Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el ször végtelenben a határértéket. Nyilvánvaló, hogy a számláló is és a nevez is végetelenhez tart, így típusú a határérték. Úgyanúgy járhatunk el, mint a sorozatok esetében, tehát egyszer sítjük a törtet a nevez leggyorsabban végtelenhez tartó részével. Ez jelen esetben az 3. 2 3 4 2 4 5 3 + 9 = 2 5 + 9 3 A 4 2 és a 9 véges mindegyike -hoz tart, hiszen 3 Ennek következtében az eredeti határérték: 2 4 2 5 + 9 = 2 5 + = 2 5 3 típusúak. Kérdés ezután, hogy mennyit változik a helyzet, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a határértéket. Ekkor a számláló és a nevez nyilván mínusz végtelenhez tartanak, hiszen a negatív, akkor 3 is negatív. A határérték tehát most típusú. Ez azonban a megoldás további lépésit nem befolyásolja. Ugyanazt az egyszer sítést hajthatjuk végre, mint az el bb, s utána ugyanazok a részek fognak -hoz tartani. Ennek következtében ugyanazt a határértéket kapjuk a mínusz végtelenben is. 2 3 4 2 4 5 3 + 9 = 2 5 + 9 = 2 5 + = 2 5 3

Ennek a függvénynek tehát a végtelenben és a mínusz végtelenben ugyanaz a szám a határértéke. 2. Feladat: Határozzuk meg az f() = 5 + 6 2 2 függvény határértékét + 3 a végtelenben és a mínusz végtelenben! Megoldás: Ha, akkor nyilván egyszer sítsünk 2 -tel. 5 6 2 5 6 2 2 + 3 = 2 + 3 típusú a határérték. Most Most három részlet is -hoz tart, az 5, a 6 2 és a 3. Ebb l következ en a függvény határértéke: 5 6 2 2 + 3 = 2 + = Ha mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor csak annyi a változás, hogy a határérték típusú. (A számlálóban mínusz végtelenhez tart, de mivel a nevez ben 2 áll, így az végtelenhez tart.) A megoldás egyébként ugyanúgy történik, tehát az alábbiakat írhatjuk: 5 6 2 2 + 3 = 5 6 2 = 2 + = 2 + 3 Ennek a függvénynek is megegyezik a végtelenben és a mínusz végtelenben a határértéke. 3. Feladat: Határozzuk meg az f() = 32 + 9 függvény határértékét a 4 + 7 végtelenben és a mínusz végtelenben! Megoldás: Ha végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor nyilván típusú a határérték. Most -szel célszer egyszer síteni. 3 2 + 9 3 + 9 4 + 7 = 4 + 7 A számlálóban álló 9, és nevez ben lev 7 a -hoz tart. A számlálóban a 3 végtelenhez tart. Ebb l következ en a függvény határértéke: 2

3 + 9 4 + 7 = + 4 + = A függvénynek tehát nincs határértéke a végtelenben. A mínusz végtelenben vizsgálva a függvényt típusú a határérték. Ez a megoldás lépéseit nem befolyásolja, tehát egyszer sítünk -szel. 3 2 + 9 3 + 9 4 + 7 = 4 + 7 A számlálóban álló 9, és nevez ben lev 7 most is a -hoz tart. Viszont a számlálóban a 3 most a mínusz végtelenhez tart. Ebb l következ en a határérték: 3 + 9 4 + 7 = + 4 + = A függvénynek tehát mínusz végtelenben sincs határértéke. Ennek a a függvénynek nincs határértéke sem a végtelenben, sem a mínusz végtelenben, és nem azonos módon divergens a két helyen. 4. Feladat: Határozzuk meg az f() = 2 + 3 2 függvény határértékét a végtelenben. Megoldás: A határérték nyilvánvalóan típusú. Hasonló feladatokkal már találkoztunk a sorozatoknál. Járjunk el ugyanúgy, mint ott, azaz gyöktelenítsünk. ( 2 + 3 2 ) = ( 2 + 3 2 )( 2 + 3 + 2 ) = = 2 + 3 + 2 (2 + 3) (2 ) 4 = = 2 + 3 + 2 2 + 3 + 2 A számlálóban már csak egy konstans áll, míg a nevez a végtelenhez tart, tehát véges típusú a határérték. Ennek következtében: 4 = 2 + 3 + 2 Megjegyzés: Ennek a függvénynek a határértékér l nincs értelme beszélni a mínusz végtelenben, hiszen a függvény nincs értelmezve a mínusz végtelen 'környezetében'. 3

( ) 2 5. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben. Megoldás: Vizsgáljuk el ször végtelenben a függvényt. Sorozatoknál találkoztunk hasonló feladattal, s ahogyan ott tettük, úgy most is belátható, hogy típusú a határérték. Alakítsuk át a hatvány alapjában lev törtet. Bontsuk két tört összegére, s az els törtet egyszer sítsük. ( ) 2 ( = 2 ) = ( 2 ) = ( + 2 ( + k ) = e k, ezért már készen is vagyunk, Mivel tudjuk, hogy hiszen most csak annyi a különbség, hogy k szerepét a 2 tölti be. Ennek következtében: ( ) = e 2 + 2 A kérdés ezután, mi változik, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt. Ekkor a határérték típusa. Ez is kritikus, akárcsak az. Az átalakítás lépései azonasak azzal, amikor végtelenben vizsgáljuk a határértéket. = ( ) 2 ( = 2 ( + 2 ) Az is igaz, hogy ( + 2 ) = e 2 ) = ( 2 ) = ( + k ) = e k. Ennek következtében: Ennek a függvénynek tehát a végtelenben és a mínusz végtelenben azonos a határértéke. 6. Feladat: Határozzuk meg az f() = 2 + 4 + 3 ( ) 2 függvény határértékét 2 és esetén! Megoldás: A függvénynek most nem valamelyik végtelenben kell meghatároznunk a határértékét, hanem véges helyen. Ilyenkor, ha az adott hely eleme az értelmezési tartománynak, és a függvényt folytonos függvényekb l állítottuk el m veletekkel, akkor egyszer en csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. Ennek következtében: 2 + 4 + 3 2 ( ) 2 = 22 + 4 2 + 3 (2 ) 2 = 5 = 5. Érdekesebb a helyzet, amikor. Az nem eleme a függvény értelmezési tartományának, hiszen a nevez ben ekor állna. Ez azt je- ) 4

lenti, hogy a nevez nek létezik határértéke ha, és az. Ugyanez másképp írva: ( )2 = ( ) 2 =. A számlálónak is létezik határértéke, és azt megint egyszer behelyettesítéssel kapjuk. (2 + 4 + 3) = 2 + 4 + 3 = 8 Olyan tört határértéke tehát a kérdés, amelynek számlálója egy nem zérus számhoz, nevez je pedig -hoz tart. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a határérték típusa véges. Gondoljunk bele, ha egy véges értéket, mely nem zérus, -hoz egyre közelebbi értékkel osztunk, akkor a tört abszolút értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy valamelyik végtelenhez tart ekkor a függvény. Fontos szerep jut ilyenkor az el jeleknek, mert azok döntik el, hogy melyik végtelenhez tart a függvény. A számláló pozitív értékhez tart, tehát annak el jele +. A nevez is biztosan pozitívan közeledik a - hoz, hiszen ott valaminek a négyzete áll. Ezt úgy is mondhatnánk, hogy ha közel van az -hez, akkor a nevez közel van a -hoz, és pozitív értéket vesz fel. Mivel mind a számláló, mind a nevez pozitív, így a tört is pozitív, ezért a határérték a + lesz. (A pozitív el jelet csak azért tettük ki, hogy jobban hangsúlyozzuk, melyik végtelenr l van szó.) Másképp ezt úgy is írhatjuk, hogy 2 + 4 + 3 ( ) 2 =, mert a határérték +véges + azt, hogy a nevez pozitívan közeledik a -hoz. típusú. Itt a + jelöli 7. Feladat: Határozzuk meg az f() = 2 + 4 + 3 2 függvény határértékét az = helyen balról és jobbról! Megoldás: Az = helyen nem értelmezhet a függvény, mert ott a nevez zérus lenne. A nevez tehát itt -hoz tart. (2 ) = 2 = Így a határérték egyszer behelyettesítéssel nem kapható meg. A számláló határértéke a következ : (2 + 4 + 3) = 2 + 4 + 3 = 8. A határérték típusa tehát olyan, mint az el z feladatban, azaz véges. Abban van a különbség, hogy most a nevez el jele nem egyértelm en pozitív, mint az el bb. Ezért is kell külön vizsgálnunk balról és jobbról a függvényt. 5

Ha balról tart -hez, azaz <, akkor 2 <, tehát a nevez negatív. Ekkor a határérték +véges típusú, így a határérték lesz. Jelölésben: 2 + 4 + 3 2 =. Ha jobbról tart -hez, azaz >, akkor 2 >, tehát a nevez pozitív. Ekkor a határérték +véges típusú, így a határérték + lesz. + Jelölésben: 2 + 4 + 3 + 2 = +. Enek a függvénynek az = helyen balról és jobbról sincs határértéke, s a két oldalon nem ugyanúgy divergens. 8. Feladat: Határozzuk meg az f() = 2 4 + 3 2 függvény határértékét az = helyen balról és jobbról! Megoldás: Az = helyen nem értelmezhet a függvény. A nevez határértéke itt: (2 ) = 2 =. A számláló határértéke: (2 4 + 3) = 2 4 + 3 = Jelen esetben egy típusú határértékünk van. Ez kritikus típus. Át kell alakítanunk a törtet a határérték meghatározásához. Az eddigiekben kiderült, hogy a számlálóban és nevez ben álló polinomnak is zérushelye az. Ez azt jelenti, mindkett szorzattá bontható úgy, hogy a szorzat egyik tényez je. A szorzatok másik tényez je ezután már könnyen meghatározható. A számláló: 2 4 + 3 = ( )( 3). A nevez : 2 = ( )( + ). Írjuk be ezeket a törtbe. 2 + 4 + 3 ( )( 3) 2 = ( )( + ) Egyszer sítsük a törtet. ( )( 3) ( )( + ) = 3 + Ebbe a törtbe már behelyettesíthet az, így megkapjuk a határértéket. 3 + = 3 + = 2 2 = 6

tg 3 9. Feladat: Határozzuk meg a 5 határértéket! Megoldás: Behelyettesítéssel vizsgáljuk meg, hova tart a számláló és a nevez. tg 3 = tg (3 ) = tg = 5 = 5 = Mindkett -hoz tart, így típusú a határérték. Alakítsuk át a függvényt. sin 3 tg 3 5 = cos 3 sin 3 = 5 cos 3 5 Mivel cos 3 = cos(3 ) = cos =, ezért az els tört határértéke behelyettesítéssel meghatározható. Ezután elég a második törttel foglalkoznunk. sin Tudjuk, hogy =. A második tört ehhez hasonlóvá alakítható, csak azt kell elérnünk, hogy a nevez ben ne 5, hanem 3 álljon. Ezt könnyen elérhetjük, ha 3-mal b vítünk, majd átcsoportosítjuk a tényez ket. sin 3 cos 3 5 = sin 3 cos 3 5 3 3 = sin 3 cos 3 3 3 5 A 3 kiemelhet, a szorzat határértékét pedig a tényez k határértékeinek 5 szorzataként kapjuk. sin 3 cos 3 3 3 5 = 3 5 cos 3 sin 3 3 Amint korábban már említettük, az els tényez határértékét egyszer behelyettesítésel kapjuk. cos 3 = cos(3 ) = sin A második tényez lényegében megegyezik a határértékkel, csak az szerepét a 3 vette át. Mindez könnyen leírható, ha bevezetjük a t = 3 új változót. Ha, akkor nyilván t 3 =. sin 3 3 = sin t =. t t Ezek alapján az eredeti határérték: 3 5 cos 3 sin 3 3 = 3 5 = 3 5. Feladat: Határozzuk meg a e 4 7 7 határértéket!

Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevez határértékét. (e4 ) = e 4 = e = = 7 = 7 = A határérték tehát típusú. e Tudjuk, hogy =. Célszer lenne ehhez hasonlóvá alakítani a határértékünket. Az lenne jó, ha a nev ben nem 7 állna, hanem 4. Az el z feladat megoldásához hasonlóan, most is b vítsünk, majd csoportosítsuk át a tényez ket. e 4 e 4 = 4 7 7 4 = A konstans szorzót emeljük ki. e 4 4 4 7 = 4 7 e 4 4 e 4 4 e A határérték ezután lényegében megegyezik a határértékkel, csak szerepét a 4 vette át. Vezessük be a t = 4 új változót. Ha, akkor t 4 =. 4 7 e 4 = 4 4 7 e t = 4 t t 7 = 4 7 {. Feladat: Folytonos-e az alábbi függvény? f() = 2 + 3, ha 4, ha < Megoldás: A függvényt csak azon a helyen kell vizsgálni, ahol megváltozik a hozzárendelés szabálya, azaz a = -ben. Ezen kívül biztosan folytonos a függvény, mert folytonos függvények szerepelnek a hozzárendelési szabályban. Akkor lesz folytonos az a = helyen a függvény, ha itt létezik jobb és bal oldali határértéke, ezek megegyeznek, és egyenl k a függvény ezen helyen vett helyettesítési értékével. Határozzuk meg ezt a három értéket. Kezdjük a függvény helyettesítési értékével. f() = 2 + 3 = 4 Határozzuk meg a bal oldali határértéket. Csak be kell helyettesítenünk a megfelel hozzárendelésbe. f() = (2 + 3) = 2 + 3 = 4 Ezután nézzük a jobb oldali határértéket. Most is csak be kell helyettesítenünk, de természetesen a másik hozzárendelésbe. f() = + + 4 = 4 = 4 Amint látható, megegyezik a három érték, így a függvény folytonos. 4 7 8

2. Feladat: Folytonos-e az alábbi függvény? f() = 2 +, ha < 2 6, ha 2 Megoldás: Az el z feladathoz hasonlóan, csak azon a helyen kell vizsgálnunk a függvényt, ahol változik a hozzárendelés szabálya, tehát az a = 2 helyen. Határozzuk meg itt a függvény értékét, valamint bal és jobb oldali határértékét. A helyettesítési érték az a = 2 helyen: f(2) = 6 2 = 3. A bal oldali határérték: f() = 2 2 (2 + ) = 2 2 + = 5 Már ezen két érték nem egyezik meg, tehát a függvény nem folytonos az a = 2 helyen. Bár a kérdésre már válaszoltunk, mégis határozzuk meg a jobb oldali határértéket is. f() = 6 2+ 2+ = 6 2 = 3 Látható, hogy a helyettesítési érték és a jobb oldali határérték megegyezik. A függvény tehát jobbról folytonos az a = 2 helyen is, csak balról nem folytonos itt. 2. Összetett feladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 2 8 + 5 2 függvény határértékeit 6 + 9 az értelmezési tartomány 'szélein'! Megoldás: Határrozzuk meg el ször az értelmezési tartományt. Egyetlen kikötést kell tennünk, a nevez nem lehet zérus. Célszer átalakítani a tört nevez jét, mert felismerhet, hogy egy els fokú kifejezés négyete. f() = 2 8 + 5 2 6 + 9 = f() = 2 8 + 5 ( 3) 2 Ezután tegyük meg a kikötést. ( 3) 2 3 3 D f = IR \ {3} = (, 3) (3, ) Az értelmezési tartománynak tehát a plussz és mínusz végtelenben van széle, valamint a 3-nál. A 3-hoz azonban két irányból is lehet közeledni, balról illetve jobbról, így itt két határértéket kell meghatároznunk. Ez összesen négy határérték lesz. Vizsgáljuk el ször a ± -ben a függvényt. A határérték típusa mindkét esetben, így 2 -tel célszer egy szer síteni, mert az n leggyorsabban. 9

2 8 + 5 8 ± 2 6 + 9 = + 5 2 ± 6 + 9 = + + = 2 A függvény tehát mind a plussz, mind a mínusz végtelenben -hez tart. Ezután vizsgáljuk 3-ban balról a függvényt. A számláló határértéke: A nevez határértéke: 3 (2 8 + 5) = 3 2 8 3 + 5 = 3 (2 6 + 9) = 3 2 6 3 + 9 = A határérték tehát típusú. Most a számlálót és a nevez t szorzattá kell bontanunk. Ez a nevez ben már meg is történt, amikor els fokú kifjezés négyzeteként írtuk fel. Mivel a számlálónak is zérushelye a 3, ezért a számlálóban is 3 lesz az egyik tényez. A másik tényez ezután már egyértelm. 2 8 + 5 = ( 3)( 5) Írjuk be a szorzattá bontott alakokat, és egyszer sítsünk. 2 8 + 5 3 2 6 + 9 = ( 3)( 5) 5 3 ( 3) 2 = 3 3 Most vizsgáljuk meg újra a határérték típusát. A számláló határértéke: ( 5) = 3 5 = 2 3 A nevez határértéke: ( 3) = (3 ) 3 = 3 A határérték tehát véges típusú. A függvény ilyen esetben valamelyik végtelenhez tart, a számláló és a nevez elejele dönti el, hogy melyik végtelenhez. Mivel most mindkett negatív, így a tört pozitív, azaz + -hez tart balról a függvény. 3 5 3 = + Ha jobbról vizsgáljuk a függvényt a 3-ban, akkor ugyanígy alakítjuk át. 2 8 + 5 3+ 2 6 + 9 = 5 3+ 3 A számláló határértéke nyilván ekkor is 2. Abban van különbség, hogy más ekkor a nevez el jele. A nevez határértéke: ( 3) = (3 + ) 3 = + 3+ Mivel most negatívat pozitívval osztunk, így a tört negatív lesz, s ebb l következ en err l az oldalról a határérték. 5 3+ 3 =

A függvény tehát a 3 helyen egyik oldalról + -hez, másik oldalról pedig -hez tart, azaz nincs határértéke ezen a helyen. Még csak azt sem mondhatjuk, hogy + -hez, vagy -hez tart ezen a helyen, hiszen a két oldalon nem ugyanahhoz a végtelenehez tart 2. Feladat: Határozzuk meg az f() = e / függvény határértékeit az értelmezési tartomány 'szélein'! Megoldás: Kezdjük az értelmezési tartomány meghatározásával. Mivel a kitev ben egy tört áll, ki kell kötnünk, hogy a nevez nem zérus, azaz. D f = IR \ {} = (, ) (, ) Az értelmezési tartománynak tehát a plussz és mínusz végtelenben van széle, valamint a -nál. A -hoz két irányból is lehet közeledni, balról illetve jobbról, így itt két határértéket kell meghatároznunk. Összesen tehát ismét négy határérték a kérdés. Vizsgáljuk el ször a ± ben a függvényt. Mivel egy összetett függvény határértéke a kérdés, ezért úgy járhatunk el, hogy el ször meghatározzuk a bels függvény határértékét, majd a küls függvény határértékét azon a helyen, ahova a bels függvény tart. Nézzük tehát a bels függvény határértékét. ± = Ezután következhet a küls függvény. Vezessük be a t = új változót. Ha ±, akkor nyilván t. Ennek következtében: ± e/ = e t. t Ezt a határétéket pedig egyszer behelyettesítéssel kapjuk. t et = e = Ezután vizsgáljuk a függvényt -nál balról. A bels függvény határértéke, =, hiszen egy véges típusú határértékr l van szó, ahol a számláló pozitív, a nevez pedig negatív. Legyen ismét t =. Ha, akkor nyilván t. Ebb l következ en: e/ = t et =. Ez a határérték az eponánciális függvény grakonjáról leolvasható. Végül vizsgáljuk a függvényt -nál jobbról. véges A bels függvény határértéke, = +, hiszen egy + típusú határértékr l van szó, ahol a számláló is pozitív, és a nevez is pozitív.

. ábra. Az f() = e függvény Legyen most is t =. Ha +, akkor nyilván t +. Ebb l következ en: + e/ = t + et =. Ez a határérték is leolvasható az eponánciális függvény grakonjáról. 2 3. Feladat: Határozzuk meg a határérétéket, ha 3 + 2 3 2 létezik. Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. 2 = 2 = ( 3 + 2 3 2) = 3 + 2 3 2 = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy típusú határértékkel van dolgunk. Mivel a nevez ben két gyökös kifejezés különbségét látjuk, ezért célszer gyöktelenítéssel próbálkozni. 2 3 + 2 3 2 = 2( 3 + 2 + 3 2) = ( 3 + 2 3 2)( 3 + 2 + 3 2) = 2( 3 + 2 + 3 2) 2( 3 + 2 + 3 2) = = (3 + 2) (3 2) 4 2

Ha most újra vizsgálnánk a határérték típusát, akkor az nyilván lenne. Látható, hogy 2-szel tudunk egyszer síteni. 2( 3 + 2 + 3 2) 3 + 2 + 3 2 = 4 2 Így a nev ben csak egy konstans maradt, tehát nem lehet már kritikus a tört, s ezért a határérték behelyettesítéssel megkapható. 3 + 2 + 3 2 3 + 2 + 3 2 = = 2 3 = 3 2 2 2 tg 5 4. Feladat: Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. sin 2 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. tg 5 = tg 5 = sin 2 = sin(2 ) = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy kérdés. típusú határérték a Az alapfeladatok között találkoztunk már hasonlóval. Alakítsuk át a függvényt annak mintájára, mint akkor. tg 5 sin 2 = sin 5 cos 5 sin 2 = sin 5 cos 5 sin 2 Mivel cos 5 = cos(5 ) = cos =, ezért az els tört határértéke behelyettesítéssel meghatározható. Ezután elég a második törttel foglalkoznunk. sin Tudjuk, hogy =. A második törtben a számláló is a nevez is ehhez hasonlóvá alakítható. Mindkét helyen b vítenünk kell, a számlálóban 5-szel, a nevez ben pedig 2-szel. sin 5 sin 5 cos 5 sin 2 = cos 5 5 5 sin 2 2 2 Bontsuk ezt tovább törtek szorzatára, és egyszer sítsünk. sin 5 cos 5 5 5 5 2 = sin 2 2 = 2 cos 5 sin 5 5 sin 2 2 3

= cos 5 sin 5 5 sin 2 2 5 2 Az 5 kiemelhet, a szorzat határértékét pedig a tényez k, határértékeinek 2 szorzataként kapjuk. A második tényez ben lev tört esetében pedig külön határozzuk meg a számláló és a nevez határértékét. sin 5 sin 5 cos 5 5 5 sin 2 2 = 5 2 cos 5 5 = sin 2 2 2 = 5 2 cos 5 sin 5 5 sin 2 2 Amint korábban már említettük, az els tényez határértékét egyszer behelyettesítésel kapjuk. cos 5 = cos(5 ) = sin A másik két határérték lényegében megegyezik a határértékkel, csak az szerepét a 5, illetve 2 vette át. Mindez könnyen leírható, ha bevezetjük a t = 5 és u = 2 új változókat. Ha, akkor nyilván t 5 = és u 2 =. sin 5 5 = sin t =. t t sin 2 2 = sin u u u =. Ezek alapján az eredeti határérték: sin 5 5 2 cos 5 5 = 5 2 = 5 2 sin 2 2 e 5. Feladat: 4 Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. sin 3 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. (e4 ) = e 4 = sin 3 = sin(3 ) = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy kérdés. típusú határérték a 4

Korábban már szerepelt két nevezetes határérték, melyekben hasonló részletek fordulnak el, mint a feladatunkban. Ezen határértékek az alábbiak. sin = e = Próbáljunk meg ezekhez hasonló részeket kialakítani, mert akkor azoknak ismert lesz a határéértéke. Nagyon jó lenne, ha az e 4 osztva lenne 4-szel, hiszen akkor lényegében a második nevezetes határéértéket kapnánk, csak szerepét a 4 venné át. Elérhetjü, hogy ez megjelenjen, ha a számlálóban osztunk is és szorzunk is 4-szel. Hasonlóan jó lenne, ha a nevez ben a sin 3 osztva lenne 3-szel, mert akkor egy olyan részletünk lenne, mely lényegében az els nevezetes határértékkel egyezne meg, csak szerepét a 3 töltené be. Ezt is elérhetjük, ha a nevez t osztjuk is és szorozzuk is 3-szel. e 4 e 4 4 sin 3 = 4 sin 3 3 3 Bontsuk fel ezt két tört szorzatára, majd egyszer sítsük a második törtet. e 4 4 sin 3 3 4 3 = e 4 4 sin 3 3 4 3 = e 4 4 sin 3 3 4 3 A 4 3 kiemelhet, és külön vehetjük a számláló és a nevez határértékét. e 4 4 sin 3 3 4 3 = 4 3 e 4 4 sin 3 3 A számlálóban vezessük be t = 4 új változót, ekkor esetén t. Ebb l következ en: e 4 e t = = 4 t t Hasonlóan a nevez ben legyen u = 3. Ha, akkor u. Ezek után: sin 3 3 = sin u u u =. 5

Felhasználva a részeredményeket: 4 3 e 4 4 sin 3 3 = 4 3 = 4 3. 6. Feladat: Vizsgáljuk meg, hol nem folytonos az alábbi függvény! 2 9 3, ha IR \ {, ±3} 9 f() =, ha = 3 3, ha =, ha = 3 Megoldás: A függvény nyilván folytonos az IR \ {, ±3} halmazon, hiszen itt hozzárendelési szabálya olyan, hogy folytonos függvényekb l állítjuk el m veletekkel. Elég tehát a és ±3 helyeken vizsgálni a függvényt. Mindegyik helyen ki kell számolni a helyettesítési értéket, valamint vizsgálni a határértéket balról, illetve jobbról, s ahol nem egyezik meg ez a három érték, ott nem folytonos a függvény. A határértékek meghatározásához célszer egyszer síteni a függvény hozzárendelési szabályában szerepl törtet. 2 9 3 9 = 2 9 ( 2 9) = Vizsgáljuk a függvényt el ször az a = 3 helyen. Mivel az egyszer sítés utáni törtbe behelyettesíthet a 3, így itt nem kell külön balról és jobbról is határértéket meghatároznunk, mert a kett biztosan egyenl, s ez a függvény határértéke ezen a helyen. 2 9 f() = 3 3 3 9 = 3 = 3 = 3 Ez megegyezik a függyvény értékével ezen a helyen, hisz a függvény meghatározása szerint f( 3) =. A függvény tehát folytonos az 3 a = 3 helyen. Nézzük ezután a b = 3 helyen a függvényt. Itt sem kell külön venni a két oldalról a határértéket, mert a 3-at is be lehet helyettesíteni az egyszer sítés után kapott törtbe. f() = 3 3 2 9 3 9 = 3 = 3 Ez nem egyezik meg a függvény értékével ezen a helyen, hisz f(3) = a függvény meghatározása szerint. A 3 helyen tehát nem folytonos a függvény. Végül vizsgáljuk a c = helyen is a függvényt. A -t nem lehet behelyettesíteni az egyszer sítés utáni törtbe sem, így itt külön kell venni a bal oldali és jobb oldali határértéket. 6

2 9 f() = 3 9 = = A határérték típusa ugyanis véges, s a számláló pozitív a nevez pedig negatív. Mivel nincs balról határértéke ezen a helyen a függvénynek, így nem folytonos ezen a helyen. A kérdésre már válaszoltunk, de érdemes azért meghatározni a jobb oldali határértéket is. f() = + + 2 9 3 9 = + = A határérték típusa ugyanis véges, s a számláló is és a nevez is pozitív. A függvény tehát két helyen nem folytonos, a és a 3 helyeken. Megjegyzés: A két szakadás között különbség van. A 3 helyen lehetne olyan értéket adni a függvénynek, hogy ott is folytonos legyen, így ezt megszüntethet szakadásnak nevezzük. A helyen azonban bármilyen értéke is lenne a függvénynek, nem lenne folytonos, így ez nem megszüntethet szakadás. 7