/2 e y )dy y 3/2 e y dy ) /2 e + πerf ) y 3/2 e y )dy 0 y 3/2 e y dy ) ) /2 e + πerf d )) El II )) C II értéeit 2 6 esetbe a 3.2 táblázat tartalmazza. 3.. A modell A dolgozat sorá [4] jelöléseit haszálom. Teitsü egy véletle bolyogást tetsz leges szimmetrius és folytoos lépéseloszlással: 0 = 0, és mide t > 0 id pillaatba t = t + η t, ahol η t - függetle azoos eloszlású valószí ségi változó, pη) folytoos és szimmetrius s r ségfüggvéyel. 8

11 . Deíció Reord). A -adi lépésbe reord eseméy törtéi, ha a bolyogás értée -ba meghaladja a bolyogás által összes el z leg felvett értéet, azaz = ma 0,..., ). A legels reordot 0 -a teitem. Egy reord élettartama az az id, ameddig az adott reord feáll. 2. Deíció Reord élettartama). Legye reord eseméy, eor élettartama τ, ha i mide < i < + τ-ra, de +τ >. A reordo élettartamai egy függetle azoos eloszlású valószí ségi változó sorozatot határoza meg:τ, τ 2, τ 3,..., ahol τ jelöli a -adi és + )- edi reord özötti lépése számát. Jelölje R a reord eseméye számát lépés alatt. Az -edi lépésbe az utolsó reord élettartama még ismeretle, jelöljü az éppe atuális hosszát A -el. Feltéve, hogy R = m, a számításai sorá teithet az utolsó itervallum a még ismeretle agyságú τ m -e, az utolsó ismert élettartama, azaz τ m -e, illetve A -e is 3. ábra). Eze az esete mid ülöb z eredméyere vezete. Ebbe a dolgozatba az utolsó itervallum relevás hosszát α = I esetbe A -e, α = II esetbe τ m -e teitem. Legye A I,m = {τ, τ 2,..., τ m, A } és A II,m = {τ, τ 2,..., τ m }. 3.. ábra. A véletle bolyogás sorá R = 5 eseté az utolsó reord élettartama -be A, τ 4 vagy τ 5 Ahhoz, hogy a -adi leghosszabb ideig feálló reord statisztiáit vizsgáljam, α = I eseté τ i 0 < i < R ), A és R ; α = II eseté τ i 0 < i R ) 9

12 és R együttes eloszlásáa ismeretére va szüségem. Legyee l I = l, l 2,..., l m, a) és l II = l, l 2,..., l m ) az élettartamo lehetséges realizációi lépés alatt az I. és II. esetbe feltéve, hogy m reord született. Ee valószí sége: P α l α,, m) = PA α,m = l α, R = m) 3.3) Ahhoz, hogy ezt a valószí séget meghatározzu, ét további meyiséget ell deiálu: q) jelölje aa a valószí ségét, hogy egy 0 -ból iduló bolyogás lépés utá is 0 alatt marad q0)=); f) pedig aa a valószí ségét, hogy ez a bolyogás a -adi és )-edi lépés özött lépi át 0 szitjét f0) = 0): q) = P j < 0 j ) 3.4) f) = P j < 0 j <, 0 ) 3.5) A ét meyiség özötti apcsolat egyszer e ifejezhet a övetez egyelettel: f) = q ) q) 3.6) A és bbi számításo sorá szüség lesz f) és q) geerátorfüggvéyére.. Állítás. f) illetve q) geerátorfüggvéye: fz) = f)z = z qz) = 0 q)z = z Bizoyítás. f) geerátorfüggvéyét egy []-beli tétel segítségével számíthatju i, amely a övetez t modja i: 5. Tétel. log fs) = s P 0) = 0

13 A tétel bizoyítását a Függelébe ismertetem.) A véletle bolyogásuba a lépéseloszlás folytoos és szimmetrius, ezért P 0) = P 0) =. Ezt felhaszálva: 2 z P 0) = ) z 2 = log z) = log 2 z = = A 2. egyel ségél azt haszáltam, hogy log a) = a =. A feti ifejezés átalaításából adódi, hogy fz) = z. Felhaszálva 3.6)-ot, fz) a övetez éppe írható fel: fz) = f)z = q ) q)) z = = z m 0 qm)z m q)z = z qz) qz) + q0) = qz)z ) Behelyettesítve fz) = z-t, és átredezve az egyeletet, azt apju, hogy qz) = z. qz) felírható a övetez egatív biomiális sorét Függelé 5.3)): qz) = z = =0 2 )!! z 3.7) 2)!! Mivel a geerátorfüggvéy meghatározza az eloszlást, q) = 2 )!!. Ez 2)!! a ifejezés átalaítható a övetez éppe: 2 )!! 2)!! Tehát azt apju, hogy = 2)! 2)!!2)!! = 2)! 2 2!! q) = ) = ) Így eplicit módo ifejezhet q)-t és f)-t 3.6) segítségével). 3.8) A és bbiebe szüség lesz q) és f) aszimptotius viseledésée jellemzésére is, eor a övetez állítást haszálható:

14 2. Állítás. q) = ) π f) = q ) q) 2 π 3/2 Bizoyítás. El ször q) aszimptotius viseledését bizoyítom, ehhez 3.8)- at és a Stirlig formulát haszálom fel: q) = ) 2 = q) = 2)! !! 4π2) 2 e e e 2 2π) 2 2 = π f) aszimptotius viseledésée vizsgálatához 3.6)-ot haszálom: f) = q ) q) ) = ) π ) + ) = ) = π ) π π ) = π π 2 3/2 ) + ) ) Visszatérve 3.3)-hoz, q) és f) segítségével a övetez éppe írható fel aa a valószí sége, hogy lépés alatt m reord születi l α hosszaal, ha felhaszálju azt a téyt, hogy véletle bolyogásál a iráduláso hossza ölcsööse egyértelm megfeleltetésbe áll a reordo élettartamával: m P I l I,, m) = fl )fl 2 )... fl m )qa)δ l + a, ) 3.9) = m P II l II,, m) = fl )fl 2 )... fl m )I l < = m l ) 3.0) ahol I ) az idiátorfüggvéy, δi, j) pedig a Kroecer delta, azaz δi, j) =, ha i = j, ülöbe 0. = 2

15 3.2. I. eset Ebbe az esetbe az utolsó reord élettartamáa A -t teitem. Jelölje l I ) az els esetbe -adi leghosszabb reord élettartamát lépés alatt és Q I ) aa a valószí ségét, hogy lépés utá az utolsó reord élettartama a -adi leghosszabb. Ez a valószí ség megegyezi aa a valószí ségével, hogy a -adi leghosszabb reord éppe -be d l meg. Vegyü észre, hogy bármely lépésbe legfeljebb egy reord d lhet meg. Tegyü fel, hogy az utolsó itervallum a -adi leghosszabb. Ha a övetez lépésbe tovább a hossza, de még em éri el a )-edi leghosszabb itervallum agyságát, aor csa l ) fog i. Ha eléri l )-t, aor ez a lépés utá ét egyforma hosszú itervallumu lesz; l +) és l +). Ezutá azoba az utolsó itervallum további öveedése már em eredméyezi l + ) további öveedését, ez az itervallum az eddigi )-edi leghosszabb lesz, és l + ) fog tovább i. Ezt az észrevételt felhaszálva a ét meyiség özött egy egyszer összefüggés állapítható meg, csaúgy, mit a leghosszabb reord eseté [4]: a - adi reord élettartama -be csa aor, ha ebbe a lépésbe az utolsó itervallum hossza volt a -adi leghosszabb, mégpedig Q I ) valószí séggel. El I + )) = El I )) + Q I ) 3.) El ször a másodi leghosszabb élettartamú reord statisztiáit vizsgálom. Ez a meyiség lehet az utolsó, még befejezetle ietrvallum A ) hossza, vagy valamely orábbi reord τ i ) élettartama. l I 2) eloszlásfüggvéye F I 2 t, ): F I 2 t, ) = Pl I 2) t) = Pl, l 2,..., A t) + Pl I ) > t, l I 2) t) 3.2) Az eloszlásfüggvéy felírható F I 2 t, ) = m F I 2 t,, m) alaba, ahol F I 2 t,, m) = Pl I 2) t, R = m) 3.3) l I 2) t aor áll fe, ha midegyi reord élettartama isebb vagy egyel t-él, vagy ha a leghosszabb reord élettartama agyobb, mit t, 3

16 de a többié isebb vagy egyel. A leghosszabb reord az utóbbi esetbe lehet A, vagy τ,..., τ m valamelyie. Ez alapjá a övetez meyisége összegeét áll el F I 2 t,, m): F2 I t,, m) = P l I,, m)+ l = l 2 = + m ) l =t+ l 2 = l m = a=0 l = l 2 = l m = a=t+ l m = a=0 + P l I,, m) P l I,, m)+ 3.4) Jelölje F I 2 t,, m) geerátorfüggvéyét F I 2 t, m, z). Eor 3.9)-et behelyettesítve a övetez t apom: F 2 I t, m, z) = ) m F2 I t,, m)z = f j z j 0 ) m 2 +m ) f j z j j= j=t+ j= fj)z j qj)z j + j=0 ) m qj)z j + f j z j j=0 j= j=t+ qj)z j 3.5) Legye F I 2 t, ) geerátorfüggvéye F I 2 t, z), ez ifejezhet F I 2 t, m, z) segítségével: d d F 2 I t, z) = F2 I t, )z = F2 I t,, m)z = 0 0 m m Alalmazva, hogy m m )m 2 = d ) ==, azt apom, hogy ) 2 d m m ) = d d F I 2 t, m, z) 3.6) m 0 m) = F I 2 t, z) = = t j=0 qj)zj t + j= fj)zj j=0 qj)zj t + j= fj)zj j=t+ fj)zj t j=0 qj)zj ) 2 + t j= fj)zj j=t+ qj)zj t = j= fj)zj j=t+ fj)zj t j=0 qj)zj t j= fj)zj ) 2 3.7) 4

17 F I 2 t, ) segítségével iszámítható a másodi leghosszabb reord élettartamáa várható értée: El I 2)) = t 0 F I 2 t, ) ) 3.8) El2)) I geerátorfüggvéye a övetez : El2))z I = F I 2 t, ) ) z = ) z F 2 I t, z) 0 0 t 0 t 0 3.9) Felhaszálva 3.7)-et: z j=0 qj)zj t j= fj)zj El2))z I = 0 t 0 = t ) z j=0 qj)zj t t 0 j= }{{ fj)zj t 0 } t 0 t 0 z F It,z) j=t+ fj)zj t j=0 qj)zj t j= fj)zj ) 2 }{{} b) j=t+ fj)zj t j=0 qj)zj ) 2 = t j= fj)zj j=t+ qj)zj t j= fj)zj }{{} a) 3.20) Az els tag megegyezi a leghosszabb élettartamú reord várható értéée geerátorfüggvéyével, amire a övetez áll fe Q I ) = 0, ostassal [4]: e s El)) I s 2 QI ) 3.2) 0 Külö-ülö iszámítom a)-t és b)-t. Ezehez a övetez állítást alalmazom: 3. Állítás. t f)z = qt)z t + z) q)z = =0 5

18 Bizoyítás. f)-t átírom 3.6) szerit: f)z = q ) q)) z = q0) q )z + q)z = = = = = t t = z qj)z j + q)z = qt)z t + z) q)z j=0 =0 =0 El ször a)-t számítom i. Az el bbi állítás felhaszálásával a) = t 0 j=t+ qj)zj qt)z t + z) t 3.22) j=0 qj)zj Ahhoz, hogy megapjam El I 2)) viseledését agy -re, a geerátorfüggvéy viseledését z határértébe vizsgálom. Alalmazva a övetez helyettesítést: z = e s, ahol s 0, azt apom, hogy a) = t 0 j=t+ qj)e js qt)e ts + e s ) t 3.23) }{{} j=0 qj)e js s Haszálju a qj) = πj és az fj) = 2 π 3/2 aszimptotiát 2. Állítás): a) t 0 π j=t+ j /2 e js π t /2 e ts + s t 3.24) π j=0 j /2 e js Ahogy s 0, a diszrét összeget helyettesíthetem itegrállal. Végrehajtva a t = s és a j = y s a) változócserét azt apom, hogy: 0 s y ) /2 e y dy s s ) /2 e + s 0 s /2 e y y dy s d s = = y /2 e y dy s 2 0 /2 e + 0 y /2 e y dy d = = y /2 e y dy s 2 /2 e + πerf ) d ) 6

19 ahol erf) = 2 π 0 e t2 dt a Gauss-féle hibafüggvéy. y = t 2 helyettesítéssel erf ) = π 0 e y y /2 dy. b) hasolóépp számítható, mit a). A övetez aszimptotiát apom rá: b) πerf ) y 3/2 e y dy s /2 e + πerf 2 d 3.26) )) Tehát az övetez t apom El I 2)) geerátorfüggvéyére: e s El2)) I Q I s ) y /2 e y dy /2 e + πerf ) d ) πerf ) y 3/2 e y dy 2 0 /2 e + πerf )) 2 d = 0, s2 3.27) Ezt az azoosságot átírom ) 0 e s El2)) I = d ds 0 e s ElI 2 )) 0, alara, amib l a övetez t apom: s 2 se s ElI 2)) 0, ) 0 se s e s )e s = Pξ = ), ahol ξ Geo e s ). Mivel l ), l ) + l 2 ), l ) + l 2 ) + l 3 ),... szubadditív, ezért l ) l )+l 2 )+l 3 ),... overgála Függelé, 7. Állítás), így l ) mide -ra, ebb l pedig az övetezi, hogy El I 2)), l )+l 2 ), is overgál 0, ) Most Q I 2) aszimptotius viseledését vizsgálom. Jelölje Q I 2, m) aa a valószí ségét, hogy lépés alatt m reord születi, és eze özül az utolsó élettartama a másodi leghosszabb. Ebbe az esetbe τ,..., τ m özül potosa az egyi itervallum hossza agyobb A -él, ezért ezt a valószí - séget a övetez éppe fejezhetjü i: Q I 2, m) = PA = l 2 ), R = m) = m ) a 0 7 l =a+ l 2 = a a l m = P l I,, m) 3.30)

20 Aa a valószí ségét, hogy lépés utá az utolsó reord élettartama a másodi leghosszabb Q I 2)) megaphatju úgy, hogy az el bbi valószí - séget összegezzü mide lehetséges m-re: Q I 2) = m 0 QI 2, m). Q I 2) geerátorfüggvéyét jelölje Q I 2z). Q I 2z) = Q I 2)z = Q I 2, m)z = 0 0 m j 0 qj)z j =j+ f)z j = f)z ) 2 3.3) Hasoló módszerrel, mit F I 2 t, ) iszámításáál, azt apom Q I 2) geerátorfüggvéyére, hogy Q I 2e s ) s 0 /2 e y 3/2 e y dy /2 e + πerf )) 2 d = 0, ) s Azaz ugyaazt a ostast aptu, mit El I 2)) geerátorfüggvéyée iszámításaor. Tehát 0 QI )e s s QI 2 ). Mivel Q I ) overgál, ugyaazt a godolatmeetet haszálva, mit a várható érté eseté, azt apom, hogy: Q I 2) Q I 2 ) = 0, ) és a övetez összefüggés áll fe El I 2)) és Q I 2) özött: El I 2)) Q 2 ) 3.34) Ez az eredméy összhagba áll 3.)-gyel, továbbá a ét meyiség geerátorfüggvéye egymásból ifejezhet a övetez éppe: 4. Állítás. z) 0 El I 2))z = z 0 Q I 2)z Bizoyítás. Az állítás 3.) egyszer övetezméye. Ezutá a -adi leghosszabb élettartamú reordra számítom i ugyaezeet a statisztiáat tetsz leges). 8

21 El ször l I)-t vizsgálom, jelölje F I t, ) az eloszlásfüggvéyét. Ez az eloszlásfüggvéy ifejezhet F I t, ) segítségével, ugyais li ) t aor áll fe, ha már l I ) t is feáll, vagy ha li ) > t, de li ) t: ahol F I t, ) = Pl I ) t) = F I t, ) + Pl I ) t, l I ) > t) 3.35) Ezt az eloszlásfüggvéyt felírhatju F It, ) = m F I t,, m) alaba, F I t,, m) = Pl I ) t, R = m) 3.36) Hasolóa l I) eloszlásfüggvéyéhez, ez a meyiség is felírható F I t,, m) segítségével: F I t,, m) = F I t,, m) + Pl I ) t, l I ) > t, R = m) 3.37) Aor, ha az els ) leghosszabb itervallum agyobb, mit t, ét esetet ülöböztethetü meg: ha az utolsó itervallum A ) is eze özött va, illetve ha az els ) leghosszabb itervallum mid τ,..., τ m özül erül i. Ez alapjá F I t,, m) a övetez éppe számítható i: F I t,, m) = F t, I, m)+ ) m + + l =t+ ) m 2 l =t+ l =t+ l = l 2 =t+ l = l m = a=0 Jelölje F It,, m) geerátorfüggvéyét F I t, m, z): F I t, m, z) = 0 F I t,, m)z = F I t,, m)+ P l I,, m)+ l m = a=t+ P l I,, m) 3.38) ) ) m m ) + f j z j f j z j qj)z j + j= j=t+ j=0 ) ) m + m ) 2 + f j z j f j z j qj)z j 2 j= j=t+ j=t )

22 F It, m, z) segítségével felírható F I t, ) geerátorfüggvéye is: F I t, z) = F I t, )z = F I t,, m)z = F t, I )+ 0 0 m m + ) t j=t+ fj)zj j=0 qj)zj ) + t j= fj)zj Itt azt az összefüggést haszáltam, hogy m ) m = d m d) )! = d d) ) 2 j=t+ fj)zj j=t+ qj)zj ) t j= fj)zj 3.40) )! = ) 3.4) l I illetve hasolóéppe m ) m 2 m + =. ) ) eloszlásfüggvéyée segítségével i tudom számítai a -adi leghosszabb reord élettartamáa várható értéét: El I )) = t 0 F I t, ) ) 3.42) Hasolóa, mit = 2 esetbe, a várható érté aszimptotius viseledésée vizsgálatához a geerátorfüggvéyét számítom i: El))z I = F I t, ) ) z = ) z F I t, z) 0 0 t 0 t ) 20

23 Behelyettesítve 3.40)-et, a övetez t apom: ))z 0El I = z F t, I z) t 0 c) és d) iszámításához a = 2-él már alalmazott módszert haszálom: ) 2 j=t+ fj)zj j=t+ qj)zj ) t j= fj)zj ) t j=t+ fj)zj j=0 qj)zj ) = t j= fj)zj ) 2 = ) z F t, I z) j=t+ fj)zj j=t+ qj)zj t 0 t 0 ) t }{{} j= fj)zj }{{} 0 ElI ))z ) t j=t+ fj)zj j=0 qj)zj t 0 ) t j= fj)zj }{{} d) c) 3.44) c) y 3/2 e y dy ) 2 y /2 e y dy s /2 e + πerf d 3.45) )) d) y 3/2 e y dy ) πerf ) s /2 e + πerf d 3.46) )) Tehát azt apom El I )) geerátorfüggvéyére tetsz leges 2 eseté, hogy: El))e I s 0 El ))e I s y 3/2 e y dy ) 2 y /2 e y dy s /2 e + πerf d )) y 3/2 e y dy ) πerf ) s /2 e + πerf d )) )

24 C I 2 0, , , , , táblázat. C I értéei ülöböz -ra = 2 eseté azt aptam, hogy 0 ElI 2))e s s 2 0, , ezt az eredméyt felhaszálva iszámítható = 3-ra az aszimptotia, majd ezzel = 4-re, és így tovább. Mide esetbe azt apju, hogy 0 ElI ))es C I s 2, ahol CI egy -tól függ ostas. CI értéeit 2 6-ra a 3.3 táblázat tartalmazza. Ugyaúgy, mit = 2 eseté ebb l és li ) overgeciájából az övetezi, hogy El I )) C I 3.48) Tehát az I. esetbe El I ))-r l a övetez tétel modható i: 6. Tétel. Tetsz leges > egész számra El I )) geerátorfüggvéyére feáll 0 ElI ))es s 2 C I amit s 0, ahol C I = C I y 3/2 e y dy ) 2 y /2 e y dy /2 e + πerf d )) y 3/2 e y dy ) πerf ) 2 0 /2 e + πerf d )) és C I = Q I ). Követezéséppe El I )) C I Ezutá ebbe az esetbe is megvizsgálom Q I ) aszimptotius viseledését. Jelölje aa a valószí ségét, hogy lépés alatt m reord születi, és eze özül az utolsó élettartama a -adi leghosszabb Q I, m). Ebbe az 22

25 esetbe τ,..., τ m özül potosa itervallum hossza agyobb A -él, ezért ez a valószí ség a övetez éppe fejezhet i: Q I, m) = PA = l), I R = m) = ) m = a 0 l =a+ l =a+ l = a a l m = P l I,, m) 3.49) Q I )-et úgy aphatju meg, ha ezt a meyiséget összegezzü mide m-re: Q I ) = m 0 QI, m). QI ) viseledését is a geerátorfüggvéye segítségével vizsgálom: Q I z) = Q I )z = Q I, m)z = 0 0 m = ) ) m m j ) 3.50) qj)z j fl)z l fl)z l m j 0 l= l=j+ Alalmazva 3.4)-et a övetez t apom: ) Q I z) = qj)z j l=j+ fl)zl j 0 ) 3.5) j l= fl)zl Ismét a szoásos átalaításoat haszálva Q I z) aszimptotius viseledése az alábbi: Q I z) s 2 0 e ) e y dy y 3/2 e + πerf ) ) d 3.52) ahol Q I ) = 2 0 e ) e y dy y 3/2 e + πerf ) ) d 3.53) egy -tól függ ostas, melye értéeit 2 6-ra a 3.4 táblázat tartalmazza. Tehát csaúgy, mit = 2 eseté, azt apju, hogy Q I ) Q I ) 3.54) Tehát az I. esetbe Q I )-r l a övetez tétel modható i: 23

26 Q I ) 2 0, , , , , táblázat. Q I ) értéei ülöböz -ra 7. Tétel. Tetsz leges > egész szám eseté Q I ) geerátorfüggvéyére feáll 0 QI )e s s QI ), amit s 0, ahol Q I ) = 2 0 e ) e y dy y 3/2 e + πerf ) ) d Követezéséppe Q I ) Q I ) Vegyü észre, hogy Q I ) értéei megegyeze CI ostaso értéeivel mide -ra. Ez alapjá El I)) és QI ) meyisége özött is feáll a = 2 eseté bemutatott összefüggés: El I )) Q I ) 3.55) Ez a meggyelés összhagba áll 3.)-gyel, továbbá a ét meyiség geerátorfüggvéyér l hasolóa belátható a övetez állítás, mit = 2 eseté: 5. Állítás. z) 0 El I ))z = z 0 Q I )z Mivel mide -re ismerjü Q I ) aszimptotius viseledését, megvizsgálható, hogy ez egy valószí ségi eloszláshoz tart-e 3.2 ábra). Ha össze- 24

27 gezü mide -ra Q I )-t, aor a övetez t apju: Q I ) = = = 2 0 e ) e y dy y 3/2 e + πerf ) ) d = = 0 = e e + πerf ) 2 e e y y 3/2 dy + 2 πerf ) ) d 3.56) A geometriai sor összegépletét alalmazom, illetve a övetez ifejezést: ) y 3/2 e y dy = 2 /2 e 2Γ + 2 πerf) 3.57) 2 ahol Γ) = 0 y e dy a Gamma-függvéy. Q I ) = = 0 = Γ 2 = ) 0 e e + πerf ) e /2 d = π π = 2e /2 + 2 πerf ) ) 2Γ ) d = 2 Az utolsó el tti egyel ség parciális itegrálással apható meg. Tehát Q I ) ) valószí ségi eloszlást határoz meg. 3.58) 3.3. II. eset Ebbe az esetbe az utolsó itervallum τ m ) hossza az -edi lépésbe még ismeretle, R = m eseté a reordo élettartamáa egy lehetséges l = l, l 2,..., l m realizációjára a övetez teljesül: m = l < m l 3.59) Itt is ugyaazzal a ét meyiséggel jellemzem a -adi leghosszabb reord statisztiáit, mit az I. esetbe: az élettartamáa várható értéével, = 25

28 3.2. ábra. i= QI i ) overgál egyhez és aa a valószí ségével, hogy az utolsó reord élettartama a másodi leghosszabb. Q II Jelölje l II ) a -adi leghosszabb reord élettartamát lépés alatt és ) aa a valószí ségét, hogy lépés utá az utolsó reord élettartama a -adi leghosszabb. El ször a másodi leghosszabb élettartamú reord statisztiáit vizsgálom. Ez a meyiség lehet az utolsó, még ismeretle ietrvallum τ m ) hossza, vagy valamely orábbi reord τ,..., τ m ) élettartama. l II 2 ) eloszlásfüggvéyét jelölje F II 2 t, ): F II 2 t, ) = Pl II 2 ) t) = Pl II ) t) + Pl II ) > t, l II 2 ) t) 3.60) Az eloszlásfüggvéy felírható F II 2 t, ) = m F II 2 t,, m) alaba, ahol F II 2 t,, m) = Pl II 2 ) t, R = m) 3.6) Az I. esethez hasolóa F II 2 t,, m) a övetez meyisége összegeét 26

29 áll el : F II 2 t,, m) = l = l 2 = + m ) + l = l 2 = l m = l m=0 l =t+ l 2 = l m = l m=t+ P II l,, m)+ l m = l m=0 P II l,, m)+ P II l,, m) 3.62) F II 2 t, m, z). Eor 3.0)-et be- Jelölje F2 II t,, m) geerátorfüggvéyét helyettesítve a övetez t apom: F 2 II t,m, z) = F2 II t,, m)z = 0 ) m ) = f j z j fj) m zj z + f j z j j= j= j= ) m 2 + m ) fj)z j f j z j fj) zj z j=t+ j= j= j=t+ fj) zj z ) Az utolsó itervallum eseté a geerátorfüggvéybe t zj j= fj) jelei meg t z j= fj)zj helyett. Ee az az oa, hogy 3.0) szerit m = l >, tehát a geerátorfüggvéybe fl m ) együtthatója, z, z 2,..., z lm lehet attól függ e, hogy meora m = l értée. Jelölje F2 II II t, ) geerátorfüggvéyét F 2 t, z), ez csaúgy, mit I. esetbe II ifejezhet F 2 t, m, z) segítségével: F 2 II t, z) = F2 II t, )z = F2 II t,, m)z = 0 0 m m F II 2 t, m, z) 3.64) 27

30 Az I. esetbe haszált átalaításoat alalmazva azt apom, hogy: F 2 II t, z) = t j= fj) ) zj ) z t + j=t+ fj) ) zj ) j= fj)zj z t + j= fj)zj + j=t+ fj)zj t j= fj) zj ) z ) 2 = t j= fj)zj = z j= fj) zj ) t + j= fj)zj j=t+ fj)zj t j= fj) zj ) ) 2 t j= fj)zj 3.65) A leghosszabb reord eseté El II )) em deiálható [4];az utolsó reord τ m ) hossza tetsz legese agy lehet, ezért agy értéere l II ) = τ m. Emiatt El II )) diverges. Azoba El II )) aszimptotius viseledését ugyaúgy jellemezhetjü, mit az I. esetbe. F II 2 t, ) segítségével iszámítható a másodi leghosszabb reord élettartamáa várható értée: El2 II )) = F II 2 t, ) ) 3.66) t 0 El II 2 )) geerátorfüggvéye a övetez : 0 El II 2 ))z = 0 t 0 F II 2 t, ) ) z = t 0 ) II F 2 t, z) z 3.67) 28

31 Felhaszálva 3.65)-at: El2 II ))z = j= fj) zj ) z t 0 t 0 j= fj)zj j=t+ fj)zj t j= fj) zj ) ) 2 = t j= fj)zj = z j= fj) ) zj ) z t t 0 t 0 j= }{{ fj)zj } j=t+ fj)zj t j= fj) zj ) z t 0 ) 2 t j= fj)zj }{{} f ) e) 3.68) Külö-ülö iszámítom e)-t és f)-et az I.esetbe is haszált módszerrel, a övetez eredméyt apom: e) y 3/2 e y )dy 0 s /2 e + πerf d 3.69) ) f) s y 3/2 e y dy 0 y 3/2 e y )dy /2 e + πerf )) 2 d 3.70) Tehát az övetez t apom El2 II )) geerátorfüggvéyére: e s El2 II )) y 3/2 e y )dy 0 s /2 e + πerf ) y 3/2 e y dy ) 3.7) 0 y 3/2 e y )dy 4 /2 e + πerf )) 2 d = s2 0, Ugyaúgy, mit az I. esetbe ebb l az övetezi, hogy El II 2 )) 0, ) 29

32 Most Q II ) aszimptotius viseledését vizsgálom. Jelölje Q II 2, m) aa a valószí ségét, hogy lépés alatt m reord születi, és eze özül az utolsó élettartama a másodi leghosszabb. Ebbe az esetbe τ,..., τ m özül potosa az egyi itervallum hossza agyobb τ m -él, ezért ezt a valószí séget a övetez éppe fejezhetjü i: Q II 2, m) = Pτ m = l2 II ), R = m) = = m ) j j l =j+ l 2 = j l m = P l II,, m) 3.73) Q II 2 )-t megaphatju úgy, hogy az el bbi valószí séget összegezzü mide lehetséges m-re: Q II 2 ) = m 0 QII 2, m). Q II 2 ) geerátorfüggvéyét jelölje Q 2 II z). Q II 2 z) = Q II 2 )z = 0 0 = j z m Q II 2, m)z = fj) zj ) =j+ f)z ) 2 j = f)z 3.74) Hasoló módszerrel, mit I. esetbe, azt apom Q II 2 ) geerátorfüggvéyére, hogy Q II 2 e s ) s 4 Követezéséppe 0 3/2 e ) y 3/2 e y dy /2 e + πerf )) 2 d = 0, s 3.75) Q II 2 ) Q II 2 ) = 0, ) Ezutá tetsz leges -ra hasoló módo iszámítom a -adi leghosszabb élettartamú reord statisztiáit. El ször l II II )-t vizsgálom, jelölje F t, ) az eloszlásfüggvéyét. Ez az t, ) segítségével, ugyais lii ) t aor ) t is feáll, vagy ha lii ) > t, de lii) t: eloszlásfüggvéy ifejezhte F II áll fe, ha már l II F II t, ) = Pl II ) t) = F t, II ) + Pl II ) t, l ) II > t) 3.77) 30

33 Ezt az eloszlásfüggvéyt felírhatju F IIt, ) = m F II t,, m) alaba, ahol F II F II t,, m) = Pl II ) t, R = m) 3.78) Hasolóa l II ) eloszlásfüggvéyéhez, ezt a meyiséget is fel lehet íri t,, m) segítségével: F II t,, m) = F t, II, m) + Pl II ) t, l ) II > t, R = m) 3.79) Aor, ha az els ) leghosszabb itervallum agyobb, mit t ét esetet ülöböztethetü meg: ha az utolsó itervallum τ m ) is eze özött va, illetve ha az els ) leghosszabb itervallum mid τ,..., τ m özül erül i. Ez alapjá F II t,, m) a övetez éppe számítható i: F II t,, m) = F t, II, m)+ ) m + Jelölje F II + F II t, m, z) = 0 F II l =t+ ) m 2 l =t+ l =t+ l = l 2 =t+ l = l m = l m=0 II t,, m) geerátorfüggvéyét F t, m, z): + + F II t,, m)z = F II t,, m)+ P l II,, m)+ l m = l m=t+ ) ) m m ) f j z j f j z j j= j=t+ ) ) m + m f j z j 2 j= j=t+ f j z j ) 2 j= P l II,, m) 3.80) fj) zj z + j=t+ fj) zj z 3.8) II t, m, z) segítségével hasolóa, mit I. esetbe felírható F t, ) ge- 3

34 erátorfüggvéye is: F II t, z) = 0 = F II t, )z = 0 m II F t, ) + z + z F II t,, m)z = ) t j=t+ fj)zj j= fj) zj ) ) + t j= fj)zj ) 2 j=t+ fj)zj j=t+ fj) zj ) ) t j= fj)zj 3.82) F II t, ) segítségével iszámítható a -adi leghosszabb reord élettartamáa várható értée: El II )) = F II t, ) ) 3.83) t 0 El II )) geerátorfüggvéye a övetez : 0 El II ))z = 0 t 0 F II t, ) ) z = t 0 Felhaszálva 3.82)-at: El II ))z = ) II F z t, ) 0 t 0 }{{} 0 ElII ))z ) II F t, z) z j=t fj) zj ) t+ fj)zj) 2 z t 0 ) t j= fj)zj }{{} g) t j= fj) ) zj ) j=t+ fj)zj z t 0 ) t j= fj)zj }{{} h) ) 3.85)

35 Külö-ülö iszámítom g)-t és h)-t a szoásos módszerrel, a övetez eredméyt apom: g) s y 3/2 e y )dy y 3/2 e y dy ) 2 /2 e + πerf d 3.86) ) h) y 3/2 e y )dy 0 y 3/2 e y dy ) s /2 e + πerf d 3.87) )) Tehát az övetez t apom El II )) geerátorfüggvéyére: 0 e s El II )) 0 s e s El II )) y 3/2 e y )dy y 3/2 e y dy ) 2 /2 e + πerf ) y 3/2 e y dy ) ) d y 3/2 e y )dy 0 2 /2 e + πerf )) 3.88) = 2 eseté azt aptam, hogy 0 ElII 2 ))e s s 2 0, , ezt az eredméyt felhaszálva iszámítható = 3-ra az aszimptotia, majd ezzel = 4-re, és így tovább. Mide esetbe azt apju, hogy 0 ElII ))es C II s 2, ahol CII egy -tól függ ostas. C II értéeit 2 6-ra a 3.5 táblázat tartalmazza. Eze a ostaso orábba még em jelete meg az irodalomba. Ugyaúgy, mit = 2 eseté ebb l és lii ) overgeciájából az övetezi, hogy Tehát a II. esetbe El II El II)) C II 3.89) ))-r l a övetez tétel modható i: 8. Tétel. Tetsz leges > egész számra El II )) geerátorfüggvéyére feáll 0 ElII ))es C II s 2 C II 2 = 4 amit s 0, ahol y 3/2 e y )dy /2 e + πerf ) y 3/2 e y dy ) 0 y 3/2 e y )dy /2 e + πerf )) 2 d 33

36 C II 2 0, , , , , táblázat. C II értéei ülöböz -ra C II = C II Követezéséppe 0 2 y 3/2 e y )dy 0 2 /2 e + πerf )) y 3/2 e y )dy y 3/2 e y dy ) 2 /2 e + πerf ) y 3/2 e y dy ) ) d El II )) C II Ezutá ebbe az esetbe is megvizsgálom Q II ) aszimptotius viseledését. Jelölje aa a valószí ségét, hogy lépés alatt m reord születi, és eze özül az utolsó élettartama a -adi leghosszabb Q II, m). Ebbe az esetbe τ,..., τ m özül potosa ) itervallum hossza agyobb τ m -él, ezért ez a valószí ség a övetez éppe fejezhet i: Q II, m) = Pτ m = l II ), R = m) = ) m = j l =j+ l =j+ l = j j l m = P l II,, m) 3.90) Q II )-et úgy aphatju meg, ha ezt a meyiséget összegezzü mide m-re: Q II ) = m 0 QII, m). QII ) viseledését is a geerátorfüggvé- 34

37 ye segítségével vizsgálom: Q II z) = Q II )z = 0 0 = m j 0 fj) zj z m m Q II, m)z = ) ) m j ) fl)z l fl)z l l= l=j+ 3.9) Hasolóa, mit az I. esetbe a övetez t apom: ) Q z) = fj) z j ) l=j+ fl)zl z j 0 ) 3.92) j l= fl)zl Ismét a szoásos átalaításoat haszálva II Q z) aszimptotius viseledése az alábbi: Q II z) s 2 0 3/2 e ) e y e + πerf ) ) dy y 3/2 ) d 3.93) ahol Q II ) = 2 0 3/2 e ) e y e + πerf ) ) dy y 3/2 ) d 3.94) egy -tól függ ostas, melye értéeit 2 6-ra a 3.6 táblázat tartalmazza. Tehát csaúgy, mit = 2 eseté, azt apju, hogy Q II ) Q II ) 3.95) Tehát a II. esetbe Q I )-r l a övetez tétel modható i: 9. Tétel. Tetsz leges > egész szám eseté Q II ) geerátorfüggvéyére feáll 0 QII ), amit s 0, ahol )e s s QII Q II ) = 2 0 3/2 e ) e y e + πerf ) ) dy y 3/2 ) d Követezéséppe Q II ) Q II ) 35

38 Q II ) 2 0, , , , , táblázat. Q II ) értéei ülöböz -ra Mivel mide -re ismerjü Q II ) aszimptotius viseledését, megvizsgálható, hogy ez egy valószí ségi eloszláshoz tart-e 3.3 ábra). Ha összegezü mide -ra Q II )-t, aor a övetez t apju: = = Q II ) = = 2 = = 3/2 e ) e y e + πerf ) 3/2 e ) e + πerf ) ) dy y 3/2 ) d = 2 e e y y 3/2 dy + 2 πerf ) ) d 3.96) A geometriai sor összegépletét és 3.57)-et alalmazva: Q II ) = 3/2 e ) 2 e 0 + πerf 2e /2 + 2 pierf ) )) ) 2Γ ) d = 2 = 2 Γ 2 = ) 0 3/2 e )d = 2 pi 2 pi = Az utolsó el tti egyel ség parciális itegrálással apható meg. Tehát Q II ) ) valószí ségi eloszlást határoz meg. 3.97) 36

39 3.3. ábra. i= QII i ) overgál egyhez 37

40 4. fejezet Összefoglalás A dolgozatba [4] eredméyeit terjesztem i > esetre. Véletle bolyogáso reord statisztiáit vizsgáltam tetsz leges szimmetrius és folytoos lépéseloszlás eseté. A reordo élettartamát jellemeztem lépés utá. Az utolsó reord élettartamát étféleéppe deiáltam α = I, II): az éppe atuális élettartama A ), illetve a még ismeretle, valós élettartama τ m ). Az els és másodi eset más-más eredméyre vezet, azaz a reordo statisztiái ige érzéeye az utolsó reord megválasztására. A -adi > ) leghosszabb reord statisztiáit ét meyiség segítségével jellemeztem: lépés utá a -adi leghosszabb reord várható értée E α l ))), illetve aa a valószí sége, hogy lépés utá az utolsó reord a -adi leghosszabb Q α )). Az utóbbi meyiség megegyezi aa a valószí ségével, hogy a -adi leghosszabb reord az -edi lépésbe d l meg. Az els esetbe E I l )) és Q I ) geerátorfüggvéyeie segítségével meg tudtam határozi az aszimpotius viseledésüet. Megmutattam, hogy az értéü függetle a bolyogás lépéseloszlásától, mide -ra egy uiverzális ostas segítségével jellemezhet : E I l )) Q I ) 4.) Q I ) Q I ) 4.2) 38

41 Q I )-t eplicit módo ifejeztem mide -ra. Az így apott ostaso már el fordulta [2]-be, ott azoba csa a stadard Brow-mozgás esetét vizsgáltá, míg é egy mási esetre, tetsz leges szimmetrius lépéseloszlású bolyogásra láttam be érvéyességüet. Megmutattam továbbá, hogy csaúgy, mit = esetbe, a ét meyiség geerátorfüggvéye tetsz leges eseté egymásból ifejezhet, illetve feáll öztü a övetez összefüggés: E I l + )) = E I l )) + Q I ) 4.3) A másodi esetbe Q II ) vizsgálata sorá szité azt aptam, hogy viseledése függetle a lépéseloszlástól, mide -ra egy uiverzális ostassal jellemezhet : Q II ) Q II ) 4.4) Q II )-t eplicit módo is ifejeztem tetsz leges -ra. Eze a ostaso szité megjelete [2]-be egy a mostaitól eltér esetbe; illetve [7]-be, itt azoba egy soal egyszer bb módo számítom i et. Ebbe az esetbe E II l + )) aszimptotius viseledésée vizsgálataor is egy uiverzális ostast apo: E II l )) C II 4.5) C II egy olya sorozatot deiál, amit még em láttu az irodalomba. Értéét mide -ra eplicit módo ifejeztem. Összehasolítva az eredméyeet [4] leghosszabb reordra apott eredméyeivel azt vehetjü észre, hogy midét estbe lépés utá soal agyobb valószí séggel lesz az utolsó itervallum a leghosszabb, mit a -adi leghosszabb > ). Ezefelül midét esetbe beláttam, hogy Q α ) egy valószí ségi eloszlást deiál. 39

42 5. fejezet Függelé fs) geerátorfüggvéye. Egy szimmetrius véletle bolyogás sorá f) aa a valószí sége, hogy a bolyogás a -adi és )-edi lépés özött lépi át a ezdeti szitet. Legye f) geerátorfüggvéye f). Eor a övetez modható f)-ról []: 0. Tétel. log fs) = s P 0) = Bizoyítás. Tetsz leges -re teitsü az els lépés összes lehetséges cilius permutációját. Eze a övetez alaúa: η ν, η ν+,..., η, η,..., η ν ) Összese ilye permutáció va, és egy adott permutációt azoosíthatu az els lépésée ideével ν. Egy ν permutációhoz tartozó bolyogás értéeit jelölje ν) 0, ν),..., ν) ). Vegyü egy egész számot ), és mide permutáció eseté de- iálju az Y ν) valószí ségi változót a övetez éppe: Y ν) =, ha a -adi reord idee ν) 0, ν),..., ν) )-be, ülöbe Y ν) = 0. ν = az eredeti bolyogást deiálja, így PY ) = ) = f ), ahol f ) a -adi reord id eloszlása. f ) darab függetle reord id összege, ezért f ) lesz fs) -ba s együtthatója. 40

43 Y ν) - azoos eloszlású valószí ségi változó, és csa 0 illetve értéet vehete fel, ezért: emiatt f ) = EY ) ) = EY + + Y ) Köye belátható, hogy Y + + Y csa a 0 vagy értéet veheti fel, f ) = PY + + Y = ) Rögzített -re és = 0,, 2,... -ra {Y + + Y = } eseméye ölcsööse izáróa, uióju pedig az { > 0} eseméy. Összegezve -ra tehát azt apju, hogy = r f ) = P > 0) Beszorozva s -el, és összegezve -re: = fs) = s P > 0) = Az egyelet bal oldala megegyezi log -el, így megaptu a tételbe fs) szerepl állítást. ahol Biomiális sor. Tetsz leges ν valós szám eseté biomiális sora a övetez : + a) ν = ) ν = =0 ) ν a ν 5.) Γν + ) Γ + )Γν + ) Negatív itev és a = eseté azt apju, hogy + ) ν = ) ν ) 5.2) =0 4

44 Ee egy speciális esete a övetez : ) /2 = ) /2 ) = =0 =0 2 )!! 5.3) 2)!! Ez a sor < eseté overgál. utá. A -adi leghosszabb élettartam overgeciája. Az I. esetbe l I ) jelöli a -adi leghosszabb reord élettartamát lépés 6. Állítás. j= li j ) szubadditív. Bizoyítás. = eseté: Ha a leghosszabb itervallum + m lépés alatt teljes egészébe az els lépésbe található, aor l I + m) = l I ) áll fe. Ha az utolsó m lépés sorá övetezi be, aor l I + m) = l I m) igaz. Ha ez az itervallum öztes potjaét tartalmazza -et, aor egy része az els lépésbe esi, ez a rész yilvá l I ), a mási része pedig az utolsó m lépésbe esi, melyre szité igaz, hogy l I m). Tehát ez esetbe l I + m) l I ) + l I m). Azaz mide esetbe feáll l I + m) l I ) + l I m) Tetsz leges > -re: Ha az els leghosszabb itervallum midegyie teljes egészébe az els lépésbe esi, aor j= li j + m) = j= li j ). Ha mid az utolsó m lépésbe esi, aor j= li j + m) = j= li j m). Ha az els leghosszabb itervallum vegyese található az els és utolsó m lépésbe is, aor azo az itervallumo, ami teljes egészébe az els lépésbe ese yilvá -ig is az els leghosszabb itervallumba tartoza, így beleeüle j= li j ) összegbe. Ha va olya itervallum, ami öztes potét tartalmazza -et, aor az az els lépés sorá em biztos, hogy beerül a leghosszabb itervallum özé, helyette agyobb itervallum erülhet be. Így j= li j ) tartalmazza azoat az itervallumoat a leghosszabb özül, ami teljes egészébe -ba ese, az -et tratalmazó 42

45 részitervallumál egy agyobb vagy egyel itervallumot, illetve további itervallumoat, ami az els lépés alatt beletartoza a legagyobba. Tehát j= li j ) mideépp agyobb vagy egyel lesz az + m lépés alatti leghosszabb itervallum els lépésbe es részéél. Hasoló godolatmeettel ugyaez igaz az utolsó m lépésre is. Tehát ez esetbe j= li j + m) j= li j ) + j= li j m). Azaz mide esetbe igaz, hogy lj I + m) lj I ) + lj I m) j= j= j= A várható érté mootoitása és liearitása miatt j= li j ) szubadditivitásából övetezi j= ElI j )) szubadditivitása. El I )) overgeciájához a övetez állításra va szüség: 7. Állítás. Ha a sorozat szubadditív, aor a overges. Bizoyítás. Rögzítsü egy m egész számot úgy, hogy m <<. Eor létezi q és r egész szám r < m), hogy = mq + r. a szubadditivitása miatt eor Leosztva -el az egyeletet: = mq + r r < m) miatt mq Azaz a qa m + a r a qa m + a r = mq mq a m m + a r ar, ma{a,...,a m } a m m + a r a m m 0, tehát Tehát a overges. lim sup a lim if a m m Az el z ét állításb l övetezi tehát, hogy overges mide -ra. Mivel ElI )) és ElI ))+ElI 2 )) j= ElI j )) is overges, ezért ElI 2 )) overges. is overges,... stb. Így mide -ra belátható, hogy ElI )) 43

46 Irodalomjegyzé [] W. Feller, A Itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios, Vol. 2 Wiley, 2. editio 97) [2] S. Fich, Ecursio duratios sch/csolve/pd.pdf 2008) [3] R. García-García, A. Rosso, G. Schehr, The logest ecursio of fractioal Browia motio: umerical evidece of the o-marovia eects Phys. Rev. E 8, 0002R) 200) [4] C. Godréche, S. N. Majumdar, R. M. Zift, Uiversal record statistics of radom wals ad Lévy ights, Physical Review Letters 0, ) [5] C. Godréche, S. N. Majumdar, G. Schehr, The logest ecursio of stochastic processes i oequilibrium systems, Phys. Rev. Lett. 02, ) [6] S. N. Majumdar, G. Schehr, Uiversal statistics of logest lastig records of radom wals ad Lévy ights, J. Phys. A: Math. Theor. 47, ) [7] C. L. Scheer, The ra of the preset ecursio Stochastic Processes ad their Applicatios 55, ) 44