Széchenyi István Egyetem

polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem

Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen a = x... < x N = b és c = y <... < y M = d az [a, b] ill. a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k ill. y j := y j y j. Az S (N,M) (f) := N M k= j= f (min) kj x k y j számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M) + (f) := N M k= j= f (max) kj x k y j számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kj ill. f (max) kj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kj téglalapon.)

Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M) (f) S (N,M) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y)dxdy. T

Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Tekintsük az [a, b] és [c, d] intervallumok felbontásainak egy korlátlanul finomodó sorozatát. Legyen f kj egy tetszőleges függvényérték, melyet f a T kj téglalapon felvesz. Akkor a N k= j= M f kj x k y j Riemann-összegek sorozata az T f(x, y)dxdy Riemann-integrálhoz tart (a konkrét felbontástól és az f kj függvényértékek megválasztásától függetlenül).

Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi

integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

integrál kiszámítása polár 3D gömbi Következmény: Legyenek g : [a, b] R, h : [c, d] R folytonos függvények, akkor: ( b ) ( d ) g(x)h(y)dxdy = g(x)dx h(y)dy T a c

integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]

integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π

polár 3D gömbi Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen := {(x, y) R : a x b, g(x) y h(x)} normáltartomány, f : R folytonos függvény. Akkor ( b ) h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx a g(x) Hasonlóan, ha = {(x, y) R : a y b, g(y) x h(y)}, akkor ( b ) h(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy a g(y)

polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.

polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).

polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /

polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(u, v), y(u, v)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v) := f(x(u, v), y(u, v)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(u, v) det J(u, v) dudv, (Jacobi-mátrix). ( ) xu x J(u, v) := v y u y v ahol

, példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y

polár polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(r, t), y(r, t)) : a polárkoordináta-transzformáció: x(r, t) := r cos t, y(r, t) := r sin t. Jelölje f(r, t) := f(x(r, t), y(r, t)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(r, t) r drdt, ui. itt a Jacobi-determináns ( ) cos t r sin t det(j(r, t)) = det = r sin t r cos t

Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d], [e, f] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] [e, f] = {(x, y, z) R 3 : a x b, c y d, e z f } téglatestet. Legyen a = x... < x N = b, c = y <... < y M = d és e = z <... < z L az [a, b], a [c, d] ill. az [e, f] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k, y j := y j y j ill. z i := z i z i.

Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Az S (N,M,L) (f) := N M L k= j= i= f (min) kji x k y j z i számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M,L) + (f) := N M L k= j= i= f (max) kji x k y j z i számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kji ill. f (max) kji : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kji téglatesten.)

Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M,L) (f) S (N,M,L) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M,L) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M,L) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglatesten, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y, z)dxdydz. T

Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Tekintsük az [a, b], [c, d] és [e, f] intervallumok felbontásainak egy korlátlanul finomodó sorozatát. Legyen f kji egy tetszőleges függvényérték, melyet f a T kji téglatesten felvesz. N M L Akkor a f kji x k y j z i Riemann-összegek k= j= i= sorozata az T f(x, y, z)dxdydz Riemann-integrálhoz tart (a konkrét felbontástól és az f kji függvényértékek megválasztásától függetlenül).

integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor az T f(x, y, z)dxdydz hármas integrál kiszámítása három integrálás tetszőleges sorrendben való egymásutáni kiszámításával történhet. Így pl. T f(x, y, z)dxdydz = ( b ( d ) ) f a c e f(x, y, z)dz dy dx vagy akár T f(x, y, z)dxdydz = f e ( ( b ) ) d a c f(x, y, z)dy dx dz

integrál kiszámítása polár 3D gömbi Következmény: Legyenek u : [a, b] R, v : [c, d] R, w : [e, f] R folytonos függvények, akkor: u(x) v(y) w(z) dxdydz = T ( b ) ( d ) ( f ) = u(x)dx v(y)dy w(z)dz a c e

integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x 3, y 3, z 3}, akkor (x + y + z) dxdydz = = 3 3 ( 3 + [ x = ) xdx dydz + 3 3 ] 3 3 3 ( 3 ( 3 ) zdz dxdy = [ y + ] 3 [ z + ) ydy dxdz+ ] 3 = 48.

integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = 3 4 3 + 7 8 = 36. 8 =

integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = 4 7 3 = 3 4 ( ) 96 6 = 576. 4

3D polár 3D gömbi Legyenek R egy paramétertartomány, g, h : R folytonos függvények, melyekre g h teljesül -on. Legyen := {(x, y, z) R 3 : (x, y), g(x, y) z h(x, y)} normáltartomány z irányban, f : R folytonos függvény. Akkor f(x, y, z)dxdydz = ( ) h(x,y) = f(x, y, z)dz dxdy g(x,y) Hasonló tétel érvényes x vagy y irányú normáltartományokra is.

3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v, w) := f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, w) det J(u, v, w) dudvdw, ahol (Jacobi-mátrix). J(u, v, w) := x u x v x w y u y v y w z u z v z w

, példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.

polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) : a hengerkoordináta-transzformáció: x(r, t, z) := r cos t, y(r, t, z) := r sin t, z(r, t, z) := z. Jelölje f(r, t, z) := f(x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, z) r drdtdz, ui. itt a Jacobi-determináns det(j(r, t, z)) = det cos t r sin t sin t r cos t = r

, példa polár 3D gömbi Henger térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y R, z m}, akkor: π R m dxdydz = r dzdrdt = ( π ) ( R ) ( m ) dt r dr dz = π R m = R πm

gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ

gömbi,. példa polár 3D gömbi Gömb térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z R }, akkor: = π π dxdydz = ( π R r sin θ drdθdt ) ( π ) ( R ) dt sin θ dθ r dr = π R3 3 = 4R3 π 3

gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4