Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy célja a valós számsorozatokkal és sorokkal kapcsolatos legfotosabb feladattípusok megoldási módszereiek bemutatása. Mide feladattípus esté megoldott feladtoko keresztül mutatjuk be az eljárást, melyeket gyakorlásra szát hasoló típusú feladatok követek. Ezekek csak az eredméye található meg eze segédayagba, a megoldásokhoz jó mukát kíváuk. A sorozat defiíciója: A természetes számok halmazá értelmezett valós függvéyeket, azaz az f : N R függvéyeket valós számsorozatak evezzük. Az f helyett legtöbbször f a -et íruk, amelyet a sorozat általáos tagjáak -edik tagjáak evezük, és a sorozatot az a, N módo jelöljük. Ahogya a természetes számok defiíciója em egységes a klöböző szakirodalmakba, és ezáltal a 0-ak a természetes számok halmazához tartozása megegyezése alapul, úgy a sorzatok értelmezési tartomáya is eltérő lehet a külöböző szakirodalmakba. Mi a 0-t természetes számak tekitjük, és jelezzük ha más taggal kezdődik a sorozat. A továbbiakba találkozi foguk 0-dik taggal iduló sorozattal Pl., N ; de a pozitív egészeke értelmezett sorozattal is Pl. a, N, itt az első taggal idul a sorozat. De például az a 5, 5 sorozat az ötödik taggal kezdődik. Korlátosság: Azt modjuk, hogy az a, N sorozat felülről korlátos, ha létezik olya K R szám, hogy a K bármely N eseté teljesül. Ha va olya k R szám úgy, hogy a k bármely N eseté teljesül, akkor a sorozatot alulról korlátosak modjuk. A sorozat korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos. Egy felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határáak vagy szuprémumáak evezzük, míg egy alulról korlátos sorozat legagyobb alsó korlátját a

sorozat alsó határáak vagy ifimumáak hívjuk. Ha egy sorozat felülről em korlátos, akkor azt modjuk, hogy felső határa +, alulról em korlátos soroztat eseté az alsó határ. Akkor modjuk, hogy a sorozatak va legkisebb eleme más szóval: miimuma, ha va olya α a k eleme a sorozatak, hogy α a bármely N eseté teljesül, illetve va legagyobb eleme más szóval: maximuma, ha va olya β a k eleme a sorozatak, hogy a β bármely N eseté teljesül. Ha egy sorozatak va maximuma, akkor ez egybe szuprémuma is, továbbá a miimumérték egybe imfimum is. Nem midig va maximuma, ill. miimuma egy sorozatak, de midig redelkezik szuprémummal és imfimummal. Mootoitás: Az a, N sorozat mooto övekvő, ha a a + N teljesül a + a 0 mide N esté. Az a, N sorozat mooto csökkeő vagy fogyó, ha a a + N a + a 0 mide N esté. Tehát a mootoitás vizsgálata az a + a előjelvizsgálatával zajlik. Ha az a + a 0 mide -re, akkor a sorozat mooto övekvő, a + a 0 N eseté pedig mooto csökkeő a vizsgált sorozat. A pozitív tagú sorozatok a > 0 N eseté a mootoitásvizsgálatot végezhetjük a az a + tört -hez való viszoyításával is. Ha a a + bármely N eseté teljesül, akkor mooto övekvő sorozatról va szó, ha pedig bármely N eseté a a + teljesül, akkor mooto csökkeő sorozatról beszélük. Mooto övekvő sorozat esté a sorozat első tagja, a alsó korlátja a sorozatak. Ekkor a mi a if a. Mooto csökkeő sorozat esté pedig a max a sup a. Részsorozat: Ha k : N N szigorúa mooto övekvő sorozat, akkor az a k, N sorozat az a, N sorozat egy részsorozata. Határozzuk meg az alábbi sorozatok alsó és felső határát, valamit a legkisebb és legagyobb elemét a miimumát és maximumát ameyibe felveszi azokat! a a, N b b 4, N c c 4, N d d + 4, N e e, N f f cos π 4, N g g, N h,, 4, 4,...,, i, N j, N,... Megoldások: a Észrevesszük, hogy a. Mivel N, és

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal egyszerű számolással látható, hogy bármely -él agyobb szám em alsó korlát, ezért if a. Mivel az -et fel is veszi a sorozat, mi a. Továbbá a sorozatak N N felső korlátja a és bármely -él kisebb szám em felső korlátja a sorozatak, ezért a. De mivel ezt az értéket em veszi fel a sorozat, ezért a sorozatak ics sup N maximuma, tehát max a em létezik. N e e 0 0, e, e 0, e, e 4 0... a sorozat elemei váltakozva a 0 és az értékek leszek, ezért alsó határa 0 és mivel ezt az értéket a sorozat fel is veszi, a legkisebb eleme is 0, felső határa és legagyobb eleme. Tehát sup N míg if N e mi N e 0. e max N e, f Kiszámítjuk a sorozat éháy tagját: f,, 0,,,, 0,,,... Mivel a cos függvéy periódikus, s periódusa π, ezért a sorozat első 8 eleme periódikusa ismétlődik, és látjuk, hogy f N. Eél jobb alsó és felső korlátot em adhatuk, hisze ezeket az értékeket fel is veszi a sorozat. Ezért if f, N f. Mivel eze értékeket a sorozat felveszi, va legkisebb és legagyobb eleme is sup N a sorozatak: mi N f és max N f. g g 0 0, g, g, g, g 4 4, g 5 5, g 6 6,... látjuk, hogy a sorozat páratla tagjaiból álló részsorozat az -től a 0-hoz közeledik g + N, + míg a páros sorszámú tagok alkotta részsorozat g N felülről em korlátos, ezért a sorozat felső határa: sup g +, s ics legagyobb eleme. Alsó határa: N if g 0, hisze 0 < és 0 < N továbbá bármely pozitív szám em alsó N + korlát. Ám g 0 0 miatt va legkisebb eleme, mi g 0. N h Itt újra két részsorozatról érdemes beszéli: míg a páratla tagok mooto övekvőe az -hez közelíteek, addig a párosak mooto csökkeőe a 0-hoz h, h + + + N Ezért if h + 0, sup h, a sorozatak legkisebb és legagyobb N N eleme icse, mert a 0-t, illetve az -et em veszik fel a sorozat elemei. Vizsgáljuk az alábbi sorozatok korlátosságát és mootoitását; határozzuk meg alsó és felső korlátait- ameyibe létezek ezek! a a, N b b +, N c c 8 4, N d d + 4, N e e +, N f f + +, N

4 g g!, N h h + +, N i i, N j j, N k k + k + + k N, k 0 < k Megoldások: a a + a + + > 0 N, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A 0 < N egyelőtleség miatt a sorozat alulról és felülről is korlátos, alsó korlátak megfelel az a 0, de bármely eél kisebb szám is, felső korlát pl. az, hisze < mivel az < igaz mide -re. + e Mivel e + e + + + + + + + < 0 N, szigorúa mooto csökkeő sorozatot kaptuk, melyek felső korlátja az első tagja, e, alsó korlátja is va: pl. a 0, hisze ha a számláló is, a evező is pozitív, akkor az e > 0. A sorozat tehát korlátos. + f A sorozat szigorúa mooto övekvő, alsó korlátja: f 0, felső korlát pl., mert ha vizsgáljuk az f + < egyelőtleség igaz voltát, látjuk, hogy a + + < + igaz, emiatt feltevésük valóba teljesül. Tehát korlátos sorozatról beszélük. g g + g + +! 0 N, de pozitív, ha 0! +! ezért mooto csökeő az első tagtól kezdve, de a ulladik tag miatt ezt a sorozatról áltálaba em állíthatjuk. Felső korlátja a sorozat első eleme: d, alsó korlát a 0, hisze mid a, mid az! pozitív. Így újra korlátos sorozatot kaptuk. h h + h + + + + + + + + + + + + + +. A szorzat második tagja mide N-re pozitív, míg az első váltakozva pozitív illetve egatív, ezért a sorozat em mooto. A alsó korlátja, a, 5 felső korlátja sorozatukak. Ez a sorozat tehát korlátos, de em mooto. A páratla tagokból álló részsorozat mooto övekvőe tart a 0-hoz, mivel h + + N, a párosak által alkotott részsorozat pedig a h + N, mely a -höz mooto csökkeőe tart. i i + i + + + + + > 0 N, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. Alsó korlátja pl. a 0, mivel N eseté >, így i > 0, ám felülről em korlátos, ezért a sorozat em korlátos. Idirekt úto

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 lássuk be, hogy felülről em korlátos: tegyük fel, hogy a K valós szám felső korlátja a sorozatak: < K N. Ekkor K < 0 mide N -ra. Az K < 0, -be másodfokú egyelőtleség megoldásai a pozitív természetes számok N halmazá a K K +4, K+ K +4 itervallumba eső természetes számok. A feti megoldáshalmaz em egyezik meg a pozitív természetes számok N halmazával. Ez azt jeleti, hogy em létezik olya K valós szám, amelyre a K mide N -ra teljesüle. Tehát egy mooto övekvő, felülről em korlátos sorozatot kaptuk. j A sorozat em mooto, de korlátos. Az alábbi sorozatok közül melyek az, N sorozat részsorozatai? a,,, 4,... b, 4, 6,... c,, 4,, 6, 5,... d,,,,,, 4, 5, 4, 5,... 4 Adjuk meg az alábbi sorozatok egy mooto részsorozatát: a, N b, N c 5+4, N Kovergecia: Az a, N sorozatot kovergesek evezzük, ha va olya α R szám, hogy ε > 0 eseté N N ú. küszöbidex, hogy a α < ε teljesül N eseté. Belátható, hogy α egyértelmű. Jelölés: a α. A sorozatot divergesek evezzük, ha em koverges. Azt modjuk, hogy a sorozat tart a + -be, ha M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely N eseté a M teljesül. Jelölés: a +. Azt modjuk, hogy a sorozat -hez tart, ha M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely N eseté a M teljesül. Jelölés: a. A kovergecia szükséges feltétele: Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos is. De em mide korlátos sorozat koverges pl. a, N, ezért a korlátosság a kovergecia szükséges, de em elégséges feltétele. Koverges sorozat bármely részsorozata is koverges és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyelő. Tehát ha valamely sorozat redelkezik két olya részsorozattal, melyek határértéke külöbözik, akkor a sorozat diverges. Mooto sorozatok kovergeciatétele: Ha az a, N sorozat mooto és korlátos, akkor koverges.

6 Egy a, N sorozatot Cauchy-sorozatak evezük, ha ε > 0 eseté N N, hogy, m N eseté a a m < ε teljesül. Cauchy-kritérium: Egy valós számsorozat akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. 5 A határérték ε-os értelmezését felhaszálva bizoyítsuk be, hogy a + b + c d 4 + 4 4 e f g h + 0 + + + + + 0 i + + és mide esetbe az ε 0, 0-re adjuk meg a megfelelő küszöbszámot. Megoldás: a Legye ε > 0 tetszőleges. A defiíció alapjá be kell látuk, hogy létezik olya N természetes szám küszöbidex, hogy bármely N-él agyobb idexű tagra a < ε. Keressük tehát egy olya küszöbidexet, melyél agyobb idexű tagokra feáll, hogy: + < ε. Az N küszöbidex keresése a gyakorlatba úgy törtéik, hogy a feti egyelőtleséget megoldjuk -re ézve. A feti egyelőtleség ekvivales a következőkkel: < ε > ε, tehát létezik olya N N küszöbidex N. [ ε ] +, hogy a sorozat N-edik tagjától kezdve mide tagja ε-ál kisebb távolságra va a -tól. Pl. ε 0, 0-re N 0, azaz a sorozat tagjai a 0-ik tagtól kezdve a -ak 0, 0 sugarú köryezetébe vaak. b Legye ε > 0 tetszőleges. A defiíció alapjá keresedő egy olya N természetes szám, az ú. küszöbidex, hogy bármely N-re a < ε, azaz bármely N-re + < ε.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 A feti egyelőtleséget a következő ekvivales formákba írjuk át: + < ε + < ε 9 + > ε ε >. 9 [ ] ε Tehát ha N 9 +, és N, akkor teljesül, hogy a < ε, így létezik olya N küszöbidex, hogy a sorozat N-edik tagjától kezdve mide tagja ε-ál kisebb távolságra va a -tól. Ezért a sorozat koverges és tart a -hoz. Pl. ε 0, 0-re N, azaz a sorozat tagjai a. tagtól kezdve legfeljebb 0, 0 távolságra lehetek a -tól. c N ε + 6 +, d N [ ] [ ] 9 4ε +, e N ε +, ami az ε 0, 0-re [ ] N 0, h N +. ε f Azt a téyt, hogy a sorozat -hez tart, a defiíció alapjá látjuk be: igazoljuk, hogy M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely N-él agyobb idexű tagra a < M. Legye M R tetszőleges. Itt M tetszőlegese kicsi egatív szám lehet, pl. 00000 + < M + A feti egyelőtleség ekvivales az alábbiakkal: M + M < 0 + M + M < 0. A M + M 0 egyelet gyökei, M± M +8 M 4. Mivel a másodfokú kifejezés előjele gyökökö kívül megegyezik az -es tag előjelével, ezért M + M < 0, ha, ] [, +. Figyelembe véve, hogy N, ezért > M M + 8 M M < 0 eseté, tehát 4 [ M M ] + 8 M N +. 4

8 Például M 00 választással kapjuk, hogy az N 5. tagtól kezdve a sorozat értékei 00-ál kisebbek. g Azt, hogy a sorozat + -hez tart, a defiíció alapjá úgy látjuk be, hogy megmutatjuk, hogy M R-hez létezik N N úgy, hogy bármely N-él agyobb idexű tagra a > M. A c potba látottakhoz hasoló godolatmeettel kapjuk, hogy [ N M+ M 4 ] +. 6 Igazoljuk, hogy az alábbi sorozatok divergesek: a +, N b, N c + + + +, N Útmutatás: Az a és b ptokba a páros és páratla tagokból álló részsorozatok a, N és a +, N határértéke külöbözik, tehát a sorozatok divergesek. c Az a a > miatt em teljesül a Cauchy-kritérium, tehát a sorozat diverges. 7 Alkalmazva a mooto sorozatok kovergeciatételét igazoljuk, hogy a következő sorozatok kovergesek: a!, N b + + + + +, N c + + + +, N d d +, N e e 8 4, N f f + 4, N. Megoldás: a Itt felhaszáljuk azt a tételt, amely szerit ha egy valós számsorozat mooto és korlátos, akkor koverges. a + a + +!! +!, ami egatív, ha >, tehát a sorozat a. tagtól kezdve szigorúa mooto csökkeő. A kovergecia szempotjábol viszot véges sok tag viselkedése em számottevő. Mivel > 0 és! > 0, ezért! > 0, a ulla alsó korlátja lesz a sorozatak. A tárgyalt sorozat a harmadik tagtól kezdve mooto csökkeő és alulról korlátos, következésképpe koverges. Megjegyezzük, hogy egy mooto csökkeő sorozat felülről midig korlátos, hisze a ulladik vagy az első tagjáál mide tagja kisebb vagy egyelő értékekkel redelkezik. b b + + + + +, ez a sorozat szigorúa mooto övekvő, mivel b + b > 0. Felülről korlátos is, mivel + + + + + + +

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 + + + + + + + + + 4 + + + + <. Így a sorozat mooto övekvő és felülről korlátos, tehát koverges. c Hasolóa kapjuk, hogy c + c + > 0 N, ezért a vizsgált sorozat + + <, szigorúa mooto övekvő és 0 < + + + + < + + becslés miatt felülről korlátos, tehát koverges. A d és f-beli sorozat mooto csökkeő, az e-be szereplő pedig mooto övekvő, s midegyik korlátos, következésképpe koverges. 8 Igazoljuk, hogy a következő sorozatok mootook és korlátosak, majd számítsuk ki a határértéküket! a a b a q q 0, c a! d a, a,, p R rögzített ap e a! f a α, α >, α R.! Alaphatárértékek: a c c; b c q k 0, 0, ha < q <, ha q +, ha q >, illetve ha q akkor d ha e k + k > 0; + e; a, akkor ; f g a! k 0 a R; q em létezik; e ; + 0 k R, a > ; a k h 0 k R;!! i 0. a a e; a a > 0, > 0; a a e ;

0.Tétel: 0 Ha a +, akkor a 0..Tétel: Sorozatok határértékére voatkozó műveleti szabályok / Határátmeeti szabályok Legyeek a, N és b, N koverges sorozatok és λ R. Ekkor az a + b, N, λa, N, a b, N sorozatok is, és a b 0 N és b 0 eseté az a b, N sorozat is koverges és a + b a + b ; λa λ a ; a b a b ; a a. b b Érvéyes a feti tétel akkor is, ha a és/vagy b, ameyibe a művelet értelmezett. Értelmezettek a következő műveletek: + + ; ; + + a + ; + a ; a R { +, ha α > 0 α+, ha α < 0, {, ha α > 0 α +, ha α < 0, + ; + ;. Nem értelmezettek a,, 0, 0 0, 0, és az 0 0 műveletek, eze határozatlasági estekbe megfelelő átalakításokat végzük, amelyekkel visszavezetjük a határérték kiszámítását úgyevezett értelmezett műveletekre. Ezeket a módszereket a következő feladatcsoportokál részletese bemutatjuk. Következméy: Legyeek a, N és b, N koverges sorozatok, a A, b B, és k R +, α R, β R +, c R + \ {}. Ekkor az a α, N, β a, N, k a, N, a b, N és az log c a, N sorozatok is kovergesek és aα A α ; βa β A ; k a k A; ab A B ; log c a log c A.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét: a, N b, N c, N d + 5, N + e +, N f 4 7 +, N. Megoldás: Az a, b és c potokba felhaszáljuk, hogy egy végtelebe divergáló sorozat tagjaiak reciprokából képzett sorozat ullához kovergál.tétel, a d, e és f potokba pedig a sorozatok határértékére voatkozó műveleti szabályok, az úgyevezett határatmeeti szabályok alkalmazásával.tétel: d 0; e ; f 4 7. 0 Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét: a + + b + c + d + 4 e 5 7 +. Megoldások: a végeztük el. + + +, itt a + + + műveletet b +, itt a műveletet végeztük el. c A határozatlaság miatt alkalmas átalakításokkal a sorozatok határértékeire voatkozó értelmes műveletekre vezetjük vissza. Ez esetbe ki kell emelük a legmagasabb fokszámú tagot, és így a következőt kapjuk: + + + +. d, e.

Elvégezve a megfelelő átalakításokat, számítsuk ki az alábbi határértékeket: + a + j a + 006 + + +, N b + + + k c + + 6 + + + + + l d + 5 + + + 5 4 + m e 4 + + + + 4 +... + + f + + + + 5 + 6 4 + g 4 + o + 6 + + + + + p h 5 4 + + + 5 + + + q i a, N + Megoldások: a Mid a számlálóba, mid a evezőbe levő kifejezés a + -be tart, ami az ú. határozatlasági esetet eredméyezi. Ez esetbe az általáos eljárás, amellyel a sorozatok határértékére voatkozó ú. értelmes műveletekre jutuk az, hogy mid a számlálóból, mid pedig a evezőből kiemeljük az evezőbe található legagyobb hatváyát, hogy egyszerűsítéssel eltütessük a határozatlaságot, s így + a következőt kapjuk: + +. b Hasolóa, a számlálóba és evezőbe is -et kiemelve majd egyszerűsítve kapjuk, + 006 hogy. + + c d ; e 5 ; f 0; g + ; h. + i + j Hasolóa, + k + + 6 + + 4 + 8 + 6. + + + +. + + + + + + + + + + +. +. 6 + + 6 + 6 + 6 +

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal + + + l + + + m + + +. + + 6 + + 6 +. + 4 + + + + + 7 6, ahol felhaszál- tuk, hogy + 4+... + k kk+ k k +k + + + 7 +. 6 o ; p ; q. Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a + 0, 05, N b 5, N c +, N d 5 + 7 + e 7 f + 5 g + 4 7 5 h a 5 + 7 7 +, N i a + + 5 + 4 + 7 5, N j a + 5 4 7 +, N k a + 7 4 5 +, N l a 7 4 7 +, N + + + 6 m a α + β α +, α > 0, β > 0, N + β+ Megoldások: a Mivel az és a 0, 05 számok abszolút értéke -él kisebb, ezért -edik +0, hatváyuk a 0-hoz tart, s így +0, 05 05. b A < miatt c 0 0. d+ + + 0, s így 5 5. e Most a határozatlaságot úgy szütetjük meg, hogy kiemeljük a legagyobb alapú tagot: 7 7 7. f +, g h A határozatlaságot látva mid a számlálóba, mid a evezőbe ki kell emelük a evező legagyobb alapú tagját, hogy egyszerűsítéssel eltütessük a

4 határozatlaságot: teljesül. 5 + 7 7 + 5 7 + +, hisze 7 < és 7 < 7 i A számlálót is, evezőt is 5 -el osztva, a következőt kapjuk: 5 + 5 + 5 + 4 5 + 7 7. j +5 4 7 + 7 + 5 7 4+ 7 0 4 0. k +7 4 5 + 5 + 7 5 4+ 5 + 4 +. + + 5 + 4 + 7 5 l 4 m α + β α + + β + α + β α α β + β α α+β β α α +β β, ha α < β α β + α β α, ha β < α +β. α+β, ha α β. Számítsuk ki! a + + 4 b 5 c d e + 4 + 5 + 5 + + 5 + + + 5 + 5 + f + 4 + 5 g 5 h i 5 4 5 4 5 + 4 Eredméyek: a +, b, c 0, d 5, e 5, f 0, g, h +, i +. 4 Számítsuk ki a következő határértékeket, ha a, b > 0 valós számok: a a a + b c a a a + a a + b a + + b + a + d 4 + 5 e a + 5 4 5 f a b.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 Megoldások: c a +b a + +b + a a a + a + a, ha a >, ha a, ha a <. a + a a b + a b + a, ha a > b a d + 4 +5 a 5 + 5 5 4 + b a b + b a b + + b + 0, ha b a. +, ha a > 5, ha a 5 0, ha a < 5. 5 A sorozatok határértékeivel végzett műveleti szabályokat alkalmazva számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a +, N b +, N 4 + c, N 5 + d 7, e a + +, N f a lg 0 +, N + g a 8 +, N π h a, N + i a 5, N j a 7, N Megoldások: a + 8. b Godoljuk a határérték és a műveletek kapcsolatára: + + 0 0. + c 5 d + 7 4 0. 5 + e Mivel a + + + 8. + 7 5. határérték létezik és véges, ezért + +

6 0 f Mivel a + 0 lg 0. lg + g ; h π ; i 5 j 7 5 +. 0 határérték létezik és véges, ezért lg 0 + 7 0. 6 Határozzuk meg a R értékét úgy, hogy a a 4 + + a legye; a b + legye. a Megoldások: a 4 + + a a egyelet megoldása: a. a b + keressük: a ±. a 7 Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! q a + + 4 a a a. Az a a, így a a egyelet megoldását a a +, N b a + +, c a +, N d a + +, N e a +, N f a g a +, 8, N Megoldás: a A típusú határozatlaság azo esetébe, amikor a b határértékét keressük, a a + b-vel, az ú. kojugálttal való bővítéssel vezetjük vissza értelmezett műveletekre. Így tehát a a b a + b a b azoosság miatt a számlálóba eltűik a gyökös kifejezés, a evezőbe keletkező a + b már + + határértékű lesz. + + + + + + + + + + + 0.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 b Hasolóa, a kojugálttal való bővítéssel: + + + + + + + + + + + + + + + + + + +. c + + +. + + + + + d + + + + +. + + + + + + + + + + + + e Alkalmazzuk, hogy a b a ba + ab + b, vagyis a b a b a + ab + b, így a a + ab + b -val bővítve a számlálóból eltűik a gyökös kifejezés: + + + + + 0. + + + + + f + + + + + + + + + + + + +. + + + g Alkalmazzuk, hogy a b a ba + ab + b, így a következő határértékhez 8 jutuk: + +.

8 8 Számítsuk ki az alábbi határértékeket! a + + b 9 c + 4 + + d + e + 5 f + g + h 4 + i + j + + 5 k + + Megoldások: a + + b 9 9 c + 4 + + + + + + +. +. + + + +. 4 A d és e potokba hasolóa kapjuk, hogy + + és + 5 +. f + + + +. g + +. + h 4 + 4 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 0. i + j + + 5 +. + +. + + 5 k + + + +.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 9 Számítsuk ki: + a + + + b + 4 + c + d e f + + + + 5 + + 4 + + + + g h + + + + + + i + + j + k + l 4 + 4 + m + + k + 5, k N. Eredméyek: a ; b ; c ; d 0; e 5 4 ; f + ; g + ; h -; 0 Számítsuk ki az alábbi határértékeket: vegyes feladatok a a, N b a +, N c a + +, N d a 5 + 4, N + e a + 4 + 5 + f a 5 + +, N 5, N g a 0,, N h a 8 7 + 4, N i a + 5, N j a 4 + 6 + 5, N k a +, N l a + + + +, N m a + 5 + + + 5, N a +, N o a + 7, N p a +, N q a +, N r a lg + 5 + 4, N 6 + 5 s a, N +

0 Eredméyek: a b 0 c d e 8 f + g + h + i 0 j + k 0 l m 5 + o p q + r lg s. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: vegyes feladatok a + i 4 b 4 [0, ] + j + c + 4 k 7 d + l 4 + 4 e + m + f + + + g 4 + + + o p + h 5 + Eredméyek: a 0, b 4, c 4, d +, e +, f +, g, h, i +, j, k 0, l +, m 0, +, o, p 0. Számítsuk ki: a + b c +, ha a a ; b ; és c vagy b a ; b ; és c vagy c a ; b ; és c vagy d a ; b ; és c Számítsuk ki: a a + b +, ha a R, b > 0; b + a + +, ahol a > 0; c a + +, ahol a > 0; d a +, ahol a > 0; e a + b + c, ahol a > 0; f + + a, ahol a R; g + + a, ahol a R; h + a, ahol a R; i + a, ahol a R.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 4 Számítsuk ki: + 5 a + 8 b + a + a + + a + b + b ha a, b 0,,. + + b 5 Határozzuk meg az a, b,és c valós számok értékét úgy, hogy a + + b + c legye. Eredméy: a, b 0, c. 6 Határozzuk meg a, b R értékeit úgy, hogy feálljo a következő egyelőség: a a b 0; b + 4 + a b c + + + a b 9. 7 Ha a 0, a, a,..., a k valós számok és a 0 + a + a + + a k 0, akkor számítsuk ki a következő határértéket rögzített k R eseté: a 0 + a + + a + + + a k + k. 4.Tétel Redőr-szabály / Közrefogási elv / fogó tétel: Legyeek a, N, b, N és c, N valós számsorozatok, melyekre a b c teljesül N eseté. Ha a, N és c, N koverges és határértékük azoos, akkor b, N is koverges és b a c. A redőr-elv akkor is igaz, ha a a b c egyelőtleség csak véges sok -re em teljesül.

8 Számítsuk ki az alábbi általáos taggal redelkező sorozatok határértékét! a a 45, N b a 5, N c d 6 5 + e + f + 5 4 g + h + 5 + 7 i + + j si π. Megoldások és útmutatások: Az a és b potokba haszálva az a > 0, > 0 alaphatárértéket, kapjuk, hogy a keresett határérték. c. a d A sorozatelemeket alulról és felülről olya sorozatokkal becsüljük, melyek határértéke megegyezik: < 6 5 + < 5 + < 5 + 6, így a redőrtétel értelmébe a vizsgált sorozat határértéke is. Hasolóa a e és f esetbe lesz az eredméy. g < + < +, így a redőr tétel miatt +. h Hasolóa, 7 7 < + 5 + 7 < 7 + 7 + 7 7 7, így a redőr tétel miatt + 5 + 7 7. + i + + + Itt az első tag az -hez tart, a második is, melyet vagy azzal a meggodolással kapuk, hogy a b A B 0 a A, b B, vagy pedig a redőr-tétellel: a + becslésből kapjuk, hogy +. Így a keresett határérték: + +. j Felhaszálva, hogy a si függvéy értékkészlete a [, ] itervallum, kapjuk az alkalmas becslést: si π. Mivel ullsorozattal majoráltuk és mioráltuk a sorozatot, ezért a redőr szabály értelmébe a vizsgált sorozat is ullsorozat: si π 0.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 A redőr-elv alkalmazásával határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: a a +, N b a + 5, N c a +, N d a + + + + + N + e a 9 + + 9 + + + N 9 + f a + + + + + + + + N Útmutatások és eredméyek: a ; b ; c ; d + + k + + a k {,,,..., }, ezért b + c. Mid a b, N sorozat, mid pedig a c, N a 0-hoz tart, így a redőr-elv alapjá az a, N is. e b 9 + 9 + k 9 + 9 + a k {,,,..., }, ezért 9 + c N. Mid a b, N, mid pedig a c, N az -hoz tart, így a redőr-elv alapjá az a, N is. f Hasolóa kapjuk, hogy a határérték +. 0 A redőr-elv alkalmazásával határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: a a + + + + + N b a + + + c a e a + p p + + p p + + + p p + d a + + + 0 cos π + cos π + + + cos π + f a + + + + + N + g a + + + + +. p, N

4 Számítsuk ki az alábbi határértékeket: + a b + c + d e f g + + 5 + + 5 + + + 5 4 h + 5 5 i 5 + j + + k l + l + m o + 0.9 +. + Megoldások: Ha az alap az -hez tart, a kitevő pedig a + -hez, akkor az ú. típusú határozatlasági esettel va dolguk. Ilyekor midig a következő alaphatárértékek valamelyikét haszáljuk: + e ; e, vagy ezek általáosításait: a a + eseté + a a e; s a a e. a + + e. b + + + + + + [ ] + + + e e vagy a sorozatok határértékeivel végzett műveleti szabályok között szereplő ab a b alapjá eljárva: + + [ + ] + + + + e. c + + [ ] + e e. d + +5 +5 +5 +5 +5 4 0 +5 4 e e 4 vagy + +5 e 4 e 4. +5 +5 +5 [ +5 +5 ] +5

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 e e 0 f e g e h e 7 i e 6 5 j + + + [ + + + + k l + l + + + + e vagy ] + e. és l felcserélhető, tehát a határérték l le. [ l + + ] e 0.. Felhaszálva az l függvéy folytoosságát, a [ + ] l + m + [ + ] +. Az és o potokat a redőr-tétellel oldjuk meg: 0, 9 + 0, hisze az alap egy adott idextől a 0.-tól kezdve kisebb mit 0, 95; így -él kisebb abszolút értékű alapú hatváyokból álló sorozatról va szó, ezért a határéréke kisebb mit 0, ám agyobb is mit 0, hisze a sorozat tagjai pozitívak. 0 < < 0, 9 + 0, 95 0 o Hasoló godolatmeettel:. + >, + Így. + +.

6 Számítsuk ki! a + 7 + b c + d + e + f + + + + g + h i + + 4 + + 5 5 j + [ k + + + + ] + 5 +8+ +6 + 5 + 7 l + + + 8 Eredméyek: a e 7, b e, c e + +, d e, e e 0, f e, g e, h e, i e 5, j +, k e e e 5, l e 5. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: a b + c 4 d e f g + + 5 + 4 + + 4 + + + Megoldások: a 0 0.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 b A határérték és a műveletek kapcsolata miatt: + + 5 + 0 6. + c 4 4. + d 0, mert az alap egy 4 4-hez tartó sorozat, ezért a redőr-elv segítségével látható, hogy kisebb és agyobb, mit egy -él kisebb alapú, tehát 0-hoz tartó sorozat. 0 < + < 4 A feti megoldás helyett követhetjük az alábbi módszert: a számlálóból -et, a evezőből pedig 4-et kiemelve, + + + e 4 4 4 [ ] 0 0. 4 4 4 e 4 4 e + +. f Mivel az alap egy 0-hoz, a kitevő pedig -höz tartó sorozat, ezért +4 g + 0 0. + + 7 9 6. 4 Számítsuk ki az alábbi határértékeket: + 5 a + 4 + b + + 5 +4 c + d + e 5 + + 4 5 + + f g + +4

8 Eredméyek: a 0, b 4, c 0, d + 0, e 5 + 4 5, f + + +, g 4 5 Állapítsuk meg az alábbi sorozat határértékét! + 7 a 5 + 0 + 5 +... + 5 b. [ + 7 Megoldások: a 7 0 e 7 e 0. ] + [ ] b 5+0+5+...+5 5 + 5 + +. 7 + + 6 Adjuk meg az alábbi sorozatok határértékét! + a +! b 5 +.! Megoldások: a + +!! + 0 0 0. b 5 +! 5 0 0. 7 Számítsuk ki a 00 határértéket! Megoldás: Mivel a 00 sorozat a 5. tagtól kezdve mide tagja agyobb, mit, így összehasolítással adódik az eredméy: a 00 > b. A b sorozattal mioráltuk az a sorozatot: a > b 5, tehát 00.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 9 8 Határozzuk meg a határértékekét az alábbi sorozatokak: + a +, N 4 + b + + +, N c, N d + + + + +, N e 4..., N f + Eredméyek, útmutatások: a 0; b 0; c ; d ; e + ; f Vegyük észre, hogy 0 típusú határozatlaságot kell megoldauk alkalmas [ ] átalakítással: + + 0 0. Rekurziós sorozatok: Egy x, N sorozatot k-ad redű rekurziós sorozatak evezük, ha a sorozat -edik tagja az őt megelőző k tag segítségével va megadva: { a0, a,..., a k adott és k-ra a tagokat az a fa, a,..., a k alapjá képezzük. A rekurziót lieárisak evezzük, ha f egy lieáris függvéy. Egy lieáris rekurziót álladó együtthatósak evezük, ha fa, a,..., a k -be az a, a,..., a k együtthatói em függek -től. Akkor hívjuk homogéek, ha ics kostas tag, ellekező esetbe ihomogéek evezzük. Álladó együtthatós elsőredű lieáris rekurzióa 0 adott, a a a +b a 0, a, b R, eseté az a a a + b a a a + b.. a a a 0 + b egyeletekbe egyelő együtthatókat alakítuk ki, majd összeadjuk őket. Az a eseté az + q + q +... + q q+ q felhaszálásával adódik az eredméy.

0 Például az a a +,, a 0 sorozat eseté a a + a a + / a a + /.. a a 0 + / a a + a a + a a +.. a a 0 + Majd az egyeleteket összeadva kapjuk a kívát eredméyt: a a 0 + + + +... + + 5 N. Másodredű homogé lieáris rekurzió a a a + b a a 0, a, b R,, a 0, a adott eseté megoldjuk az úgyevezett karakterisztikus egyeletet: x ax b 0. Két külöböző x, x valós gyök eseté a sorozat általáos tagját az a α x +β x alakba keressük. Az α, β együtthatókat az adott elemekből számítjuk ki: { a0 α x 0 + β x 0 a α x + β x. Az x x R eseté a sorozat általáos tagját az a α x + β x alakba keressük. Az α, β együtthatókat az a 0, a elemekből számítjuk ki. Komplex gyökök eseté a α x + β x. Esetleg trigoometrikus alakba írhatjuk a gyököket: x, rcos ϕ ± i si ϕ. A sorozat általáos tagját az a r α cos ϕ + β si ϕ alakba keresve az α, β együtthatókat az a 0, a elemekből számíthatjuk ki. Példák: Az a 0 0, a, a a + 6a alapjá értelmezett sorozat eseté a karakterisztikus egyelet: x x 6 0, melyek gyökei és -. Az általáos tag a α + β alakú lesz. { 0 α + β α β, melyre α 5, β 5 adódik. A keresett sorozat tehát: a 5, N. Az a 0, a, a 4a 4a alapjá értelmezett sorozat eseté a karakterisztikus egyelet: x 4x + 4 0, melyek egyetle gyöke a. Az általáos tag a α + β alakú lesz. { β α + β,

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal melyre α, β adódik. A keresett sorozat tehát: a +, N. Az a 0, a, a a a alapjá értelmezett sorozat eseté a karakterisztikus egyelet: x x + 0, melyek komplex gyökei vaak: x, ± i. Az általáos tag a α + i + β i alakú lesz. { α + β α + i + β i, melyre α i, β + i adódik. A keresett sorozat tehát: a i + i + + i i, N. Másodredű emhomogé lieáris rekurzió eseté a d a a külöbségsorozat midig homogé másodredű rekurzió lesz. A d, N explicit alakja az előző módszerrel határozható meg, ebből összegzéssel kapjuk meg a sorozat általáos tagját. Például az a 0 0, a, a a + 6a + alapjá értelmezett sorozat eseté a d a a külöbségsorozat karakterisztikus egyelete: x x 6 0, melyek gyökei és -. Az általáos tag d α + β alakú lesz. { 0 α + β α β, melyre α 5, β 5 adódik, majd: d 5, N. Az a a 0 d a a d. a a d egyeleteket összeadva: a a 0 d i, így az eredméy is adódik: a 0 i 5 [ ] N. A feti módszerek gyakra működek emálladó együttható eseté is. Azoba a femaradó esetekbe alkalmazhatjuk a következő godolatmeteket is: Ameyibe csak a határértéket keressük és em az általáos tag explicit alakját, úgy célravezető lehet beláti a sorozatról, hogy koverges. Ezt tehetjük aak belátásával, hogy mooto és korlátos. Ez általába teljes idukcióval törtéik. Ezutá a x α jelöléssel a.tétel és következméye alapjá egy egyeletet kapuk α-ra, melyek a megoldásait meg kell vizsgáljuk, hogy valóba a keresett sorozat határértékeie. Felírva az első éháy tagot megsejtjük a sorozat -edik tagjáak explicit alakját. Eek belátására a teljes idukció módszerét alkalmazzuk. Magasabbredű lieáris rekurzió eseté magasabbredű karakterisztikus egyeletet íruk fel.

Nemlieáris rekurziót visszavezethetük lieáris rekurzóra, ha a b l a sorozatot vizsgáljuk. Példák: A a + a, a sorozatról belátjuk, hogy koverges. Teljes idukcióval azoal látható, hogy a > 0 N. A feti rekurzió tehát ekvivales az a + a alakúval. Ugyacsak teljes idukcióval belátjuk, hogy a < a + N. Az -re < + következik abból, hogy a < + a és a > 0 mide N-re teljesül. Tegyük fel, hogy -re teljesül az egyelőtleség, lássuk be + -re. Bizoyítadó, hogy a + < a +. Igaz, hogy a + < a + +, így a + a + < a+ + a +, tehát a teljes idukcióval beláttuk, hogy a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat korlátossága következik a 0 < a a + a a < a + becslésből. A sorozat mooto övekvő és korlátos, tehát koverges, alkalmazzuk a a α jelölést, így az összeg és szorzat folytoossága alapjá a α, + a + α, így a sorozat határértéke csak az α + α egyelet gyökei közül kerülhet ki. A gyökök α, ± 5 közül a egatív gyök em jö tekitetbe, hisze a sorozat tagjai pozitívak. Így a + 5. Az a a 6 a a,, a 0 a sorozat eseté bevezetve a b l a sorozatot, a 6b 7b + b 0 rekurzióval már jobba boldoguluk, s kapjuk, hogy b l [ ] N, s így a e b N. 9 Határozzuk meg az alábbi sorozat explicit alakját! a a a +, a ; b a a +, a ; c a a +, a 0 ; d a a +!, a 0 ; e a + a + + a + a 0, a 0 0, a, a ; Eredméyek: a a N. b a +++ N c a + +... + + N. d a + +! N. e Az x x x + 0 egyelet gyökei:,,-. a, N

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 40 Igazoljuk, hogy a következő sorozatok kovergesek: a x x +,, x b y y +,, y 0 0 c z z +,, z d t α + t,, t 0 0 e u u + α,, u 0 u, f,,... g α, α + α, α + α + α,... h v v + v, v 0, v Fiboacci-sorozat. 4 Koverges-e az alábbi sorozat? a a + a + 0 0, a 0; 9 b b + b + 0 0, b 5; 9 Eredméy: Az a potbeli sorozat koverges, míg a b potbeli diverges. Változó tagszámú sorozatok: Ha az általáos tag összeg segítségével va megadva, akkor megpróbáljuk az összeget kiszámítai, ú. zárt alakra hozi. Ha ez em sikerl, akkor becsléssel a redőr tétel alkalmazásával oldjuk meg a feladatot. A leggyakrabba a következő összegképleteket haszáljuk a zárt alakra hozáskor: + +... + + ; + +... + + + ; 6 + +... + + ; + + 5 +... +. 4

4 4 Számítsuk ki: a b c d e f g + + + ; + + + + + ; + + + + ; + 4 + + + + + ;! +! + +! ; +! 4 + 5 + 6 + + + ; [ x + a + C + x + a + + x + ] a a, x R rögzített. 4 Számítsuk ki az a, sorozat határértékét, ha: a a + + + 4 ; b a kk + ; c a d a e a k k k k kk + ; k k + ; k + k k + ; f a g a h a i a j a k a k k +! ; k +! + k! ; k + k! + k +! + k +! ; kk + k + ; k + k kk ; k + k + + k. k k k k k k Útmutatás: Előbb hozzuk midig egyszerűbb alakra a sorozat -edik tagját, elvégezve az összegzéseket: Pl: d a k k k+ k+ k k k k+ k k k+ +.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 5 k a k k + k + + k + + +, ahol az utóbbi két tagot a kojugáltjával beszorozva kapjuk, hogy a + ++ +. 5.Tétel Cesaro-Stolz: Ha az x x, N és y y, N olya sorozatok, melyekre feáll, hogy y > 0 N, y, N egy em korlátos, mooto övekvő sorozat, továbbá létezik a l határérték, akkor létezik a x + x y + y x y x határérték is, és l. y 6.Tétel: Ha az x, N sorozat pozitív tagú, és és x l. x + x l, akkor x 44 A Cesaro-Stolz tétel segítségével számítsuk ki a következő határértékeket! + + 5 + + a + + + + + + + + b c + + + + k + k + k + + k d k+ k N + e + + l Megoldások: a Mivel az y + + + +, N sorozat mooto x + x övekvőe tart a + -hez, ezért a Cesaro-Stolz-tételt alkalmazzuk: y + y + + x + x b y + y +, ezért + + + 5+ + + + + +. + + + + +, ezért +. x + x c y + y + + 0, ezért a 0. x + x d y + y P, P -be k -edfokú poliomok. + k + k+ k+ Így a k +. k + P k + k + P k +, ahol

6 x + x e y + y l e. Tehát a. 45 Számítsuk ki: + l + + l + + + + + a b c d e l + l + + l + + + + + + + + + + l + l + + l l + + Eredméyek, útmutatások: a ; b + ; c ; d 0; e 0. x + x + a y + y + + A evezőbe levő határozatlaság miatt bővítsük a evező kojugáltjával. d + + + + + +... 46 a Lássuk be, hogy ha az x, N egy mooto sorozat, akkor a sorozat is mooto; b ha x l, akkor σ l. σ x + x + + x, N 47 Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a a! b a + c a + d a cos cos... cos e a +

Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal 7 Megoldások: a Az x! sorozatra alkalmazható a 6.Tétel: +, ezért! +. b Az x + sorozatra alkalmazható a 6.Tétel: sorozat határértéke tehát. c Az x + sorozattal határértéke tehát. d Az x cos cos... cos a sorozat határértéke tehát. e. x + x x + sorozattal x 48 Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! x + x x + x + +, a + ++ +, a sorozat cos + cos 0, a x b x! c x + +... +! d x! e x!! f x + +!! g x + l a + a +... a + h x! i x k0 C k j x a + k a > 0. k a > 0 Eredméyek, útmutatások: a ; b ; c 4; d 4; e... A b és c potokba alkalmazása javasolt. Sorozatok alsó és felső határértéke: Legye H az a, N részsorozatai határértékeiek halmaza. A H legkisebb elemét a sorozat alsó határértékéek vagy es iferiorjáak evezzük, a legagyobb elemét pedig a sorozat felső határértékéek vagy es superiorjáak evezzük. Jelölés: if a, a, illetve sup a, a. Az a, N sorozatak akkor és csak akkor va határértéke, ha a H halmaz egyelemű: a l if a sup a l.

8 49 Adjuk meg az alábbi sorozatok alsó és felső határértékét! a x, N b y +, N

Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 9. Feladatok valós számsorokkal Legye x, N egy valós számsorozat. Az x 0 + x + x +... k0 x k formális. összeget végtele sorak evezzük. Itt x a sor -edik tagja, S x0 +x +...+x N a sor -edik részletösszege. A k0 x k sort kovergesek evezzük, ha az S, N részletösszegsorozat koverges. A részletösszegsorozat határértékét, az α S számot a sor összegéek evezzük. Jele: k0 x k α Egy végtele sort divergesek evezük, ha em koverges. Tétel: A kovergecia szükséges feltétele Ha a k0 x k sor koverges, akkor x 0. A feti tétel em ad elégséges feltételt a sor kovergeciájára, pl. a k sor diverges, bár a 0 feltétel teljesül. Mégis, haszos a tétel a x 0 esetbe, ekkor ugyais a sor divergeciája következik. Tétel Cauchy-féle kovergeciakritérium sorokra: A k0 x k sor akkor és csak akkor koverges, ha ε eseté N N úgy, hogy m N idexre x m + x m+ +... + x < ε teljesül. A geometriai sor összegképlete: { a q a + a q + a q +... + a q q ha q a ha q aq k a ha q <. q k0 A részletösszegek sorozatáak vizsgálatával igazoljuk, hogy az alábbi sorok kovergesek és határozzuk meg az összegüket! a 00 0, 9 k k0 b + 9 + + k k k0 c k + 5 k k0 k d 7 k

40 Megoldás: a A geometriai sorok összegképlete alapjá 00 0, 9 k k0 00 0,9 000; továbbá k k0 k k k0 4 ; és k0 k + 5 k k + k k0 k0 5 + + 5 4 4. 5 A d potba meglátjuk, hogy a szummációs idex k -től megy, ezért hozzádva és k kivova az -et, a következőhöz jutuk: k 7 7 6. 7 k A részletösszegek sorozatáak vizsgálatával dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergeseke és határozzuk meg az összegeiket! Megoldás: e f g a b c k0 + + + + +... + 5 + + + +... k kk + k + d 5 6 + 6 +... + 6 +... 4 + 4 7 + 7 0 + + + +... 7 + 9 + + + 5 +... 4 + 5 + + + +... h 4 + 5 6 + + + + +... i 9 + 5 + + + +... j + A defiíció alapjá a a k sor akkor és csak akkor koverges, ha az k0 -edik részletösszegek S k0 a k a 0 + a + + a, 0 sorozata koverges. Ekkor defiíció szerit a k S. A feti sorok kovergeciáját tehát a defiíció k0 alapjá vizsgálva arra törekszük, hogy az S kifejezést a lehető legrövidebb, ú. zárt alakba írjuk, és ily módo számoljuk az S határértékét.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 4 a Elemi törtek összegére botjuk a sor -edik tagját: ahoa S + + 4 + + S + + +, + +. Ezért +, következésképe a sor koverges és összege. b Hasoló godolatmeettel: + + + 5 + +. + + Így a +, ezért a sor koverges és összege. + c A k-adik tagot elemi törtek összegére botjuk:, ezért S kk + k + A k + B k + + C k + Ak + k + + Bk + k + Ck + k, kk + k + tehát A, B, C következik, s így kk + k + A részletösszegsorozat -edik tagja: S k + k + kk + k + k + k + 4. k k+ + k+., eképpe d A + 6 6 + 6 + átalakítást elvégezve S + + + + + + + + + + + + + + + +. Ebből a következő összegre jutuk: + 6 +. e, f 90, g 8, h, i s 8 Bizoyítsuk be, hogy divergesek! +, így + 8. a b c 0, d e + + f +

4 Útmutatás: Az a, b, d és f potokat a kovergecia szükséges feltételével, a c potot a Cauchy-féle kovergeciakritériummal S S >. Az e esetbe S +. d sszehasolító kritériummal Ha a sor -edik részletösszegsorozatát, S, N-et em tudjuk zárt alakra hozi, akkor a kovergeciáját a Leibiz-szabály, a gyökkritérium, a háyadoskritérium, vagy az összehasolítási majorálási kritérium valamelyikével tudjuk vizsgáli. Ilyekor általába em tudjuk megadi a sor összegét, de el tudjuk dötei, hogy koverges-e. Ha az x, N sorozat olya, hogy x 0 N, akkor a k0 x k sort pozitív tagú sorak evezzük. Tétel Összehasolító- kritérium a Tegyük fel, hogy 0 x y N. Ha 0 y koverges, akkor 0 x is koverges. b Tegyük fel, hogy 0 x y N. Ha 0 x diverges, akkor 0 y is diverges. Következméy: α { koverges, ha α > diverges, ha α α eseté: α < eseté az összehasolító kritérium alapjá: is diverges. α diverges, az előző feladat c pootjába vázoltak alapjá. α és diverges, tehát a α > eseté <, így α 0. Ezért α S + S + < α α < ε elegedőe agy -re. α + α + + α +... + 4 Dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek az abszolút és melyek a feltételese koverges sorok! a + 5 7 + 9... b + 4 4 +... c log log + log 4... d + + 4... e si α + si α 4 + si α 9 +... f + 5 7 + 9... g 4 4 5 + +... 7 9

Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 4 Eredméyek: a abszolút koverges: a <. e abszolút koverges: a g a + <. si α. 5 Az összehasolító kritérium alapjá dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergeseke: a b c d e f 0 + + 0 4 + g h i j k + + 00 7 5 000 e cos e log + + log Megoldások: a < és felhaszáljuk, hogy egy adott tagtól kezdve a második tagtól teljesül, hogy <, tehát <. Tehát a koverges sor majorálja a vizsgált sort, mely emiatt koverges kell legye. b Soruk miorása egy diverges sor, ezért diverges sort kaptuk: 0 + >, igy + sor koverges, így adódik a szóba forgó sor kover- c + 0 < es a geciája. d es a 0 + > sor diverges, így soruk is az. e koverges f + < miatt koverges a sor.

44 g A + sor diverges, ezt úgy látjuk be, hogy megadjuk egy diverges miorását. Aképpe becsüljuk a sor -edik tagját, hogy + + -el + + bővítjük a törtet: > + + > + + + + + + > + + +. A sor tehát egy + diverges miorása a vizsgált sorak, mely ezalapjá diverges kell legye. h A + 00 7 + 00 5 < + 00 0 0 0 0 <. A 0 sor koverges, így a kezdeti soruk is koverges. i 000 e cos 000 e A 000 e sor kovergeciáját beláthatjuk háyadoskritériummal: + 000 e + 000 e + 000 e e + < Így a majorás e sor kovergeciája biztosítja a vizsgált sor kovergeciáját. j a e l + e l +, ám + < e miatt l + < l e, igy a e l + < e A e sor kovergeciáját lássuk be a háyadoskritériummal: koverges. a + a + e + + e e e <. A szóba forgó sor tehát + k log + + log < + log log Folytassuk tovább a becslést: log, ezért egy bizoyos -től kezdve log <, tehát log <. A sor pedig koverges, mely majorálja sorukat. 6 Az összehasolítókritérium alapjá dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergesek-

Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 45 e: + a + + b c d e + + + Legye x, N egy emegatív tagú, mooto csökkeő sorozat. Ekkor a 0 x sort Leibiz-típusú sorak evezzük. Tétel: A 0 x Leibiz-típusú sor akkor és csak akkor koverges, ha x 0. 7 Dötse el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek! a b c d + 0 0 + e f g + 0 0 + + Útmutatás: A Leibiz-kritériummal egyszerű számolás eredméyezi a válaszokat. A 0 x sort abszolút kovergesek evezzük, ha a 0 x sor koverges. A 0 x sort feltételese kovergesek evezzük, ha koverges, de em abszolút koverges. Cauchy-féle gyökkritérium: Legye 0 x egy sor. Ha sup x <, akkor 0 x abszolút koverges. Ha sup x >, akkor 0 x diverges.

46 D Alambert-féle háyadoskritérium: Legye 0 x egy sor, melyek egyik tagja sem ulla. x Ha sup + x <, akkor 0 x abszolút koverges. x Ha sup + x >, akkor 0 x diverges. 8 A gyökkritérium vagy a háyadoskritérium alapjá igazoljuk, hogy az alábbi sorok kovergesek: x a d g 0 + h + 0 +! i!! j log k + b c 0! 5 l m o e f 0 x!! + 006 + 7! 6 + 6 +... 6 + 7 + 7 +... 7 + Megoldások: a A gyökkritérium alapjá a <, miszerit a sor koverges. j A log log 0 <. k A l a sor koverges a gyökkritérium alapjá, mivel a a a + < miatt adódik a vizsgált sor kovergeciája. + 006 m a + 7 <. <.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 47 Alkalmazzuk a háyadoskritériumot: + o Hasolóa, a + a + <. A vizsgált sor tehát koverges. e a + a + 6 + + 7 + 6 7 <. 6 + 6 +... 6 + 7 + 7 +... 7 + 9 Dötsük el, hogy az alábbi sorok kovergesek-e!! + + +! a b c d e 000!!!.5!!! f 000 000 00 000 00 00 + + +... 5 g 4 + 4 7 6 + 4 7 0 6 0 +... h cos x + i + j + + + k si π + 4 si π 4 + + si π +... l x + x + x + x 4 + + x 5 7 m x + x + 5 x + + x + x4 + x9 + + x +...!... o + +... p e +...!... x +... Eredméyek: a, b és c kovergesek; d diverges; e, f, g, h, i, j, k koverges, l x < eseté koverges, m x < eseté koverges, x eseté koverges, o koverges, háyadoskritériummal, p koverges, háyadoskritériummal. 0 Dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek az abszolút és melyek a feltételese koverges sorok!

48 a b c log d α e + q + q + + q +... f + q + q + + q +... g + + +... h si x si x + si x + + +... i log log + + log +... Megoldások: c A log log log + log 4 4 váltakozó előjelű sor kovergeciájához elegedő megmutati, hogy a a +,,... és a 0, azaz hogy tagjaiak abszolut értékéből álló sorozat mooto csökkeőe tart a ullához. A log + log ekvivales azzal, hogy log + + log, ami a log függvéy + mooto övekvő volta miatt az + + egyelőtleséggel egyeértékű. Ez mide N számra igaz, hisze a + + > fordított egyelőtleségből +- edik hatváyra emeléssel elletmodáshoz jutuk. Tehát a, sorozat mooto log csökkeő, és log log 0. A sor tehát feltételese koverges, mivelhogy em abszolut koverges: N N, hogy a log > N d A sor α > eseté abszolut koverges, hisze ekkor a sor koverges. α Ha 0 < α, akkor a sor a váltakozó előjelű sorokra voatkozó kritérium Leibizkritérium alapjá koverges. A kovergecia itt feltételes, hisze a sor diverges erre az α α -ra. e Ha q <, akkor a sor abszolut koverges. f A háyadoskritérium alapjá a +q +q + +q +... sor abszolut koverges, hisze +q + q alkalmazhattuk a háyadoskritériumot. q <, ezért a sor tagjaiak abszolut értékeiből alkotott sorra g Mivel a sor koverges, ezért a si x h Láthatjuk, hogy, továbbá a így a vizsgáladó sor abszolut koverges. i A sor koverges, hisze az a log sor abszolut koverges. sor koverges, sorozat mooto csökkeőe tart a ullához, ám em abszolut koverges, hisze log >. Ekkor tehát feltételese koverges.

Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 49 Mutassuk meg, hogy az alábbi sorok divergesek: a b + + l Műveletek sorokkal Legyeek x, N és y, N valós számsorozatok és λ R. A 0 x + y sort a 0 x és 0 y sorok összegéek evezzük. A 0 λx sor a λ szám és a 0 x sor szorzata. Tétel: a Ha a 0 x és 0 y sorok kovergesek, akkor a 0 x + y is koverges és összege: 0 x + y 0 x + 0 y. b Ha a 0 x sor koverges és λ R, akkor a 0 λx is koverges és összege: 0 λx λ 0 x. A 0 x és 0 y sorok tégláyszorzata: 0 max{k,l} x ky l ; Cauchy-szorzata: 0 k+l x ky l ; Tétel: Ha a 0 x és 0 y sorok abszolút kovergesek, akkor a Cauchyszorzatuk és a tégláyszorzatuk is abszolút koverges, és midkét szorzatsor összege 0 x 0 y. Tétel: Ha a két koverges sor Cauchy-szorzata is koverges, akkor összege egyelő a két sor összegéek szorzatával. Számítsuk ki az alábbi sorok összegét: a b 5 + + + 0.5 + + Igazoljuk, hogy az alábbi sorok kovergesek és határozzuk meg az összegüket: a b c 0 + + d e f 0 4!

50 4 Igazolja, hogy a 0 és a 0 sorok abszolút kovergesek és képezze a Cauchy-szorzatukat! 5 Igazolja, hogy a és a sorok közül az egyik abszolút koverges és képezze a Cauchy-szorzatukat! 6 Az alábbi sorok közül melyek kovergesek? a b c d e f g 0 0 0, 0!! + +! h i 0 j l k! l! m + 7 Igazoljuk, hogy: a q + q ha q < 0 0 0 b q 0 + + q ha q <

Simo Iloa: Feladatok valós számsorokkal 5 8 Az x szám mely értékeire kovergesek az alábbi sorok? a b c d e f x x + 4! x!x 0! x + l + + x