ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

Hasonló dokumentumok
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

A Riemann-integrál intervallumon I.

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

f (ξ i ) (x i x i 1 )

Gazdasági matematika I. tanmenet

Analízis II. harmadik, javított kiadás

A fontosabb definíciók

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Numerikus módszerek 2.

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Boros Zoltán február

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106

Improprius integrálás

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Matematika A1a Analízis

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

Analízis I. beugró vizsgakérdések

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Többváltozós analízis gyakorlat

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

Improprius integrálás

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

Analízis házi feladatok

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

1. Halmazelméleti alapok

A gyakorlatok anyaga

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS D (I) := {F : F D(I)} Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi feladat.

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Matematika A1a Analízis

A Matematika I. előadás részletes tematikája

2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

A derivált alkalmazásai

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Metrikus terek, többváltozós függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

ELŐADÁS. 1. Az egyváltozós differenciálszámítás alkalmazásai I. Két nevezetes tétel típusú" limesz kiszámí-

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Absztrakt vektorterek

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I.

Az előadás anyagának törzsrésze

Osztályozóvizsga követelményei

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

Átírás:

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szbdon felhsználhtó. 1

1. Definiálj egy f R R függvény pontbeli folytonosságát! Az f R R függvény folytonos z D f pontbn, h ε > 0 δ > 0, x D f, x < δ : f(x) f() < ε. 2. Mi kpcsolt pontbeli folytonosság és htárérték között? H D f D f, kkor f C () lim f és lim f = f(). 4. Hogyn szól folytonosságr vontkozó átviteli elv? D f, ekkor f C () (x n ) : N D f, melyre lim x n = : lim f(x n ) = f(). 7. Definiálj megszüntethető szkdási hely foglmát! Az f függvénynek z D f megszüntethető szkdási helye, h és véges lim f f(). 8. Definiálj elsőfjú szkdási hely foglmát! Az f függvénynek z D f elsőfjú szkdási helye, h és véges lim +0 f = lim 0 f. 9. Mit tud mondni korlátos és zárt [, b] R intervllumon folytonos függvény értékkészletéről? f : [, b] R függvény folytonos f korlátos [, b]-n. 10. Hogyn szól Weierstrss-tétel? f : [, b] R folytonos függvénynek bszolút mximum/minimum. 11. Mit mond ki Bolzno-tétel? f : [, b] R folytonos függvény. H f() f(b) < 0, kkor ξ [, b] : f(ξ) = 0. 12. Mit tud mondni intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről? f : I R folytonos függvény, I R R f is intervllum. 13. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnk? f : A R függvény egyenletesen folytonos, h ε > 0, δ > 0, x, y A, x y < δ : f(x) f(y) < ε. 14. Írj le Heine-tételt! f : [, b] R folytonos f egyenletesen folytonos. 2

15. Milyen állításokt ismer z inverz függvény folytonosságáról? f : [, b] R folytonos, és f 1 f 1 is folytonos. I R, f : I R függvény folytonos, és f 1 f 1 is folytonos. 16. Legyen z f : [, b] R( < b,, b R) függvény folytonos és invertálhtó! Mit mondhtunk ekkor z f függvény monotonitásáról? f : [, b] R folytonos, f 1 f szigorún monoton. 17. Értelmezze z ln függvényt! exp 1 =: ln : (0, ) R szigorún monoton növekvő, folytonos függvény. 18. Mi definíciój z x (, x R, > 0) htványnk? exp (x) = exp(x ln ) = x (, x R, > 0) 19. Értelmezze z log függvényt! log = exp 1 szigorún monoton, folytonos, h 0 < < 1 vgy > 1. 20. Mi definíciój z x α (x > 0, α R) htványfüggvénynek? x α = exp(α ln x) x (0, ), α R. 21. Mikor mondj, hogy egy f R R függvény differenciálhtó vlmely pontbn? Az f R R függvény z int D f pontbn differenciálhtó(deriválhtó), h és f(+h) f() véges lim = f () htárérték. Ekkor f () függvény deriváltj z int h 0 h D f pontbn. Jelölés: f D(). 22. Milyen ekvivlens átfoglmzást ismer pontbeli deriválhtóságr lineáris közelítéssel? f R R int D f, Ekkor f D() A R, ε : D f R, lim ε = 0 és f(x) f() = A(x ) + ε(x)(x ) (x D f ) Ekkor A = f (). 23. Mi kpcsolt pontbeli differenciálhtóság és folytonosság között? f R R, int D f. Ekkor i, f D() f C () ii, f D() f C (). 24. Milyen tételt ismer két függény szorztánk vlmely pontbeli differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f, g R R, int (D f D g ), f, g D() Ekkor fg D() és (fg) () = f ()g() + f()g (). 25. Milyen tételt ismer két függény hánydosánk vlmely pontbeli differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f, g R R, int (D f D g ), f, g D() Ekkor H g() 0, kkor f/g D() és (f/g) () = f ()g() f()g (). g 2 () 3

26. Milyen tételt ismer két függény kompozíciójánk vlmely pontbeli differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f, g R R, R g D f, g D(), f D(g()). Ekkor f g D() és (f g) () = f (g())g (). 27. Milyen tételt tnult z inverz függvény differenciálhtóságáról és deriváltjáról? f : (, b) R, szigorún monoton nő és folytononos függvény. ξ (, b), f D(ξ) és f (ξ) 0. Ekkor f 1 D(η) és (f 1 ) (η) = 1 f (ξ) = 1, hol f(ξ) = η. f (f 1 (η)) 28. Milyen állítást tud mondni htványsor összegfüggvényének deriválhtóságáról és deriváltjáról? Tegyük fel hogy α n (x ) n htványsor konvergencisugr R > 0. n=0 Jelölje f(x) = α n (x ) n n=0 (x K R ()). Ekkor x 0 K R () : f D(x 0 ) és f (x 0 ) = nα n (x 0 ) n 1. n=1 29. Mi z egyoldli derivált definíciój? Tegyük fel, hogy f R R, D f és δ > 0 : [, + δ) D f. Ekkor f jobbról deriválhtó z pontbn h és véges = f +() lim x +0 f(x) f() x Tegyük fel, hogy f R R, D f és δ > 0 : ( δ, ] D f. Ekkor f blról deriválhtó z pontbn h és véges = f () lim x 0 f(x) f() x 30. Mi kétszer deriválhtó függvény foglm? Az f R R függvény kétszer deriválhtó z int D f pontbn, h K() D f, hogy f D(K()) és f D(). Ekkor Az f () = (f ) () Jelölés: f D 2 () 31. Mi z n-szer deriválhtó függvény foglm? Az f R R függvény n-szer deriválhtó z int D f pontbn, h K() D f, hogy f D n 1 (K()) és f (n 1) D(). Ekkor f n () = (f (n 1) ) () Jelölés: f D n (). 32. Foglmzz meg szorztfüggvény deriváltjir vontkozó Leibniz-tételt! H f, g D n (), kkor fg D n () és (fg) (n) () = n ) f (k) ()g (n k) (). 33. Mondj ki Rolle tételt! f C [, b], f D(, b), f() = f(b). Ekkor ξ (, b) : f (ξ) = 0. k=0 34. Mondj ki Cuchy-féle középértéktételt! f, g C [, b], f, g D(, b), g (x) 0, h x (, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : g(b) g() = f (ξ) g (ξ). ( n k 4

35. Mondj ki Lgrnge-féle középértéktételt! f C [, b], f D(, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : = f (ξ). b 36. Mit ért zon, hogy z f R R függvénynek vlmely helyen lokális minimum vn? f R R függvénynek z int D f pontbn lokális minimum vn, h K() D f : f(x) f() x K(). 37. Mit ért zon, hogy egy függvény vlmely helyen jelet vált? Az f R R függvény c D f pontbn előjelet vált, h f(c) = 0 és δ > 0, K ε (c) D f, f(x) < 0 x (c δ, c) és f(x) > 0 x (c, c + δ) vgy fordítv. 38. Hogyn szól lokális szélsőértékre vontkozó elsőrendű szükséges feltétel? f R R, int D f, f D(). H f-nek lokális szélsőértéke vn -bn, kkor f () = 0. 39. Hogyn szól lokális szélsőértékre vontkozó elsőrendű elégséges feltétel? Tegyük fel, hogy f D(, b), c (, b), f (c) = 0. H f előjelet vált c-ben, kkor f-nek lokális szélsőértéke vn. H f - -ból + -b vált kkor f-nek lokális minimum vn, h f + -ból - -b vált kkor f-nek lokális mximum vn. 40. Írj le lokális minimumr vontkozó másodrendű feltételt! Tegyük fel, hogy f D(, b), c (, b), f (c) = 0. H f D 2 (c) és f (c) 0, kkor f-nek lokális szélsőértéke vn c-ben. H f (c) < 0, kkor f-nek lokális mximum vn, h f (c) > 0, kkor f-nek lokális minimum vn. 41. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer differenciálhtó függvény monoton növekedésével kpcsoltbn? f D(, b). Ekkor i, f monoton nő f 0 (, b)-n ii, f szigorún monoton nő f 0 (, b)-n és (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. 42. Írj le 0 0 esetre vontkozó L Hospitl-szbályt! Tegyük fel, hogy f, g R R, és: i, f, g D(, b), < b < ii, limf = limg = 0 +0 +0 iii, g (x) 0 x (, b) f iv, lim = A +0 g R f Ekkor lim +0 g = lim f = A. +0 g 5

43. Írj le esetre vontkozó L Hospitl-szbályt! Tegyük fel, hogy f, g R R, és: i, f, g D(, b), < b < ii, limf = limg = + +0 +0 iii, g (x) 0 x (, b) f iv, lim = A +0 g R f Ekkor lim +0 g = lim f = A. +0 g 44. Mi kpcsolt htványsor összegfüggvénye és htványsor együtthtói között? Legyen f(x) = α n (x ) n (x K R ()) egy konvergens htványsor összegfüggvénye n=0 (R > 0 feltehető) f D (x) és f (k) (x) = α n n(n 1)... (n k + 1)(x ) n k és f (k) () = α k k! α k = f (k) () k! ( k N). 45. Hogyn definiálj egy függvény Tylor-sorát? H f D () Legyen f (k) () (x ) k htványsor z f függvény ponthoz trtozó k=0 k! Tylor sor. 46. Foglmzz meg Tylor formul Lgrnge mrdéktggl néven tnult tételt! Tegyük fel, hogy f D (n+1) (K()). Ekkor x K() : ξ (, x) : f(x) = n f (k) () (x ) k + (f (n+1) (ξ)/(n + 1)!)(x ) n+1 k! k=0 47. Mi konvex függvény defínciój? f : (, b) R függvény konvex, h x 1, x 2 (, b), x 1 < x 2, λ [0, 1] : f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) és szigorún konvex, h x 1, x 2 (, b), x 1 < x 2, λ [0, 1] : f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) < λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ). 48. Jellemezze egy függvény konvexitását (konkávitását) z első derivált segítségével! f : (, b) R f D(, b) :, f konvex f monoton nő (, b)-n b, f szigorún konvex f szigorún monoton nő (, b)-n. 49. Jellemezze egy függvény konkávitását második derivált segítségével! f : (, b) R f D 2 (, b) :, f konvex f 0(, b)-n b, f szigorún konvex f > 0(, b) -n. n=k 6

50. Mi z inflexiós pont definíciój? f : (, b) R, x 0 (, b), f D(x 0 ). Ekkor z x 0 pont z f inflexiós pontj, h z l(x) = f(x) (f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )). Az l(x) függvény szigorún előjelet vált x 0 -bn, zz δ > 0, hogy l(x) < 0, x (x 0 δ, x 0 ) és l(x) > 0, x (x 0, x 0 + δ), vgy fordítv. 51. Milyen szükséges feltételt ismer második derivált és z inflexiós pont kpcsoltáról? f : (, b) R, x (, b) H f kétszer folytonosn deriválhtó x 0 -bn, és x 0 inflexiós pont, kkor f (x 0 ) = 0. 52. Milyen elégséges feltételt ismer hrmdrendű derivált és z inflexiós pont kpcsoltáról? f : (, b) R, x (, b) H f háromszor folytonosn derviálhtó, f (x 0 ) = 0, és f (x 0 ) 0, kkor x 0 inflexiós pont. 53. Definiálj primitív függvényt! Az f : I R függvény primitív függvénye z F : I R függvény, h F D(I) és F (x) = f(x) x I 54. Adjon meg olyn függvényt, melyiknek nincs primitív függvénye! pl.: f(x) = signx, Nem létezik primitív függvénye, mert f nem Drboux tuljdonságú. 55. Definiálj z egy dott pontbn eltűnő primitív függvény foglmát! f : I R függvény, x 0 I-ben eltünő primitiv függvénye F = f, melyre x F = f, F (x 0 ) = 0. 56. A primitív függvény létezésére vontkozó szükséges feltétel! H f : I R függvénynek létezik primitív függvénye, kkor f Drboux tuljdonságú, zz, b I, < b, c (f(), f(b)) ξ (, b) : f(ξ) = c. 57. Mit jelent egy függény htároztln integrálj? H f : I R primitív függvénye F, kkor f := {F + c : c R} z összes primitív függvény hlmz. f-et htároztln integrálnk nevezzük. Jel: f = F + c, c R, f(x)dx = F (x) + c, c R. 58. Mit ért htároztln integrál lineritásán? f, g R[, b], α 1, α 2 R. Ekkor (α 1 f +α 2 g) R[, b], és b (α 1 f +α 2 g) = α 1 b f +α 2 59. Milyen állítást ismer htványsor összegfüggvényének primitív függvényéről? H f(x) = α n (x ) n, x K R (), R > 0, kkor f(x)dx = (x ) n+1 α n + c. n + 1 n=0 60. Mit mond ki primitív fügvényekkel kpcsoltos prciális integrálás tétele? f, g : I R, x 0 I, f, g D(I). Ekkor h f g-nek létezik primitív függvénye, kkor fg -nek is, és fg = fg f g, és x 0 fg = fg f(x 0 )g(x 0 ) x 0 f g. n=0 g. 7

61. Hogyn szól primitív függvényekkel kpcsoltos első helyettesítési szbály? g : I J, g D(I), f : J R, t 0 J. H f-nek létezik primitív függvénye, kkor (f g)g -nek is, és (f g)g = ( f) g. t 0 g(t 0 ) 62. Foglmzz meg primitív függvényekkel kpcsoltos második helyettesítési szbályt! g : I J bijekció, g D(I), f : J R, x 0 J. H (f g)g -nek létezik primitív függvénye, kkor f-nek is, és f = ( (f g)g ) g 1. x 0 g 1 (x 0 ) 63. Adjon meg leglább három olyn függvényt, melyiknek primitív függvénye nem elemi függvény! sin(x 2 )dx, cos(x 2 )dx, 1 + x 2 dx. 64. Definiálj z intervllum egy felosztását! τ = {x 0, x 1,..., x n } z [, b] egy felosztás, h = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. 65. Mit jelent egy felosztás finomítás? τ 1 és τ 2 felosztás [, b]-nk. τ 2 finomítás τ 1 -nek, h τ 1 τ 2. 66. Mi z lsó közelítő összeg definíciój? f K[, b], τ F [, b] : Az s(f, τ) = összege. n i=1 ( inf [x i 1,x i ] 67. Mi felső közelítő összeg definíciój? f K[, b], τ F [, b] : Az S(f, τ) = összege. n i=1 ( sup [x i 1,x i ] f)(x i x i 1 ) összeg z f függvény τ-hoz trtozó lsó közelítő f)(x i x i 1 ) összeg z f függvény τ-hoz trtozó felső közelítő 68. Mi történik egy lsó közelítő öszeggel, h neki megfelelő felosztást finomítjuk? f K[, b], τ 1, τ 2 F [, b] H τ 2 > τ 1, kkor s(f, τ 1 ) s(f, τ 2 ) 69. Mi történik egy felső közelítő öszeggel, h neki megfelelő felsztást finomítjuk? f K[, b], τ 1, τ 2 F [, b] H τ 2 > τ 1, kkor S(f, τ 1 ) S(f, τ 2 ) 70. Milyen viszony vn z lsó és felső közelítő összegek között? f K[, b], τ 1, τ 2 F [, b] s(f, τ 1 ) S(f, τ 2 ) 71. Mi Drboux-féle lsó integrál definíciój? I f := sup{s(f, τ) : τ F [, b]} < z f Drboux-féle lsó integrálj. 72. Mi Drboux-féle felső integrál definíciój? I f := inf{s(f, τ) : τ F [, b]} R z f Drboux-féle felső integrálj. 8

73. Mikor nevez egy függvényt (Riemnn)-integrálhtónk? f Riemnn integrálhtó, h I f = I f. Jel: f R[, b] 74. Hogyn értelmezi egy függvény htározott (vgy Riemnn-) integrálját? f = f(x)dx = I f = I f = If 75. Adjon meg egy példát nem integrálhtó függvényre! { 1 x Q f(x) = 0 x / Q x [0, 1] f / R[, b], hiszen s(f, τ) = 0 S(f, τ) = 1. 76. Mi z oszcillációs összeg definíciój? Ω(f, τ) = S(f, τ) s(f, τ) = n ( sup f inf f)(x i x i 1 ) z f oszcillációs összege. [x i 1,x i ] i=1 [x i 1,x i ] 77. Hogyn szól Riemnn-integrálhtósággl kpcsoltbn tnult kritérium z oszcillációs összegekkel megfoglmzv? f R[, b] ε > 0 τ F [, b] : Ω(f, τ) < ε. 78. Felosztássoroztok segítségével dj meg Riemnn-integrálhtóság egy ekvivlensátfoglmzását! f R[, b] és f = I (τ n ) felosztássorozt, hogy lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I. 79. Hogyn szól Riemnn-integrálhtó függvények összegével kpcsoltbn tnult tétel? Tegyük fel, hogy f, g R[, b]. Ekkor f + g R[, b] és (f + g) = 80. Hogyn szól Riemnn-integrálhtó függvények szorztávl kpcsoltbn tnult tétel? Tegyük fel, hogy f, g R[, b]. Ekkor fg R[, b]. 81. Hogyn szól Riemnn-integrálhtó függvények hánydosávl kpcsoltbn tnult tétel? Tegyük fel, hogy f, g R[, b]. Ekkor h g(x) > 0, x [, b], kkor f/g R[, b]. 82. Mit ért Riemnn-integrál intervllum szerinti dditivitásán? Legyen c (, b). Ekkor f R[, b] f R[, c] és f R[c, b]. Ekkor 83. Mi kpcsolt folytonosság és Riemnn-integrálhtóság között? C [, b] R[, b]. (???) 84. Mi kpcsolt monotonitás és Riemnn-integrálhtóság között? f : [, b] R monoton függvény A R[, b]. f + g. f = c f + f. c 9

85. Milyen tételt tnult Riemnn-integrálhtó függvény megváltozttását illetően? A R[, b] függvényt véges sok pontbn megváltozttv f-hoz jutunk. Ekkor f is integrálhtó, és f = f. 86. Mit ért zon, hogy Riemnn-integrál z integrndusbn monoton? H f, g R[, b], és f g, kkor f g. 87. Mit lehet mondni Riemnn-integrálhtó függvény bszolút értékéről integrálhtóság szempontjából? H f R[, b], kkor f R[, b] és f f. 88. Mi z integrálszámítás első középértéktétele? Tegyük fel, hogy f, g R[, b], g 0. Ekkor m := inff, M := supf, Ekkor m [,b] [,b] g fg M 89. Mi z integrálszámítás második középértéktétele? Tegyük fel, hogy f, g R[, b], g 0, f C [, b]. Ekkor ξ [, b] : 90. Hogyn szól Newton-Leibniz-tétel? Tegyük fel, hogy f R[, b] és f-nek F primitív függvénye. Ekkor g. fg = f(ξ) g. f = F (b) F (). 91. Definiálj z integrálfüggvényt! x f R[, b], x 0 [, b]. Ekkor z F (x) := f (x [, b]) függvény f z integrálfüggvénye. x 0 92. Foglmzz meg differenciál- és integrálszámítás lptételét! x Tegyük fel, hogy f R[, b], x 0 [, b] és F (x) = f z f integrál függvénye. Ekkor x 0 i, F C [, b] ii, H d [, b], és f C (d), kkor F D(d) és F (d) = f(d). 93. Mit ért prciális integráláson Riemnn-integrálokkl kpcsoltbn? f, g D[, b], f g R[, b]. Ekkor f g = f(b)g(b) f()g() 94. Mit mond ki helyettesítéses integrálás tétele Riemnn-integrálokr vontkozón? f R[, b], g : [α, β] [, b], g D[α, β], f gg R[, b]. Ekkor g(β) f = (f gg ). g(α) fg. 10

95. Mit tud mondni függvénygrfikon hosszánk kiszámításáról? H f : [, b] R folytonosn differenciálhtó, kkor l(γ) = 1 + (f ) 2. 96. Hogyn számítj ki forgástest térfogtát? H f : [, b] R folytonosn differenciálhtó, kkor V (H) = π 97. Hogyn számítj ki forgástest felszínét? H f : [, b] R folytonosn differenciálhtó, kkor F (H) = 2π f 2. f 1 + (f ) 2. Felhsznált irodlom - ELTE IK progrmtervezői informtikus szk 2012 őszi féléves Anlízis II. elődás lpján írt óri jegyzetem - Szili László: Anlízis Feldtokbn I. - Wikipédi 11