KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II.

Átírás

1 Írta: SZALKAI ISTVÁN DÓSA GYÖRGY KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag

2 COPYRIGHT: 6, Dr. Szalkai István, Dr. Dósa György, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárka Győző, Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék Creative Commons NonCommercial-NoDerivs. CC BY-NC-ND. A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4..-8//A-9-8 számú, Tananyagfejlesztés mérnök informatikus, programtervező informatikus és gazdaságinformatikus képzésekhez című projekt keretében. ISBN KÉSZÜLT: a Typotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Juhász Lehel KULCSSZAVAK: többváltozós integrálás és deriválás, közönséges differenciálegyenletek, parciális törtekre bontás, Laplace-transzformáció, Fourier-sorok. ÖSSZEFOGLALÁS: A példatárban található feladatok felölelik a többváltozós integrálás és deriválás, közönséges differenciál- és integro- egyenletek, a parciális törtekre bontás, Laplace-transzformáció és Fourier-sorok, az RLC elektronikus áramkörök alapjait. A bőséges útmutatóban röviden megtaláljuk a legfontosabb megoldási módszerek leírását is. A feladatgyűjtemény legnagyobb részét a feladatok részletes megoldásai esetenként magyarázatokkal, megjegyzésekkel teszik ki. A függelékben a legfontosabb tételek, képletek, táblázatok és tárgymutató kaptak helyet. Két animáció és két szemléltető program is segíti a megértést és egyszerűbb feladatok kiszámíttatását. Mind egyéni, mind csoportos felkészüléshez ajáljuk ezt a példatárat.

3 Tartalomjegyzék Bevezetés 7 Feladatok 9 F. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága Folytonosság Parciális deriváltak Differenciálhatóság Iránymenti derivált Összetett függvény deriválása Magasabbrendű deriváltak Szélsőértékszámítás Érintősík, Taylor-polinom, közelítő módszerek F. Két- és többváltozós integrálok Szukcesszív integrálás Transzformációk Többváltozós integrálok F. Többváltozós integrálok alkalmazásai F4. Közönséges differenciálegyenletek alapjai F5. Elsőrendű differenciálegyenletek Szétválasztható változójú egyenletek Visszavezethető típusok Lineáris egyenletek Bernoulli-egyenletek Egzakt egyenletek F6. Elsőrendű differenciálegyenletek alkalmazásai F7. Parciális törtekre bontás F8. Laplace-transzformáció és inverze F9. Integro-differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval..... Lineáris differenciálegyenletek és -rendszerek Integro-differenciálegyenletek és -rendszerek Alkalmazások F. Fourier-sorok, alkalmazások Fourier-sorok Alkalmazások Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

4 4 TARTALOMJEGYZÉK Útmutatások 6 U. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága U. Két- és többváltozós integrálok, transzformációk Transzformációk U. Többváltozós integrálok alkalmazásai Fizikai képletek U4. Közönséges differenciálegyenletek alapjai U5. Elsőrendű differenciálegyenletek Szétválasztható változójú egyenletek Visszavezethető típusok Lineáris egyenletek Bernoulli-egyenletek Egzakt egyenletek U6. Elsőrendű differenciálegyenletek alkalmazásai U7. Parciális törtekre bontás U8. Laplace-transzformáció és inverze U9. Integro-differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval Alkalmazások U. Fourier-sorok, alkalmazások R-L-C áramkörökről Megoldások 4 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága Folytonosság Parciális deriváltak Differenciálhatóság Iránymenti derivált Összetett függvény deriválása Magasabbrendű deriváltak Szélsőértékszámítás Érintősík, Taylor-polinom, közelítő módszerek M. Két- és többváltozós integrálok, transzformációk Szukcesszív integrálás Transzformációk Többváltozós integrálok M. Többváltozós integrálok alkalmazásai M4. Közönséges differenciálegyenletek alapjai M5. Elsőrendű differenciálegyenletek Szétválasztható változójú egyenletek Visszavezethető típusok Lineáris egyenletek Bernoulli-egyenletek Egzakt egyenletek M6. Elsőrendű differenciálegyenletek alkalmazásai Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

5 TARTALOMJEGYZÉK 5 M7. Parciális törtekre bontás M8. Laplace-transzformáció és inverze M9. Integro-differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval Lineáris differenciálegyenletek és -rendszerek Integro-differenciálegyenletek és -rendszerek Alkalmazások M. Fourier-sorok, alkalmazások Fourier-sorok Alkalmazások Javasolt irodalom Név- és tárgymutató Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

6

7 Bevezetés Feladatgyűjteményünk újdonsága, hogy majdnem minden feladat részletes, lépésenkénti megoldását tartalmazza, rövid elméleti magyarázatokkal. A megoldás elolvasása előtt azonban olvassuk el a. részben írt rövid Útmutatást, ahol a legtöbb elméleti képletet is megtaláljuk. Két animációt és két interaktív programot is mellékelünk: Aramkor-anim.gif +html és Traktrix-anim.gif +html, Iranymezo.exe és Eulertv.exe, ez utóbbiakhoz tömör Help vagy Help használati útmutató és mintaképek is tartoznak. A válogatott gyakorlati példák elsősorban a matematikai számítási módszerek többváltozós integrál- és differenciálszámítás, közönséges differenciálegyenletek és azok alkalmazásainak modell-állítás jobb megértését kívánják elősegíteni. Kiemelten kezeltük az elektronikai alkalmazásokat. Bár nem a szokásos analízishez tartozik: közelítő módszereket is igyekeztünk minél többet bemutatni: érintősíkok, Euler-töröttvonal, Fourier-sorok, stb. felhasználásával. Ezek nagy része a folytonos mennyiséget/módszert közelíti diszkrét mennyiségekkel illetve módszerekkel, ami az informatikai módszerek egyik alappillére. Természetesen nem csak informatikusok forgathatják haszonnal a feladatgyűjteményt: a feladatokat szigorú matematikai alapossággal oldjuk meg, az alkalmazások megértéséhez középiskolai ismeretek is elegendőek. A feladatok nehézségi foka nagyon sokféle: az egyszerű bevezető példáktól egészen a tanárizzasztó méretűig minden megtalálható benne. Terjedelmi okokból kimaradtak: komplex számok és alkalmazásaik; differenciálegyenleteknél az állandók variálása és a klasszikus módszerek, hiányos egyenletek. Legtöbb feladattípusra csak egy megoldási módszert ismertetünk, mégpedig azokat a módszereket részesítettük előnyben, melyek K.É.P. nélkül általános megoldásokat adnak. Magasabbrendű egyenleteket csak Laplace transzformációval oldunk meg. Részletes Laplace-, differenciálés egyéb táblázatokat és egyéb oktatási segédanyagokat találunk Szalkai István honlapjának Analízis c. részében: címen. Elemi analízis problémák gyakorlására javasoljuk dr. Koltay László dr. Szalkai István: Analízis I. feladatgyűjteményét Pannon Egyetemi Kiadó, Veszprém, 8, amely szintén részletes megoldásokat és megjegyzéseket, képleteket is tartalmaz. Néhány alkalmazott jelölés: y fx helyett sokszor csak y-t vagy yx-t írunk, e x helyett néha expx-et; arctgx arctanx, shx sinhx, chx coshx, thx tanhx, stb.; többváltozós függvényeknél: z fx, y vagy z fx, x,..., x n ; többdimemziós pontoknál: x, x,..., x n vagy a csak egyszerűen a, P ; Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

8 8 BEVEZETÉS parciális deriváltakra: D f, x f, d dx f, f vagy csak D x f, x f, DIFE differenciálegyenlet, K.É.P. Kezdeti Érték Probléma ; Ht t és Ht máskor ún. Heaviside függvény. d f, f dx x; Köszönetünket fejezzük ki dr. Gróf Józsefnek és dr. Székely Sándornak, a Matematika Tanszék lelkes oktatóinak az alkalmazások terén nyújtott sok segítségért! Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

9 Feladatok F. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága Folytonosság.. Számítsuk ki a következő függvények határértékét és ellenőrizzük lehetséges folytonosságukat a feltüntetett kritikus helyeken: a lim cosy sin x x,y π,, lim sinxy, lim, lim, x,y, x x,y, xy x,y, x y b lim x,y, y x +y, c lim x, x,y, x +y x d lim +y, x,y, x y e lim x,y, x+y x +y, xy lim, x,y, x +y lim xy, x,y, x +y x y lim, x,y, x y x+y lim, x,y, x y sinx siny x+y lim, lim, x,y, x +y x,y, x y lim x, x,y, x +y x y lim, x,y, x +y lim sin x,y, πx 6x+y. Parciális deriváltak.. Adjuk meg a parciális deriváltak értékét az adott helyeken! a fx, y x + y x y + π x, y f,, x f,, y f, 4, x b fx, y, z ze x y x, z R, y x f,,, c fx, y f,,, y f,,. z { xy ha x + y > x +y ha x + y, f,, x f, 4. y f,, y f,. x.. Adjuk meg a parciális derivált függvényeket! a fx, y, z x + x y + z x, y, z R fx, y, z, x fx, y, z, y fx, y, z. z Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

10 FELADATOK x b fx, y x x + y >, fx, y, +y x fx, y. y Differenciálhatóság.4. Vizsgáljuk meg az alábbi függvények differenciálhatóságát! a fx, y x xy + y b fx, y y sin x + x cos y c fx, y, z x + y + z d fx, y ln + y x { xy x + y > x e fx, y +y x + y f fx, y { x y x +y x + y > x + y.5. Adjuk meg a gradiensvektort az adott pontokban! a fx, y x + y xy,,,, x, y, b fx, y, z x + y + z,,, x, y, z, c fx, y, z x + y + z,,, x, y, z, d fx, y, z z x +y, 4, 5, x, y, z. Iránymenti derivált.6. Adjuk meg az f függvény iránymenti deriváltját az a pontban a v vektor illetve α szög irányában! a fx, y, z e x +y a,, v,, b fx, y, z z sinx + y a π, π 6,, v,, 4, c fx, y lnx + y a,, α, d fx, y { x y x +y x + y > x + y a,, v,..7. Adjuk meg az fx, y x x y + xy + függvény P, pontbeli, Q4, 6 vektor irányába vett iránymenti deriváltját!.8. Milyen irányban változik legjobban az fx, y x +4y függvény a P, pontban? Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

11 F. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága Összetett függvény deriválása.9. Adjuk meg az összetett függvény deriváltját! a fx, y, z xyz, xu, v u + v, yu, v u v, zu, v sin u, b fx, y x y, xt ln t, yt et, c fx, y e x +y, xr, ϕ r cos ϕ, yr, ϕ r sin ϕ... Adjuk meg az f x, y összetett függvény gradiensét az a pontban azaz fxa, ya értékét, ha a fx, y x + xy, a,, x,, y, 4, grad x,,, grad y,,, b f,, x xu, v u v, f,, y yu, v uv, a,... Legyen g : R R differenciálható függvény, és legyen fx, y xy + g y x. Mutassuk meg, hogy teljesül az x x fx, y + y fx, y xy összefüggés. x y Magasabbrendű deriváltak.. Adjuk meg az alábbi parciális derivált függvényeket: a fx, y xy + y f, f, f, x xy y b fx, y, z x y y z + xyz xy f, x f, xyz f, x y f, c fx, y x y xy f, yx f, x y f, xyx f... Számítsuk ki a következő parciális deriváltak értékét a megadott helyen: a fx, y +x +y f,, f,, f,, x xy y b fx, y { x y xy x +y x + y > x + y f,, f,. xy yx.4. Ha g, h : R R kétszer differenciálható függvények, mutassuk meg, hogy az fx, y gxy + xy h y xy > függvényre teljesül, hogy x x x fx, y y y fx, y. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

12 FELADATOK Szélsőértékszámítás.5. Hol vannak stacionárius pontjai hol lehet szélsőértéke az alábbi függvényeknek? a fx, y, z x + xy x + y y + z + b fx, y e x y c fx, y sin x + cos y + x y..6. Keressük az alábbi függvények szélsőértékeit: a fx, y x 4 + y 4 x y b fx, y xe x +y c fx, y x 4 + y 4 x + 4xy y d fx, y xy x y x + y e fx, y x + y + x + y. Érintősík, Taylor-polinom, közelítő módszerek.7. i Írja fel az alábbi függvények érintősíkjának egyenletét a megadott a pontokban, ii az érintősík segítségével közelítse a függvényt az a pont egy környezetében, iii számítsa ki a függvény értékét közelítőleg a b pontban: a fx, y x + y, a 4,, b 4,;,97, b fx, y x y + x, a,, b,98;,, y c x + x y + y + z + 5, P,,, b,;, Keresse meg az alábbi egyenletrendszer egy közelítő megoldását a függvények érintősíkjainak { segítségével a megadott kezdő értékekből kiindulva, 6 tizedesjegy pontossággal: fx, y x + xy y gx, y x 5x y + y 6 x,5, y,5 ill. x, y..9. Írja fel az fx, y, z x y függvény a,,8 pont körüli -rendű Taylorpolinomját, és ennek felhasználásával becsülje meg az f,99,,89, 8,6 x+z függvényértéket! F. Két- és többváltozós integrálok Szukcesszív integrálás.. Számítsuk ki az alábbi szukcesszív ismételt integrálokat: 7 5 a x + y 9 dx dy, x 5 y dy dx, Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

13 F. Két- és többváltozós integrálok b f ahol fx, y x és H y által határolt téglalap. c x + xy + 4y dxdy. [,] [,] H az A,, B, 5, C6, 5, D6, pontok.. Számítsa ki az alábbi b a vx ux fx, y dydx integrálokat, ahol a ux x x 4, vx x +8x, fx, y x +8y xy, a 6,8, b 8,49, b ux x + x 4, vx x + 8x, fx, y x + xy, a, b 9... Számítsa ki az alábbi f integrálokat, ahol a H korlátos tartományt alulról és felülről a g és h függvénygörbék határolják: H a fx, y x + y, gx x + x, hx 4 x, b fx, y y, gx x, hx x +, c fx, y y cosx, gx sinx, hx sinx, x π..4. Számítsa ki az alábbi f integrálokat. Minden esetben rajzolja fel a H tartományt is. H Ahol lehet, számítsa ki az integrált mind függőlegesen, mind vízszintesen is. a fx, y x +y+, H-t az x-tengely, y-tengely és az x+y egyenes határolják, b fx, y x és H {x, y : x y, x }, c fx, y xy és H a koordinátatengelyek és az y x egyenes által bezárt korlátos halmaz, d! fx, y x + y, H ABC az A,, B5, 8 és C9, 4 pontok által meghatározott háromszög, e fx, y yx és H az, középpontú egységsugarú kör x tengely feletti fele, f fx, y y és H origó középpontú egységsugarú kör I. síknegyedbe eső negyede, g fx, y + xy és H az y x, y x és x görbék által határolt korlátos halmaz, h fx, y xe y és H-t az x, y, y és y 4 x egyenesek határolják..5. Adja meg a H tartományt az alábbi feladatokban: a 4x x fx, y dydx, b / / y / fx, y dxdy, c + y y fx, y dxdy. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

14 4 FELADATOK.6. Cserélje fel az integrálás sorrendjét azaz vízszintes és függőleges irányát az alábbi feladatokban: a,5 b* y/ fx, y dxdy, y fx, y dxdy, y x fx, y dydx + 4 y / / x x 6 fx, y dxdy, y y fx, y dydx, fx, y dxdy, 4x x fx, y dydx, c a.5. feladatban szereplő integrálokban..7. Számítsa ki az e x dxy integrált, ahol H-t az x-tengely, az y x és az x egyenesek határolják. H Transzformációk.8. Számítsuk ki az alábbi f integrálokat polártranszformáció segítségével, ahol: H a fx, y y és H origó közepű egységsugarú kör I. síknegyedbe eső negyede, b fx, y yx és H az, közepű egységsugarú kör x tengely feletti fele, c fx, y x + y és H {x, y : x + y, y > x}, c fx, y ln + x + y és H {x, y : x + y 4}, { c fx, y x xy és H x, y : x + y 4, x y } x, { d fx, y x + y és H x, y : }. x + y Számítsuk ki az alábbi f integrálokat lineáris transzformáció segítségével, ahol: H a fx, y x y és H az A,, B,, C5, 4, D, pontok által meghatározott paralelogramma, b fx, y xy és H az A,, B,, C,, D, pontok által meghatározott paralelogramma, c fx, y x + y és H az A,, B,, C,, D, pontok által meghatározott paralelogramma... Számítsuk ki az alábbi f integrálokat egyéb transzformáció segítségével, ahol: H a fx, y y x, H az y, y 4, y x és y x görbék által x x meghatározott korlátos síkrész, Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

15 F. Többváltozós integrálok alkalmazásai 5 b* fx, y, korlátos síkrész, H az y x, y 4 x, y x / és y x görbék által meghatározott c fx, y x + y, H az y x, y x, y x és y 5 x görbék által meghatározott korlátos síkrész. Többváltozós integrálok.. Számítsuk ki az alábbi szukcesszív többszörös integrálokat: x + y 5 + xz dxyz ahol H az,, és 4, 5, 9 átlós csúcsokkal megha- a H tározott téglatest, b +x x x+y x 7y x y + xz dzdydx, c* a b x a c x c a + y b yz x dzdydx. F. Többváltozós integrálok alkalmazásai.. Számítsuk ki az alábbi görbék közötti területet: a y x, y 4, y x és y x, x b y x, y 4 x, y x / és y x... Határozza meg az fx, y x y ellipszis keresztmetszetű paraboloid [x, y] sík feletti részének térfogatát... Határozza meg az x +z r és y +z r egymásra merőleges hengerek metszetének térfogatát..4. Mekkora térfogatot metsz ki az origó középpontú, R sugarú gömbből az ρ R/ sugarú, az origót érintő henger Viviani- féle test?.5. Határozza meg a z xy ún. nyeregfelület x + y R kör feletti részének felszínét..6. Határozza meg a z x y forgási paraboloid alakú tükör felszínét..7. Határozzuk meg az alábbi, [x, y] síkban fekvő síkidomok súlypontjainak koordinátáit: a az y x görbe és y, x 4 egyenesek által határolt homogén paraboladarab, b az x + y R homogén körlemez y fele, c { x, y : x / + y / R } homogén asztroid I. síknegyedbe eső negyede..8. Az [x, y] sík,,,,,,, négyzete fölé állított z tengellyel párhuzamos négyzetes hasábot elvágjuk a,,,,,,,,,,, pontokon átmenő S síkkal. a Határozzuk meg a keletkezett test súlypontjának [x, y] síkra való vetületét. b Határozzuk meg a súlypont z koordinátáját is! Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

16 6 FELADATOK.9. Határozzuk meg a z, x a, y b síkokkal és a z xy felülettel határolt homogén test súlypontját... Határozzuk meg az R sugarú, m tömegű homogén körlap középpontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát!.. Határozzuk meg az a b méretű homogén téglalap oldalaira vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát... Határozzuk meg az y x görbe és az y x egyenes közötti homogén síklemez origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát... Határozzuk meg az a élű kocka középpontján átmenő, az élekkel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát. F4. Közönséges differenciálegyenletek alapjai 4.. Adjuk meg az alábbi differenciálegyenletek értelmezési tartományát: a y x y, y y, y x y x, y x y + y x, b x y + y x, x y x + y x y. 4.. Számítsuk ki az alábbi explixit egyenletek kezdetiérték-feladatai megoldásgörbéinek megadott pontbeli érintői egyenletét! Számítsuk ki y értékét is a megadott pontokban! a y x y, y, b y x x, y + x y, c y x x y + y, x y, d* x y x + yx x, y. 4.. Vázoljuk az alábbi explicit egyenletek iránymezőjét, a megadott tartományok legalább 4 4 pontjában, majd vázoljuk a megoldás-sereget általános megoldás. Végül rajzoljuk fel a K.É.P. megoldását vázlatosan. Csak a megoldás elkészítése után használjuk a Feladatgyűjteményhez mellékelt Iranymezo.exe interaktív programot! a y x y, x 5, y 4, y, b y y, x, y 4, y, c y x y, x < x 4, y 4, y. 4.. Oldjuk meg az előző feladat K.É.P.-t közelítőleg δ, lépésközzel: számoljunk ki legalább lépést Euler töröttvonal közelítő módszere. Csak a megoldás elkészítése után használjuk a Feladatgyűjteményhez mellékelt Eulertv.exe interaktív programot! Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

17 F5. Elsőrendű differenciálegyenletek Ellenőrizzük, hogy az alábbi egyenleteket kielégítik-e a megadott függvények: a y y, yx c x c R, x b y x y x ahol x + y b b >, x, y >, c y y ha y x x c ill. y x { x c ha x c máskor c R. F5. Elsőrendű differenciálegyenletek Oldjuk meg az alábbi elsőrendű differenciálegyenleteket. Szétválasztható változójú egyenletek 5.. a y x y x cosx, y, b y x x y +x, y, c y x x y xy, y. Visszavezethető típusok A következő típusú differenciálegyenleteket bizonyos transzformációkkal szétválasztható változójú egyenletekké alakíthatjuk. 5.. a y x y x, y, b y x x + y +, y, c y x cosx + y, y π. 5.. a y x y + y, y, b x x y x x + y, y, y x c y x y cos y, y π. x x Lineáris egyenletek 5.4. y x x yx x, y a y x + yx x + ex, y, b y x x +x yx, y, c y x + x x yx e /x, y a y x + yx e x, y, b x y x + yx x, y, c x y x + x yx, y, d y x + tgx yx sinx, y. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

18 8 FELADATOK Bernoulli-egyenletek 5.7. a y x yx x y x, y, b y x yx x yx, y, c y x y x y x, y. Egzakt egyenletek 5.8. a x + y y xy x, y, b y x x+y x y x, y, c x y + y y x, y, x x y d x+y + x x+y y x, y. F6. Elsőrendű differenciálegyenletek alkalmazásai 6.. Határozzuk meg azon függvénygörbéket, melyeket az y tengely körül állandó ω szögsebességgel megforgatva tetszőleges pontjára helyezett pontszerű test egyensúlyban marad. 6.. Határozzuk meg azon görbék egyenletét, amelyeknél az érintési pont felezi az érintőnek a koordinátatengelyek közötti szakaszát. 6.. Keressük meg azokat az y fx görbéket, amelyeknek bármely Ex, y pontjára teljesül a következő: az E-ben húzott érintő, az érintési pontban húzott függőleges egyenes egyenlete: x x és a vízszintes ordináta- y- tengely által határolt háromszög területe mindig egységnyi Egy test perc alatt C-ról 6 C-ra hűlt le. A környező levegő hőmérsékletét C- on tartják. Mikorra hűl le a test 5 C-ra, ha a hűlés sebessége arányos a test és a környezet hőmérsékletének különbségével? 6.5. gr sóra vizet öntünk és keverjük, az oldódás sebessége a még fel nem oldódott só tömegével arányos. perc elteltével még 5 gr feloldatlan só volt az oldatban. Adjuk meg a feloldott só tömegének időtől való függését! 6.6. Egy 5 literes tartályban 8%-os sóoldat van. Egyszerre megnyitunk két csapot: az egyiken 4 l/perc sebességgel %-os sóoldat folyik be, a másikon egyenletes elkeveredést feltételezve ugyancsak 4 l/perc sebességgel folyik ki az oldat. Mennyi só lesz a tartályban 5 perc múlva? 6.7. * A járda szélén húzunk h hosszú kötélen egy pontszerű kiskocsit, amely kezdetben d > távolságban van a járdától. Milyen görbe mentén halad a kocsi? 6.8. Tetszőleges edény alján levő, az edény méreteihez képest kisméretű lyukon keresztül a víz kifolyási sebessége v,6 gh, ahol h a nyílás feletti vízoszlop magassága Mennyi idő alatt folyik ki a víz az A területű lyukon keresztül, ha az edény Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

19 F8. Laplace-transzformáció és inverze 9 a alapkörén álló henger, b csúcsán álló lefelé szűkülő kúp, c felül nyitott félgömb Milyen alakot vesz fel a két rögzített végénél felfüggesztett homogén, nem nyúló kötél, amit csak a saját súlya terhel? 6.. ut feszültségforrásra kapcsoltunk sorosan egy R Ω ellenállást és egy L H önindukciójú tekercset. Határozzuk meg a t idő függvényében az it áramerősséget, ha i és a ut V egyenfeszültség, b ut U sinωt V váltófeszültség, ω π, U 4 V. F7. Parciális törtekre bontás 7.. Végezze el a következő polinomok maradékos osztását: a x 4 + x : x, b x + x + 5 : x 7x + 9, c 4x 5 + 5x : x Bontsa fel irreducibilis tényezők szorzatára az alábbi polinomokat: a x, x +, x 4, x 4 +, x x +, x + 5x + 7, b x 5x + x, x x, c* x 4 + x + x + x. 7.. Bontsa fel az alábbi törteket egy valódi tört és egy polinom összegére: x 4 + x 6 x + x, x 7x x 4, x x + 4 x 8x + 5, x 5 + x 5 x, x 5 + x +. x Írja fel az alábbi törtek racionális tört alakját, a konstansok kiszámítása nélkül: x 8x + x x + 4x + 9, x 4 + 5x + x + 7 x + 5x + 7, x + 8x + x x + 4x + 9 x + 7 x + 5, x x + 4 x 8x Bontsa fel az alábbi törteket parciális törtekre: k k +, x + 6 x + x, x + x + x + 5 x +, x x + x, x x, x x, x x +, x + 5 x 4 6, x x, x x + 4 x 8x + 5, * 7s 4 + s s 7s 5. s + 4 s 5 Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

20 FELADATOK F8. Laplace-transzformáció és inverze 8..a Vázoljuk az alábbi függvényeket és számítsuk ki Laplace-transzformáltjukat a definíció alapján: { { ha t < ha t f t, f t, máskor máskor { t ha t t ha t < f t,! f 4 t ha t, máskor máskor f 5 t a, és 5, 7 pontokat összekötő szakasz, { sint ha π t 4π f 6 t, máskor { k ha k t < k k,,,... f 7 t. máskor b Az alábbi periodikus függvényekhez keressünk képletet, majd határozzuk meg Laplacetranszformáltjaikat használjuk a Heaviside-függvényt: Ht ha t és Ht máskor.. ábra. 8..b 8.. Számítsuk ki az alábbi függvények Laplace-transzformáltját az alapfüggvények és a műveleti szabályok segítségével: a 7t t + 5, 4e 5+6it, e 5t cost, t e 7t, t e it, sht, t cht, t e 6t sin4t, b* 5 t, cos t, cos 4t, e t t, c f t és f 4 t a 8.. feladatból. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

21 F9. Integro-differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval 8.. Számítsuk ki az alábbi függvények Laplace-transzformáltját: t cosωt, t sinωt, t chωt, t shωt Számítsuk ki az alábbi racionális törtfüggvények inverz Laplace-transzformáltját parciális törtekre bontással: a 5s, s 4, s + 4, 5s + s + 4, s + s + 4s +, s +, 5 s, b* c s + s +, 4s + 5 s + 6s +, s + 6s + s, s s, 5 s + ω, s s + ω, s s + ω, s + 6 s + 4, s s + 4, s s + 9, 5s + s Számítsuk ki a következő konvolúciókat: e αx e βx, x e λx, x e λx, fx, x n n! xk k! n, k N. F9. Integro-differenciálegyenletek megoldása Laplacetranszformációval Lineáris differenciálegyenletek és -rendszerek Laplace-transzformációval oldjuk meg az alábbi lineáris differenciálegyenleteket: 9.. a y + y e x + cosx, y, b y y y e x + e x, y, y, c y 6y + y 6xe x, y, y 4, d y + 6y + y e x cosx, y, y, e y + 4y cosx, y, y, y, f y y y x e x, y 7, y. 9.. a y x + y x, yπ, y π, y π π, b y x y x 6x, y 7, y, y. 9.. a y x yx +e x, y y, b y x arctgx, y y, c y x yx thx, y y, d* y x y x + yx e x, y y. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

22 FELADATOK 9.4. Laplace-transzformációval oldjuk meg az alábbi lineáris differenciálegyenlet-rendszereket: { x t 7xt + 9yt x 8 a y t xt yt y, { x t xt + yt + e t x b y t xt + yt y, { x t 5xt yt + 5e t x c y t xt yt 5te t y, x t yt + x d y t zt + y. z t xt + z Integro-differenciálegyenletek és -rendszerek 9.5. Laplace-transzformációval oldjuk meg az alábbi integro- differenciálegyenleteket és - rendszereket: a yx sinx + x ex t yt dt, b y x + yx + x yt dt sinx, y, { y x x c x t y t dt 4 x y t dt y x x y t dt x x t y t dt Alkalmazások 9.6. Egy R Ω ellenállás, egy L Henry önindukciójú tekercs és egy C,F kondenzátor sorban van kapcsolva az ut feszültségre. Mekkora lesz az áramerősség t sec múlva? Az alábbi adatok esetén készítsen számításokat: a ut u, i i illetve i i >, i i magára hagyott rezgőkör, b ut sint, i i gerjesztett rezgőkör, c* vizsgáljuk meg a megoldás tendenciáját lim t it értékét a gerjesztő ω g frekvenciától függően, azaz ut sinω g t, i i, d** oldjuk meg általánosan R, L, c R-re ha ut U sinω g t, i i, majd hasonlítsuk össze a c feladattal Sűrű anyagban lefelé süllyedő test sebessége m v t mg k vt, v v, ahol g a gravitációs állandó, m, k, v R + valós számok. Keresendő vt és a végleges sebesség, azaz lim t vt. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem.

23 F9. Integro-differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. ábra. 9.6.d** 9.8. Egy ideális, k rugóállandójú, súlytalan rugó végén m állandó tömegű test függ, a rugót s hosszan megnyújtjuk / összenyomjuk s > vagy s <, ezen felül a rugó végét időben változó F K t kényszererővel terheljük pl. egy másik, ráakasztott, időben változtatható tömeggel. Írjuk le és értékeljük a rugó végének st kitérési függvényét, ha a F K t, s s elengedett azaz terheletlen rugó, k b F K t mb sinω K t ha ω K m, s s az ω K kényszerfrekvencia különbözik a rendszer saját frekvenciájától, k c ugyanaz, mint b csak ω K m. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

24 4 FELADATOK F. Fourier-sorok, alkalmazások Fourier-sorok.. Az alábbi ábrákhoz adja meg a függvényt definiáló formulát, majd számítsa ki Fouriersorukat: a. ábra...a b lásd a 8..b feladat ábráját... Az alábbi képletekkel megadott periodikus függvényeket rajzolja fel és számítsa ki Fourier-sorukat: f x, x R; f x x, x [ π, π]; f x x, x [ π, π]; f x 5x 4x + 7, x [ π, π]; f 4 x cosx, x [,]; f 5 x sinx ; f 6 x e x, x [,]; { { ha π x < ha π x < f 7 x, f 8 x, ha x < π + ha x < π { { u ha L x < f u,v x v ha x < L, f ha π x < x, x ha x < π { x ha x < ha x < f x, f x ha x <. x ha x < ha x < Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

25 F. Fourier-sorok, alkalmazások 5.. Terjessze ki az alábbi függvényeket a párosan / y tengelyre szimmetrikusan/ b páratlanul /origóra szimmetrikusan/ majd számítsa ki Fourier-sorukat mindkét esetben: g x x, ha x [,]; g x x x, ha x [,]; g 4 x sinx, ha x [, π]; g x x, ha x [,]; g 4 x x, ha x [,]; g 5 x cosx, ha x [, π]..4. Az..a feladat B és J függvényeit hogyan közelíti a Fourier-összegének első négy tagja? Néhány pontban számítsa ki az eltérést, esetleg készítsen vázlatot. Alkalmazások.5. A bemenetre egyenirányított váltófeszültséget kapcsoltunk: U in t 4 sinπt azaz 5 Hz, T. Fejtse Fourier-sorba U int-t, majd ennek segítségével határozza meg a kimeneti potenciál Fourier-sorának első három tagját! 4. ábra..5.a, b Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

26 Útmutatások U. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága.. Először közelítsük az x, y pontot a megadott a, b helyhez egy görbe pl. egyenes mentén, azaz pl. x, y, esetén legyen y tx és vizsgáljuk a lim fx, tx határtéket, x ahol t R rögzített, de tetszőleges valós szám. Ezen határértékeknek minden t R esetén meg kell egyezniük ahhoz, hogy fx, y-nak lehessen határértéke az a, b pontban, bár ez még nem elégséges a lim x,y a,b fx, y határérték létezéséhez... Ha a a, a, a n Domf, adjuk meg, pl. az első változó szerinti x fx, a, a n parciális függvény a, a n R rögzített deriváltját az x a helyen, ami valós szám: fx, a, a n fa, a, a n fa : lim R x x a x a.. Vizsgáljuk meg, hogy Domf mely pontjaiban adható meg pl. az első változó szerinti x fx, x, x n x, x n rögzített parciális függvény derivált függvénye, ami az x, x n változóktól is függő függvény: x f : Rn R,.4. Használjuk a következő tételeket: x, x, x n x fx, x, x n. i Ahol a parciális derivált függvények folytonosak, ott a függvény totálisan differenciálható. ii Ahol a függvény nem folytonos, ott nem lehet differenciálható. iii Az a a, a, a n Domf pontban differenciálható függvényre teljesülnek az a pont egy környezetében az alábbiak: fx, x, x n fa + fa x a + fa x n a n + Rx, x, x n x x n és Rx, x, x n lim x a,...,x n a n x a + y a +. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

27 U. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 7.5. Ellenőrizzük a differenciálhatóságot, és adjuk meg a parciális derivált függvények értékét az adott helyen, amivel az f függvény gradiense kiszámolható: grad fa fa, fa, fa R n. x x x n.6. Legyen v egységvektor, adjuk meg a t fa + t v függvény deriváltját a t pontban, tehát az iránymenti derivált: fa + t v fa D v fa : lim. t t Ha f differenciálható az a pontban, és v egységvektor, használhatjuk a formulát is. D v fa grad fa v.8. Ha f differenciálható az a pontban, és v egységvektor, akkor a D v fa grad fa v formulából és az u v u v Cauchy-Schwarz-Bunyjakovszkij egyenlőtlenségből következik, hogy grad fa D v fa grad fa, és egyenlőség pontosan akkor van, ha grad fa és v párhuzamosak. Adjuk meg tehát a gradiens vektor és ellentettje irányában az iránymenti deriváltakat!.9. Ha f : R R, x, y, z fx, y, z differenciálható függvények, használjuk az x : R R, u, v xu, v y : R R, u, v yu, v z : R R, u, v zu, v F : R R F u, v f xu, v, yu, v, zu, v összetett függvény deriválásához a következő, ún. többdimenziós láncszabályt: F u, v u x fxu, v, yu, v, zu, v xu, v+ u + y f xu, v, yu, v, zu, v yu, v+ u + z f xu, v, yu, v, zu, v zu, v, u Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

28 8 ÚTMUTATÁSOK F u, v v x f xu, v, yu, v, zu, v xu, v+ v + y f xu, v, yu, v, zu, v yu, v+ v + z f xu, v, yu, v, zu, v zu, v. v.. Készítsük el a megfelelő parciális derivált függvényeket jelölésüknek megfelelő sorrendben, tehát például: xy fx, y, fx, y, y x fx, y, fx, y, x x x xy fx, y, fx, y,. y y x.5. Keressünk stacionárius a Domf pontokat: ahol grad fa..6. Vizsgáljuk az f R R függvény a R stacionárius pontjában a kifejezés értékét, és ha f a : x fa y fa xy fa f a > VAN szélsőérték, ami {minimum, ha x fa > maximum, ha x fa <, ha f a < NINCS szélsőérték, ha f a LEHET szélsőérték további bonyolult vizsgálat szükséges..7. Az érintősík egyenlete éppen az -rendű Taylor-polinom: és így a közelítés: z fx, y + f xx, y x x + f yx, y y y. fx, y fx, y + f xx, y x x + f yx, y y y..8. Ha az f és g függvény mindegyikére az x, y pont közelében a fenti közelítést használjuk, akkor az {fx, y, gx, y } egyenletrendszer helyett, az x, y ismeretlenekre az { f xx, y x + f yx, y y b g xx, y x + g yx, y y b lineáris egyenletrendszert kapjuk, ahol Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

29 U. Két- és többváltozós integrálok, transzformációk 9 b fx, y + f xx, y x + f yx, y y fx, y, b gx, y + g xx, y x + g yx, y y gx, y. Ennek megoldása legyen x, y, melyből kiindulva a módszert ismételgetve egyre pontosabb gyököket kapunk. Newton módszere..9. Az n-változós f : R n R függvény a Domf pontjában N-edrendű Taylor polinomjának képlete T N a f N x f m a x a m k! k m k ahol az m m, m,..., m k ún. multiindex szerinti derivált f m : k x m x m... x mk f és x a m : x m a m x m a m x mk a mk. U. Két- és többváltozós integrálok, transzformációk.. Amennyiben H az x a, x b, y c és y d egyenesek által határolt téglalap, akkor szukcesszíve egymás után integrálunk: vízszintes integrálás esetén d b d f fx, y dx dy F x b, y F x a, y dy Gd Gc, H c a c ahol F x x, y az fx, y függvény x szerinti primitív függvénye, azaz F x xx, y fx, y x, y Domf és Gy az y F x b, y F x a, y egyváltozós függvény primitív függvénye y szerint; míg függőleges integrálás esetén pedig b d b f fx, y dy dx F y x, d F y x, c dx Hb Ha, H a c a ahol F y x, y az fx, y függvény y szerinti primitív függvénye, azaz y F yx, y fx, y x, y Domf és Hx a h : x F y x, d F y x, c Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

30 ÚTMUTATÁSOK egyváltozós függvény primitív függvénye x szerint, azaz Hx hx dx. Fubini tétele szerint a fenti két számítási módszer egyenértékű ugyanazt az eredményt adja... Használjuk az előző feladatban ismertetett szukcesszív integrálás alábbi, általánosított képletét: b a vx ux fx, y dy dx b a F y x, vx F y x, ux dx Kb Ka ahol Kx a kx : F y x, vx F y x, ux egyváltozós függvény primitív függvénye... Először számítsa ki a g és h függvénygörbék metszéspontjait, majd állapítsa meg, hogy g és h közül melyik alkotja H alsó- és felső határát, végül számoljon a.. feladat mintájára..4. d Az ABC oldalegyeneseihez használhatja az alábbi középiskolai képletet: az Uu, u, V v, v pontokon átmenő egyenes egyenlete x v u v u v y v..7. Néhány feladatban az integrál csak egyik irányban lehetséges vagy függőlegesen, vagy vízszintesen. Transzformációk ÁLTALÁBAN a transzformációkról: Az fx, y dxdy H integrálban az x uk, l, y vk, l helyettesítést alkalmazva a Jk, l uk, l, vk, l függvény determinánsára ún. Jacobi-determináns van szükségünk: detj det k k uk, l vk, l l l uk, l vk, l, ami alapján fx, y dxdy f uk, l, vk, l detj dkdl, H M ahol DomJ M és ImJ H, azaz J : M H. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

31 U. Két- és többváltozós integrálok, transzformációk.8. Kör alakú H tartományok esetén u, v a kör középpontja használjuk az x r cosφ + u, y r sinφ + v ún. polártranszformációt, determinánsa Jr, φ r. Ellipszis alakú H tartomány esetén az ún. Yvory transzformációt használjuk: x a r cosφ + u, y b r sinφ + v, determinánsa Y r, φ r a b..9. Ha a H tartomány paralelogramma alakú, vagyis az u a, b és v a, b vektorok feszítik ki, kezdőcsúcsa Ac, c, akkor a lineáris transzformációt alkalmazzuk: x a k + b l + c, y a k + b l + c k, l, determinánsa det Jk, l a b a b... Általában: ha a H tartományt az y k φx, y k φx illetve az y l ψx, y l ψx görbék zárják közre, akkor H minden P x, y pontja az y k φx és y l ψx görbék metszéspontjaként megkapható k k k, l l l, ami alapján felírhatunk egy J : k, l x, y transzformációt. a k, k 4, l, l. Az y k és y lx görbék P x, y metszéspontját x az y k lx egyenletrendszer megoldásából kapjuk, vagyis P x, y k, kl. Tehát x l k a J : k, l, kl helyettesítést alkalmazzuk, determinánsa l detj det kl l k k l k l l. b k, k 4, l, l. Az y k x lx egyenletrendszer megoldása: k P x, y Jk, l l, k l k / l /, k / l / és így detj det k / l / k / l / k/ l 4/ k/ l 4/ 9l 5 l + 9 l + 9 l 5/. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

32 ÚTMUTATÁSOK c Az y k x l x egyenletrendszer megoldása: P x, y Jk, l k / l /, k / l / és detj det k / l / k / l / k/ l 5/ k/ l / l l. U. Többváltozós integrálok alkalmazásai.. H R sík- ill. P R térbeli tartomány területe ill. térfogata T H dxdy, V P dxdydz. H P.. Az [x, y] sík feletti rész darabjait felülről egy-egy megfelelő függvényfelület határolja..4. A henger egyenlete x + y ρ, a keresett térfogatot felülről a gömb határolja A z fx, y egyenlettel meghatározott felület felszíne Fizikai képletek.7... feladatokhoz: A H + x f + y f dxdy. Ha a H síklemez az [x, y] síkban fekszik és x, y H pontjában a sűrűsége ρx, y, akkor H súlypontjának koordinátái: x ρx, y dxy y ρx, y dxy x s H H ρx, y dxy, y s H H ρx, y dxy. A fenti H síklemeznek az x illetve y tengelyekre vett másodrendű tehetetlenségi nyomatékai Θ x y ρx, y dxy, Θ y x ρx, y dxy. H H míg a z tengelyre origóra vett tehetetlenségi nyomatéka Θ z Θ x + Θ y. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

33 U5. Elsőrendű differenciálegyenletek Ha a K R térbeli tartomány és x, y, z K pontjában a sűrűsége ρx, y, z, akkor K tömege m ρx, y, z dxyz és súlypontjának koordinátái: x s m K x ρx, y, z dxyz, y s m K y ρx, y, z dxyz, z s m K z ρx, y, z dxyz. K Ugyanennek a K tartománynak az x, y ill. z tengelyekre vett másodrendű tehetetlenségi nyomatékai y Θ x + z x ρx, y, z dxyz, Θ y + z ρx, y, z dxyz, K Θ z x + y ρx, y, z dxyz, Θ K x + y + z ρx, y, z dxyz, K ahol Θ az origóra vett tehetetlenségi nyomaték. Tetszőleges e egyenesre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka pedig Θ e fx, y, z ρx, y, z dxyz, K ahol fx, y, z megadja az x, y, z pontnak az e egyenestől való távolságának négyzetét..8. A sík egyenlete x + y z, vagyis a test x, y pontbeli magassága fx, y x + y vehető a négyzet alakú lemez ρx, y tömegeloszlásának. K U4. Közönséges differenciálegyenletek alapjai 4.. x-re és y-ra mindig egy összefüggő intervallumot kell megadnunk! 4.. a Tehát x és y. Az érintő egyenes általános egyenlete: y yx + y x x x. 4.. Először a választott pontokban az érintő egy kis darabját kell felrajzolnunk. 4.. A függvényt egy δ hosszú intervallumon az érintőjével közelítjük, majd a végpontban a közelítést az újabb érintővel folytatjuk, s.í.t. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

34 4 ÚTMUTATÁSOK U5. Elsőrendű differenciálegyenletek Szétválasztható változójú egyenletek 5.. Az y x H yx Gx, yx y differenciálegyenletek megoldása: az egyenlet mindkét oldalát Hy-al osztjuk Domy-t eközben vizsgáljuk, integráljuk dx szerint és használjuk a helyettesítéses integrál szabályát: y x H yx dx dy H yx Gx dx Gx + C Hy tehát az általános megoldás yx H Gx + C, C R ahol H primitív függvénye -nek és G primitív függvénye G-nek. H A K.É.P. megoldása: yx y alapján az H Gx + C y egyenletből C meghatározható. Domy meghatározásához a számolás során kapott kikötéseket, x értékét, és azt a tényt kell figyelembe vennünk, hogy Domy egyetlen összefüggő intervallum. Visszavezethető típusok 5.. Az y x F ax + by + c a, b, c R alakú differenciálegyenletekből az ux : ax + by + c helyettesítéssel szétválasztható egyenletet kapunk: y x b u x a b. 5.. Az y x F y yx x alakú, ún. homogén fokszámú egyenleteknél az ux : x helyettesítéssel szétválasztható differenciálegyenlet adódik: yx x ux és y x ux + x u x. Lineáris egyenletek 5.4. y x + px yx q x, y x x. 4 I. Direkt módszer: Legyen P x egy primitív függvénye px-nek. Szorozzuk be a fenti egyenlet mindkét oldalát e P x -el: y x e P x + px e P x yx qx e P x 5 Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

35 U5. Elsőrendű differenciálegyenletek 5 ahonnan az e P x e P x P x összefüggés alapján kapjuk: yx e P x qx e P x 6 vagyis az általános megoldás yx e P x qxe P x dx. 7 A K.É.P. megoldása: y x y és 7 alapján C meghatározható. Domy meghatározásához a számolás során kapott kikötéseket és x értékét kell figyelembe vennünk. A fenti gondolatmenet a Laplace-transzformáció alapja. II. Állandó variálása módszer: Az 4 egyenlet homogén változata y x + px yx szétválasztható, melynek általános megoldása yx ±e P x D D R +, P x px dx. Az állandó variálása elnevezés azt takarja, hogy a 4 inhomogén egyenlet megoldását yx ±e P x Dx alakban keressük. Ez pedig a ±e P x D x qx egyenletre vezet, ahonnan Dx ± qxe P x dx + C és yx ±e P x ± qxe P x dx + C. A K.É.P. megoldása és Domy meghatározása a 7 után írtak szerint lehetséges. Bernoulli-egyenletek Általános alakjuk: y x + ax yx bx y β x β R. Az ux : y β x helyettesítés után lineáris differenciálegyenletet kapunk. Egzakt egyenletek Általános alakjuk: P x, y + Qx, y y x ahol P x, y Qx, y, y x az egyenletet szokás P x, y dx + Qx, y dy alakban is írni. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

36 6 ÚTMUTATÁSOK Megoldása: P x, y dx és Qx, y dy kiszámítása után felírjuk az P x, y dx + ψy Qx, y dy + φx 8 egyenlőséget, melyből ψy és φx meghatározhatók. Jelöljük a 8 egyenlet bármelyik oldalát F x, y-el, számítsuk ki a K.É.P. alapján c értékét: F x, y c 9 majd oldjuk meg a fenti implicit egyenletet y-ra, a megoldás lesz a keresett yx függvény. U6. Elsőrendű differenciálegyenletek alkalmazásai 6.9. Írjuk fel a kötél két közeli, x, f x és x + h, f x + h pontjaiban ható erőket: az érintő irányú kötélerők vízszintes összetevői kiegyenlítik egymást, míg függőleges összetevőinek különbsége megegyezik a gravitációs erővel. A kötél sűrűsége legyen ρ, keresztmetszete Q. Ha nem sikerül a differenciálegyenletet felállítanunk, akkor a megoldást csak az egyenlet felírásáig olvassuk el, és próbáljuk önállóan megoldani az egyenletet. 6.. A feladat áramkörére R it + L i t ut. Lásd még a. fejezet útmutatójában található általános elektronikai összefoglalót is. U7. Parciális törtekre bontás 7.. Az Algebra Alaptétele valós változat szerint: minden, legalább harmadfokú polinom felbontható alacsonyabb fokú polinomok szorzatára. Lásd pl. Szalkai István honlapján: vagy Diszkrét matematika és algoritmuselmélet c. könyvének Veszprémi Egyetemi Kiadó, függelékében. A középiskolából jól ismert az alábbi összefüggés: Egy px ax + bx + c másodfokú polinom akkor és csak akkor reducibilis felbontható, ha diszkriminánsa D, ebben az esetben px x x x x gyöktényezős alak. A D < esetben px irreducibilis felbonthatatlan feladatok: A parciális- más néven: elemi- vagy rész- törtekre bontás módszere röviden megtalálható Szalkai István oktatói honlapján: vagy Diszkrét matematika és algoritmuselmélet c. könyvének függelékében. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

37 U9. Integro-differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval 7 U8. Laplace-transzformáció és inverze A Laplace- és inverz- transzformáció alaptulajdonságai és az alapfüggvények transzformáltjai megtalálhatóak Szalkai István oktatói honlapján: A Laplace-transzformáció definíciója: F s Lfs : amennyiben az improprius integrál konvergens A Laplace-transzformáció inverzének definíciója: ft e st dt ft x +i F s e st ds x i amennyiben az improprius integrál konvergens, x > α pedig tetszőleges rögzített valós szám, ahol DomF {z C : Rez > α}. U9. Integro - differenciálegyenletek megoldása Laplacetranszformációval 9.. Ha a K.É.P nem az x pontban van megadva, akkor a függvényt vízszintesen eltolva alkalmazzuk az Eltolási tételt: L ft b e bs F s. 9.. Ha az egyenlet jobb oldalán levő fx függvénynek nincs Laplace-transzformáltja, akkor használjuk az F s L fx rövidítést, majd vissza transzformáláskor a Konvolúciótételt: L f g Lf Lg, vagy másképpen L F G L F L G. Alkalmazások 9.6. Az ábrán vázolt rezgőkörök esetén L i t + R i x + C it u t lásd még a. fejezet útmutatójában található általános elektronikai összefoglalót is. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

38 8 ÚTMUTATÁSOK 9.7. Ha csak vt határértékére vagyunk kíváncsiak, akkor használhatjuk a következő összefüggést: lim ft lim s F s t s ahol F Lf Alkalmazzuk az összefüggéseket. F rugó k s és Fössz m a m s F rugó + F K U. Fourier-sorok, alkalmazások A Fourier-sor definíciója képlete : ha az f függvény periódusa [ L, L], akkor ahol F fx : a + a k L b k L Speciálisan L π esetén ahol L L L L k a k cos kπx kπx + b k sin L L kπx fx cos dx, k,,,... L kπx fx sin dx, k,,.... L F fx a + a k coskx + b k sinkx a k π b k π π π π π k fx coskx dx, k,,,... fx sinkx dx, k,, Ha valamely függvény megkapható egy másik lineáris transzformációival, akkor Fourier-transzformáltját már könnyen előállíthatjuk. Pontosabban: ha gx α fx + β és hx fγ x akkor Fg F αf x + β α F f x + β Fh F f γx x F fx γx. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

39 U. Fourier-sorok, alkalmazások 9 R-L-C áramkörökről Soros kapcsolásnál i fo t i t i n t, u fo t u t + + u n t, párhuzamos kapcsolásnál i fo t i t+ +i n t, u fo t u t u n t bármely t R időpillanatban, továbbá: R ellenállásnál u R t R it R R, L tekercsnél u L t L d dt it C kapacitásnál u C t C t iτ dτ L R, C R. A jegyzetben a 6., 9.6,.5 sorszámú feladatok vonatkoznak elektronikai áramkörökre..5. Mivel a bemeneti körre felírt egyenlet sin πt miatt nem számolható, ezért helyette Fourier-sorát véve tagonként oldjuk meg az egyenletet és a megoldásokat összegezzük. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

40 Megoldások M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága Folytonosság.. a lim x,y π, cosy sin x. sinxy sinxy lim lim y. x,y, x x,y, yx lim x,y, xy nem létezik, mert y tx esetén lim x,y, x x különböző eredményt ad, pl. t esetén lim. Azonban lim + könnyen belátható. lim x,y, x,y, xy x y x előjelétől függően. b lim x,y, y x +y lim xy x különböző t számokra tx + míg pl. t esetén lim x x nem létezik, mert lim x x tx lim t x tx vagy ±, t-től és t nem létezik, mert lim x t nem csak egy értéket vesz fel. x x +t x +t xy lim mert y tx esetén xy tx t x, de mivel t x,y, x +y x +y x +t x +t +t < K valamilyen K R korlátra t R, K értéke lényegtelen, így xy x +y < x K midőn x. sinx siny lim nem létezik, mert y tx esetén a x,y, x +y sinx siny x + y sinx sintx x + t sinx x sintx tx t + t kifejezés határértéke függ t értékétől. x+y x+tx lim nem létezik, mert lim +t függ t értékétől. x,y, x y x x tx t c lim x x,y, x +y nem létezik, mert lim x x x ± +t x +t függ t értékétől. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

41 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 4 t +t lim xy mert y tx esetén xy x t x +y x +y x x t +x t +t, továbbá < K valamilyen K R korlátra t R, K értéke lényegtelen, így < x K midőn x. x,y, xy x +y lim x x,y, x +y az előző feladathoz hasonlóan. x d lim +y nem létezik, mert ugyan x,y, x y x +y x y a számláló korlátos és a nevező, de a nevező előjele instabil, vagyis x +y ± ami nem lehetséges. x y lim x,y, e lim x,y, +t x +t < x x+y lim x,y, x y x y h lim x,y, x y x y lim x,y,, x+y x+y, mert y tx esetén x+y x+tx +t és x +y x +y x +t x x +t K midőn x, a b / feladathoz hasonlóan. nem létezik, mert, ami minden h R esetén más. lim sin x,y, x+y, és az y x + h helyettesítés alapján x y x y x y nem létezik, mert y tx esetén x y t x +y x +y πx 6x+y Parciális deriváltak +t minden t R-re más. nem létezik, mert y tx esetén πx π minden t R-re más. 6x+y 6+t.. a Az x változó szerinti parciális függvény és deriváltja y esetén: x fx, x + x + π, x fx, 4x x 4 x >, x x x f, Az y változó szerinti parciális függvény és deriváltja x esetén: y f, y + y + π, y f, y + y, y y y y y f, Az x változó szerinti parciális függvény y 4 esetén: x fx, 4 x 4 + x + π x 4 ami x pontban nem differenciálható, tehát f, 4 nem létezik. x Az y változó szerinti parciális függvény és deriváltja x esetén: y f, y y + π, y f, y y, y y 4 f, 4. y Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

42 4 MEGOLDÁSOK b Az x változó szerinti parciális függvény és deriváltja y, z esetén: x fx,, e x, x fx,, x e x, x f,,. x Az y változó szerinti parciális függvény és deriváltja x, z esetén: y f, y,, y f, y, y, y y f,,. y A z változó szerinti parciális függvény és deriváltja x, y esetén: z f,, z ze, z f,, z e z z z f,, e. c Az x változó szerinti parciális függvény és deriváltja y esetén: x fx,, x fx, x R, x x f,. x Az y változó szerinti parciális függvény és deriváltja x esetén: y f, y, y f, y y R, y y f,. y Az x változó szerinti parciális függvény és deriváltja y esetén: x fx, x, x fx, x x +4 x x +4 x 8 x R, x +4.. a x x + x y + z x + y, y x + x y + z xy, b x x 6 f, x 5. z x + x y + z 6z x x + y y x + y x xy y x + y x + y x, y, z R. x + y > x + y > Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

43 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 4 Differenciálhatóság.4. a Mivel x xy + y x y x x, y R x xy + y y x y x, y R folytonosak, f totálisan differenciálható minden x, y R pontban. b Mivel y sin x + x cos y y sin x + cos y x x, y R y sin x + x cos y sin x x sin y y x, y R folytonosak, f totálisan differenciálható minden x, y R pontban. c fx,, x + x x + x x x x x + y + z fx, y, z x x { ha x < + ha x <, x x x + y + z mivel y + z > tehát és hasonlóan x fx, y, z x y fx, y, z y z fx, y, z z x + y + z ha x + y + z > x + y + z ha x + y + z > x + y + z ha x + y + z > folytonos függvények az origót kivéve, ezért f totálisan differenciálható minden x, y, z R {,, } pontban. d + y x x y x x+y ha x és + y x y x ha x és y > x+y x folytonos függvények, ezért f totálisan differenciálható a { x, y R x és y x > } halmaz minden pontjában. e Mivel fx, y x fx, y y xy x x + y y x y x + y ha x + y >, xy y x + y x y x x + y ha x + y >, Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

44 44 MEGOLDÁSOK fx,, f,, f, y, f,, x y így a parciális derivált függvények folytonosak minden x, y R {, } pontban, tehát ezekben a pontokban f differenciálható. Az origóban viszont, bár léteznek a parciális deriváltak, f nem folytonos, ugyanis lim n n,, lim n f n n, n lim n tehát f nem differenciálható a, pontban. f Mivel fx, y x x x y x + y y x + y n y fx, y x y y x + y signy x x + y + f, n n ha y hay folytonos függvények, f differenciálható minden x, y R {a, a R} pontban. Vizsgáljuk most a differenciálhatóságot az x tengely pontjaiban: f, f, miatt a diffe- y A, pontban nem differenciálható, ugyanis renciálhatóság esetén lim x,y, x fx, y f, + x x f, + y f, + Rx, y Rx, y y Rx, y x + y teljesülne. Most azonban lim, R, és lim, n n n n n n + n n fa, fa,, és differenciálhatóság esetén x y és lim x,y a, Most azonban fx, y fa, + x Rx, y x + y teljesülne. lim a +, a, és n n n. Egy a,, a pontban x fa, + y fa, + Rx, y Rx, y, y lim n a+ n n a+ n + n a + n a + n lim n a+ n a+ n + n signa. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

45 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága ábra..4.f megoldás x y z x + y.5. a x, y R esetén x + y xy x y x x + y xy y x y folytonos függvények, ezért grad f,, grad f,, grad f x, y x y, y x x, y R. b Használjuk az.4.c feladat megoldását: grad f,,,, és x, y, z R r {,, } esetén grad f x, y, z x x + y + z y z,, x + y + z x + y + z. Megjegyzés: Az r x, y, z jelöléssel függvényünk f r r Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem r R

46 46 MEGOLDÁSOK alakban írható, és deriváltja, azaz gradiense ami megfelel az f r grad fr r r fx x r R {,, } x R függvény deriválásaként kapható, igaz egyszerűbb alakban is írható eredménynek. f x x x { x > x < x R {} c x, y, z R esetén folytonos függvények, ezért x + y + z x x x + y + z y y x + y + z z z grad f,,, 4, 6 grad fx, y, z x, y, z x, y, z R. Megjegyzés Az r x, y, z jelöléssel függvényünk fr r r R alakban írható, és deriváltja gradiense f r grad fr r r R, ami megfelel az fx x x x R függvény deriválásaként kapható f x x x R eredménynek. d x + y > esetén z x x + y xz x + y z y x + y yz x + y z z x + y x + y folytonos függvények, ezért grad f, 4, 5 5, 4 5, 5 xz yz grad fx, y, z,, x + y x + y x + y x + y >. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

47 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 47 Iránymenti derivált.6. a v, egységvektor, és +y ex x xe x +y +y ex y ye x +y folytonos függvények, tehát grad f, e 6, 4e 6 ezért D v f, e 6 b v,, 4 normáltja: + 4e 6 e 6 57,5.,, 4, és z sinx + y z cos x + y x z sinx + y z cos x + y y z sinx + y sin x + y z folytonos függvények, tehát grad f π 6, π 6, és π D v f 6, π 6, c Az α π 6,,, ezért szög irányába mutató egységvektor v cos π 6, sin π 6,, x lnx + y lnx + y y x + y x + y >, folytonos függvények, tehát grad f,, ezért D f, D v f, + +,68. 4 d v normáltja: e v v,. Mivel f a, pontban nem differenciálható lásd v az.4.f feladat megoldása, ezért adjuk meg a t f, t t t t ha t t 4 gt : f, ha t Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

48 48 MEGOLDÁSOK függvény deriváltját t helyen: D v f, g 4. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy minden α irányban létezik az iránymenti derivált az origóban, mivel t ft cos α, t sin α t cos α t sin α t cos α sin α t cos α + t sin α és a derivált értéke a t pontban: D α f, cos α sin α. Tehát minden iránymenti derivált létezik, de f nem differenciálható a, pontban lásd az.4.f feladat megoldása..7. v P Q, 4, normálva, fx, y x x y + xy + y 4xy + x x x y fx, y x x y + xy + xx y y x f, 4 + f, y grad f,, D P Q f, fx, y x + 4y x x x y fx, y x + 4y 8y y f, 4 x f, 8 y grad f, 4, 8 Tehát a legnagyobb növekedés iránya és értéke v 4, 8 D v f, grad f, , a legnagyobb csökkenés iránya és értéke v 4, 8 D v f, grad f, Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

49 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 49 Összetett függvény deriválása.9. a fx, y, z xyz, xu, v u + v, yu, v u v és zu, v sin u parciális deriváltjai: fx, y, z yz x xu, v u u xu, v v fx, y, z xz y yu, v u yu, v v v Tehát az összetett függvény parciális deriváltjai: u f u + v, u v, sin u fx, y, z xy, z zu, v cos u u zu, v. v u v sin u u + u + v sin u + u + v u v cos u, v f u + v, u v, sin u u v sin u + u + v sin u v + u + v u v. b fx, y x y, xt ln t, yt et parciális deriváltjai x fx, y y y fx, y x y t xt x t t t yt y t e t. Tehát az összetétellel kapott egyváltozós függvény deriváltja: t f ln t, e t fln t, e t e t t ln t e t et t ln t te t. c fx, y e x +y, xr, ϕ r cos ϕ, yr, ϕ r sin ϕ parciális deriváltjai: +y fx, y xex x +y fx, y yex y xr, ϕ cos ϕ r xr, ϕ r sin ϕ ϕ yr, ϕ sin ϕ r yr, ϕ r cos ϕ. ϕ Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

50 5 MEGOLDÁSOK Tehát az összetett függvény parciális deriváltjai: r fr cos ϕ, r sin ϕ r cos ϕ e r + r sin ϕ e r re r ϕ fr cos ϕ, r sin ϕ r sinϕ e r + r sinϕ e r felhasználva a sin ϕ cos ϕ sinϕ azonosságot... a grad x,,, grad y,, és fx, y x + xy parciális deriváltjai az x,, y,, 4 pontban: fx, y x + y x fx, y x y f, x f, 4 4 y Tehát az F u, v f xu, v, yu, v összetett függvény deriváltja az, pontban: grad F, + 4, + 4 4, 4. b grad f,,, és az xu, v u v yu, v uv helyettesítő függvények és parciális deriváltjaik értéke az a u, v, pontban x, x, xu, v u v u u u u x, yu, v uv v u u u y, v xu, v u v v v v x, v yu, v v y uv u v y,. Tehát az F u, v f xu, v, yu, v függvény deriváltja a, pontban grad F, +, + 8, 5... Mivel y y x g g y y g y x x x x x x y y y g g y y g x x y x x x Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

51 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 5 kapjuk fx, y x x y fx, y y y y xy + g y + g x y y y y x x x g x y y xy + g x + g x x x x + y x g x amiket szorozva az x illetve y változóval, majd összegezve kapjuk a bizonyítandó x összefüggést mivel y x g y x kiesik. x fx, y + y fx, y xy y Magasabbrendű deriváltak.. a Ha xy + y > b xy + y x xy + y x x xy + y xy y xy + y y y y y + xy y y y + xy y y + xy y xy + y x + y y + xy y y + xy xy y + xy x. y + xy x y y z + xyz 4xy + yz x x y y z + xyz 4xy + yz 4x + z xy y x y y z + xyz 4xy + yz 4y x x x y y z + xyz 4x + z xyz z x y y z + xyz 4y 4. x y y Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

52 5 MEGOLDÁSOK c Ha x > akkor x xy y x y xy xy y x y x y y ln x + y y xy x y ln x yx xy x xy ln x x y y ln x + x y xy y x y x y y y y x y x y y + y ln x y ln x xyx xy x x y y ln x + x y y + y ln x y ln x. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a kapott parciális derivált függvények folytonosak, ezért az eredmény nem függ a deriválás változóinak sorrendjétől, tehát: xy f.. a Ha y akkor + x x + y y + + x x + y x y + + x xy + y y y + + x x + y + y y + + x x + y + y y y + { x y xy x b fx, y + y > x +y x + y yx f és x y f xyx f. f, x y + f, xy x + y + y f, 9., ezért fx, f, y és { yx 4 +4x y y 4 x y R fx, y x x +y x y R { fx, y y x x 4 +4x y +y 4 x +y y x R y x R Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

53 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 5 tehát f, y y y R és fx, x x R, ezért x y f, y y R f, y x x fx, y x R xy f,. yx Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a másodrendű parciális derivált függvények nem folytonosak, ugyanis például fx, y xy n,, y x +y yx 4 +4x y y 4 y y { x 6 +9x 4 y 9x y 4 y 6 x y R x y R x y R x +y x y R lim n xy f n, f,, xy ezért nem következik a vegyes másodrendűek egyenlősége!.4. Ha xy > akkor fx, y gxy + y xy h g x x x xyy + y y xy h x x fx, y g xyy y y 4 x y h + y y x x xy h x x 4 y fx, y y gxy + xyh y fx, y g xyx y xy y h x x + y xy y h x y g x xyx + x y xy y xy h + x x h x x y 4 x y h + y xy y h + x xy x x h x amiből kapjuk x fx, y y fx, y. x y Szélsőértékszámítás.5. a Az x x + xy x + y y + z + x + y y x + xy x + y y + z + x + 4y z x + xy x + y y + z + z egyenletrendszer megoldása a P,, stacionárius pont. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

54 54 MEGOLDÁSOK Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a függvényünk a következő alakban írható: fx, y, z x + xy x + y y + z + x + y + y + z f,, tehát a P,, stacionárius pont most szemmel láthatóan globális minimum hely! b Az y x ex xe x y y y ex ye x y egyenletrendszer megoldása a P, stacionárius pont. Megjegyzés: A z e x y egyenletű 6. ábra..5.b megoldás z e x y felülettel adott függvénynek a P, stacionárius pontban nincs szélsőértéke, mert: fx, e x > f, ha x és f, y e y < f, ha y. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

55 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 55 c Az sin x + cos y + x y cos x + x sin x + cos y + x y sin y y egyenletrendszer megoldásai a P k,l π + kπ, π + lπ k, l N stacionárius pontok..6. a A egyenletrendszer megoldásai P P 6,, P 7, vagyis x 4 + y 4 x y 8x x x x 4 + y 4 x y 4yy y,, P,, P,, P 8,, P 9,, továbbá x x 4 + y 4 x y 4x y x 4 + y 4 x y y 4 x 4 + y 4 x y xy x, y 4x y. P 4/4 4 > tehát P -ben van szélsőérték, miatt P minimumhely, a minimum értéke f P f, x P 4 > 4 + 4, P 4, 9 8, P < tehát P -ben nincs szélsőérték P nyeregpont,, P 5,, P 4/4 4 > és x P 4 > tehát P -ban minimum van, P 4 4/4 8 < tehát P 4 -ben nincs szélsőérték P 4 nyeregpont, P 5 4 > és x P 5 tehát P 5 -ben maximum van, Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

56 MEGOLDÁSOK 56 P6 4/4 8 < tehát P6 -ban nincs szélsőérték P6 nyeregpont, P7 4 > tehát P7 -ben minimum van, x P8 < tehát P8 -ban nincs szélsőérték P8 nyeregpont, P7 4/4 4 > és P9 4/4 4 > és P9 4 > tehát P9 -ben minimum van. x 7. ábra..6.a megoldás x4 + y 4 x y b Az x +y x +y xe x e x x +y x +y xe xye y egyenletrendszer megoldásai a P,, Q, stacionárius pontok, továbbá x +y x +y xe x x e x x +y x +y xe x y e y x +y x +y xe y x e yx Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

57 M. Többváltozós függvények folytonossága és deriválhatósága 57 vagyis x, y x x e x +y x y e x +y y x e x +y. A P, pontban f x P e, P e f y P e, e e > yx f P, így tehát P -ben van f-nek szélsőértéke, és f x maximumhely, ahol a maximum értéke fp e. A Q, pontban f Q x e, f Q y e, f Q, így yx Q e e e > tehát Q-ban is van szélsőértéke f-nek, és P e < miatt a P, pont lokális f x lokális minimumhely, ahol a minimum értéke fq e. c A Q e > miatt a Q, pont x 4 + y 4 x + 4xy y 4x 4x + 4y x x 4 + y 4 x + 4xy y 4y 4y + 4x y egyenletrendszer megoldásai a P,, Q,, R, stacionárius pontok. Továbbá vagyis fx, y x x 4x 4x + 4y x 4 y fx, y y 4y 4y + 4x y 4 xy fx, y 4x 4x + 4y 4 y x, y x 4 y 4 4. A P, pontban P >, 4 > Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem

58 MEGOLDÁSOK 58 tehát a P, pont lokális minimumhely és f, 8. A Q, pontban Q >, 4 > tehát a Q, pont lokális minimumhely, és f, 8. Az R, pontban R 4 4 4, tehát az R, pontról segítségével nem dönthető el, hogy szélsőérték hely-e. Megjegyzés: A függvény grafikonjáról 8. ábra..6.c megoldás z x4 + y 4 x + 4xy y is látható, hogy az R pontban origóban az f x, x4 x és f, y y 4 y parciális függvényeknek maximuma van, de a H {a, a a R} pontokban vett f a, a a4 függvényértékeknek az origóban minimumhelye van, tehát az origó nyeregpont, vagyis nem szélsőérték hely. Szalkai István, Dósa György, Pannon Egyetem